iCourse·教材：线性代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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孙良，闫桂峰 编

图书标签:

• 线性代数
• 教材
• iCourse
• 高等教育
• 数学
• 大学教材
• 理工科
• 考研
• 学习
• 基础

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040461282

版次：1

商品编码：12039982

包装：平装

丛书名： iCourse·教材

开本：16开

出版时间：2016-09-01

用纸：胶版纸

页数：261

字数：310000

正文语种：中文

内容简介

　　《iCourse·教材：线性代数》是与中国大学MOOC上北京理1_=大学的“线性代数MOOC”配套的教材，是作者根据非数学专业线性代数课程的基本要求编著的。内容包括线性方程组、矩阵、向量空间、行列式、方阵的特征值与特征向量、二次型与正定矩阵。
　　《iCourse·教材：线性代数》可以作为非数学专业线性代数课程的教材或教学参考书，也可供社会学习者学习“线性代数MOOC”时参考使用。

内页插图

目录

第一章 线性方程组
1．1 线性方程与线性方程组
1．2 线性方程组的初等变换
1．3 解线性方程组的消元法
1．4 矩阵的定义
1．5 矩阵的初等行变换
1．6 阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵
1．7 关于线性方程组的基本定理
1．8 齐次线性方程组及其应用
习题一

第二章 矩阵
2．1 矩阵的线性运算
2．2 矩阵的乘法运算及其性质
2．3 方阵
2．4 矩阵的转置
2．5 初等矩阵及其应用
2．6 矩阵的秩
2．7 可逆矩阵
2．8 分块矩阵
2．9 几类常见的特殊矩阵
习题二

第三章 向量空间
3．1 向量与向量空间
3．2 向量组的线性关系
3．3 向量组的秩
3．4 向量空间的基与维数
3．5 线性方程组的解的向量形式
3．6 实向量的内积与正交
习题三

第四章 行列式
4．1 2阶行列式
4．2 n阶行列式的定义
4．3 n阶行列式的性质
4．4 行列式的按行或者按列展开
4．5 行列式在代数方面的应用
4．6 行列式在几何方面的应用
习题四

第五章 方阵的特征值与特征向量
5．1 特征值与特征向量的定义与求法
5．2 特征值与特征向量的性质
5．3 方阵的相似
5．4 方阵可以相似对角化的条件
5．5 将方阵相似对角化的方法
5．6 3类特殊矩阵的相似对角化问题
5．7 实对称矩阵的相似对角化
习题五

第六章 二次型与正定矩阵
6．1 二次型的定义以及二次型的标准形
6．2 化二次型为标准形的配方法
6．3 方阵的合同
6．4 化二次型为标准形的初等变换法
6．5 化实二次型为标准形的正交替换法
6．6 二次型的规范形
6．7 实二次型的定性
6．8 正定矩阵
习题六

索引
参考文献

前言/序言

　　本书讲授的线性代数是面向非数学专业学生的一门公共基础课，它不仅为我们提供学好后继课程的数学知识，而且为我们提供在各个学科领域中通用的分析问题与解决问题的方法。
　　本书是我们为了适应MOOC需要编著的，由我们制作的线性代数MOOC已在中国大学MOOC上线。我们按照教育部高等学校教学指导委员会以及全国硕士研究生入学考试大纲对线性代数课程的要求，基于MOOC的特点，本着“由浅人深、由易到难”的原则，对线性代数的课程内容做了系统整合，使得课程结构更加紧凑，课程的前后顺序更加合理，使得这门课更加容易教与学。全书分为6章。
　　第一章讲线性方程组。我们由线性方程组的化简，引出线性方程组的初等变换（互换两个方程的位置，某个方程乘非零常数，某个方程的倍数加到另外一个方程上）；将方程组等价到增广矩阵、方程组的初等变换等价到增广矩阵的初等行变换，定义一般矩阵的初等行变换；用矩阵的阶梯形的非零行数定义矩阵的秩；给出线性方程组有解的充分必要条件是线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，线性方程组有解并且解唯一的充分必要条件是线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于方程组的未知数的个数；通过方程组的增广矩阵的简化阶梯形给出求有解线性方程组的解的方法。
　　第二章讲矩阵代数。我们定义了矩阵的4种运算：加法，数乘，乘法，转置。在定义矩阵乘法的时候，我们特别注重矩阵的行与列的整体性，将矩阵按行或者按列表示，这不仅讲清了矩阵乘法的本质，也为后面讲矩阵的分块、向量以及向量组做了铺垫和准备。进一步地，矩阵的按行、按列表示也为证明矩阵运算的性质提供了极大的方便。
　　第三章讲向量空间，这是线性代数的核心内容。在这一章，判断向量组的线性相关与线性无关，以及向量可否由向量组线性表示的工具是线性方程组，求向量组的极大无关组与秩的工具是矩阵以及矩阵的初等行变换。矩阵与向量组是可以互相转换的。一个矩阵可以决定3个向量空间：零空间，列空间，行空间。由矩阵的零空间可以给出线性方程组的解的向量形式，这样就完善了线性方程组的解的理论。在n元实向量空间上定义了两个向量的内积，向量的长度，以及两个向量的正交，给出了线性无关向量组的施密特正交化方法，为讲行列式在几何方面的应用与实对称矩阵的相似对角化准备好了工具。
　　第四章讲行列式。我们采用递归的方法定义行列式，先给出2阶行列式的定义与性质，然后利用行列式的第1行的展开，递归定义当n>2时的n阶行列式。这样定义既容易理解，也方便低阶时直接计算，并且它还是行列式按行展开的一种特殊情况。关于行列式性质的证明，只要熟悉数学归纳法，并不是很难理解。而且弄懂一个性质的证明即可，方法都是一样的。作为行列式在代数方面的应用，我们证明了矩阵的秩等于矩阵的非零子式的最大阶数，通过伴随矩阵证明了求解nxn线性方程组的克拉默法则。作为行列式在几何方面的应用，我们给出了3阶行列式的几何意义：实数集上的3阶行列式的绝对值等于以行列式的行向量组或者列向量组为邻边构成的平行六面体的体积。
　　第五章讲方阵的特征值与特征向量。这一章分为两部分，第1部分讨论方阵可以相似对角化的条件，第2部分证明实对称矩阵可以用正交矩阵化为对角矩阵。第2部分为下一章介绍用正交替换化实二次型为标准形提供了理论基础。
　　第六章讲二次型与正定矩阵。这一章的前半部分介绍了化二次型为标准形的3种方法（配方法，初等变换法，正交替换法），前两种方法适用于任意二次型，第3种方法只能用于实二次型；后半部分讨论实二次型的定性与正定矩阵的充分必要条件。
　　线性代数的内容是自封闭的。在本书中，除了代数学基本定理（超出了范围）以及少数几个浅显易懂的结论（避免过于冗长）以外，其他结论都给出了证明。此外，我们对线性代数的实际背景与历史人物作了适当介绍。所以，这是一本内容丰富而又全面的线性代数教材，它既适用于课堂讲授，也适用于自学。如果将本书与我们制作的MOOC视频一起使用，采用“翻转课堂”教学法，那么将会极大地调动学生的学习积极性，收到非常好的效果。
　　本书可以作为30到60学时之间的线性代数课程的教材或者教学参考书。如果学时数比较少，那么定理1.3、定理1.5、定理2.9、定理5.5、定理5.6、定理5.9、定理6.5、定理6.9的证明，不相容方程组的最小二乘法以及行列式的几何应用都可以作为选修内容，灵活处理。
　　本书的出版得到北京理工大学“十三五”教材规划的资助；我们的许多同事对本书的写作提供了慷慨的帮助；我们的学生在使用本书初稿时，指出了若干错误；高等教育出版社的张长虹编辑对我们的写作提供了许多指导；本书的责任编辑李茜为本书的出版做了大量工作。在此一并表示衷心感谢！

iCourse·教材：线性代数 开启探索数学之美的大门，理解世界的底层逻辑 《iCourse·教材：线性代数》不仅仅是一本教科书，它是一次引领读者深入理解现代数学核心领域——线性代数的旅程。本书旨在以清晰、直观且严谨的方式，向广大学子、科研人员以及对数学抱有浓厚兴趣的读者，系统性地阐述线性代数的基本概念、重要定理、经典方法及其广泛应用。我们相信，掌握线性代数，就如同获得了理解和驾驭复杂世界的强大工具。 本书特色与内容体系： 本书的内容编排紧密围绕线性代数的核心构建，力求在深度与广度上取得平衡。从最基础的向量空间概念，到抽象的线性变换，再到实际应用中不可或缺的矩阵理论，本书都进行了系统而深入的探讨。 第一部分：向量与线性方程组——基石的奠定 我们将从最直观的向量概念入手，介绍向量的几何意义、代数运算（加法、标量乘法、内积等），以及向量组的线性相关与线性无关。在此基础上，引入“向量空间”这一核心抽象概念，并详细阐述子空间、基与维数等重要性质。随后，我们将把目光聚焦于线性方程组，探讨其几何解释，并系统学习高斯消元法、行最简形等求解方法，深入理解解空间的结构，包括自由变量、特解和通解。这一部分是后续深入学习的基础，我们将力求让读者对向量和方程组的内在联系有深刻的理解。 第二部分：矩阵理论——强大的代数工具 矩阵是线性代数中最核心的代数工具之一。本书将详细介绍矩阵的定义、类型、运算（加法、减法、乘法、转置、逆矩阵等），以及与矩阵相关的基本概念，如矩阵的秩、初等变换与初等矩阵。我们将重点讲解矩阵的性质，例如可逆矩阵的判定与计算，以及它与线性方程组解的紧密关系。此外，还会引入分块矩阵等高级概念，为处理复杂问题提供便利。 第三部分：行列式——度量与判定的关键 行列式作为一种特殊的数值，在线性代数中扮演着至关重要的角色。本书将系统阐述行列式的定义、性质以及计算方法，包括代数余子式、按行（列）展开等。我们将深入探讨行列式与矩阵可逆性的关系，以及它在几何上表示的面积、体积变化率等直观意义。 第四部分：向量空间与线性变换——抽象化的升华 在打下扎实的矩阵和向量基础后，本书将引入更为抽象但功能更为强大的概念——向量空间和线性变换。我们将形式化地定义向量空间，并探讨其子空间、基、维数等重要性质。接着，我们将详细讲解线性变换的概念、性质以及它的矩阵表示。通过对线性变换的研究，我们可以更深刻地理解向量空间的结构及其相互关系，为后续的特征值、特征值向量等更深层次的概念做好铺垫。 第五部分：特征值与特征向量——洞察矩阵本质的钥匙 特征值与特征向量是理解线性变换和矩阵行为的关键。本书将详细介绍特征值与特征向量的定义、计算方法以及它们在矩阵对角化中的应用。我们将解释特征值和特征向量如何揭示线性变换的“不变方向”和“伸缩因子”，以及它们在降维、动力系统分析等领域的广泛应用。 第六部分：内积空间与正交性——几何性质的拓展 本书将进一步拓展线性代数的几何视角，引入内积空间的概念，并探讨向量间的夹角、距离、正交性等几何概念。我们将详细介绍施密特正交化方法，以及正交矩阵、正交补等重要概念。这些内容对于理解最小二乘法、主成分分析（PCA）等实际应用至关重要。 第七部分：应用领域——线性代数的实践价值 理论知识的掌握最终需要通过实践来检验和深化。本书的最后一章将聚焦于线性代数在不同领域的实际应用，包括但不限于： 计算机图形学： 矩阵在三维变换（平移、旋转、缩放）中的应用。 数据科学与机器学习： 线性回归、主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等核心算法的数学基础。 工程领域： 电路分析、结构力学中的方程组求解。 经济学： 投入产出模型、计量经济学中的应用。 图论： 邻接矩阵、关联矩阵等在图分析中的应用。 我们将通过具体的实例，展示线性代数如何解决现实世界中的复杂问题，激发读者将所学知识应用于实际的兴趣。 学习方法与建议： 本书的编写过程中，我们始终坚持以“理解”为核心。我们提倡读者在学习过程中，不仅仅是记忆公式和定理，更要深入理解其背后蕴含的数学思想和几何直观。 循序渐进： 按照本书的章节顺序，逐步学习，打牢基础。 勤加练习： 每章后配有精心设计的习题，从概念理解到计算技巧，覆盖全面。鼓励读者独立思考，动手求解，通过实践加深对知识点的理解。 注重直观： 尽量结合向量、矩阵的几何意义进行思考，将抽象的概念与直观的图像联系起来，有助于加深记忆和理解。 联系实际： 在学习理论的同时，积极思考这些概念如何在实际问题中得到应用，这不仅能巩固所学，更能激发学习兴趣。 相互讨论： 如果可能，与同学或老师进行讨论，交流学习心得，解决疑难问题，往往能带来新的启发。 目标读者： 本书适合以下读者群体： 高等院校本科生： 作为数学类、计算机类、工程类、经济管理类等专业的核心教材或参考书。 研究生： 深入学习相关专业领域（如人工智能、数据科学、控制理论、数值计算等）所需的线性代数知识。 科研人员： 需要掌握线性代数工具来处理和分析实验数据、建立模型。 软件开发工程师： 特别是从事图形学、机器学习、数据分析等方向的工程师，理解底层数学原理。 所有对数学有浓厚兴趣的读者： 希望系统学习线性代数，提升数学素养，拓展思维方式。 结语： 线性代数是现代科学技术蓬勃发展的基石，它的影响力渗透到几乎所有科学和工程领域。掌握线性代数，不仅能够为学业和职业发展打下坚实的基础，更能够培养严谨的逻辑思维和解决复杂问题的能力。 《iCourse·教材：线性代数》致力于成为您学习道路上的得力助手，我们希望通过本书，您能真正领略线性代数的数学之美，体会它在描述和理解我们所处世界中的强大力量。祝您在本书的学习旅程中收获满满，学有所成！

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，对我来说就像是在茫茫书海中拾到了一颗璀璨的明珠。我之所以选择它，主要还是被它“iCourse·教材”这个副标题所吸引，我一直认为好的教材应该兼具理论的严谨性和教学的生动性，而这本书恰恰做到了这一点。在学习过程中，我发现作者在处理一些抽象概念时，并没有回避它们的复杂性，而是巧妙地用深入浅出的语言进行了拆解，比如在解释特征值和特征向量时，书中花了相当大的篇幅去阐述它们在动力系统、图像处理等领域的实际应用，这让我瞬间就明白了这些概念存在的意义，而不只是死记硬背的公式。我特别欣赏书中对“对角化”这个过程的讲解，它不仅仅是展示了如何计算，更侧重于解释对角化后矩阵的几何意义，以及它在简化计算、分析系统稳定性方面的强大作用。这种“知其然，更知其所以然”的学习体验，让我对线性代数这门学科产生了浓厚的兴趣，也让我更加期待在后续的学习中，能够运用这些工具去解决更复杂的问题。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《iCourse·教材：线性代数》纯属偶然，当时是在图书馆里闲逛，被它简洁而不失厚重的封面吸引了。我一直觉得线性代数这门课，虽然概念很多，但背后的逻辑却是有迹可循的，这本书恰恰给了我一种“窥见冰山一角”的惊喜。初翻开，它的排版就很舒适，字体大小和行间距都恰到好处，不像有些教材那样密密麻麻，让人望而生畏。更重要的是，它在讲解每个新概念时，总是会先给出一个直观的例子，或者与我们生活中熟悉的场景联系起来，比如向量的几何意义，矩阵的变换作用，这些都能极大地降低初学者的理解门槛。我尤其喜欢它在某个章节中对“线性无关”概念的阐述，作者没有一开始就抛出严谨的定义，而是通过一个“最小生成集”的类比，让读者自己去体会什么是“冗余”，什么是“必要”，这种启发式的教学方式，比直接背诵定义要深刻得多，也更容易让我在后续的学习中触类旁通。这本书给我最大的感受就是，它不是在“教”你线性代数，而是在“引”你进入线性代数的殿堂，让你自己去探索其中的奥妙。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的第一印象是它相当“接地气”。我之前接触过一些线性代数的教材，总是感觉离实际应用很远，很多概念都只停留在理论层面。而《iCourse·教材：线性代数》在这方面做得非常棒。它在讲解每个概念的时候，都会尝试从实际问题出发，比如在介绍矩阵乘法时，就用到了“投资组合”和“商品销售”的例子，这让我一下子就明白了矩阵乘法在实际中的意义。书中还专门辟出了章节来介绍线性代数在计算机科学、数据科学、物理学等领域的应用，比如图像压缩、机器学习中的线性回归模型等等。这些生动的案例，让我觉得线性代数不再是枯燥的符号和公式，而是解决实际问题的强大工具。我特别喜欢书中关于“最小二乘法”的讲解，它不仅给出了求解公式，还解释了为什么在实际测量中，误差是不可避免的，以及最小二乘法如何在这种不确定性中找到最优解。这本书让我觉得，学习线性代数是一件充满乐趣和意义的事情。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习数学最重要的就是要建立清晰的逻辑链条，而《iCourse·教材：线性代数》在这方面做得相当出色。这本书给我的感觉是，它不仅仅是知识的堆砌，更像是一个精巧的思维框架，一步一步地引导你构建起对线性代数世界的理解。我记得在学习“向量空间”和“子空间”时，作者并没有急于给出那些晦涩的公理定义，而是先从“集合”和“运算封闭性”这些基本概念入手，然后慢慢过渡到向量空间的本质，即“一种可以进行线性组合的集合”。这种由浅入深、层层递进的讲解方式，让我在理解这些抽象概念时感到非常轻松。更让我印象深刻的是，书中穿插了大量的图示和几何解释，比如用平行四边形法则解释向量加法，用空间的伸缩和旋转解释矩阵变换，这些直观的视觉辅助，极大地帮助我克服了对抽象符号的恐惧。这本书就像一位耐心的向导，带着我一步一步地探索线性代数的美妙世界，让我不再是那个迷茫的初学者。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学理论有着一定追求的读者，《iCourse·教材：线性代数》给我带来的惊喜是多方面的。首先，它的理论体系构建得非常完整，从最基础的线性方程组解法，到向量空间、线性变换，再到特征值和矩阵的分解，逻辑递进清晰，前后呼应严密。我尤其看重书中对证明的严谨性，很多定理的推导过程都清晰地列出了每一步的依据，这对于培养严密的数学思维至关重要。其次，在讲解一些关键概念时，作者并没有停留在理论层面，而是巧妙地结合了一些算法的实现思路，比如高斯消元法的详细步骤和注意事项，QR分解的几何意义等，这让我体会到理论与实践的紧密联系。这本书的语言风格也很独特，既有学术的严谨，又不失逻辑的流畅，读起来不会感到枯燥乏味。它就像一本精心打磨的艺术品，每一个细节都透露着作者的用心，让我对线性代数这门学科有了更深层次的理解和认识。