iCourse·教材：綫性代數 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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孫良，閆桂峰 編

圖書標籤:

• 綫性代數
• 教材
• iCourse
• 高等教育
• 數學
• 大學教材
• 理工科
• 考研
• 學習
• 基礎

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040461282

版次：1

商品編碼：12039982

包裝：平裝

叢書名： iCourse·教材

開本：16開

齣版時間：2016-09-01

用紙：膠版紙

頁數：261

字數：310000

正文語種：中文

內容簡介

　　《iCourse·教材：綫性代數》是與中國大學MOOC上北京理1_=大學的“綫性代數MOOC”配套的教材，是作者根據非數學專業綫性代數課程的基本要求編著的。內容包括綫性方程組、矩陣、嚮量空間、行列式、方陣的特徵值與特徵嚮量、二次型與正定矩陣。
　　《iCourse·教材：綫性代數》可以作為非數學專業綫性代數課程的教材或教學參考書，也可供社會學習者學習“綫性代數MOOC”時參考使用。

內頁插圖

目錄

第一章 綫性方程組
1．1 綫性方程與綫性方程組
1．2 綫性方程組的初等變換
1．3 解綫性方程組的消元法
1．4 矩陣的定義
1．5 矩陣的初等行變換
1．6 階梯形矩陣與簡化階梯形矩陣
1．7 關於綫性方程組的基本定理
1．8 齊次綫性方程組及其應用
習題一

第二章 矩陣
2．1 矩陣的綫性運算
2．2 矩陣的乘法運算及其性質
2．3 方陣
2．4 矩陣的轉置
2．5 初等矩陣及其應用
2．6 矩陣的秩
2．7 可逆矩陣
2．8 分塊矩陣
2．9 幾類常見的特殊矩陣
習題二

第三章 嚮量空間
3．1 嚮量與嚮量空間
3．2 嚮量組的綫性關係
3．3 嚮量組的秩
3．4 嚮量空間的基與維數
3．5 綫性方程組的解的嚮量形式
3．6 實嚮量的內積與正交
習題三

第四章 行列式
4．1 2階行列式
4．2 n階行列式的定義
4．3 n階行列式的性質
4．4 行列式的按行或者按列展開
4．5 行列式在代數方麵的應用
4．6 行列式在幾何方麵的應用
習題四

第五章 方陣的特徵值與特徵嚮量
5．1 特徵值與特徵嚮量的定義與求法
5．2 特徵值與特徵嚮量的性質
5．3 方陣的相似
5．4 方陣可以相似對角化的條件
5．5 將方陣相似對角化的方法
5．6 3類特殊矩陣的相似對角化問題
5．7 實對稱矩陣的相似對角化
習題五

第六章 二次型與正定矩陣
6．1 二次型的定義以及二次型的標準形
6．2 化二次型為標準形的配方法
6．3 方陣的閤同
6．4 化二次型為標準形的初等變換法
6．5 化實二次型為標準形的正交替換法
6．6 二次型的規範形
6．7 實二次型的定性
6．8 正定矩陣
習題六

索引
參考文獻

前言/序言

　　本書講授的綫性代數是麵嚮非數學專業學生的一門公共基礎課，它不僅為我們提供學好後繼課程的數學知識，而且為我們提供在各個學科領域中通用的分析問題與解決問題的方法。
　　本書是我們為瞭適應MOOC需要編著的，由我們製作的綫性代數MOOC已在中國大學MOOC上綫。我們按照教育部高等學校教學指導委員會以及全國碩士研究生入學考試大綱對綫性代數課程的要求，基於MOOC的特點，本著“由淺人深、由易到難”的原則，對綫性代數的課程內容做瞭係統整閤，使得課程結構更加緊湊，課程的前後順序更加閤理，使得這門課更加容易教與學。全書分為6章。
　　第一章講綫性方程組。我們由綫性方程組的化簡，引齣綫性方程組的初等變換（互換兩個方程的位置，某個方程乘非零常數，某個方程的倍數加到另外一個方程上）；將方程組等價到增廣矩陣、方程組的初等變換等價到增廣矩陣的初等行變換，定義一般矩陣的初等行變換；用矩陣的階梯形的非零行數定義矩陣的秩；給齣綫性方程組有解的充分必要條件是綫性方程組的係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，綫性方程組有解並且解唯一的充分必要條件是綫性方程組的係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩且等於方程組的未知數的個數；通過方程組的增廣矩陣的簡化階梯形給齣求有解綫性方程組的解的方法。
　　第二章講矩陣代數。我們定義瞭矩陣的4種運算：加法，數乘，乘法，轉置。在定義矩陣乘法的時候，我們特彆注重矩陣的行與列的整體性，將矩陣按行或者按列錶示，這不僅講清瞭矩陣乘法的本質，也為後麵講矩陣的分塊、嚮量以及嚮量組做瞭鋪墊和準備。進一步地，矩陣的按行、按列錶示也為證明矩陣運算的性質提供瞭極大的方便。
　　第三章講嚮量空間，這是綫性代數的核心內容。在這一章，判斷嚮量組的綫性相關與綫性無關，以及嚮量可否由嚮量組綫性錶示的工具是綫性方程組，求嚮量組的極大無關組與秩的工具是矩陣以及矩陣的初等行變換。矩陣與嚮量組是可以互相轉換的。一個矩陣可以決定3個嚮量空間：零空間，列空間，行空間。由矩陣的零空間可以給齣綫性方程組的解的嚮量形式，這樣就完善瞭綫性方程組的解的理論。在n元實嚮量空間上定義瞭兩個嚮量的內積，嚮量的長度，以及兩個嚮量的正交，給齣瞭綫性無關嚮量組的施密特正交化方法，為講行列式在幾何方麵的應用與實對稱矩陣的相似對角化準備好瞭工具。
　　第四章講行列式。我們采用遞歸的方法定義行列式，先給齣2階行列式的定義與性質，然後利用行列式的第1行的展開，遞歸定義當n>2時的n階行列式。這樣定義既容易理解，也方便低階時直接計算，並且它還是行列式按行展開的一種特殊情況。關於行列式性質的證明，隻要熟悉數學歸納法，並不是很難理解。而且弄懂一個性質的證明即可，方法都是一樣的。作為行列式在代數方麵的應用，我們證明瞭矩陣的秩等於矩陣的非零子式的最大階數，通過伴隨矩陣證明瞭求解nxn綫性方程組的剋拉默法則。作為行列式在幾何方麵的應用，我們給齣瞭3階行列式的幾何意義：實數集上的3階行列式的絕對值等於以行列式的行嚮量組或者列嚮量組為鄰邊構成的平行六麵體的體積。
　　第五章講方陣的特徵值與特徵嚮量。這一章分為兩部分，第1部分討論方陣可以相似對角化的條件，第2部分證明實對稱矩陣可以用正交矩陣化為對角矩陣。第2部分為下一章介紹用正交替換化實二次型為標準形提供瞭理論基礎。
　　第六章講二次型與正定矩陣。這一章的前半部分介紹瞭化二次型為標準形的3種方法（配方法，初等變換法，正交替換法），前兩種方法適用於任意二次型，第3種方法隻能用於實二次型；後半部分討論實二次型的定性與正定矩陣的充分必要條件。
　　綫性代數的內容是自封閉的。在本書中，除瞭代數學基本定理（超齣瞭範圍）以及少數幾個淺顯易懂的結論（避免過於冗長）以外，其他結論都給齣瞭證明。此外，我們對綫性代數的實際背景與曆史人物作瞭適當介紹。所以，這是一本內容豐富而又全麵的綫性代數教材，它既適用於課堂講授，也適用於自學。如果將本書與我們製作的MOOC視頻一起使用，采用“翻轉課堂”教學法，那麼將會極大地調動學生的學習積極性，收到非常好的效果。
　　本書可以作為30到60學時之間的綫性代數課程的教材或者教學參考書。如果學時數比較少，那麼定理1.3、定理1.5、定理2.9、定理5.5、定理5.6、定理5.9、定理6.5、定理6.9的證明，不相容方程組的最小二乘法以及行列式的幾何應用都可以作為選修內容，靈活處理。
　　本書的齣版得到北京理工大學“十三五”教材規劃的資助；我們的許多同事對本書的寫作提供瞭慷慨的幫助；我們的學生在使用本書初稿時，指齣瞭若乾錯誤；高等教育齣版社的張長虹編輯對我們的寫作提供瞭許多指導；本書的責任編輯李茜為本書的齣版做瞭大量工作。在此一並錶示衷心感謝！

iCourse·教材：綫性代數 開啓探索數學之美的大門，理解世界的底層邏輯 《iCourse·教材：綫性代數》不僅僅是一本教科書，它是一次引領讀者深入理解現代數學核心領域——綫性代數的旅程。本書旨在以清晰、直觀且嚴謹的方式，嚮廣大學子、科研人員以及對數學抱有濃厚興趣的讀者，係統性地闡述綫性代數的基本概念、重要定理、經典方法及其廣泛應用。我們相信，掌握綫性代數，就如同獲得瞭理解和駕馭復雜世界的強大工具。 本書特色與內容體係： 本書的內容編排緊密圍繞綫性代數的核心構建，力求在深度與廣度上取得平衡。從最基礎的嚮量空間概念，到抽象的綫性變換，再到實際應用中不可或缺的矩陣理論，本書都進行瞭係統而深入的探討。 第一部分：嚮量與綫性方程組——基石的奠定 我們將從最直觀的嚮量概念入手，介紹嚮量的幾何意義、代數運算（加法、標量乘法、內積等），以及嚮量組的綫性相關與綫性無關。在此基礎上，引入“嚮量空間”這一核心抽象概念，並詳細闡述子空間、基與維數等重要性質。隨後，我們將把目光聚焦於綫性方程組，探討其幾何解釋，並係統學習高斯消元法、行最簡形等求解方法，深入理解解空間的結構，包括自由變量、特解和通解。這一部分是後續深入學習的基礎，我們將力求讓讀者對嚮量和方程組的內在聯係有深刻的理解。 第二部分：矩陣理論——強大的代數工具 矩陣是綫性代數中最核心的代數工具之一。本書將詳細介紹矩陣的定義、類型、運算（加法、減法、乘法、轉置、逆矩陣等），以及與矩陣相關的基本概念，如矩陣的秩、初等變換與初等矩陣。我們將重點講解矩陣的性質，例如可逆矩陣的判定與計算，以及它與綫性方程組解的緊密關係。此外，還會引入分塊矩陣等高級概念，為處理復雜問題提供便利。 第三部分：行列式——度量與判定的關鍵 行列式作為一種特殊的數值，在綫性代數中扮演著至關重要的角色。本書將係統闡述行列式的定義、性質以及計算方法，包括代數餘子式、按行（列）展開等。我們將深入探討行列式與矩陣可逆性的關係，以及它在幾何上錶示的麵積、體積變化率等直觀意義。 第四部分：嚮量空間與綫性變換——抽象化的升華 在打下紮實的矩陣和嚮量基礎後，本書將引入更為抽象但功能更為強大的概念——嚮量空間和綫性變換。我們將形式化地定義嚮量空間，並探討其子空間、基、維數等重要性質。接著，我們將詳細講解綫性變換的概念、性質以及它的矩陣錶示。通過對綫性變換的研究，我們可以更深刻地理解嚮量空間的結構及其相互關係，為後續的特徵值、特徵值嚮量等更深層次的概念做好鋪墊。 第五部分：特徵值與特徵嚮量——洞察矩陣本質的鑰匙 特徵值與特徵嚮量是理解綫性變換和矩陣行為的關鍵。本書將詳細介紹特徵值與特徵嚮量的定義、計算方法以及它們在矩陣對角化中的應用。我們將解釋特徵值和特徵嚮量如何揭示綫性變換的“不變方嚮”和“伸縮因子”，以及它們在降維、動力係統分析等領域的廣泛應用。 第六部分：內積空間與正交性——幾何性質的拓展 本書將進一步拓展綫性代數的幾何視角，引入內積空間的概念，並探討嚮量間的夾角、距離、正交性等幾何概念。我們將詳細介紹施密特正交化方法，以及正交矩陣、正交補等重要概念。這些內容對於理解最小二乘法、主成分分析（PCA）等實際應用至關重要。 第七部分：應用領域——綫性代數的實踐價值 理論知識的掌握最終需要通過實踐來檢驗和深化。本書的最後一章將聚焦於綫性代數在不同領域的實際應用，包括但不限於： 計算機圖形學： 矩陣在三維變換（平移、鏇轉、縮放）中的應用。 數據科學與機器學習： 綫性迴歸、主成分分析（PCA）、奇異值分解（SVD）等核心算法的數學基礎。 工程領域： 電路分析、結構力學中的方程組求解。 經濟學： 投入産齣模型、計量經濟學中的應用。 圖論： 鄰接矩陣、關聯矩陣等在圖分析中的應用。 我們將通過具體的實例，展示綫性代數如何解決現實世界中的復雜問題，激發讀者將所學知識應用於實際的興趣。 學習方法與建議： 本書的編寫過程中，我們始終堅持以“理解”為核心。我們提倡讀者在學習過程中，不僅僅是記憶公式和定理，更要深入理解其背後蘊含的數學思想和幾何直觀。 循序漸進： 按照本書的章節順序，逐步學習，打牢基礎。 勤加練習： 每章後配有精心設計的習題，從概念理解到計算技巧，覆蓋全麵。鼓勵讀者獨立思考，動手求解，通過實踐加深對知識點的理解。 注重直觀： 盡量結閤嚮量、矩陣的幾何意義進行思考，將抽象的概念與直觀的圖像聯係起來，有助於加深記憶和理解。 聯係實際： 在學習理論的同時，積極思考這些概念如何在實際問題中得到應用，這不僅能鞏固所學，更能激發學習興趣。 相互討論： 如果可能，與同學或老師進行討論，交流學習心得，解決疑難問題，往往能帶來新的啓發。 目標讀者： 本書適閤以下讀者群體： 高等院校本科生： 作為數學類、計算機類、工程類、經濟管理類等專業的核心教材或參考書。 研究生： 深入學習相關專業領域（如人工智能、數據科學、控製理論、數值計算等）所需的綫性代數知識。 科研人員： 需要掌握綫性代數工具來處理和分析實驗數據、建立模型。 軟件開發工程師： 特彆是從事圖形學、機器學習、數據分析等方嚮的工程師，理解底層數學原理。 所有對數學有濃厚興趣的讀者： 希望係統學習綫性代數，提升數學素養，拓展思維方式。 結語： 綫性代數是現代科學技術蓬勃發展的基石，它的影響力滲透到幾乎所有科學和工程領域。掌握綫性代數，不僅能夠為學業和職業發展打下堅實的基礎，更能夠培養嚴謹的邏輯思維和解決復雜問題的能力。 《iCourse·教材：綫性代數》緻力於成為您學習道路上的得力助手，我們希望通過本書，您能真正領略綫性代數的數學之美，體會它在描述和理解我們所處世界中的強大力量。祝您在本書的學習旅程中收獲滿滿，學有所成！

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，對我來說就像是在茫茫書海中拾到瞭一顆璀璨的明珠。我之所以選擇它，主要還是被它“iCourse·教材”這個副標題所吸引，我一直認為好的教材應該兼具理論的嚴謹性和教學的生動性，而這本書恰恰做到瞭這一點。在學習過程中，我發現作者在處理一些抽象概念時，並沒有迴避它們的復雜性，而是巧妙地用深入淺齣的語言進行瞭拆解，比如在解釋特徵值和特徵嚮量時，書中花瞭相當大的篇幅去闡述它們在動力係統、圖像處理等領域的實際應用，這讓我瞬間就明白瞭這些概念存在的意義，而不隻是死記硬背的公式。我特彆欣賞書中對“對角化”這個過程的講解，它不僅僅是展示瞭如何計算，更側重於解釋對角化後矩陣的幾何意義，以及它在簡化計算、分析係統穩定性方麵的強大作用。這種“知其然，更知其所以然”的學習體驗，讓我對綫性代數這門學科産生瞭濃厚的興趣，也讓我更加期待在後續的學習中，能夠運用這些工具去解決更復雜的問題。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，學習數學最重要的就是要建立清晰的邏輯鏈條，而《iCourse·教材：綫性代數》在這方麵做得相當齣色。這本書給我的感覺是，它不僅僅是知識的堆砌，更像是一個精巧的思維框架，一步一步地引導你構建起對綫性代數世界的理解。我記得在學習“嚮量空間”和“子空間”時，作者並沒有急於給齣那些晦澀的公理定義，而是先從“集閤”和“運算封閉性”這些基本概念入手，然後慢慢過渡到嚮量空間的本質，即“一種可以進行綫性組閤的集閤”。這種由淺入深、層層遞進的講解方式，讓我在理解這些抽象概念時感到非常輕鬆。更讓我印象深刻的是，書中穿插瞭大量的圖示和幾何解釋，比如用平行四邊形法則解釋嚮量加法，用空間的伸縮和鏇轉解釋矩陣變換，這些直觀的視覺輔助，極大地幫助我剋服瞭對抽象符號的恐懼。這本書就像一位耐心的嚮導，帶著我一步一步地探索綫性代數的美妙世界，讓我不再是那個迷茫的初學者。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的第一印象是它相當“接地氣”。我之前接觸過一些綫性代數的教材，總是感覺離實際應用很遠，很多概念都隻停留在理論層麵。而《iCourse·教材：綫性代數》在這方麵做得非常棒。它在講解每個概念的時候，都會嘗試從實際問題齣發，比如在介紹矩陣乘法時，就用到瞭“投資組閤”和“商品銷售”的例子，這讓我一下子就明白瞭矩陣乘法在實際中的意義。書中還專門闢齣瞭章節來介紹綫性代數在計算機科學、數據科學、物理學等領域的應用，比如圖像壓縮、機器學習中的綫性迴歸模型等等。這些生動的案例，讓我覺得綫性代數不再是枯燥的符號和公式，而是解決實際問題的強大工具。我特彆喜歡書中關於“最小二乘法”的講解，它不僅給齣瞭求解公式，還解釋瞭為什麼在實際測量中，誤差是不可避免的，以及最小二乘法如何在這種不確定性中找到最優解。這本書讓我覺得，學習綫性代數是一件充滿樂趣和意義的事情。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《iCourse·教材：綫性代數》純屬偶然，當時是在圖書館裏閑逛，被它簡潔而不失厚重的封麵吸引瞭。我一直覺得綫性代數這門課，雖然概念很多，但背後的邏輯卻是有跡可循的，這本書恰恰給瞭我一種“窺見冰山一角”的驚喜。初翻開，它的排版就很舒適，字體大小和行間距都恰到好處，不像有些教材那樣密密麻麻，讓人望而生畏。更重要的是，它在講解每個新概念時，總是會先給齣一個直觀的例子，或者與我們生活中熟悉的場景聯係起來，比如嚮量的幾何意義，矩陣的變換作用，這些都能極大地降低初學者的理解門檻。我尤其喜歡它在某個章節中對“綫性無關”概念的闡述，作者沒有一開始就拋齣嚴謹的定義，而是通過一個“最小生成集”的類比，讓讀者自己去體會什麼是“冗餘”，什麼是“必要”，這種啓發式的教學方式，比直接背誦定義要深刻得多，也更容易讓我在後續的學習中觸類旁通。這本書給我最大的感受就是，它不是在“教”你綫性代數，而是在“引”你進入綫性代數的殿堂，讓你自己去探索其中的奧妙。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學理論有著一定追求的讀者，《iCourse·教材：綫性代數》給我帶來的驚喜是多方麵的。首先，它的理論體係構建得非常完整，從最基礎的綫性方程組解法，到嚮量空間、綫性變換，再到特徵值和矩陣的分解，邏輯遞進清晰，前後呼應嚴密。我尤其看重書中對證明的嚴謹性，很多定理的推導過程都清晰地列齣瞭每一步的依據，這對於培養嚴密的數學思維至關重要。其次，在講解一些關鍵概念時，作者並沒有停留在理論層麵，而是巧妙地結閤瞭一些算法的實現思路，比如高斯消元法的詳細步驟和注意事項，QR分解的幾何意義等，這讓我體會到理論與實踐的緊密聯係。這本書的語言風格也很獨特，既有學術的嚴謹，又不失邏輯的流暢，讀起來不會感到枯燥乏味。它就像一本精心打磨的藝術品，每一個細節都透露著作者的用心，讓我對綫性代數這門學科有瞭更深層次的理解和認識。