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本书是高等院校工科类、经管类本科生学习《高等数学（下册）》课程的辅导用书，也是一本不错的基础复习阶段的考研辅导用书。作者授课经验丰富，前期作为讲义已在课堂使用多年。
内容简介
本书内容分为两大部分，第一部分为“同步练习”，该部分主要包括4个模块，即内容提要，典型例题分析，习题精选和习题详解，旨在帮助读者尽快掌握《高等数学（下册）》课程中的基本内容、基本方法和解题技巧，提高学习效率．第二部分为“模拟试题及详解”，该部分给出了10套模拟试题，并给出了详细解答的过程，旨在检验读者的学习效果，快速提升读者的综合能力．
作者简介
刘强，理学博士，教授，博士生导师，现任首都经济贸易大学统计学院副院长,兼任全国工业统计教学研究会常务理事兼常务副秘书长，北京应用统计学会常务理事，北京大数据协会理事等．主讲本科生课程：微积分，线性代数，概率论与数理统计，高等数学，多元统计分析，数学竞赛等；主讲研究生课程：高等数理统计，应用数理统计，数据分析与R语言等；主讲博士生课程：非参与半参数回归等．主要研究方向：经济数据分析，非参数计量经济和复杂数据分析等．
精彩书评
NULL目录
第一部分同 步 练 习
第8章空间解析几何与向量代数
8.1知识要点
8.1.1向量的概念及线性运算
8.1.2曲面及其方程
8.1.3空间曲线及其方程
8.1.4平面及其方程
8.1.5直线及其表示
8.2典型例题分析
8.2.1题型一向量代数的相关问题
8.2.2题型二空间曲线与曲面的相关问题
8.2.3题型三平面方程的求解
8.2.4题型四直线方程的求解
8.2.5题型五直线与平面的关系问题
8.3习题精选
8.4习题详解
第9章多元函数微分法及其应用
9.1内容提要
9.1.1多元函数的定义
9.1.2二元函数的极限与连续
9.1.3偏导数
9.1.4全微分
9.1.5高阶偏导数
9.1.6复合函数求导法则
9.1.7隐函数求导法则
9.1.8多元函数微分学的几何应用
9.1.9方向导数与梯度
9.1.10多元函数的极值
9.2典型例题分析
9.2.1题型一函数定义域及表达式的求解
9.2.2题型二二元函数极限的存在性问题
9.2.3题型三多元函数偏导数的求解问题
9.2.4题型四利用定义讨论函数在某点处的可微性
9.2.5题型五全微分的求解问题
9.2.6题型六复合函数的偏导数的证明与计算
9.2.7题型七抽象复合函数的高阶偏导数的求解问题
9.2.8题型八隐函数偏导数的求解问题
9.2.9题型九多元函数微分法及其应用问题
9.2.10题型十方向导数与梯度问题
9.2.11题型十一函数的无条件极值问题
9.2.12题型十二实际应用问题
9.3习题精选
9.4习题详解
第10章重积分
10.1内容提要
10.1.1二重积分的概念
10.1.2二重积分的性质
10.1.3利用直角坐标系计算二重积分
10.1.4利用极坐标计算二重积分
10.1.5三重积分的概念与计算
10.1.6重积分的应用
10.2典型例题分析
10.2.1题型一二次积分的换序问题
10.2.2题型二二重积分的求解问题
10.2.3题型三利用极坐标计算二重积分
10.2.4题型四三重积分的计算
10.2.5题型五积分的应用问题
10.3习题精选
10.4习题详解
第11章曲线积分与曲面积分
11.1知识要点
11.1.1第一类曲线积分的概念及计算
11.1.2第二类曲线积分的概念及计算
11.1.3格林公式及其应用
11.1.4第一类曲面积分的概念与计算
11.1.5第二类曲面积分的概念与计算
11.1.6高斯公式与斯托克斯公式
11.2典型例题分析
11.2.1题型一第一类曲线积分的求解
11.2.2题型二第二类曲线积分的求解
11.2.3题型三格林公式的应用
11.2.4题型四第一类曲面积分的求解
11.2.5题型五第二类曲面积分的求解
11.2.6题型六高斯公式的应用
11.2.7题型七斯托克斯公式的应用
11.2.8题型八曲线、曲面积分的实际应用
11.3习题精选
11.4习题详解
第12章无穷级数
12.1内容提要
12.1.1常数项级数的概念
12.1.2无穷级数的性质
12.1.3常见级数的敛散性
12.1.4正项级数的审敛法
12.1.5任意项级数的敛散性
12.1.6函数项级数的概念
12.1.7幂级数及其收敛性
12.1.8幂级数的和函数的性质
12.1.9函数的幂级数展开
12.1.10函数的幂级数展开的应用
*12.1.11函数项级数的一致收敛性及性质
12.1.12傅里叶级数
12.1.13一般周期函数的傅里叶级数
12.2典型例题分析
12.2.1题型一利用定义判定级数的敛散性
12.2.2题型二利用级数性质判定级数的敛散性
12.2.3题型三正项级数敛散性的判别
12.2.4题型四条件收敛与绝对收敛问题
12.2.5题型五幂级数的收敛域与和函数的求解
12.2.6题型六利用间接展开法将函数展开成幂级数
12.2.7题型七函数的幂级数展开式的应用
12.2.8题型八函数项级数收敛域的求解
*12.2.9题型九函数项级数一致收敛性判定
12.2.10题型十傅里叶级数的相关问题
12.3习题精选
12.4习题详解
第二部分模拟试题及详解
模拟试题一
模拟试题二
模拟试题三
模拟试题四
模拟试题五
模拟试题六
模拟试题七
模拟试题八
模拟试题九
模拟试题十
模拟试题一详解
模拟试题二详解
模拟试题三详解
模拟试题四详解
模拟试题五详解
模拟试题六详解
模拟试题七详解
模拟试题八详解
模拟试题九详解
模拟试题十详解
参考文献
精彩书摘
第一部分同步练习
第8章空间解析几何与向量代数
8.1知识要点
8.1.1向量的概念及线性运算
1.向量及其表示
（1）向量：既有大小又有方向的量称为向量，记为a.向量的大小称为向量的模,记作‖a‖或|a|.
（2）向量的表示：向量在几何上可用有向线段来表示，以点M为起点，点N为终点的有向线段是一个向量，记为MN.数学上研究与起点无关的自由向量.
（3）向量的坐标与模长：在空间直角坐标系下，设点M的坐标为(a1,b1,c1)，点N的坐标为(a2,b2,c2)，则向量MN的坐标为(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，该向量的模长为
|MN|=(a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2．
（4）方向余弦：向量a=(ax,ay,az)的方向余弦为
cosα=ax|a|,cosβ=ay|a|,cosγ=az|a|．
方向余弦满足cos2α+cos2β+cos2γ=1．
2.向量的运算
图8.1
（1）加法与减法．向量的加减法满足平行四边形法则，如图8.1所示：
AB+AD=AC，AD-AB=BD．
设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz).
（2）向量的数乘．设向量a=(ax,ay,az)，λ为实数，则λa=(λax,λay,λaz).
（3）向量a与b的数量积为a·b=|a|·|b|·cosθ，式中θ为向量a与b的夹角.设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则a·b=axbx+ayby+azbz.
（4）向量a与b的向量积为a×b=|a|·|b|·sinθ·ec，其中θ为向量a与b的夹角，ec为同时垂直于a与b的向量，向量a，b，ec成右手系；|a×b|等于以a和b为邻边的平行四边形面积.
设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则
a×b=ijk
axayaz
bxbybz=ayaz
bybz,azax
bzbx,axay
bxby．
*（5）向量a，b，c的混合积为［a,b,c］=a×b×c．设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)，则
a×b×c=axayaz
bxbybz
cxcycz．
|a×b×c|等于以a,b和c为边的平行六面体的体积.
3.向量间的关系
设a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)均为非零向量.
（1）向量a=b的充分必要条件为ax=bx,ay=by,az=bz.
（2）cosθ=a·b|a||b|，式中θ为向量a与b的夹角.
（3）射影表示式为：当a≠0时，a·b=|a|Prjab；当b≠0时，a·b=|b|Prjba.
（4）a与b平行的充要条件是axbx=ayby=azbz．
（5）a与b垂直的充要条件是axbx+ayby+azbz=0．
（6）向量a，b，c共面的充要条件为
axayaz
bxbybz
cxcycz=0．
8.1.2曲面及其方程
曲面的一般方程为
F(x,y,z)=0或z=f(x,y)等.
（1）球面：一般方程为x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0，常化为标准方程
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2，
其中(x0,y0,z0)为球心;R为半径.
（2）旋转曲面：F(y,z)=0
x=0绕y轴旋转一周所得曲面为F(y,±z2+x2)=0，绕z轴旋转一周所得曲面为F(±y2+z2,z)=0；类似可得其他坐标平面上的曲线绕同一坐标平面内的坐标轴旋转一周所得曲面的方程.
（3）柱面：方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴，准线为F(x,y)=0
z=0的柱面；方程F(y,z)=0表示母线平行于x轴，准线为F(y,z)=0
x=0的柱面；方程F(z,x)=0表示母线平行于y轴，准线为F(z,x)=0
y=0的柱面.
（4）常见二次曲面的标准方程
椭圆锥面x2a2+y2b2=z2；椭球面：x2a2+y2b2+z2c2=1；
单叶双曲面：x2a2+y2b2-z2c2=1；双叶双曲面：x2a2-y2b2-z2c2=1；
椭圆抛物面：x2a2+y2b2=z；双叶抛物面：x2a2-y2b2=z．
8.1.3空间曲线及其方程
（1）两张曲面的交线为曲线．其一般方程为F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0．
（2）参数式方程为
x=x(t),
y=y(t),
z=z(t).
这里为t参数．
（3）空间曲线在坐标平面上的投影
设l:F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0，消去z，得H(x,y)=0，则曲线H(x,y)=0
z=0为曲线l在xOy面上的投影．在其余面上的投影方法类似．
8.1.4平面及其方程
平面与三元一次方程一一对应.
1.平面的点法式方程
过点(x0,y0,z0)，以非零向量r=(A,B,C)为法向量的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
2.平面的一般式方程
在点法式方程中，令D=-(Ax0+By0+Cz0)，得到形如Ax+By+Cz+D=0的方程.
3.平面的截距式方程
平面在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c，当abc≠0时，平面的方程为xa+yb+zc=1.
4.平面的三点式方程
设Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)为平面上不共线的三点，则有平面方程
x-x1y-y1z-z1
x2-x1y2-y1z2-z1
x3-x1y3-y1z3-z1=0.
5.两个平面之间的关系
设平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)为平面的法向量；平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)为平面的法向量.
（1）平行：π1∥π2�趎1∥n2�趎1=λn2(λ≠0)�趎1×n2=0�贏1A2=B1B2=C1C2；
（2）垂直：π1⊥π2�趎1⊥n2�趎1·n2=0�贏1A2+B1B2+C1C2=0；
（3）相交：A1A2=B1B2=C1C2不成立；
（4）重合：A1A2=B1B2=C1C2=D1D2.
6.两平面的夹角
设平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)为平面的法向量；平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)为平面的法向量.θ为两平面的夹角，则
cosθ=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21A22+B22+C22.
7.点到平面的距离公式
点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2．
8.两个平行平面之间的距离公式
设平面π1:Ax+By+Cz+D1=0，平面π2:Ax+By+Cz+D2=0，其中r=(A,B,C)为这两个平面的法向量.则两个平面之间的距离为
d=|D1-D2|A2+B2+C2．
8.1.5直线及其表示
（1）直线的一般式方程：两张平面交于一条直线，得直线方程
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0.
（2）直线的点向式方程（标准式方程）：过点P(x0,y0,z0)，方向为τ=(m,n,p)的直线方程为
x-x0m=y-y0n=z-z0p.
（3）直线的参数式方程：点向式方程中，令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t，得
x=x0+mt,
y=y0+nt,
z=z0+pt,
其中t为参数．
（4）两条直线之间的关系
设直线l1:x-x1m1=y-y1n1=z-z1p1，其中s1=(m1,n1,p1)为直线的方向向量；直线l2:x-x2m2=y-y2n2=z-z2p2，其中s2=(m2,n2,p2)为直线的方向向量.
①平行：l1∥l2�趕1∥s2�趕1=λs2(λ≠0)�趕1×s2=0�趍1m2=n1n2=p1p2；
②垂直：l1⊥l2�趕1⊥s2�趕1·s2=0�趍1m2+n1n2+p1p2=0.
③两直线的夹角：记θ为两直线的夹角，则
cosθ=|m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21m22+n22+p22.
（5）点到直线的距离：直线L的方向向量为τ，P为L上一点，则点Q到直线L的距离为
d=|PQ×τ||τ|．
（6）两条异面直线间的距离：M1为直线L1上一点，M2为直线L2上一点，L1与L2的方向分别为τ1与τ2，则直线L1和L2的公垂线长
d=|P1P2·(τ1×τ2)||τ1×τ2|．
（7）直线与平面的关系
设平面π:Ax+By+Cz+D=0，其中n=(A,B,C)为平面的法向量，直线l:x-x0m=y-y0n=z-z0p，其中s=(m,n,p)为直线的方向向量.
①平行：π∥l�趎⊥s�趎·s=0�贏m+Bn+Cp=0；
②垂直：π⊥l�趎∥s�趎=λs(λ≠0)�趎×s=0�贏m=Bn=Cp；
③直线在平面上：n·s=0，且Ax0+By0+Cz0+D=0.
（8）过直线l：A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0的平面束方程是
λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0
或
A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0，
其中λ和μ为参数.
注第二个式子中不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0.
8.2典型例题分析
8.2.1题型一向量代数的相关问题
例8.1若a=4m-n,b=m+2n,c=2m-3n,式中|m|=2,|n|=1,(m,n)=π2,化简表达式a·c+3a·b-2b·c+1.
解a·c+3a·b-2b·c+1
=(4m-n)·(2m-3n)+3(4m-n)·(m+2n)-2(m+2n)·(2m-3n)+1
=16|m|2+9|n|2+1=16×4+9×1+1=74.
例8.2设a,b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于（）.
（A）a·b|b|2；（B）-a·b|b|2；（C）1；（D）a·b.
解所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式．如果a+λb垂直于向量b，因此应有(a+λb)·b=0，整理得a·b+λb·b=0，即
a·b+λ|b|2=0，
由于b为非零向量，因而应有λ=-a·b|b|2，故应选（B）.
例8.3设A=2a+b,B=ka+b,其中|a|=1，|b|=2，a⊥b，问k为何值时,A与B为邻边的平行四边形面积为6.
解由于
A×B=(2a+b)×(ka+b)=(2-k)(a×b)，
平行四边形面积为A×B的模.所以
6=|A×B|=|2-k|·|a‖b|sin(a,b)=|2-k|·2,
即有k-2=±3,所以
k1=5,k2=-1.
8.2.2题型二空间曲线与曲面的相关问题
例8.4求旋转抛物面z=x2+y2与平面y+z=1交线在xOy平面上投影方程.
解从曲线方程z=x2+y2
y+z=1中消去z，得曲线向xOy平面得投影柱面方程x2+y2+y=1.于是曲线在xOy平面得投影曲线的方程为
x2+y+122=54
z=0.
例8.5求由上半球面z=4-x2-y2和锥面z=3(x2+y2)所围成立体在xOy面上的投影.
解由方程z=4-x2-y2和z=3(x2+y2)消去z得到x2+y2=1.这是一个母线平行于z轴的圆柱面，这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面，因此交线C在xOy面上的投影曲线为
x2+y2=1
z=0.
这是xOy面上的一个圆，于是所求立体在xOy面上的投影，就是该圆在xOy面上所围的部分x2+y2≤1.
例8.6求直线L:x=1-2t
y=3+t
z=2-3t在三个坐标面上的投影.
解在三个坐标面上的投影分别为
（1）在xOy平面上：x=1-2t
y=3+t
z=0；
（2）在xOz平面x=1-2t
y=0
z=2-3t；
（3）在yOz平面上x=0
y=3+t
z=2-3t.
8.2.3题型三平面方程的求解
例8.7求通过三平面2x+y-z=0,x-3y+z+1=0和x+y+z-3=0的交点,且平行于平面x+y+2z=0的平面方程.
解所求平面平行于x+y+2z=0,所以该平面的法向量为(1,1,2).三平面的交点为
2x+y-z-2=0
x-3y+z+1=0
x+y+z-3=0,
解得x=1,y=1,z=1.所以所求平面为
(x-1)+(y-1)+2(z-1)=0，
即x+y+2z-4=0.
例8.8一平面通过两点M1(1,1,1)，M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z-4=0，求它的方程.
解由已知条件知，向量M1M2=(-1,0,-2)与平面x+y+z-4=0的法向量n=(1,1,1)的向量积M1M2×n即为所求平面的法向量
M1M2×n=ijk
-10-2
111=(2,-1,-1)，
前言/序言
随着经济的发展、科技的进步，数学在经济、管理、金融、生物、信息、医药等众多领域发挥着越来越重要的作用，数学思想和方法的学习与灵活运用已经成为当今高等院校人才培养的基本要求．
然而，很多学生在学习的过程中，对于一些重要的数学思想、数学方法难以把握，对一些常见题型存在困惑、常常感觉无从下手，对数学的理解往往只注重某些具体的知识点而体会不出蕴含在其中的思想和方法．
为了让学生更好、更快地掌握所学知识，同时又结合部分学生考研的需要，我们编写了高等院校工科类、经济管理类数学系列辅导丛书，该丛书包括《微积分》《高等数学》《线性代数》和《概率论与数理统计》四门数学课程的辅导用书，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书的主编．
本书为《高等数学》（下册）部分，编写的主要目的有两个，一是帮助学生更好地学习《高等数学》课程，熟练掌握教材中的一些基本概念、基本理论和基本方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，以达到工科类专业对学生数学能力培养的基本要求；二是为了满足学生报考研究生的需要，结合编者多年来的教学经验，精选了部分经典考题，使学生对考研题的难度和深度有一个总体的认识．
全书内容分为两大部分：
第一部分是同步练习，该部分共有7章，每章包含四个模块，即内容提要、典型例题分析、习题精选以及习题详解，具体模块内容为：
一、内容提要：本模块通过对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理、归纳总结，详细解答了读者在学习过程中可能遇到的各种疑难问题．
二、典型例题分析：本模块是作者在多年来教学经验的基础上，创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典习题，按照知识结构、解题思路、解题方法对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧．
三、习题精选：本模块精心选编了部分具有代表性的习题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果．
四、习题详解：本模块对精选习题部分给出了详细解答，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，提高读者的分析能力和发散性思维能力．
第二部分是模拟试题及详解．该部分包含两个模块，即模拟试题与模拟试题详解.
本部分共给出了10套模拟试题，并给出了详细解答过程，主要目的是检验读者的学习效果，提高读者的综合能力．
为了便于读者阅读本书，书中的选学内容将用*标出，有一定难度的结论、例题和综合练习题等将用**标出，初学者可以略过．
本书的前身是一本辅导讲义，在首都经济贸易大学已经使用过多年，其间修订过多版，本次应清华大学出版社邀请，作者将该辅导讲义进行了系统的整理、改编，几经易稿，终成本书．
本书共分5章，其中第8、11章由袁安锋编写，第9、10章由孙激流编写，第12章由刘强编写，模拟试题及详解部分由编写组共同完成，最后由刘强负责统一定稿．
本书可以作为高等院校工科类、经济管理类本科生学习《高等数学》的辅导资料；对于准备报考硕士研究生的本科生而言，本书也是一本不错的基础复习阶段数学参考用书．
本丛书在编写过程中，得到了北京工业大学薛留根教授，北京工商大学曹显兵教授，江苏师范大学赵鹏教授，中央财经大学贾尚晖教授，昆明理工大学吴刘仓教授，首都经济贸易大学马立平教授、张宝学教授、任韬副教授，北京化工大学李志强副教授以及同事们的大力支持，清华大学出版社的编辑彭欣女士和刘志彬主任也为本丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢．
由于作者水平有限，尽管我们付出了很大努力，但书中仍可能存在疏漏之处，恳请读者和同行不吝指正．我们的电子邮件：cuebliuqiang@163.com.
作者
用户评价
总体而言，我认为《高等数学（下册）同步练习与模拟试题》是一本非常出色的学习辅助工具。它不仅提供了海量的练习题，还附带了详尽的解题思路和答案解析，能够帮助学生深入理解高等数学下册的核心概念和解题技巧。无论是作为课后同步练习，还是考前复习巩固，它都能够提供极大的帮助。它在题目设计、内容编排、语言表达以及细节处理方面都做得非常出色，充分体现了以学生为本的设计理念。对于工科类和经济管理类学生而言，掌握好高等数学是未来学习和工作的基础，而这本书无疑是通往掌握高等数学的捷径之一。它能够帮助我们梳理知识，查漏补缺，提升解题能力，最终自信地迎接考试的挑战。我强烈推荐给所有正在学习高等数学下册，或者需要复习这部分内容的同学们。
评分老实说，很多辅导书的内容都是千篇一律的，公式和定理的讲解大同小异，但这本书在对一些难点和易错点的处理上，展现出了独到的见解。比如，在讲解拉格朗日乘数法时，它不仅仅给出了公式，还通过一些图示，生动地解释了乘数法的几何意义，以及它如何处理带约束条件的优化问题。这种形象化的讲解，比单纯的文字描述更容易理解。又比如，在关于级数收敛性的判断方面，书中列举了多种常见的收敛判别法，并且通过大量的例题，演示了在不同情况下应该选择哪种判别法，以及一些容易混淆的地方。它会明确指出，某些判别法适用于特定的函数形式，而另一些则更加普适。这种细致入微的提示，能够有效避免我们在解题过程中走弯路，节省宝贵的复习时间。我曾经在学习某个定理时，因为理解不够深入而屡屡出错，但通过这本书的讲解，很多模糊的概念都变得清晰起来，解题的信心也大大增强。
评分拿到这本《高等数学（下册）同步练习与模拟试题》，我最直观的感受就是它的实用性。作为一本专门为工科类和经济管理类学生设计的辅导丛书，它显然抓住了学生在学习高等数学下册时的痛点。试想一下，有多少同学在学到多元函数积分、微分方程、级数等内容时感到力不从心？这些章节的概念抽象，计算繁琐，很多时候单靠课本上的例题和习题，很难真正吃透。这本练习册就恰好弥补了这一块的不足。它提供的同步练习，紧扣教材的章节，难度循序渐进，从最基础的概念辨析到复杂的计算推导，都给出了相当数量的题目。而且，这些题目不仅仅是简单的重复，很多都具有一定的代表性，能够帮助我们梳理知识点之间的联系。更值得称赞的是，它在设计题目时，考虑到了不同专业的侧重点，某些题目或许更偏向工科的物理模型应用，而另一些则更侧重于经济学中的量化分析，这种区分度对于不同专业的同学来说，是非常友好的，能让我们把精力放在更贴近自己专业需求的部分。我个人认为，对于那些希望巩固课堂所学，或者在课后需要大量练习来加深理解的学生来说，这本书绝对是不可多得的辅助工具。它就像一个不知疲倦的助教，随时准备着为我们提供足够多的练习机会，直到我们掌握每一个知识点。
评分在我看来，《高等数学（下册）同步练习与模拟试题》最核心的价值，在于它能够帮助我们构建一个完整的知识体系。学习高等数学，尤其是下册的内容，很容易陷入“点”的学习，即只关注单个的公式或定理，而忽略了它们之间的内在联系。这本书的同步练习，就很好地体现了这一点。它按照章节的逻辑顺序，将不同类型的题目有机地结合在一起，通过反复的练习，让学生在潜移默化中理解了不同概念之间的相互依存和转化关系。例如，在学习了级数之后，练习题中会引入利用级数来求解微分方程的问题，这就能让读者明白，级数不仅仅是理论上的推导，它还能在实际问题中发挥作用。再比如，从二重积分到三重积分，从曲线积分到曲面积分，练习题的难度和复杂度是层层递进的，每一次的练习都是对前面知识的巩固和延伸，最终形成一个知识的网络，而不是孤立的点。这种编排方式，对于培养我们分析问题和解决问题的能力，有着至关重要的作用。
评分在我拿到这本书之前，我对于“模拟试题”这个概念，总觉得不过是把一些零散的题目拼凑起来，然后给个时间限制罢了。但《高等数学（下册）同步练习与模拟试题》中的模拟试题，却给了我耳目一新的感觉。这些试题的编排，明显是经过精心设计的，它们在难度、题型、知识点覆盖范围上，都非常贴近真实考试的要求。我印象深刻的是，其中的一些模拟试卷，其出题的风格和逻辑，与我之前在网上看到的一些历年真题有着惊人的相似性。这让我对这本书的价值有了更高的认识。它不仅仅是 esercizi (exercises) 的集合，更是一个能帮助我们熟悉考试节奏，检验学习成果的“沙盘”。我通常会在完成所有同步练习后，再来做模拟试题。在做题过程中，我会严格按照考试时间来要求自己，这不仅能训练我的解题速度，更能帮助我发现自己哪些知识点掌握得不够牢固，哪些题型容易出错。通过反复练习这些模拟试题，我能够更清晰地认识到自己的薄弱环节，并针对性地进行巩固。这对于考前冲刺阶段来说，无疑是极大的助力。
评分这本《高等数学（下册）同步练习与模拟试题》给我的感觉是，它不仅仅是一本练习册，更像是一个“题库+解题思路指南”。我记得在学习微分方程的时候，课本上给出的方法虽然都有讲解，但实际应用起来总觉得摸不着头脑，尤其是在面对一些变种题目时，更是无从下手。而这本练习册的题目设计，就非常巧妙地涵盖了各种常见的类型和一些稍微刁钻但又具有启发性的变式。更重要的是，它在很多题目后都附带了解题思路的解析，这才是最吸引我的地方。它不是简单地给出一个答案，而是详细地剖析了题目背后的逻辑，是如何从已知条件推导出解的，其中涉及了哪些关键的概念和公式，以及在解题过程中需要注意的陷阱。这种“解析式”的练习方式，比单纯的做题要有效得多。它教会了我如何去思考，如何去分析问题，而不是死记硬背解题步骤。尤其是在一些计算量较大的题目，比如多元函数重积分或者曲线积分，仅仅看到答案是不够的，理解每一步的计算过程，以及为什么这样做，才能真正内化知识。对于我这种需要“知其然，更要知其所以然”的学习者来说，这种详尽的解析实在是太宝贵了。
评分这本书的语言风格也值得称赞。它不像一些过于学术化的教材那样枯燥乏味，也没有过于口语化的俚语，而是采用了一种严谨而又易于理解的语言。在讲解概念时，它会尽量使用清晰明了的句子，避免使用过于晦涩的术语。在解析题目时，它的描述也是条理分明，逻辑清晰。这使得我在阅读过程中，能够保持较高的专注度，并且能够有效地吸收书中的信息。我曾经阅读过一些翻译过来的辅导书，虽然内容也很不错，但语言总感觉有些生硬。而这本书，完全是本土化的创作，它的表达方式非常符合中国学生的学习习惯。我喜欢它在介绍一些经典问题时，会稍微带入一些背景知识，让我在学习数学的同时，也能感受到数学的魅力所在。
评分这本书的设计理念，我觉得非常人性化。它的排版清晰，字体大小适中，阅读起来不会造成视觉疲劳。而且，在题目和解析之间，留有足够的空白，方便我在做题时进行标注和演算。我特别喜欢的是，它在每个章节的开始，都会有一个简要的知识点回顾，虽然不是特别详细，但足以帮助我快速地回忆起本章的核心内容，然后再进入到具体的练习中。这种“先回顾，后练习”的模式，非常有助于知识的系统性学习。另外，这本书的装订质量也很好，翻页顺畅，不易散架，这一点在需要经常翻阅的辅导书来说，非常重要。有时候，一本好的辅导书，不仅仅体现在内容上，外在的呈现形式同样影响着学习体验。这本书在这些细节上的处理，都让我觉得非常满意，它传递出一种“认真对待读者”的态度，让我愿意花更多的时间去钻研它。
评分我是一个比较注重细节的学习者，在学习数学的过程中，我习惯于追究每一个步骤的严谨性。而《高等数学（下册）同步练习与模拟试题》在这方面做得相当不错。它的题目答案解析，不仅给出了最终结果，更重要的是，对每一步的计算过程都进行了详细的展示，并且会注明所应用的定理、公式或性质。这一点对于我这种喜欢刨根问底的学生来说，简直是福音。我可以通过解析，来检查自己的计算是否准确，逻辑是否严密，以及是否有遗漏关键的步骤。有时候，一个计算上的小错误，就可能导致整个题目功亏一篑。通过对照解析，我能够快速地发现自己的盲点，并加以纠正。此外，对于一些证明题，它也会给出详细的证明思路和关键的证明技巧，这对于提升我们的数学思维能力非常有帮助。总而言之，这本书的解析是严谨且全面的，它能够帮助我们培养严谨的数学学习习惯。
评分不得不说，这本书在题目数量上是非常充足的。对于我们这些需要大量练习来巩固知识的学生来说，这绝对是个好消息。在学习高等数学下册的过程中，很多内容都需要反复的练习才能真正掌握。比如，像求解复杂的多元函数积分，涉及到换元、分部积分、参数方程等多种技巧的综合运用，没有足够的题目来训练，很难熟练掌握。这本书提供的同步练习，覆盖了各种可能遇到的题型，而且每种题型都有相当数量的练习题，这确保了我们在遇到不同类型的题目时，都有足够的“弹药”去应对。我通常会把这本书的练习题作为我学习的主要来源，做完一套练习，再对照解析，然后反复琢磨，直到完全弄懂。即使是同一个知识点，它也会从不同的角度设计出多种多样的题目，让我们能够全方位地理解和掌握。
评分挺好的
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