我怎樣解題 下載 mobi epub pdf 電子書 2024

編輯推薦

本書稿有兩大特色：一是每道精選題都具有極高的參考價值，不僅能提高解題能力，還能培養數學思維和邏輯能力；二是在解題過程中體現瞭單墫教授的解題思想和藝術，有助於教師的成長與解題教學的開展。

內容簡介

本書是“單墫解題研究叢書”的第三本，主要內容是100多道經典競賽題及其解題過程。本書稿有兩大特色：一是每道精選題都具有極高的參考價值，不僅能提高解題能力，還能培養數學思維和邏輯能力；二是在解題過程中體現瞭單墫教授的解題思想和藝術，有助於教師的成長與解題教學的開展。

作者簡介

我國著名數學傳播、普及和數學競賽的專傢。1964年畢業於揚州師範學院數學係，在中學、大學任教四十多年。1983年獲理科博士學位（我國首批18名博士之一），1991年當選全國"優秀教師"，1991年7月起享受政府特殊津貼，1992年評為國傢有突齣貢獻的中青年專傢。1995年評為省"優秀學科帶頭人"，為我國數學競賽事業做齣很大貢獻。

目錄

第一章 不等式的證明
第二章 幾何
第三章 數論
第四章 組閤數學
第五章 數列、函數及其他

精彩書摘

　　1.取棋子2006堆棋子，各堆的棋子數依次為1，2，…，2006．每次從任意多堆中取走相同的粒數，至少取多少次纔能取光?

　　先從簡單的情況做起．

　　一堆棋子，1次取完．

　　二堆棋子，一堆1粒，一堆2粒，1次無法取完，2次可以取完．

　　三堆棋子，粒數為1，2，3．第一次在第二和第三堆中各取2粒，第二次取走剩下的2堆(每堆1粒)，2次可以取完．

　　四堆棋子，粒數為1，2，3，4．第一次無論怎樣取，剩下的堆中，總有兩堆的棋子不同．從而還需兩次纔能取完．另一方麵，第一次在每堆中取1粒即化為上麵的三堆的情況，所以至少取3次可以取完．

　　於是，得到下麵的錶:堆數1234

　　取完次數1223由這錶可以猜到，如果堆數k滿足2n-1≤k＜2n．(1)各堆粒數為1，2，…，k，那麼取完的最少次數是n．

　　這可以用歸納法證明．

　　假定(1)對n成立，那麼在堆數k滿足2n≤k＜2n+1(2)時，第一次可以在粒數≥2n的堆裏取走2n粒．這樣，前2n-1堆不變，而第2n堆已經取完，其餘各堆粒數為1，2，…，k-2n(＜2n)．

　　根據歸納假設，n次可以取完前2n-1堆．而每次在粒數為d的堆裏取棋時，也在後麵的(即原來的第2n+1~第k堆)粒數為d的堆裏取走同樣多的棋．這樣，在前2n-1堆取完時，所有堆均被取完．所以n+1次可以取完所有的棋．

　　另一方麵，設第一次取走d枚棋．如果d＞2n-1，那麼前2n-1堆不變．根據歸納假設，至少還要n次纔能取完．如果d≤2n-1，那麼原來粒數為d+1，d+2，…，d+2n-1≤2n的堆變成粒數為1，2，…，2n-1的堆，取完它們至少還要n次．因此，至少需要n+1次纔能取完．

　　現在210＜2006＜2n，所以至少11次纔能取完．

　　2.老虎與驢子平麵上給齣2005個點，其中任何三點都不共綫．每兩點均用綫連接．老虎與驢子進行遊戲:驢子給每條綫段標上一個數字(0，1，2，3，4，5，6，7，8，9)，接著老虎給每個點標上一個數字．如果有一條綫段與它的兩端都是相同的數字，那麼驢子獲勝．請證明:在正確方法下，驢子必勝．

　　這是第68屆(2005年）莫斯科數學競賽試題．

　　過去驢子與老虎比體力，結果“黔驢技窮”，被老虎吃瞭．新一代的驢子與老虎鬥智，驢子卻有必勝的方法．

　　數字，不過是一個符號．10個數字是10個符號．我們可以減少符號的個數，從最簡單的情況開始．

　　如果驢、虎都隻用1個符號0，那麼隻要有2個點，驢就一定獲勝．

　　如果用2個符號0與1，那麼點數≤3時，驢無法必勝．但點數≥4時，驢就可以必勝.方法是將4個點分成兩組，第一組A1，A2的連綫標1，第二組B1，B2的連綫也標1，而不同組之間的連綫AiBj(1≤i，j≤2)都標0．老虎不能將A1，A2都標1，也不能將B1，B2都標1．但隻要A1，A2中有一個標0，且B1，B2中也有1個標0，那麼老虎仍然失敗．所以老虎必定失敗，更多個點當然更是老虎失敗．

　　假定對於2n-1個點，用n-1個符號，驢子可以必勝．我們考慮2n個點的情況．

　　驢可以將點分為2n-1組，每組兩個點用第n種符號n相連．然後，將每一組作為一個點(第一組的A1，A2作為一個點A;第二組的B1，B2作為一個`點B;…)．這2n-1個點，根據歸納假設，標n-1個符號1，2，…，n-1，驢子有必勝的標法．按照這種標法標AB等綫段．而AB標上某個符號k(≤n-1)也就是4條綫段AiBj(1≤i，j≤2)都標上k．

　　這樣標好符號後，驢子就穩操勝券瞭．

　　因為在上述的每一組中，必有一個點，老虎標的符號不是n(否則老虎失敗)．這樣，就有2n-1個點，每兩點不在同一組中，標的號都小於n．但對這2n-1個點，僅標n-1種符號，驢子的標法已經保證驢子必勝．

　　因此，對任意自然數n，在點數≥2n時，標n種符號，驢子必勝．

　　現在2005＞210，所以驢子必勝．

　　驢子竟然這樣聰明，完全可以擔任某些部門的領導瞭!

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前言/序言

　　數學題多，太多瞭！準備高考的同學都做瞭大量的題。題多，很多人稱之為“題海”。數學競賽的題更多瞭。高考題的內容限定瞭課本，題型也都是常見的，而競賽則不斷推陳齣新，變化無窮。競賽題多，比大海還要浩瀚，可以稱之為“題洋”。但我們不必“望洋興嘆”。因為本來就沒有必要做完所有的題，喝乾“洋”水。“弱水三韆，隻取一瓢”。從大洋中舀一瓢水，細細品味，就可以知道大洋的成分。同樣地，從眾多的競賽題中選齣一部分，仔細分析，就可以基本瞭解競賽題的全貌。為此，我們選擇瞭一百多道競賽題。認真地做好這一百多道題，可以提高解題的能力，在題洋中自由自在地遊來遊去。這就好像《唐詩三百首》，好像《古文觀止》，從眾多的唐詩、古文中選齣一部分有代錶性的作品，熟讀之後，對古代的詩、文就有所瞭解，甚至“不會做詩也會吟”。選擇的標準是：1.有代錶性的題，解這種題的思想方法值得學習。2.有一定難度的好題，有討論的價值與必要。3.我自己做過的題（但我以前的書中寫過的。注意少收，以免重復）。這本書不是一本習題集，它的目標不是給齣一百多道題的解答、而是想說一說如何去尋找問題的解答。元遺山說：“鴛鴦綉瞭從教看，莫把金針度與人”。其實“鴛鴦綉瞭從教看”就已經是“欲把金針度與人”。一個自己動手去綉的人，一個細心而又有悟性的人，往往能從綉好的鴛鴦看齣針法與訣竅。我們的目的當然是“金針度人”，所以不僅有較為詳細的解答（“綉好的鴛鴦”），而且也談一些自己解題的經驗、體會與探索的過程。

　　當然!探索的過程是很難寫的。因為思路往往是難以說清的，何況“一個人不能兩次進入同一條河”。在寫解題思路時，那思路可能已經不是原始的狀態，“欲辯已忘言”。有時，真實的探索過程又十分的漫長，完全寫齣來也有點乏味。所以，我們隻能盡可能真實而又盡可能簡潔地復原一些思考過程，並嘗試用各種不同的方法來描述。例如，增加分析的分量，夾敘夾議，比較多種解法，適時總結，略作評注等。有時，還請來兩個學生甲、乙一同討論。事實上，《我怎樣解題》的“我”並不隻是作者一個人，而是包括瞭與作者一同討論的眾多朋友，特彆是廣大的學生群體。這些學生或看過我寫的書，或聽過我的講課，而在與他們的討論中，我也學到瞭許多好的解法，獲益良多。所以，書名中的“我”，其實是“我們”。寫成“我”隻是為瞭少印一個字，符閤“簡單”的原則。

　　我解過很多的題，但並無什麼“絕招”。有位學生給我寫瞭一封信，講到解題的事。摘錄如下：

　　“最近，我在***老師那邊上瞭十天課。他強調解題時要運用原則，運用對稱性分析、結構分析、圖象化、圖錶化等方法。聽他講課時總覺得他的解法是一種必然。但自己實際做題時，往往覺得原則無處可用，隻能像以前一樣瞎做。在這點上，我覺得你和***老師很不一樣，你解題時十分重視感覺，很少談一些原則。你總認為解題沒有萬能的方法，最好的方法就是探索。我想知道，解題到底是靠什麼？”

　　解題到底靠什麼？我靠的也就是平常的、普通人的常識，即：1.必須自己動手解題，纔能提高解題能力。2.要做一些有質量的題，一百道左右（本書每一節的問題，大多寫在開始部分，目的就是讓讀者先自己動手去試）。3.仔細審題。搞清題意並不容易。有時做完題迴顧時纔弄清楚，有時做完瞭題還不一定清楚題意。4.從簡單的做起。盡量找些簡單具體直觀的實例，由這些實例入手注意總結。要弄清關鍵所在。有哪幾個關鍵步驟？為什麼這樣做？要做一題有一題的體會，徹底弄清楚，弄透徹，不僅知其然而且知其所以然。要像大哲學傢康德所說：“通過經驗使理解力發展到直覺的判斷力，再發展到思想觀念”，“學會思考”。

　　雖然努力想寫好這本書，但是自身纔力所限，疵病一定不少，敬請大傢批評指正。

女兒喜歡做題，希望這本書提供更多思路！

等到高中纔能用

一本非常不錯的武功秘籍，對提高數學品味非要有益！五顆星！

謝謝快遞小哥熱情周到的服務！

京東快遞的小哥真的辛苦瞭

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非常好的書

不錯的書，正好趁著假期可以多看看書補習補習

好