iCourse·教材：线性代数 下载 mobi epub pdf 电子书 2024

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内容简介

　　《iCourse·教材：线性代数》是与中国大学MOOC上北京理1_=大学的“线性代数MOOC”配套的教材，是作者根据非数学专业线性代数课程的基本要求编著的。内容包括线性方程组、矩阵、向量空间、行列式、方阵的特征值与特征向量、二次型与正定矩阵。
　　《iCourse·教材：线性代数》可以作为非数学专业线性代数课程的教材或教学参考书，也可供社会学习者学习“线性代数MOOC”时参考使用。

内页插图

目录

第一章 线性方程组
1．1 线性方程与线性方程组
1．2 线性方程组的初等变换
1．3 解线性方程组的消元法
1．4 矩阵的定义
1．5 矩阵的初等行变换
1．6 阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵
1．7 关于线性方程组的基本定理
1．8 齐次线性方程组及其应用
习题一

第二章 矩阵
2．1 矩阵的线性运算
2．2 矩阵的乘法运算及其性质
2．3 方阵
2．4 矩阵的转置
2．5 初等矩阵及其应用
2．6 矩阵的秩
2．7 可逆矩阵
2．8 分块矩阵
2．9 几类常见的特殊矩阵
习题二

第三章 向量空间
3．1 向量与向量空间
3．2 向量组的线性关系
3．3 向量组的秩
3．4 向量空间的基与维数
3．5 线性方程组的解的向量形式
3．6 实向量的内积与正交
习题三

第四章 行列式
4．1 2阶行列式
4．2 n阶行列式的定义
4．3 n阶行列式的性质
4．4 行列式的按行或者按列展开
4．5 行列式在代数方面的应用
4．6 行列式在几何方面的应用
习题四

第五章 方阵的特征值与特征向量
5．1 特征值与特征向量的定义与求法
5．2 特征值与特征向量的性质
5．3 方阵的相似
5．4 方阵可以相似对角化的条件
5．5 将方阵相似对角化的方法
5．6 3类特殊矩阵的相似对角化问题
5．7 实对称矩阵的相似对角化
习题五

第六章 二次型与正定矩阵
6．1 二次型的定义以及二次型的标准形
6．2 化二次型为标准形的配方法
6．3 方阵的合同
6．4 化二次型为标准形的初等变换法
6．5 化实二次型为标准形的正交替换法
6．6 二次型的规范形
6．7 实二次型的定性
6．8 正定矩阵
习题六

索引
参考文献

前言/序言

　　本书讲授的线性代数是面向非数学专业学生的一门公共基础课，它不仅为我们提供学好后继课程的数学知识，而且为我们提供在各个学科领域中通用的分析问题与解决问题的方法。
　　本书是我们为了适应MOOC需要编著的，由我们制作的线性代数MOOC已在中国大学MOOC上线。我们按照教育部高等学校教学指导委员会以及全国硕士研究生入学考试大纲对线性代数课程的要求，基于MOOC的特点，本着“由浅人深、由易到难”的原则，对线性代数的课程内容做了系统整合，使得课程结构更加紧凑，课程的前后顺序更加合理，使得这门课更加容易教与学。全书分为6章。
　　第一章讲线性方程组。我们由线性方程组的化简，引出线性方程组的初等变换（互换两个方程的位置，某个方程乘非零常数，某个方程的倍数加到另外一个方程上）；将方程组等价到增广矩阵、方程组的初等变换等价到增广矩阵的初等行变换，定义一般矩阵的初等行变换；用矩阵的阶梯形的非零行数定义矩阵的秩；给出线性方程组有解的充分必要条件是线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，线性方程组有解并且解唯一的充分必要条件是线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于方程组的未知数的个数；通过方程组的增广矩阵的简化阶梯形给出求有解线性方程组的解的方法。
　　第二章讲矩阵代数。我们定义了矩阵的4种运算：加法，数乘，乘法，转置。在定义矩阵乘法的时候，我们特别注重矩阵的行与列的整体性，将矩阵按行或者按列表示，这不仅讲清了矩阵乘法的本质，也为后面讲矩阵的分块、向量以及向量组做了铺垫和准备。进一步地，矩阵的按行、按列表示也为证明矩阵运算的性质提供了极大的方便。
　　第三章讲向量空间，这是线性代数的核心内容。在这一章，判断向量组的线性相关与线性无关，以及向量可否由向量组线性表示的工具是线性方程组，求向量组的极大无关组与秩的工具是矩阵以及矩阵的初等行变换。矩阵与向量组是可以互相转换的。一个矩阵可以决定3个向量空间：零空间，列空间，行空间。由矩阵的零空间可以给出线性方程组的解的向量形式，这样就完善了线性方程组的解的理论。在n元实向量空间上定义了两个向量的内积，向量的长度，以及两个向量的正交，给出了线性无关向量组的施密特正交化方法，为讲行列式在几何方面的应用与实对称矩阵的相似对角化准备好了工具。
　　第四章讲行列式。我们采用递归的方法定义行列式，先给出2阶行列式的定义与性质，然后利用行列式的第1行的展开，递归定义当n>2时的n阶行列式。这样定义既容易理解，也方便低阶时直接计算，并且它还是行列式按行展开的一种特殊情况。关于行列式性质的证明，只要熟悉数学归纳法，并不是很难理解。而且弄懂一个性质的证明即可，方法都是一样的。作为行列式在代数方面的应用，我们证明了矩阵的秩等于矩阵的非零子式的最大阶数，通过伴随矩阵证明了求解nxn线性方程组的克拉默法则。作为行列式在几何方面的应用，我们给出了3阶行列式的几何意义：实数集上的3阶行列式的绝对值等于以行列式的行向量组或者列向量组为邻边构成的平行六面体的体积。
　　第五章讲方阵的特征值与特征向量。这一章分为两部分，第1部分讨论方阵可以相似对角化的条件，第2部分证明实对称矩阵可以用正交矩阵化为对角矩阵。第2部分为下一章介绍用正交替换化实二次型为标准形提供了理论基础。
　　第六章讲二次型与正定矩阵。这一章的前半部分介绍了化二次型为标准形的3种方法（配方法，初等变换法，正交替换法），前两种方法适用于任意二次型，第3种方法只能用于实二次型；后半部分讨论实二次型的定性与正定矩阵的充分必要条件。
　　线性代数的内容是自封闭的。在本书中，除了代数学基本定理（超出了范围）以及少数几个浅显易懂的结论（避免过于冗长）以外，其他结论都给出了证明。此外，我们对线性代数的实际背景与历史人物作了适当介绍。所以，这是一本内容丰富而又全面的线性代数教材，它既适用于课堂讲授，也适用于自学。如果将本书与我们制作的MOOC视频一起使用，采用“翻转课堂”教学法，那么将会极大地调动学生的学习积极性，收到非常好的效果。
　　本书可以作为30到60学时之间的线性代数课程的教材或者教学参考书。如果学时数比较少，那么定理1.3、定理1.5、定理2.9、定理5.5、定理5.6、定理5.9、定理6.5、定理6.9的证明，不相容方程组的最小二乘法以及行列式的几何应用都可以作为选修内容，灵活处理。
　　本书的出版得到北京理工大学“十三五”教材规划的资助；我们的许多同事对本书的写作提供了慷慨的帮助；我们的学生在使用本书初稿时，指出了若干错误；高等教育出版社的张长虹编辑对我们的写作提供了许多指导；本书的责任编辑李茜为本书的出版做了大量工作。在此一并表示衷心感谢！
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