算子矩阵及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李愿 著

图书标签:

• 算子矩阵
• 矩阵论
• 线性代数
• 泛函分析
• 数值分析
• 应用数学
• 数学分析
• 算子理论
• 矩阵计算
• 高等数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030499769

版次：1

商品编码：12047666

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-09-01

用纸：胶版纸

页数：245

字数：317000

正文语种：中文

内容简介

　　在算子理论的研究中，很多问题涉及算予矩阵的结构特征。算子矩阵是以算子为元素的矩阵，对其内在结构、性质和进一步的应用是作者多年来的研究课题，《算子矩阵及其应用》主要围绕算子矩阵的谱结构与广义逆，算子的序结构以及算子矩阵在量子信息论等问题中的应用，介绍作者在算子矩阵的谱及其应用方面所取得的主要成果。全书共6章，第1章是预备知识；第2章介绍算子矩阵的谱扰动；第3章介绍幂等算子与算子矩阵：第4章介绍特殊算子类的广义逆：第5章介绍算子的序与算子矩阵；第6章主要介绍算子矩阵的应用。
　　《算子矩阵及其应用》可作为泛函分析相关研究人员的参考书，也可作为数学专业研究生和高年级本科生的参考用书。

内页插图

目录

前言
主要符号表

第1章 预备知识
1．1 算子几种谱的概念
1．2 算子的谱投影、广义逆及函数演算
1．3 算子的偏序及拓扑

第2章 算子矩阵的谱扰动
2．1 2×2上三角算子矩阵的谱扰动
2．2 2×2上三角算子矩阵的左谱扰动
2．3 2×2上三角算予矩阵的本性近似点谱的扰动
2．4 2×2上三角算子矩阵的左本性谱的扰动
2．5 2×2算子矩阵的本性谱的扰动
2．6 2×2算子矩阵的左谱的扰动

第3章 幂等算子与算子矩阵
3．1 两个闭子空间之间的夹角
3．2 幂等算子和、差的Fredholm性

第4章 特殊算子类的广义逆
4．1 下三角算子矩阵的Moore-Penrose逆
4．2 C*代数中投影生成的反交换子的Moore-Penrose逆
4．3 C*代数上投影的积与差的Drazin逆
4．4 C*代数上投影的积与差的Moore-Penrose逆

第5章 算子的序与算子矩阵
5．1 量子效应算子序的下确界
5．2 自伴算子在逻辑序下的确界
5．3 量子效应的广义下确界
5．4 量子效应的序贯积

第6章 算子矩阵的应用
6．1 迹类算子三角等式的刻画
6．2 Hua-型算子矩阵的范数
6．3 算子矩阵在量子运算不动点刻画中的应用
6．4 算子矩阵在算子插值问题中的应用：有限维情形
6．5 算子矩阵在算子插值问题中的应用：无限维情形
6．6 保单位完全正映射的不动点
6．7 量子效应约当乘积的性质
6．8 压缩完全正映射的端点
6．9 锥同构与完全正映射
参考文献

前言/序言

　　算子理论是泛函分析中一个重要的研究领域，自从20世纪初Hilbert，Banach和Riesz等建立算子理论以来，算子理论已得到了迅速发展并渗透到数学的各个分支，其研究内容涉及基础数学与应用数学的多个分支，如代数学、几何理论、矩阵理论、逼近论、优化理论与量子信息论等。算子矩阵是以算子为元素的矩阵，缺项算子矩阵就是一些元素是已知的，其余元素都是未知的算子矩阵。2×2上三角算子矩阵作为最简单也最基本的缺项算子矩阵，对它的研究有着重要的意义。
　　全书共6章。第1章是预备知识，介绍Banach空间和Hilbert空间算子理论的基本概念和基础理论，如算子几种谱的概念、算子的谱分解定理和算子的序等。第2章介绍算子矩阵的谱扰动，主要研究2x2上三角算子矩阵的谱、左谱和本性近似点谱的扰动问题。同时，对其他形式的2x2算子矩阵的本性谱和左谱的扰动问题也进行了研究。投影算子是结构最简单和最重要的算子之一。由投影算子的和、差与乘积及其线性组合所生成算子的结构特征是重要的算子理论问题。第3章介绍幂等算子与算子矩阵，主要应用投影的算子矩阵形式，给出了两个子空间之间的极大和极小交角的表达式，并给出了投影的和、差和乘积的Fredholm性的等价刻画，算子的广义逆，特别是Moore-Penrose逆和Drazin逆，是近年来算子与矩阵理论研究非常活跃的领域之一。随着广义逆理论研究的深入，国内外多名研究者在Banach代数与C*代数上研究Moore-Penrose逆和Drazin逆的表示和特征，第4章介绍特殊算子类的广义逆，主要给出下三角算子矩阵的Moore-Penrose逆的表示及其应用，并进一步在C*代数上研究投影的和与积的Moore-Penrose逆及Drazin逆的表示。算子序结构的研究，不仅在算子理论的研究中是值得研究的问题，而且在量子信息理论等方面有着重要的应用，例如，Hilbert空间Н上量子效应是指Н上的全体正压缩算子，量子态是指Hilbert空间上的正的迹为1的迹类算子。在算子之间可以定义多种序关系，形成多种序结构，而刻画两个算子在这些序下的上、下确界是比较困难的问题。

算子矩阵及其应用 导言 数学的演进往往伴随着对抽象结构深刻理解的突破。在线性代数和泛函分析的交汇处，算子理论以其强大的描述能力，深刻地揭示了无穷维空间中线性变换的本质。本书《算子矩阵及其应用》聚焦于将抽象的算子概念，通过引入“算子矩阵”这一核心工具，转化为可操作、可计算的代数结构，并探讨其在多个前沿领域的具体应用。 本书旨在为读者搭建一座坚实的桥梁，连接经典线性代数的有限维直觉与现代泛函分析的无限维复杂性。我们不满足于仅仅罗列定义和定理，而是着重于算子矩阵如何成为解析无限维问题、设计高效算法以及理解复杂系统的有效语言。 --- 第一部分：基础概念与算子矩阵的构造 第一章：预备知识回顾与泛函空间基础 本章首先为读者打下坚实的分析基础。我们不赘述初等微积分，而是直接切入现代数学分析的关键支柱：赋范线性空间、内积空间（希尔伯特空间）的严格定义与基本性质。重点阐述了完备性的重要性及其在收敛性论证中的作用。 随后，引入拓扑概念，特别是弱收敛和强收敛的区分，这对于后续处理算子在无穷维空间上的行为至关重要。我们详细讨论了紧集、可分空间等概念，为引入积分算子和微分算子的背景做好铺垫。 第二章：线性算子的分类与算子理论的引入 本章系统地对线性算子进行分类，包括有界线性算子、闭算子、稠密定义域的算子。有界性是连接算子与矩阵表示的关键前提，因此本章花费大量篇幅讨论有界算子的范数、伴随算子及其性质。 在介绍完闭算子后，我们开始探讨谱理论的初步概念，强调了特征值和谱半径在稳定性和系统响应中的物理意义。本章的难点在于处理算子在非有限维空间中的有界性判定问题，引入了巴拿赫-斯坦纳斯定理的初步思想。 第三章：算子矩阵的构造原理 本章是全书的核心。算子矩阵并非传统意义上的数字矩阵，而是基于一组基（或更一般地，一组基向量或框架）对算子进行分解的结果。 我们首先讨论了有限维投影法：如何通过选取一组正交基 $left{e_n ight}_{n=1}^N$ 来将一个作用在有限维空间上的算子 $T$ 表示为 $T_{ij} = langle T e_j, e_i angle$。 接着，我们将这一思想推广到可分希尔伯特空间。关键在于选择合适的“算子框架”或“可数基”。我们详细阐述了如何根据算子的特定性质（如局部性、稀疏性）来构造满足特定条件的基。算子矩阵 $A$ 的元素 $A_{ij}$ 被定义为算子 $T$ 在选定基下的分量。 重点探讨了基选择对矩阵结构的影响：正交基、Riesz基与Frame（框架）基对算子矩阵的性质（如对角化能力、稀疏性）产生的决定性差异。我们引入了稀疏性测度，用以评估特定基下算子矩阵的非零元素分布。 --- 第二部分：算子矩阵的代数与分析性质 第四章：算子矩阵的运算与范数 本章研究如何将算子代数运算转化为算子矩阵的代数运算。 算子乘法与矩阵乘法： 讨论了算子 $T = S_1 S_2$ 对应的算子矩阵 $A = A_1 A_2$ 的关系，尤其关注在近似表示中，误差如何在矩阵乘法中累积。 算子加法与矩阵加法： 较为直接，但强调了在不同基下表示的两个算子相加前，必须先进行统一基准的转化。 算子范数与矩阵范数： 核心区别在于算子范数是作用于整个函数空间上的，而矩阵范数是作用于有限维向量上的。我们分析了算子范数的下界估计：矩阵范数如何近似或下界估计原始算子的范数，特别是当使用截断基（有限维近似）时，如何保证收敛性和误差界。 第五章：谱理论在算子矩阵上的体现 谱理论是理解算子行为的钥匙。本章探讨了算子矩阵如何反映算子的谱结构。 特征值问题与截断： 当算子 $T$ 在选定基下具有易于计算的矩阵表示时，求解特征值 $lambda$ 相当于求解代数特征值问题 $A mathbf{x} = lambda mathbf{x}$。我们分析了这种截断近似的谱偏差：当基的维度 $N o infty$ 时，有限维特征值如何收敛到算子的真正特征值，以及收敛的速度。 连续函数演算： 对于有界算子 $f(T)$，其对应的算子矩阵应如何构造？本章阐述了如何利用矩阵函数理论（如若尔当标准型或谱分解）来近似计算 $f(T)$ 的矩阵表示。 摄动理论的应用： 算子 $T = T_0 + epsilon V$ 的扰动分析。我们研究了在算子矩阵表示下，微小的算子扰动 $V$ 如何通过矩阵的微小改变来体现，并应用基利斯-卡尔森定理等工具来估计特征值和特征向量的敏感度。 第六章：算子矩阵的分解与简化 本章关注如何利用矩阵的分解技术来简化对复杂算子的分析。 奇异值分解（SVD）的推广： 虽然严格的SVD只适用于紧算子，但我们将SVD的概念推广到一般算子，通过其极分解 ($T = UP$，$P$ 是正算子，$U$ 是酉算子)来分析其“拉伸”和“旋转”特性。算子矩阵可以被分解为矩阵的SVD，从而揭示了算子在不同基方向上的主要作用强度（即奇异值）。 对角化与相似变换： 探讨了何时算子矩阵可以通过相似变换对角化，这对应于算子存在完备的特征向量系统。重点分析了非正规算子（其矩阵非正规）的复杂性，以及如何通过舒尔分解或约旦形式来处理非对角化情况。 近似逆算子： 在求解微分方程 $T u = f$ 时，计算逆算子 $T^{-1}$ 是关键。我们通过计算算子矩阵 $A$ 的逆 $A^{-1}$ 来近似 $T^{-1}$，并分析了该近似逆算子在函数空间上的作用效果，特别是在迭代求解法中的应用。 --- 第三部分：应用领域：从物理建模到信息处理 第七章：微分算子与边界值问题的算子矩阵方法 本章展示了算子矩阵方法在求解偏微分方程中的强大能力。 有限差分与有限元法的内在联系： 传统上，有限差分法和有限元法被视为独立的数值方法。本章揭示，这两种方法本质上都是在特定基（例如，分段多项式基或网格点基）上对微分算子进行矩阵化表示的结果。 处理高阶导数算子： 详细阐述了如何通过引入辅助变量来构造“扩充算子矩阵”，从而将高阶微分算子（如四阶拉普拉斯算子）转化为一个更大的、但结构上更易处理的二阶算子块矩阵。 非齐次边界条件的矩阵处理： 如何通过调整基函数的选择或引入特定的边界项，将复杂的非齐次边界条件转化为算子矩阵的右端向量的修改，实现了方程组的统一求解框架。 第八章：积分算子与核函数方法 积分方程（如维纳-霍夫方程）是算子理论的天然应用场景。 积分算子的离散化： 对于积分算子 $K u(x) = int k(x, y) u(y) dy$，我们使用高斯-勒让德求积或分片常数近似来离散化积分核 $k(x, y)$，从而得到算子矩阵 $K_{ij}$。 特征值问题的迭代求解： 当积分算子是紧的时，其特征值问题可以通过算子矩阵的特征值问题来近似求解。本章讨论了如何使用Lanczos或Arnoldi迭代法来高效地提取紧算子最大的几个非零奇异值和对应的特征函数。 第九章：信号处理与稀疏表示中的算子矩阵 在现代信息科学中，信号往往由少数几个基函数线性表示。 小波变换与多分辨率分析： 小波基提供了局部化、多尺度的框架。本章展示了如何利用小波基来构造对角化（或近乎对角化）的算子矩阵，尤其是在处理局部平滑的函数或信号时，如卷积算子。 压缩感知中的测量矩阵： 在压缩感知理论中，测量矩阵 $Phi$ 本质上是一个将高维信号投影到低维观测空间上的线性算子。本章从算子矩阵的角度分析了如何设计 $Phi$（如随机高斯矩阵或伯努利矩阵），以确保它对稀疏信号具有等距特性（RIP），从而保证了通过求解优化问题能精确重构原始信号。这涉及到对随机算子矩阵的期望范数和稀疏性保持能力的分析。 --- 结语 《算子矩阵及其应用》力求展示一个统一的视角：许多看似不同的数学和工程问题，都可以被抽象为一个在特定基上进行操作的矩阵问题。掌握算子矩阵的构造、分析其代数性质，并理解其对原始算子行为的近似程度，是深入研究现代数学物理和计算科学的必经之路。本书的最终目标是激发读者利用这种代数直觉来解决更复杂的、涉及非局部或高维结构的算子问题。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对物理学，特别是量子力学和量子信息理论感兴趣的学生，而《算子矩阵及其应用》这个书名，就像是为我量身定做的。我一直知道，在量子力学中，物理量通常由算符来表示，而这些算符作用在希尔伯特空间上。而矩阵，则是表示这些算符在某个基下的具体形式。这本书的名字，恰恰点出了这个核心概念。我非常期待它能够深入讲解算子代数，例如交换关系、对易子等，以及矩阵表示在不同基下的变换。我希望它能够解释，为什么特定的算符组合会对应着特定的物理过程，以及如何通过矩阵运算来预测系统的演化。我更期待的是，“应用”的部分能够详细阐述算子矩阵在量子计算中的作用，比如量子门的表示、量子算法的设计，以及量子纠错码的构建。我还希望书中能触及到一些更前沿的课题，例如拓扑量子计算，或者利用算子代数来分析凝聚态物理中的复杂现象。我设想，这本书会带领我从数学的根基，深入理解量子世界的运行规律，并为我未来的学术研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名计算机视觉领域的从业者，我一直在努力寻找能够深化我对图像处理和模式识别底层数学原理理解的书籍。《算子矩阵及其应用》这个名字，虽然听起来有些数学化，但“矩阵”和“应用”这两个词，让我联想到了我在工作中经常遇到的各种算法。我猜想，这本书可能会从线性代数的基础出发，讲解矩阵的各种性质，例如特征值、奇异值分解等，以及它们在图像压缩、降噪、特征提取等方面的应用。而“算子”部分，我则希望它能解释在图像处理中，很多操作都可以看作是某种算子作用在图像数据上。例如，卷积操作，高斯模糊，边缘检测等，它们是否可以用算子矩阵的框架来统一描述？我特别希望书中能有关于“算子方程”的讨论，以及如何利用矩阵方法来求解这些方程，这对于理解一些更复杂的图像重建或图像修复算法会有很大帮助。我还期望书中能提及一些与现代计算机视觉技术相关的应用，比如深度学习中的卷积神经网络，它的本质不也是一种复杂的算子叠加吗？如果书中能对这些联系进行深入的解析，那将极大地拓宽我的视野。

评分☆☆☆☆☆

我一直对抽象代数和泛函分析领域的一些基本工具保持着浓厚的兴趣，尽管我的专业并非纯粹数学。当我在书店看到《算子矩阵及其应用》这本书时，我的脑海中立刻浮现出了对这个领域的一些模糊印象，以及对于它可能带来的深刻洞察的期待。我猜想，这本书可能会以一种相当严谨的方式，从算子的基本定义出发，探讨算子在向量空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等数学结构上的性质。我希望它能清晰地解释，算子如何被看作是从一个空间映射到另一个空间的“函数”，以及它们有哪些独特的属性，比如线性性、有界性、连续性等等。我特别期待书中能够深入剖析算子代数的结构，例如对易子、交换子以及算子方程的解法。而“矩阵”的部分，我设想它会解释如何将抽象的算子在特定的基下表示成具体的矩阵，以及矩阵运算如何反映算子的组合和变换。我同样期待“应用”部分能够提供一些具有启发性的例子，展示这些抽象概念在解决实际数学问题中的威力，或许是求解微分方程，或者分析动力系统。我希望这本书能够以一种有逻辑、有深度的方式，引领我领略数学工具的精妙之处。

评分☆☆☆☆☆

我最近一直在寻找一本能够系统性地梳理金融工程中常用数学工具的书籍，而《算子矩阵及其应用》这个书名，虽然不直接点明金融，但“算子”和“矩阵”这两个词，立刻让我联想到了在衍生品定价、风险管理、投资组合优化等方面所使用的复杂模型。我之前接触过一些相关的文献，但总觉得缺乏一个清晰的理论框架来支撑。我猜测，这本书可能会从泛函分析的角度切入，讲解算子在函数空间上的作用，然后过渡到如何用矩阵来表示这些算子，或者表示数据之间的线性关系。我特别期待书中能够有关于“算子方程”的讨论，以及如何利用矩阵方法求解这些方程，这对于理解一些动态资产定价模型至关重要。而且，“及其应用”这四个字，让我对这本书的实用性寄予厚望。我希望能看到书中详细介绍如何将这些数学工具应用于具体的金融问题，比如蒙特卡洛模拟的加速，或者高维数据的降维与分析。如果书中还能涉及一些现代金融领域的热点，例如量化交易策略的构建，或者机器学习在金融领域的应用，那将是锦上添花。我希望这本书能够提供一种不同于现有金融数学教材的视角，用更抽象但也更普适的数学语言来解释金融现象。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计，那种深邃的蓝色背景，搭配上烫金的“算子矩阵及其应用”几个字，瞬间就抓住了我的眼球。我一直对数学领域中那些抽象而强大的工具充满好奇，而“算子”和“矩阵”无疑是其中的佼佼者。这本书的名字本身就散发着一种严谨而深刻的气息，仿佛预示着一场智力上的探险。我期待它能像一把钥匙，打开我通往理解更复杂数学模型的大门。我特别希望它能在不失理论深度的情况下，给出足够的例子和解释，让我这个非数学专业背景的读者也能循序渐进地掌握这些概念。我知道，有些数学著作读起来会像天书一样晦涩难懂，我希望这本《算子矩阵及其应用》能够避免这种情况，它或许会通过图示、生动的类比，或者从实际问题的角度出发，来引导读者进入这个迷人的领域。我设想，它会从算子和矩阵的基础概念讲起，然后逐步深入到它们如何相互作用，形成更强大的分析工具。我甚至能想象到，书中会用大量的篇幅去阐述算子矩阵在物理学、工程学，乃至经济学等领域的实际应用，这才是最让我兴奋的部分。我希望它能够让我明白，那些看似抽象的数学符号，是如何被用来解决现实世界中的难题的。