度量几何学教程（英文版） [A Course in Metric Geometry] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Dmitri，Burago，Yuri，Burago，Sergei ... 著

图书标签:

• Metric Geometry
• Geometric Measure Theory
• Differential Geometry
• Analysis
• Topology
• Mathematics
• Geometry
• Calculus
• Real Analysis
• Functional Analysis

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040469080

版次：1

商品编码：12118806

包装：精装

丛书名： 美国数学会经典影印系列

外文名称：A Course in Metric Geometry

开本：16开

出版时间：2017-01-01

用纸：胶版纸

页数：415

字数：610000

正文语种：英文

内容简介

　　“度量几何”是建立在拓扑空间长度概念基础之上的处理几何的方法，这种方法在*近几十年飞速发展，并渗透到诸如群论、动力系统和偏微分方程等其他数学学科。
　　《度量几何学教程（英文版）》有两个目标：详细阐述长度空间理论中使用的基本概念和技巧，以及为大量不同的几何论题提供一个初等导引，这些论题都与距离观念相关，包括黎曼度量和Carnot-Caratheodory度量、双曲平面、距离-体积不等式、（大规模的、粗糙的）渐近几何、Gromov双曲空间、度量空间的收敛性以及Alexandrov空间（非正和非负的弯曲空间）。作者倾向于用“易于看见”的方法来处理“易于触碰”的数学对象。
　　作者设定了一个具有挑战性的目标，即让《度量几何学教程（英文版）》的核心部分能为一年级研究生所接受。大多数新的概念和方法都按*简单的情形来提出并阐明，从而避免了技术性的障碍。书中还包括大量习题，这些习题是《度量几何学教程（英文版）》至关重要的一部分。

内页插图

目录

Preface
Chapter 1． Metric Spaces
1．1． Definitions
1．2． Examples
1．3． Metrics and Topology
1．4． Lipschitz Maps
1．5． Complete Spaces
1．6． Compact Spaces
1．7． Hausdorff Measure and Dimension

Chapter 2． Length Spaces
2．1． Length Structures
2．2． First Examples of Length Structures
2．3． Length Structures Induced by Metrics
2．4． Characterization of Intrinsic Metrics
2．5． Shortest Paths
2．6． Length and Hausdorff Measure
2．7． Length and Lipschitz Speed

Chapter 3． Constructions
3．1． Locality， Gluing and Maximal Metrics
3．2． Polyhedral Spaces
3．3． Isometries and Quotients
3．4． Local Isometries and Coverings
3．5． Arcwise Isometries
3．6． Products and Cones

Chapter 4． Spaces of Bounded Curvature
4．1． Definitions
4．2． Examples
4．3． Angles in Alexandrov Spaces and Equivalence of Definitions
4．4． Analysis of Distance Functions
4．5． The First Variation Formula
4．6． Nonzero Curvature Bounds and Globalization
4．7． Curvature of Cones

Chapter 5． Smooth Length Structures
5．1． Riemannian Length Structures
5．2． Exponential Map
5．3． Hyperbolic Plane
5．4． Sub-Riemannian Metric Structures
5．5． Riemannian and Finsler Volumes
5．6． Besikovitch Inequality

Chapter 6． Curvature of Riemannian Metrics
6．1． Motivation： Coordinate Computations
6．2． Covariant Derivative
6．3． Geodesic and Gaussian Curvatures
6．4． Geometric Meaning of Gaussian Curvature
6．5． Comparison Theorems

Chapter 7． Space of Metric Spaces
7．1． Examples
7．2． Lipschitz Distance
7．3． Gromov-Hausdorff Distance
7．4． Gromov-Hausdorff Convergence
7．5． Convergence of Length Spaces

Chapter 8． Large-scale Geometry
8．1． Noncompact Gromov-Hausdorff Limits
8．2． Tangent and Asymptotic Cones
8．3． Quasi-isometries
8．4． Gromov Hyperbolic Spaces
8．5． Periodic Metrics

Chapter 9． Spaces of Curvature Bounded Above
9．1． Definitions and Local Properties
9．2． Hadamard Spaces
9．3． Fundamental Group of a Nonpositively Curved Space
9．4． Example： Semi-dispersing Billiards

Chapter 10． Spaces of Curvature Bounded Below
10．1． One More Definition
10．2． Constructions and Examples
10．3． Toponogov's Theorem
10．4． Curvature and Diameter
10．5． Splitting Theorem
10．6． Dimension and Volume
10．7． Gromov-Hausdorff Limits
10．8． Local Properties
10．9． Spaces of Directions and Tangent Cones
10．10． Further Information
Bibliography
Index

几何学的广阔疆域：非欧几何、拓扑学与微分几何的交汇 本书导览：探索空间的本质与形变的奥秘 本书旨在引导读者深入探索现代几何学的核心领域，这些领域极大地扩展了我们对欧几里得空间认识的边界。我们将从基础的、基于度量（距离）的概念出发，逐步攀登至更抽象的拓扑结构和依赖曲率的微分几何形态。本书的结构旨在建立坚实的理论基础，并展示不同几何分支之间深刻的相互联系。 第一部分：非欧几何的诞生与基础（Revisiting Non-Euclidean Foundations） 本部分聚焦于对欧几里得几何（平面几何）的根本性突破。我们将系统地考察非欧几何的构建过程及其哲学意义。 1. 罗巴切夫斯基几何与黎曼几何的对立统一： 我们将详细剖析双曲几何（以罗巴切夫斯基和波利亚伊的工作为基础）的内在一致性。读者将学习如何定义双曲空间中的测地线、角、面积与体积，以及它们如何与欧氏空间中的对应概念产生根本性的差异（例如，三角形内角和小于180度）。 紧接着，我们将引入黎曼几何的先驱概念——球面几何。球面几何作为一种具有正曲率的几何系统，为理解更高维度的弯曲空间提供了直观的模型。我们将探讨如何定义球面上的最短路径（大圆），以及其带来的几何不等式（如三角形内角和大于180度）。 2. 测地曲率与曲率的内在表达： 本节的核心在于区分“外在曲率”和“内在曲率”。我们将引入高斯绝妙定理（Theorema Egregium），阐明曲率可以仅通过研究一个曲面本身（例如，通过测量该曲面上的三角形周长和内角和）来确定，而无需参考它嵌入到三维欧氏空间中的方式。这一概念是连接基础几何与现代微分几何的桥梁。 第二部分：拓扑学的黎明——不变性的研究（The Dawn of Topology: Invariants of Shape） 在度量（距离）被暂时“搁置”的领域，拓扑学关注的是空间在连续形变下保持不变的性质。 3. 连续映射与拓扑空间的定义： 我们首先建立严格的拓扑空间定义，它仅依赖于“开集”的概念。我们将探讨连续函数、同胚（Homeomorphism）的意义——即“拉伸”而不“撕裂”或“粘合”的空间变换。 4. 连通性与紧致性： 本章将深入研究拓扑空间的两个基本性质：连通性和紧致性。 连通性： 区分可分离空间与路径连通空间，并讨论它们在分析函数性质时的重要性。 紧致性： 阐述紧致性的海涅-博雷尔（Heine-Borel）定理的拓扑版本，以及它在保证连续函数达到极值时的关键作用。 5. 基本群与洞的识别： 为了区分拓扑结构本质上不同的空间（如圆环面和球面），我们需要更精细的代数不变量。我们将详细介绍基本群（Fundamental Group），特别是圆周$mathbb{S}^1$的基本群$mathbb{Z}$，它量化了空间中“环路”的缠绕方式。通过计算不同复杂度的流形的基本群，我们可以系统地识别出空间中的“洞”或“环”的数量。 第三部分：微分几何的基石——流形与张量（The Bedrock of Differential Geometry: Manifolds and Tensors） 本部分将度量（距离）的概念重新引入到弯曲空间的研究中，通过微积分的工具来描述光滑结构。 6. 流形的局部结构： 我们将定义光滑流形（Smooth Manifold）的概念，即空间在局部看起来像欧氏空间，但整体上可能是弯曲的。这涉及对图集（Atlas）和转移映射（Transition Maps）的严格处理。本节将强调流形是连接代数、分析学与几何学的核心结构。 7. 切丛、向量场与微分形式： 为了在弯曲空间中进行微积分，我们需要定义切空间（Tangent Space）的概念。切空间是流形上每一点的“局部欧氏空间”。 向量场： 定义在流形上的光滑向量场，以及它们如何生成流（Flows）。 微分形式： 介绍$ ext{k}$-形式，它们是微分几何中积分的基础工具。通过外导数（Exterior Derivative）的引入，我们将为后续的广义斯托克斯定理奠定基础。 8. 黎曼度量与曲率的现代表述： 在流形上引入黎曼度量（Riemannian Metric），这是一个在每个切空间上定义的内积。这个度量使我们能够测量长度、角度，并定义测地线（Geodesics）——即弯曲空间中的“最短路径”。 我们将推导出列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），它允许我们在流形的不同点之间“平行移动”向量，从而实现对黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的计算。这个四阶张量是描述空间弯曲程度的最完整代数不变量。 第四部分：几何分析的融合（Synthesis: Geometric Analysis） 本部分旨在展示前述工具在解决深刻几何问题中的应用。 9. 测地线方程与变分法： 我们将从变分法的角度重新审视测地线：它们是连接两点的曲线上使弧长泛函取极值的路径。我们将推导测地线方程，这是一个二阶常微分方程，其解定义了空间中的运动轨迹。 100. 广义斯托克斯定理的威力： 最后，我们将阐述广义斯托克斯定理，它是微积分基本定理在任意维度光滑流形上的推广。该定理优雅地将$k$-形式在边界上的积分与该形式在流形上的外导数的积分联系起来。这个定理不仅统一了格林定理、高斯散度定理和传统斯托克斯定理，也是连接拓扑不变量（通过德拉姆上同调）与局部分析结构的关键工具。 全书的论述风格注重概念的清晰构建和内在逻辑的严密性，旨在为读者提供一个坚实而全面的现代几何学视角。

评分☆☆☆☆☆

我之所以选择这本书，很大程度上是因为它所涵盖的“度量几何学”这个领域。在传统的欧几里得几何和微分几何之外，度量几何学以一种更一般、更抽象的方式来研究空间，它不依赖于光滑的微分结构，而是仅仅关注点与点之间的距离（度量）所蕴含的几何信息。这使得度量几何学能够处理更广泛的数学对象，比如分形、离散空间，甚至是一些在拓扑学中定义距离的非光滑空间。这种普适性让我觉得非常有吸引力。我尤其关注书中对于“度量空间的拓扑性质”与“距离函数的性质”之间关系的阐述。例如，完备性、可分性、度量紧致性等概念在度量空间中扮演着怎样的角色？它们如何影响空间的几何结构？我希望这本书能深入探讨这些问题，并提供一些经典定理的证明，比如巴拿赫不动点定理在度量空间中的应用，以及海涅-博雷尔定理的推广。此外，我也对书中是否会涉及一些现代度量几何的研究前沿，例如里奇曲率的度量定义、度量图论等内容感到好奇。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常吸引人，深邃的蓝色背景搭配金色的书名，有一种经典而严谨的感觉，让人立刻联想到数学的严谨性和抽象美。拿到手里，纸张的质感也相当不错，厚实且有韧性，印刷清晰，即使是细小的数学符号也能一览无余。我尤其喜欢它将“度量几何学”这样一个相对前沿且深入的领域，用“教程”的形式呈现出来，这让我看到了作者试图将复杂概念普及的努力。我一直对不同几何理论之间的联系和演化很感兴趣，特别是黎曼几何和度量空间理论的交汇之处，总觉得这里蕴含着许多尚未被充分挖掘的数学洞见。这本书的出现，无疑为我提供了一个系统学习和探索这一领域的绝佳机会。我期待它能以清晰的逻辑和循序渐进的方式，带领我深入理解度量空间的基本概念，例如完备性、紧致性、测度论与几何结构的结合，以及一些重要的度量几何定理。尤其希望它能详细介绍诸如格罗莫夫-魏尔定理（Gromov-Weinstein theorem）等核心内容，并提供一些实际的应用案例，让我能够更好地把握这一领域的精髓，并将其应用于我自己的研究方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和结构是令我印象深刻的。每一章的开头都以一个简洁的引言概括了本章的学习目标和核心内容，这对于我这样需要快速把握重点的学习者来说非常有帮助。章节内部的论证过程条理清晰，数学符号的使用规范且一致，这一点在复杂的数学书籍中尤为重要，能够大大减少阅读时的困惑。我特别欣赏作者在引入新概念时，总是会先从一些直观的例子或者更容易理解的特例出发，然后逐步推广到一般情况。这种由浅入深的学习方式，对于我这样并非数学专业背景但又对度量几何学充满好奇的读者来说，是极大的福音。我注意到书中包含了一些习题，我非常期待这些习题的难度和深度能够与正文内容相匹配，既能巩固所学知识，又能激发更深入的思考。如果习题中还能包含一些开放性的问题，鼓励读者进行探索和猜想，那就更棒了。我希望通过这本书的学习，不仅能掌握度量几何学的基本工具和方法，更能培养出一种数学直觉，能够从度量空间的视角去理解和分析各种几何现象。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学的逻辑性和严谨性有着极高要求的读者，我对一本数学教程的数学严谨性有着近乎苛刻的要求。这本书的作者在序言中提及了对数学公理体系的尊重和对严谨证明的追求，这让我对它的内容充满了信心。我期待书中能够清晰地界定基本概念，例如度量空间的定义、开集、闭集、收敛性等，并给出严谨的数学表述。同时，我希望作者在证明定理时，能够层层递进，逻辑严密，不跳跃、不含糊。即使是一些看似“显而易见”的步骤，也最好能给出必要的解释或引用相关的公理、定义或定理。我尤其关心书中对“测度”和“几何”之间联系的论述。度量几何学，顾名思义，其核心在于“度量”。我希望书中能够阐述如何利用测度论的工具来研究度量空间的性质，例如豪斯多夫测度在分形几何中的作用，或者概率测度在随机几何中的应用。一本优秀的度量几何教程，不仅要讲解理论，更要培养读者严谨的数学思维。

评分☆☆☆☆☆

在浏览了这本书的目录之后，我被其中对“测地线”的详尽讨论所吸引。测地线，即度量空间中两点间“最短路径”，是度量几何学中一个至关重要的概念。它不仅是距离概念的自然延伸，更是理解空间曲率和几何性质的关键。我希望本书能够系统地介绍测地线的存在性、唯一性及其性质，并探讨不同类型的测地线，例如在黎曼流形上的测地线，以及在更一般的度量空间中如何定义和研究测地线。此外，我非常期待书中能够包含关于“度量空间的分类”或者“特殊度量空间的几何性质”的内容。例如，关于常曲率空间（欧几里得空间、球面、双曲空间）的几何性质，以及这些性质如何通过度量来刻画。同时，我希望书中能够涉及一些与测地线相关的定理，例如测地线的存在性定理，以及在特定条件下测地线的唯一性。如果能有关于测地线在动力系统或者微分方程中的应用作为例子，那将进一步拓宽我的视野。

评分☆☆☆☆☆

《度量几何学教程（英文版）》有两个目标：详细阐述长度空间理论中使用的基本概念和技巧，以及为大量不同的几何论题提供一个初等导引，这些论题都与距离观念相关

评分☆☆☆☆☆

《度量几何学教程（英文版）》有两个目标：详细阐述长度空间理论中使用的基本概念和技巧，以及为大量不同的几何论题提供一个初等导引，这些论题都与距离观念相关

评分☆☆☆☆☆

出版社学聪明了，定价虚高，留着打折用。

评分☆☆☆☆☆

《度量几何学教程（英文版）》有两个目标：详细阐述长度空间理论中使用的基本概念和技巧，以及为大量不同的几何论题提供一个初等导引，这些论题都与距离观念相关

评分☆☆☆☆☆

gsm系列的好书，硬壳装订，印刷质量不错

评分☆☆☆☆☆

书不错，只是折了一个角

评分☆☆☆☆☆

度量几何的少有著作。

评分☆☆☆☆☆

包装完整，快递相对较快，内容写的不错，排版很舒服。

评分☆☆☆☆☆

书不错，只是折了一个角