常微分方程基本问题与注释 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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韩茂安 著

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• 常微分方程
• 微分方程
• 数学分析
• 高等数学
• 数学教材
• 工程数学
• 解题技巧
• 注释
• 基础理论
• 学术参考

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030550484

版次：31

商品编码：12279100

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-11-01

页数：148

字数：187000

正文语种：中文

内容简介

《常微分方程基本问题与注释》是作者在上海师范大学主讲数学专业本科生常微分方程课程的教学与学习配套用书，所采用教材是作者与合作者所编写的《常微分方程》(高等教育出版社).《常微分方程基本问题与注释》的主要内容可分为两部分.一部分是针对教材的每一节内容列出了五个基本问题，供学生课前预习时参考，通过问题带领，有的放矢地让学生自学教材，理解了这些问题就领会了所学内容. 另一部分是作者根据该节内容和自己的理解与体会所写的主要内容以及具有鲜明特色的注释，帮助学生正确理解和掌握课本知识，此外，各节配备了习题及其答案或提示，各章还补充了典型例题并配备了练习题，以及对重点难点所做的总结与思考.

目录

目录
前言
第1章 一阶微分方程 1
1.1 微分方程和解 1
1.1.1 基本问题 1
1.1.2 主要内容与注释 1
1.1.3 习题1.1及其答案或提示 4
1.2 积分法与可分离变量方程 6
1.2.1 基本问题 6
1.2.2 主要内容与注释 6
1.2.3 习题1.2及其答案或提示 9
1.3 线性方程 12
1.3.1 基本问题 12
1.3.2 主要内容与注释 12
1.3.3 习题1.3及其答案或提示 14
1.4 恰当方程 17
1.4.1 基本问题 17
1.4.2 主要内容与注释 17
1.4.3 习题1.4及其答案或提示 22
1.5 一阶隐式微分方程 24
1.5.1 基本问题 24
1.5.2 主要内容与注释 24
1.5.3 习题1.5及其答案或提示 26
1.6 第1章典例选讲与习题演练 27
1.6.1 典例选讲 27
1.6.2 习题演练及其答案或提示 33
1.7 第1章总结与思考 35
第2章 一阶线性常微分方程组 38
2.1 矩阵与矩阵函数分析初步 38
2.1.1 基本问题 38
2.1.2 主要内容与注释 38
2.2 解的存在与唯一性 45
2.2.1 基本问题 45
2.2.2 主要内容与注释 45
2.2.3 习题2.2及其答案或提示 46
2.3 线性常微分方程组的通解 47
2.3.1 基本问题 47
2.3.2 主要内容与注释 47
2.3.3 习题2.3及其答案或提示 51
2.4 常系数线性常微分方程组的通解 53
2.4.1 基本问题 53
2.4.2 主要内容与注释 54
2.4.3 习题2.4及其答案或提示 61
2.5 第2章典例选讲与习题演练 64
2.5.1 典例选讲 64
2.5.2 习题演练及其答案或提示 67
2.6 第2章总结与思考 68
第3章 高阶线性常微分方程 70
3.1 高阶线性常微分方程与一阶线性常微分方程组 70
3.1.1 基本问题 70
3.1.2 主要内容与注释 70
3.1.3 习题3.1及其答案或提示 72
3.2 高阶线性微分方程的通解 73
3.2.1 基本问题 73
3.2.2 主要内容与注释 73
3.2.3 习题3.2及其答案或提示 78
3.3 高阶常系数线性齐次微分方程的通解 79
3.3.1 基本问题 79
3.3.2 主要内容与注释 80
3.3.3 习题3.3及其答案或提示 83
3.4 高阶常系数非齐次线性微分方程的通解 84
3.4.1 基本问题 84
3.4.2 主要内容与注释 84
3.4.3 习题3.4及其答案或提示 85
3.5 第3章典例选讲与习题演练 87
3.5.1 典例选讲 87
3.5.2 习题演练及其答案或提示 90
3.6 第3章总结与思考 91
第4章 非线性微分方程基本理论 93
4.1 存在与唯一性定理 93
4.1.1 基本问题 93
4.1.2 主要内容与注释 93
4.1.3 习题4.1及其答案或提示 95
4.2 解的延拓 96
4.2.1 基本问题 96
4.2.2 主要内容与注释 96
4.2.3 习题4.2及其答案或提示 99
4.3 解对初值和参数的连续性与可微性 100
4.3.1 基本问题 100
4.3.2 主要内容与注释 100
4.3.3 习题4.3及其答案或提示 101
4.4 第4章典例选讲与习题演练 102
4.4.1 典例选讲 102
4.4.2 习题演练及其答案或提示 104
4.5 第4章总结与思考 106
第5章 定性理论与分支方法初步 108
5.1 基本概念 108
5.1.1 基本问题 108
5.1.2 主要内容与注释 108
5.1.3 习题5.1及其答案或提示 109
5.2 李雅普诺夫函数方法 110
5.2.1 基本问题 110
5.2.2 主要内容与注释 110
5.2.3 习题5.2及其答案或提示 111
5.3 一维周期微分方程 112
5.3.1 基本问题 112
5.3.2 主要内容与注释 112
5.3.3 习题5.3及其答案或提示 114
5.4 细焦点与极限环 115
5.4.1 基本问题 115
5.4.2 主要内容与注释 115
5.4.3 习题5.4及其答案或提示 118
5.5 常见分支现象举例 119
5.5.1 基本问题 119
5.5.2 主要内容与注释 120
5.5.3 习题5.5及其答案或提示 120
5.6 第5章典例选讲与习题演练 121
5.6.1 典例选讲 121
5.6.2 习题演练及其答案或提示 124
5.7 第5章总结与思考 125
参考文献 135

《常微分方程基本问题与注释》是一部旨在深入剖析常微分方程（ODE）核心概念、理论框架及其在科学与工程领域广泛应用的著作。本书并非对特定方程解法的罗列，而是致力于引导读者构建对ODE整体的深刻理解，从根源上把握其数学本质和实际意义。 本书的核心目标在于，让读者能够清晰地认识到常微分方程在描述和建模动态系统中的不可或缺性。它不仅仅是关于数学公式的抽象演算，更是关于如何将现实世界中的变化过程转化为严谨的数学语言，并从中提取有价值信息。因此，本书的叙述方式力求严谨而又不失清晰，理论推导与直观理解并行，旨在搭建一座连接抽象数学与具体应用的桥梁。 内容结构与重点： 本书将围绕以下几个关键模块展开，层层递进，构建起完整的常微分方程知识体系： 第一部分：基础概念与存在性理论 方程的定义与分类： 本部分将从最基本的层面出发，清晰界定常微分方程的内涵，包括其阶数、线性与非线性、齐次与非齐次等基本分类。这为后续更深入的学习奠定坚实的基础。我们将探讨不同分类的方程所具有的不同数学性质和物理意义，理解为何需要对它们进行区分。 解的概念与性质： 深入讨论什么是方程的解，以及解的唯一性、光滑性等关键性质。我们将引入“解的存在性”这一核心问题，并详细阐述Picard-Lindelöf定理（也称存在唯一性定理），这是理解任何ODE理论的基石。我们将通过严谨的数学证明，展示在何种条件下，一个ODE能够保证存在且唯一的解。这部分还将涉及 Lipschitz 条件的意义及其在保证解的唯一性中的作用。 初值问题与边值问题： 详细区分初值问题（IVP）和边值问题（BVP）。初值问题侧重于系统在初始状态下的演化，这在许多物理和工程应用中尤为重要。边值问题则关注系统在边界条件下的稳态或特定分布。我们将探讨两者在理论和应用上的差异，以及各自的求解策略。 向后和向前推演： 讨论ODE解的“时间”方向性。对于许多系统，我们关心的是从过去到未来的演化（向前推演），但有时也需要根据已知结果推断其过去的状态（向后推演）。本书将探讨这两种推演方式的数学含义和潜在的困难，例如向后推演可能存在的“病态”问题。 第二部分：线性常微分方程理论 一阶线性ODE： 从最简单的一阶线性ODE入手，介绍分离变量法、积分因子法等基本求解技巧。我们将详细解释积分因子法的由来和工作原理，以及如何通过它将一般的一阶线性ODE转化为易于求解的形式。 高阶线性ODE： 重点研究常系数线性ODE。我们将深入探讨特征方程法，以及如何利用特征根的性质（实根、重根、复根）来构造通解。这部分内容将包含详尽的推导过程，使读者理解公式背后的数学逻辑。 齐次与非齐次方程的解： 详细分析齐次方程的通解结构，以及非齐次方程的特解的求解方法，例如待定系数法和常数变易法。我们将对比不同方法的优缺点，并给出适用场景。 解的存在性与唯一性（线性方程）： 针对线性方程，我们将复习并强调其解的全局存在性与唯一性。对比非线性方程，线性方程在解的存在性方面通常表现出更强的鲁棒性。 线性系统的理论： 将讨论多个线性ODE组成的方程组，即线性ODE系统。我们将引入矩阵指数等概念，用于求解线性ODE系统。这将为理解更复杂的动力学系统打下基础。 第三部分：非线性常微分方程的分析方法 相平面分析： 对于二维非线性ODE系统，我们将详细介绍相平面分析方法。这包括绘制相轨迹、识别奇点（平衡点）的类型（节点、鞍点、焦点、中心）及其稳定性。相平面分析提供了一种直观理解非线性系统行为的有力工具，无需显式求解方程。 稳定性理论： 深入探讨Lyapunov稳定性理论。我们将介绍直接法和间接法，以及如何利用Lyapunov函数来判断系统的稳定性。稳定性是许多工程控制和系统分析中的核心问题，本书将对其进行详尽讲解。 奇点分析： 进一步研究非线性方程的奇点附近的线性化方法。通过线性化，我们可以近似地分析奇点附近的局部行为，从而了解系统的稳定性。 极限环与周期解： 介绍非线性系统中可能出现的周期性行为，如极限环。我们将探讨Bendixson定理、Poincaré-Bendixson定理等用于判断极限环存在的理论。 近似方法与数值方法概述： 虽然本书主要关注理论分析，但也会简要介绍一些常用的近似方法（如摄动法）和数值方法的思想。这将为读者在理论分析遇到困难时，提供可能的进一步研究方向。 第四部分：应用与拓展 经典应用案例： 本部分将通过具体的、典型的应用案例来展示ODE的强大生命力。例如，我们将分析： 物理学中的应用： 简谐振动、阻尼振动、受迫振动，牛顿第二定律在多体问题中的应用，放射性衰变等。 生物学中的应用： 种群增长模型（如Logistic模型）、捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra模型）、疾病传播模型（SIR模型）等。 化学中的应用： 化学反应动力学模型。 工程学中的应用： 电路分析、控制系统模型、机械系统动力学等。 经济学中的应用： 简单的经济增长模型。 模型构建的思考： 引导读者理解如何将现实问题转化为ODE模型，包括变量的选择、方程的建立、参数的意义等。我们将强调模型化过程中的简化与近似，以及如何评估模型的有效性。 进一步研究方向的展望： 简要介绍一些更高级的ODE理论，如摄动理论、混沌动力学、随机微分方程等，为有兴趣的读者提供继续深造的线索。 本书的特色与价值： 理论严谨，逻辑清晰： 本书注重数学推导的严谨性，同时力求使论述过程清晰易懂，避免晦涩难懂的表述。 强调理解，而非死记硬背： 目标是帮助读者建立对ODE概念的深层理解，掌握解决问题的思想方法，而不是仅仅记住公式。 循序渐进，由浅入深： 从最基础的概念出发，逐步深入到复杂的理论和应用，适合不同水平的读者。 连接理论与实践： 通过丰富的应用案例，展示ODE在各个领域的强大作用，激发读者的学习兴趣和解决实际问题的能力。 为进阶学习奠定基础： 本书的内容体系完整，为进一步学习更高级的微分方程理论、动力系统、数值分析等领域提供了坚实的基础。 《常微分方程基本问题与注释》不仅是一本教科书，更是一本能够引导读者踏入动态系统世界、理解世界运行规律的入门指南。它将帮助读者掌握一套强大的数学工具，用于分析和理解那些随时间或其他自变量变化的复杂系统。本书相信，通过对常微分方程基本问题的深入探讨，读者将能够更自信地面对和解决科学与工程领域中的各种动态挑战。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，《常微分方程基本问题与注释》这本书，给我的感觉就像是在攀登一座陡峭的山峰。作者以一种极其“硬核”的方式，带领我们一步步走向山顶，而山顶的风景，无疑是常微分方程理论的核心。书中的内容，充满了严谨的数学语言和复杂的推导过程，每一次阅读都像是在进行一场思维的“马拉松”。我不得不承认，作者在处理一些经典问题时的视角非常独特，他并非简单地重复教科书上的内容，而是试图用自己的理解和方式来阐释，这使得在理解某些概念时，会有一种“豁然开朗”的感觉，仿佛看到了问题的新维度。然而，这种“新维度”的代价，往往是更高的阅读门槛。我常常需要在书本、草稿纸和互联网之间来回切换，才能勉强跟上作者的思路。书中一些抽象的定理和证明，对于我这样的普通读者来说，理解起来颇具挑战性。我更期待的是，在探究这些“基本问题”的同时，也能有一些“注释”来引导我如何将这些理论与实际问题联系起来，或者提供一些更直观的理解方式。目前，这本书更像是一份“密不透风”的数学宝藏，我能感受到它的价值，但如何开启这扇宝藏的大门，还需要我付出更多的努力。

评分☆☆☆☆☆

《常微分方程基本问题与注释》这本书，给我最大的感受就是“深度与广度的取舍”。作者显然在“深度”上投入了巨大的精力，对常微分方程的一些核心概念进行了深入的剖析，使得读者能够触及到这个数学分支最根本的原理。我能感受到作者在构建理论体系时那种一丝不苟的态度，每一个定理的提出，每一个证明的推导，都充满了严谨性。例如，书中对于解的性质的探讨，就远超出了我以往对“求出解”的简单理解，它让我开始思考“解是否一定存在”、“解是否唯一”、“解的稳定性如何”这些更深层次的问题。然而，这种对“深度”的极致追求，也使得这本书在“广度”上显得有所欠缺。我曾期待能看到更多关于不同类型方程的解法技巧，或者一些在物理、工程、生物等领域实际应用的案例分析，这样能够帮助我更好地理解这些抽象理论的价值和意义。目前来看，这本书更像是一部“理论基石”的构建，它为进一步深入研究打下了基础，但对于那些希望快速掌握应用技能的读者来说，可能还需要搭配其他的参考资料。

评分☆☆☆☆☆

这本《常微分方程基本问题与注释》究竟讲了些什么，我实在是摸不着头脑。虽然书名听起来一本正经，但当我翻开书页，迎接我的却是密密麻麻的符号和公式，仿佛置身于一个抽象的数学迷宫。书中时不时出现的“解的存在性与唯一性”、“奇点”、“稳定性”等术语，更是让我一头雾水，感觉自己像个误闯数学殿堂的门外汉。我试图理解那些看似严谨的证明过程，但常常在几步之后就迷失了方向，只能徒劳地盯着那些线条和字母。更让我感到困惑的是，书中的例题和习题也常常需要一些我并不熟悉的辅助工具，比如一些高级的积分技巧或者向量分析的方法，这让我觉得这本书的起点可能比我预期的要高不少。我原本以为会看到一些关于物理现象如何用微分方程描述的生动例子，或者一些关于如何求解方程的直观方法，但这本书似乎更侧重于理论的构建，对实际应用的着墨不多，这让我对“基本问题”的理解产生了偏差。也许，这本教材更适合那些已经对微积分和线性代数有扎实基础，并且志在深入研究微分方程理论的读者。对我而言，它更像是一扇紧闭的大门，我虽然能看到门上的精美雕刻，却不知如何找到钥匙去推开它。

评分☆☆☆☆☆

读完《常微分方程基本问题与注释》，我感觉自己仿佛经历了一场思维的“极限挑战”。书中的内容，与其说是“讲解”，不如说是一种“引导”，引导读者一步步走向更加抽象和深刻的数学世界。作者并没有直接给出“怎么办”的答案，而是通过严谨的逻辑链条，一层层剥开问题的本质。我特别欣赏作者在处理一些关键概念时的“刨根问底”精神，比如对于“解的性质”的探讨，书中并非简单罗列结论，而是通过各种数学工具，反复论证，力求让读者理解其所以然。这使得我对“什么是解”、“解有哪些可能的行为”有了更清晰的认识。然而，这种深度也带来了不小的阅读门槛。书中涉及的一些证明，其复杂性和精妙程度，常常让我需要反复阅读，甚至借助其他资料才能勉强跟上思路。感觉作者是一位极其严谨的数学家，他对每一个细节都锨锨计较，不允许丝毫的模糊和跳跃。这对于追求精确的数学研究者来说固然是宝贵的财富，但对于我这样希望从中获得一些“应用技巧”或者“解题窍门”的读者来说，就显得有些“高高在上”了。我期待能看到更多关于如何将这些抽象理论转化为实际问题的思考，或者是一些更易于理解的类比和可视化解释，这样或许能让更多不同背景的读者受益。

评分☆☆☆☆☆

这本书，恕我直言，给我的感觉是“挑战胃口”。《常微分方程基本问题与注释》的标题虽然吸引人，但实际内容却是一场“数字与符号的盛宴”，而我，似乎还没有准备好这顿大餐。书中的论证过程，对我来说就像是在阅读一本“天书”，每个公式、每条推导都如同加密信息，我需要花费大量时间去破译，但往往也只能领略到冰山一角。我曾试图寻找一些可以“上手”的例子，一些能够让我立刻明白“这个方程可以用来解决什么问题”的线索，但书中似乎更偏重于建立理论框架，对具体的应用场景和实际问题分析的描述相对较少。我感觉自己像是被置于一个巨大的数学模型的设计图前，虽然能看到每一个零件的编号和功能说明，但却完全不知道如何将这些零件组装成一个实际运行的机器。更让我感到吃力的是，书中对一些前提知识的要求似乎并不低，我感觉自己在阅读的过程中，经常会遇到一些需要“回头看”的知识点，这无疑增加了学习的难度和所需的时间。总的来说，这本书更像是一部“思想的史诗”，而非一本“操作手册”，它挑战着读者的理论理解能力，而非实践应用能力。