黎曼几何引论（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张继平 编，陈维桓，李兴 校

图书标签:

• 黎曼几何
• 微分几何
• 流形
• 数学
• 高等教育
• 拓扑学
• 几何学
• 数学分析
• 学术著作
• 专业教材

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301067949

版次：1

商品编码：12175899

包装：平装

丛书名： 北京大学数学教学系列丛书 ，

开本：16开

出版时间：2014-01-01

用纸：胶版纸

页数：343

字数：300000

正文语种：中文

内容简介

　　《黎曼几何引论（下）》为下册，可以作为“黎曼几何”课程的后续课“黎曼几何II”的教材。当前，微分几何与数学的各个分支的相互影响越来越深刻、关系越来越密切。《黎曼几何引论（下）》较好地反映了这种紧密的联系，其内容共有三章，包括Kahler流形、黎曼对称空间及主纤维丛上的联络。每章末都附有大量的习题，书末并附有习题解答和提示，便于读者深入学习和自学。
　　《黎曼几何引论（下）》的选材和叙述都有它独到之处，与现有的数学文献相比颇具特色，可作为综合大学、师范院校数学系、物理系等相关专业研究生课程或研究生读者讨论班的教材或参考书，也可供从事微分几何、调和分析，以及数学物理等专门方向的研究人员参考。

作者简介

　　陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊先生读研究生。长期从事微分几何方向的研究工作和教学工作，开设的课程有“微分几何”、“微分流形”、“黎曼几何引论”和“纤维丛的微分几何”等。已出版的著作有：《微分几何讲义》（与陈省身合著），《黎曼几何选讲》（与伍鸿熙合著），《微分几何初步》，《微分流形初步》和《极小曲面》等。
　　
　　李兴校，河南师范大学数学系教授，1994年在四川大学获得博士学位，主要研究方向是子流形微分几何。

内页插图

目录

第八章 Kahler流形
8．1 复向量空间
8．2 复流形和近复流形
8．3 复向量丛上的联络
8．4 Kahler流形的几何
8．5 全纯截面曲率
8．6 Kahler流形的例子
8．7 陈示性类
习题八

第九章 称曼对称空间
9．1 定义和例子
9．2 黎曼对称空间的性质
9．3 黎曼对称对
9．4 黎曼对称空间的例子
9．5 正文对称李代数
9．6 黎曼对称空间的曲率张量
习题九

第十章 主纤维丛上的联络
10．1 向量丛上的联络和水平分布
10．2 标架丛和联络
10．3 微分纤维丛
10．4 主纤维丛上的联络
10．5 主丛上联络的曲率
10．6 Yang -Mills场简介
习题十
习题解答和提示
参考文献
索引

前言/序言

　　《黎曼几何引论》上、下两册的分工是：上册作为基础数学专业研究生课程“黎曼几何引论”的教材，其主要内容应该、而且能够在周学时为3、或4的一学期课程中讲完，重点是黎曼几何的基本概念和基本理论，以及大范围黎曼几何的主要结果和变分方法的运用；下册可以作为后续课程“黎曼几何Ⅱ”的教材，或讨论班的学习材料。当前，微分几何与数学的各个分支的相互影响越来越深刻、关系越来越密切，本书的下册则体现了这种紧密的联系。例如，Kahler流形是复流形几何以及代数几何的主要角色，在本书我们从微分几何的角度论述了Kahler流形上的各种结构的相容性及其几何意义。黎曼对称空间是一类特殊的黎曼流形，有相当丰富的对称性质，与李群和李代数有密切的联系，它是微分几何的重要研究对象，也是调和分析等的演绎舞台。微分几何在数学各个分支中的主要应用是，它提供了一种对于光滑切向量场进行微分的结构，所以联络是微分几何的核心内容。本书的第十章从平行移动的角度阐述了主丛上的联络的由来及其几何意义。一个约定俗成的准则是，一个数学命题是否属于微分几何的范畴，关键是看它是否涉及曲率的概念。曲率是图形或某种空间结构通过微分手段获得的不变量，是微分几何中最基本的概念，是衡量空间的某种结构是否平凡的数量特征。本书各章都要讲到各种结构的曲率及其几何意义为止。
　　翻阅本书不难发现，本书的选材和叙述与现有的数学文献相比较都有它的独到之处。本书是作者在北京大学学习微分几何和长期从事微分几何教学和研究的经验总结。在这里，我们特别怀念吴光磊教授，因为本书的有些讲法出自吴先生在讨论班上的演讲。例如，复向量空间的对偶空间，向量丛上联络所诱导的水平分布等等都是吴先生在讨论班上曾经讲过的内容，凝集了他的学习心得。而且，他经常要求我们用最简洁的语言把概念清晰地表达出来。我们在本书所追求的目标之一就是把概念的由来和意义讲清楚，而不满足于它们的形式表述。数学的概念不只是术语和公式的堆砌，它们都有发生、发展和推广的过程。我们试图努力反映这种发展的过程。例如，第十章的（2。18）式定义的标架丛上的联络形式θ是主丛上的联络形式的特殊情形，我们还进一步指出：实际上它是向量丛E上的活动标架的相对分量。在这样理解的基础上，我们才能体会到抽象概念的丰富、生动的内涵，而不只是一堆枯燥的公式。当然，本书只提供了K?hler流形、黎曼对称空间、主纤维丛上的联络的基础理论，并不是直接从事这些课题的前沿研究，但是它们为有关课题的前沿研究提供了坚实的基础，我们相信这些内容对于从事微分几何、非线性分析、调和分析和数学物理研究的工作者是十分有用的。
　　和上册一样，李兴校教授参与了本书的写作，特别是本书的习题、答案和提示以及10。6是由他执笔的。本书的写作得到国家自然科学基金（项目批准号NSFC10271004）的资助，我们对此表示衷心的感谢。作者对责任编辑邱淑清老师的卓有成效的辛勤工作表示感谢。20年多来，她为数学书籍的出版倾注了很多心血，严格、细致的工作作风有口皆碑。借此机会向她表示崇高的敬意。
　　限于作者的水平，本书中的不足之处肯定是存在的，诚恳地希望读者能不吝指正。

黎曼几何引论（下）—— 探寻曲面与空间之美的宏伟篇章 《黎曼几何引论（下）》并非一本孤立的数学著作，它承载着前沿探索的求知欲，引导读者深入那些超越我们日常直观理解的几何世界。本书以严谨的逻辑和深刻的洞察，为我们揭示了黎曼几何这一强大数学工具的精髓，特别是将我们带入一个更加复杂、更加抽象但也更加富有魅力的几何领域——曲面与高维空间的内在结构。 本书的开篇，便是对黎曼几何核心概念的深入巩固与拓展。我们不再局限于平直空间的欧几里得几何，而是以曲率为核心，重新审视几何学的基本语言。在“下册”中，重点将放在理解曲面是如何在更宏大的空间中嵌入，以及这种嵌入所带来的几何性质。我们会学习如何精确地描述曲面的曲率，例如高斯曲率和平均曲率，并理解它们如何决定曲面在局部和整体上的形态。例如，我们将探讨一个看似简单的曲面，如球面，其内在的几何性质（如最短路径的性质）与平面的差异，这正是黎曼几何的魅力所在——它不依赖于外部空间的度量，而是专注于物体自身的内在结构。 本书将带领我们进入一个由度量张量所定义的抽象空间。这个度量张量，如同曲面的“胎记”，记录了空间内部长度、角度以及体积的计算方式。我们将学习如何利用度量张量来定义测地线，也就是曲面上“最短”的路径。这不仅仅是一个理论概念，它在物理学中扮演着至关重要的角色，例如描述天体在引力场中的运动轨迹，正是遵循了时空测地线。本书将详细讲解测地线的计算方法，以及它们在曲面上的行为模式，例如它们是会相交、平行还是发散。 进一步地，本书将深入探讨曲率张量。这个张量是黎曼几何的灵魂，它精确地衡量了空间的弯曲程度。我们将学习黎曼曲率张量如何通过度量张量及其导数来计算，以及它所蕴含的丰富几何信息。我们将会看到，曲率张量的不同分量，分别对应着曲面在不同方向上的弯曲性质，例如在二维曲面上，高斯曲率就仅仅是曲率张量的一个简洁体现。理解曲率张量，就是理解空间的“几何个性”，它决定了平行线是否会保持平行，三角形的内角和是否等于π，以及曲面上两点之间的距离如何随着路径的变化而变化。 本书的一大亮点，在于其对测地曲率和法曲率的详细阐释。测地曲率描述了曲线偏离测地线的程度，而法曲率则描述了曲面在某个方向上的“凸起”或“凹陷”程度。通过对这两个概念的理解，我们能够更细致地分析曲面上的曲线和曲面本身的局部性质。例如，我们将探讨在曲面上是否存在某些特殊的曲线，它们的测地曲率处处为零，这些便是测地线。 本书的叙述风格将力求清晰、严谨，同时避免不必要的晦涩。我们将通过大量的例子来佐证抽象的理论，例如从熟悉的球面、圆柱面出发，逐渐过渡到更复杂的曲面，如环面。这些例子不仅有助于读者理解概念，更能激发读者对几何美的直观感受。每一个概念的引入，都将伴随着对它几何意义的深入剖析，以及它与其他概念之间相互联系的梳理。 在“下册”中，我们将着重探讨一个重要的概念——外微分。外微分提供了一种更为统一和优雅的方式来处理微分形式，它在黎曼几何以及更广泛的微分拓扑中扮演着基础性的角色。我们将学习外导数、外积分以及霍奇定理等重要的概念。通过外微分，我们可以将度量张量和曲率张量的计算，以及测地线的性质，用一种更为简洁和统一的语言来表达。例如，我们将看到，曲率张量的某些性质，可以通过外微分的运算来简洁地刻画。 本书的另一重要组成部分，是关于曲面分类及其不变量的研究。我们将学习如何根据曲面的拓扑性质和几何性质，将其进行分类。例如， genus（亏格）这个拓扑不变量，就能够区分出环面和球面的本质区别。同时，我们也会接触到一些几何不变量，它们在曲面变形时不发生改变，从而帮助我们理解不同曲面之间的内在联系。 最后，本书将为读者打开通往更广阔数学领域的大门。我们将触及到一些更高级的概念，例如黎曼流形，这是黎曼几何在更高维空间中的推广。尽管本书是“引论”，但它所包含的思想和方法，是理解更复杂的几何理论，如微分流形、向量丛、纤维丛等的基础。对于那些渴望在数学领域继续深入探索的读者来说，本书将是一个不可或缺的阶梯，它不仅传授知识，更重要的是培养一种深刻的几何直觉和数学思维能力。 《黎曼几何引论（下）》是一场关于空间、曲率和几何结构的深刻对话。它邀请读者走出平面的舒适区，进入一个由度量和曲率所定义的奇妙世界，在那里，空间的内在美将以最纯粹、最深刻的方式展现出来。这不仅仅是一本教科书，更是一份邀请，邀请您去探索、去理解、去欣赏那个隐藏在万物背后的几何秩序。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容，实在是太深刻了，我至今还在回味，尤其是在理解了那些抽象概念之后，那种豁然开朗的感觉，简直妙不可言。作者在讲解过程中，循序渐进，从最基础的流形定义，到切空间、张量，再到联络和曲率，每一个概念都经过了精心的铺垫。我尤其喜欢书中关于测地线和曲率张量的一些讨论，它们是如何精确地描述时空弯曲的，这让我对爱因斯坦的广义相对论有了更深层次的认识。虽然书中涉及大量的数学推导，但作者的讲解非常清晰，甚至还会穿插一些历史背景的介绍，这让原本枯燥的公式变得生动起来。我花了很多时间去理解那些证明，反复阅读，甚至自己动手演算，每一次的理解加深都让我感到一种智力上的满足。书中的例题和习题也设计得非常巧妙，它们不仅仅是检验理解程度的工具，更是引导读者深入思考的催化剂。我曾经因为一个习题卡住，花了整整一个下午才解出来，那种成就感至今难忘。总而言之，这是一本需要耐心和投入的书，但回报是巨大的，它打开了我认识宇宙的新视角。

评分☆☆☆☆☆

我得说，读完这本书，我感觉自己对数学的理解又上了一个台阶，尤其是对那种高度抽象和严谨的数学体系，有了全新的认识。这本书的文字风格非常独特，它既有严谨的学术论述，又不乏一种哲学式的思辨。作者在探讨流形的拓扑性质时，会不自觉地将数学概念与哲学上的“空间”和“存在”联系起来，这让我觉得学习数学不再是机械的运算，而是一种对事物本质的探求。我特别喜欢书中关于同伦论和同调论在黎曼流形研究中的应用部分，这些工具是如何揭示流形内在结构的，以及它们与曲率之间的微妙联系，这些都让我感到非常震撼。我曾经为了理解一个关于流形基本群的定理，反复研读了好几个小时，最终才领悟到它的深层含义。作者在解释这些高级概念时，并没有回避其复杂性，而是通过精炼的语言和巧妙的例证，引导读者逐步深入。这是一种非常高质量的数学教育，它不仅仅教会你“是什么”，更重要的是教会你“为什么”。

评分☆☆☆☆☆

我一直对“空间”这个概念充满好奇，而这本书，无疑满足了我这份好奇心，甚至超出了我的想象。作者在介绍微分几何中的一些基础工具时，例如向量场、微分形式，他并没有仅仅停留在数学定义层面，而是将其与物理学中的力场、电磁场等概念巧妙地联系起来，这让我觉得学习这些数学工具，非常有意义。我特别喜欢书中关于霍奇定理的介绍，它揭示了微分形式的拓扑信息，这对于我理解一些高级的物理理论有着至关重要的作用。作者的写作风格非常细腻，他会在不经意间透露出对数学的热情和对宇宙奥秘的探索精神。我曾经因为书中一个关于黎曼度量如何确定流形几何性质的论述，而反复思考了几天，最终才完全理解其背后的深刻含义。这本书不仅仅是一本教材，更像是一扇窗户，透过它，我看到了一个更加广阔和精妙的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，可以说是一种智力上的挑战，但同时也是一种极大的享受。作者的叙述方式非常直接，开门见山，对于一些复杂的概念，他会先给出严谨的定义，然后再通过一些巧妙的例子来阐释。我尤其欣赏书中关于测地完备性和黎曼积分的部分，这些内容对于理解流形上的分析学至关重要，作者的讲解非常清晰，丝毫不含糊。我曾经因为一个涉及到测地线方程的计算而困扰不已，但书中提供的一个关于星系的例子，让我瞬间茅塞顿开，原来这些抽象的数学公式竟然可以如此直观地描述宇宙的宏观运动。这本书对逻辑性的要求非常高，你需要时刻保持思维的连贯性，才能跟上作者的思路。我曾经尝试着在阅读过程中跳读一些章节，但很快就发现这样会影响对后续内容的理解，所以，我只能老老实实地，从头到尾，逐字逐句地去品味。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书的编排和设计，真是让人眼前一亮。我之前也读过一些数学书籍，但像《黎曼几何引论（下）》这样，能够将理论的严谨性与直观的理解巧妙结合的书，实属罕见。作者在介绍黎曼流形的一些基本性质时，大量运用了几何直观的类比，比如通过二维曲面的类比来解释高维空间的曲率，这极大地降低了理解门槛。让我印象特别深刻的是关于里奇曲率和标量曲率的讨论，它们是如何从更基本的曲率张量中导出，以及它们在物理学中的重要意义，这部分内容写得非常透彻。书中还穿插了一些非常精彩的图示，虽然不是三维模型，但简洁的二维示意图却能有效地传达复杂的几何关系。我尝试着去构建这些几何图形，虽然在脑海中想象高维空间是件不容易的事，但书中的引导让这个过程变得可行。我也非常欣赏作者在阐述一些定理时，会提及它们的发现者和相关研究历史，这让我觉得学习的过程不仅仅是枯燥的数学符号推演，更像是在与历史上的伟大思想家对话。