實變函數解題指南(第2版21世紀數學規劃教材)/數學基礎課係列 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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周民強 著

圖書標籤:

• 實變函數
• 數學分析
• 解題指南
• 高等數學
• 數學規劃教材
• 21世紀數學
• 數學基礎
• 數學學習
• 微積分
• 函數

齣版社： 北京大學齣版社

ISBN：9787301294154

版次：2

商品編碼：12363706

包裝：平裝

叢書名： 21世紀數學規劃教材·數學基礎課係列

開本：32開

齣版時間：2018-04-01

用紙：膠版紙

頁數：360

字數：332000

編輯推薦

　　實變函數是學習近代分析數學的基礎課程。為瞭適應現今大部分學校的課時安排，並設法降低學生學習實變函數課程的難度，作者於2016年對《實變函數論》一書進行瞭改版。在過去的一段時間，為瞭配套新的教材，作者針對這本習題指導進行瞭大量的調整和修改。
這一版的修改，主要目的是適當降低本書的難度、讓更多不同層次的讀者可以按本書來進行習題練習。因此，這一版的修改主要集中在以下兩方麵：一、去掉瞭每一節的“基本內容”。由於這些內容和教材中是完全重復的，作者認為沒有必要在本書中重復敘述；二、對習題進行瞭調整。很多讀者曾錶示習題難度過大，因此作者在這一版中刪去瞭一些習題，並對現有習題根據難易程度調整瞭順序，這樣更方便讀者根據自己的實際水平進行練習。

內容簡介

　　《實變函數解題指南（第二版）》是實變函數課程的學習輔導用書，其內容是在作者編寫的普通高等教育“九五”教育部重點教材《實變函數論》（北京大學齣版社，2001年）的基礎上添加新題目後整理而成。全書共分六章，內容包括：集閤與點集，Lebesgue測度，可測函數，Lebesgue積分，微分與不定積分，Lp空間等。
　　本次修訂，主要添加瞭一些比較簡單、利於學生掌握的習題，刪去瞭許多過難的內容。同時，為瞭控製篇幅，刪去瞭與配套教材中重復的知識內容。

作者簡介

　　周民強，北京大學數學係函數論教研室主任、教授。曾任《數學學報》、《數學通報》雜誌編委、副主編。北京市自學考試命題委員等職。
　　1956年大學畢業，從事調和分析（實變方法）的研究工作，並擔任數學分析、實變函數、泛函分析、調和分析等課程的教學工作四十餘年，具有豐富的教學經驗。

目錄

目錄


第一章集閤與點集



§1.1集閤


1.1.1集閤的概念與運算


1.1.2集閤間的映射與集閤的基數


§1.2點集


1.2.1Rn中點與點之間的距離與點集的極限點



1.2.2Rn中的基本點集： 閉集、開集


1.2.3Borel集、點集上的連續函數


1.2.4Cantor集

1.2.5點集間的距離




第二章Lebesgue測度


§2.1點集的Lebesgue外測度


§2.2可測集與測度


§2.3可測集與Borel集


§2.4正測度集與矩體的關係


§2.5不可測集


§2.6連續變換與可測集




第三章可測函數


§3.1可測函數的定義及其性質


§3.2可測函數列的收斂


§3.3可測函數與連續函數的關係


§3.4復閤函數的可測性


§3.5等可測函數




第四章Lebesgue積分


§4.1非負可測函數的積分


§4.2一般可測函數的積分


§4.3控製收斂定理


§4.4可積函數與連續函數的關係


§4.5Lebesgue積分與Riemann積分的關係



§4.6重積分與纍次積分的關係



第五章微分與不定積分



§5.1單調函數的可微性


§5.2有界變差函數


§5.3不定積分的微分


§5.4絕對連續函數與微積分基本定理



§5.5分部積分公式與積分中值公式



§5.6R上的積分換元公式



第六章Lp空間


§6��1Lp空間的定義與不等式


§6��2Lp空間的結構

§6.3L2內積空間

§6.4Lp空間的範數公式

《實變函數論：概念、方法與應用》 簡介 實變函數論是現代數學分析的基石，也是通往更高等數學領域（如泛函分析、偏微分方程、概率論、微分幾何等）不可或缺的橋梁。它係統地研究實數集上的函數，特彆是那些具有良好分析性質的函數，如可測函數、積分函數和連續函數。本書旨在提供一個清晰、透徹且具有啓發性的實變函數論學習體驗，不僅涵蓋瞭該領域的核心理論，更注重理解這些概念的內在聯係、發展脈絡以及它們在各個數學分支中的實際應用。 本書的目標讀者包括但不限於數學專業的本科生、研究生，以及對實變函數論有深入需求的科研人員和工程技術人員。我們力求用嚴謹而易於理解的語言，引導讀者掌握實變函數論的精髓，培養解決復雜數學問題的能力。 核心內容與特色 第一部分：預備知識與基礎概念 在深入探討實變函數論之前，我們首先迴顧並係統地梳理瞭學習本書所需的基礎數學知識。這包括： 實數係的性質： 深入討論實數係的完備性、拓撲性質（開集、閉集、稠密集、康托爾集等），以及度量空間的基本概念。理解實數集的精細結構是後續討論的基礎。 集閤論基礎： 重點介紹集閤運算、映射、計數法（可數集與不可數集）、基數等概念。特彆是可測集閤的構造，為Lebesgue測度的引入奠定基礎。 拓撲空間初步： 介紹拓撲空間的基本定義，如鄰域、開集、閉集、緊集、連通集等，以及它們在實數集上的具體體現。這有助於抽象化思考，並為理解更一般的度量空間和拓撲空間打下基礎。 序列與極限： 嚴格定義序列的收斂性，包括點態收斂和一緻收斂，並探討它們之間的關係及其在函數空間中的重要性。 第二部分：測度論——構建新的積分世界 測度論是實變函數論的核心內容之一，它提供瞭一種比黎曼積分更為強大和普適的積分理論——Lebesgue積分。本部分將帶領讀者逐步構建這一理論： 外測度與Carathéodory構造： 從一個直觀的外測度概念齣發，通過Carathéodory定理，嚴謹地構造齣Lebesgue測度。我們將詳細討論測度空間的性質，如可數可加性、單調性等，並分析一些常見的測度（如長度測度、麵積測度）。 可測集與可測函數： 給齣可測集的精確定義，並分析可測集的性質，如可測集的交、並、差等運算仍保持可測性。在此基礎上，定義可測函數，並探討可測函數的性質，例如它們的和、積、復閤等仍是可測函數。我們將重點分析單調函數、階梯函數、連續函數作為可測函數的例子，並引入Borel集和Baire集的概念。 Lebesgue積分的構造與性質： 詳細介紹Lebesgue積分的構造過程，從非負可測函數到一般可測函數。重點討論Lebesgue積分的優越性，包括其強大的收斂定理： 單調收斂定理 (Monotone Convergence Theorem)： 解釋瞭單調遞增的可測函數序列的極限函數是否可積，以及積分能否交換。 Fatou引理 (Fatou's Lemma)： 揭示瞭可測函數序列的積分與極限積分之間的不等式關係。 控製收斂定理 (Dominated Convergence Theorem)： 這是Lebesgue積分理論中最重要且應用最廣泛的定理之一，它允許在特定的條件下交換積分和極限。我們將通過大量實例來展示其強大威力。 積分收斂定理 (Uniform Integrability) 和Lp空間： 進一步探討積分收斂的條件，並引入Lp空間的概念，這是泛函分析和概率論中的重要工具。我們將討論Lp空間的完備性（Banach空間）和一些重要的對偶空間。 不同積分的比較： 詳細對比黎曼積分與Lebesgue積分的聯係與區彆，闡述Lebesgue積分為何能夠剋服黎曼積分在處理不連續函數和奇異函數時的局限性。 第三部分：度量空間與Banach空間——走嚮更廣闊的數學視野 本部分將讀者從實數集和歐幾裏得空間進一步提升到更抽象但更普適的度量空間和Banach空間。 度量空間： 引入度量空間的定義，並討論其基本性質，如開球、閉球、緊性、完備性等。我們將分析常見的度量空間，如歐幾裏得空間、函數空間等。 Banach空間與Hilbert空間： 詳細介紹Banach空間（完備的賦範綫性空間）和Hilbert空間（帶有內積的Banach空間）的概念。我們將討論綫性算子、有界綫性算子、緊算子等，並介紹一些重要的Banach空間（如C[a,b]空間、Lp空間）和Hilbert空間（如l2空間）。 函數逼近理論： 探討在函數空間中進行逼近的問題，如Weierstrass逼近定理的推廣，以及Fourier級數在L2空間中的收斂性。 第四部分：傅立葉級數與傅立葉變換——信號處理與分析的利器 傅立葉分析是實變函數論在應用數學中最閃耀的領域之一，它揭示瞭函數與其頻率成分之間的深刻聯係。 傅立葉級數： 詳細介紹周期函數的傅立葉級數展開，包括收斂性（點態收斂、L2收斂）和一緻收斂。我們將深入探討Dirichlet條件，並分析傅立葉級數在熱傳導、波傳播等問題中的應用。 傅立葉變換： 將傅立葉級數推廣到非周期函數，引入傅立葉變換及其逆變換。我們將分析傅立葉變換的性質，如綫性性、捲積定理、Parseval定理等，並討論其在信號處理、圖像分析、量子力學等領域的廣泛應用。 Plancherel定理與Parseval定理： 強調L2空間上傅立葉變換的保範性，以及其在積分計算中的重要作用。 第五部分：應用實例與進階話題 為瞭加深讀者對實變函數論理論的理解和應用，本書還包含豐富多樣的應用實例和進階話題。 概率論中的測度論： 介紹概率測度、隨機變量、期望、方差等概念如何用測度論的語言來精確描述，並討論條件期望、鞅論等高等概率論概念。 偏微分方程中的應用： 闡述Lebesgue積分和Lp空間在弱解理論、Sobolev空間中的作用，以及它們在分析PDE解的存在性、唯一性和光滑性時的關鍵地位。 流形上的積分： 簡要介紹將測度與積分推廣到流形上的思想，為微分幾何和拓撲學奠定基礎。 多重積分與Fubini定理： 詳細討論多重Lebesgue積分，特彆是Fubini定理（或Tonelli定理），它允許在特定條件下交換積分次序，是處理多變量積分的核心工具。 學習方法與建議 本書不僅提供瞭理論知識，更注重培養讀者的數學思維和解題能力。我們鼓勵讀者： 1. 循序漸進： 按照章節順序，紮實掌握每個概念的定義和性質。 2. 主動思考： 在閱讀過程中，積極思考定理的證明思路，嘗試自己推導關鍵步驟。 3. 勤於練習： 大量的習題是檢驗學習成果、加深理解的有效途徑。本書配有不同難度和類型的習題，旨在幫助讀者鞏固知識，提升解題技巧。 4. 聯係實際： 關注書中提供的應用實例，思考理論知識如何在實際問題中發揮作用，激發學習興趣。 5. 小組討論： 與同學或同行交流討論，互相啓發，共同解決疑難問題。 結語 《實變函數論：概念、方法與應用》是一本內容豐富、結構嚴謹、講解深入的教材。我們希望通過本書，能夠幫助讀者建立起紮實的實變函數論知識體係，為他們在未來的數學學習和研究道路上打下堅實的基礎，開啓通往更廣闊數學世界的大門。

評分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度都讓我感到驚喜。它不僅僅滿足於講解實變函數的基本理論，還觸及瞭一些更高級的內容，比如 L^p 空間、測度的弱收斂等。這些內容雖然有些難度，但作者的講解非常有條理，讓我能夠理解這些概念的來龍去脈。我尤其欣賞書中在講解概率論與測度論聯係的部分，這讓我看到瞭實變函數更廣泛的應用場景。例如，書中對於隨機變量的期望和方差的 Lebesgue 積分解釋，就讓我對概率論有瞭更深刻的理解。此外，書中還對一些實變函數在傅裏葉分析、泛函分析等領域中的應用進行瞭簡要介紹，這讓我對接下來的學習有瞭更清晰的規劃。這本書的數學語言非常嚴謹，但又不失清晰，讓我能夠感受到數學的美。

評分☆☆☆☆☆

這本書的邏輯結構非常嚴謹，層層遞進，讓我能夠一步步建立起對實變函數的完整認識。從基礎的集閤論、拓撲論，到核心的測度論、積分論，再到應用性的泛函分析初步，每一個部分都緊密銜接，構成瞭一個完整的知識體係。我尤其欣賞書中在講解測度論時，對幾個重要測度的構建過程的詳細闡述，例如 Lebesgue 測度、Borel 測度等。這些構建過程不僅展示瞭數學的嚴謹性，也讓我對測度的性質有瞭更深入的理解。而且，書中對 Lebesgue 積分的講解，也讓我認識到它在處理更廣泛的函數時的強大威力。那些經典的收斂定理，如單調收斂定理、Fatou 引理、控製收斂定理，書中都給齣瞭清晰而完整的證明，讓我能夠深刻理解它們的含義和應用。

評分☆☆☆☆☆

這本書的設計理念非常人性化，它充分考慮到瞭讀者的學習過程。每一個章節的開始都會有一個清晰的引言，概括本章將要學習的內容，以及它們在整個課程體係中的位置。章節的結尾則會有一個總結，迴顧本章的要點，並給齣思考題，引導讀者進一步深入思考。我特彆喜歡書中對定理證明的編排方式，它通常會先給齣定理的結論，然後逐步展示證明的思路和關鍵步驟，並在必要時提供一些輔助性的引理或推論。這種“先總後分，分步講解”的方式，讓復雜的證明變得易於理解。而且，書中還為讀者提供瞭許多“提示”和“注意”的小方框，用來強調一些重要概念、容易齣錯的地方或者是一些更深層次的理解。這些細節的處理，讓這本書顯得格外用心。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和設計都非常齣色，讓我閱讀起來非常舒適。清晰的字體、閤理的行距、恰當的章節劃分，都為我的學習提供瞭良好的外部條件。書中對數學符號的運用也非常規範，並且在首次齣現時都做瞭詳細的解釋，這對於初學者來說非常友好。我特彆喜歡書中在引入新的概念時，都會先給齣直觀的解釋，然後再給齣嚴格的數學定義，這種方式讓我能夠更好地理解概念的本質。例如，在講解測度時，書中先從長度、麵積等直觀概念入手，然後纔引齣測度的公理化定義。這種由具象到抽象的過渡，讓我的學習過程更加自然流暢。

評分☆☆☆☆☆

這本書就像一位耐心的老師，總是能夠站在我的角度去思考問題。當我遇到一些難以理解的概念時，比如 Radon-Nikodym 定理，書中不僅給齣瞭嚴格的數學證明，還試圖用更直觀的方式來解釋它的含義和應用，讓我能夠觸類旁通。書中的一些例子，比如如何構造一個非 Lebesgue 可測集，或者如何利用 Fatou 引理來證明積分的收斂性，都非常具有啓發性。我特彆喜歡書中在講解一些“陷阱”性問題時的處理方式，它會提前指齣這些潛在的睏難，並給齣相應的解決方法，讓我能夠有效避免犯錯。而且，書中對於一些高級概念的介紹，比如緊集上的連續函數空間，都做得很清晰，為我後續的學習打下瞭良好的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的價值遠不止於理論知識的傳授，它更在於培養瞭我嚴謹的數學思維和解決問題的能力。書中大量的例題和習題，涵蓋瞭從基礎概念的理解到復雜定理的應用，讓我能夠不斷地鞏固和深化所學知識。我特彆喜歡書中對一些經典難題的分析，作者會從不同的角度齣發，提供多種解題思路，並對每種方法的優缺點進行分析，這對我啓發很大。而且，書中還對一些容易齣錯的地方進行瞭詳細的提示和解釋，讓我能夠避免走彎路。總而言之，這本書不僅僅是一本教材，更像是一位經驗豐富的導師，陪伴我走過瞭實變函數學習的道路，讓我受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直就像是我通往實變函數這座巍峨高峰的嚮導，每一個章節都仿佛是精心設計的階梯，引領我一步步攀登。開篇的集閤論基礎，雖然我之前接觸過一些，但作者用一種全新的視角重新審視，讓我對測度、可測集這些核心概念有瞭前所未有的深刻理解。特彆是關於不可數集和康托爾集的部分，書中提供的詳細推導和直觀解釋，讓我這個曾經望而卻步的難題變得豁然開朗。然後是 Lebesgue 測度和 Lebesgue 積分，這部分絕對是實變函數的靈魂所在。作者並沒有直接丟給我一大堆抽象的定義，而是循序漸進，從仿測度、外測度開始，一步步構建起 Lebesgue 測度的完整體係。當我看到書上關於測度空間公理化定義的闡述時，那種數學的嚴謹和簡潔讓我感到無比震撼。而且，作者在講解積分部分時，采用瞭分步逼近的思想，從階梯函數積分到可測函數積分，再到 Lebesgue 積分的定義，每一步都銜接得天衣無縫，讓我清晰地看到瞭積分概念的演變和升華。我尤其喜歡書中對一些經典例子（比如狄利剋雷函數）的深入剖析，這讓我能夠將抽象的概念與具體的例子聯係起來，加深記憶和理解。總而言之，這本書不僅教授瞭知識，更重要的是培養瞭我嚴謹的數學思維方式，讓我從“知道”變成瞭“理解”和“掌握”。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我最大的感受就是它的“實操性”和“指導性”。我曾經因為看其他教材而感到迷茫，不知道如何下手去解決實變函數中的問題，但這本書真的不一樣。它在講解每一個概念之後，都會緊接著給齣大量的例題和習題，並且很多例題的解答都非常詳盡，一步步展示瞭如何運用所學的知識來解決問題。我尤其喜歡書中對一些經典問題的分析，比如求解一個復雜函數的 Lebesgue 積分，或者證明一個函數的可測性。書中提供的解題思路和技巧，對我來說簡直是寶貴的財富。還有就是書中對一些容易混淆的概念，比如測度與測度空間的區彆，可測函數與普通函數的區彆，都做瞭非常清晰的辨析，讓我避免瞭不少誤區。書中的附錄部分，對於一些基礎知識的迴顧和補充，也非常實用。總的來說，這本書不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的導師，時刻引導我前進的方嚮。

評分☆☆☆☆☆

我是一個對數學有濃厚興趣但基礎相對薄弱的讀者，一直以來對實變函數都感到有些畏懼。直到我遇到瞭這本書，纔真正感受到瞭數學的魅力。書中對基本概念的解釋，比如集閤、函數、極限等，都做瞭非常詳細的迴顧和梳理，讓我能夠迅速進入學習狀態。對於實變函數的核心內容，比如測度、可測集、可測函數等，書中采用瞭由淺入深、由具體到抽象的講解方式。我特彆喜歡書中對於 Lebesgue 測度的構造過程的詳細描述，讓我能夠理解為什麼需要 Lebesgue 測度，以及它相比於 Jordan 測度的優越性。而且，書中對 Lebesgue 積分的引入，也讓我深刻體會到瞭它在處理更廣泛的函數時的威力。那些精妙的收斂定理，如單調收斂定理、Fatou 引理和控製收斂定理，書中都給齣瞭清晰的證明，並且還配有一些輔助性的例子，讓我能夠更好地理解它們的含義和應用。此外，書中還對一些重要的空間，如 L^p 空間，進行瞭介紹，讓我對函數空間有瞭初步的認識。這本書的語言通俗易懂，排版清晰，讓我閱讀起來感到非常愉快。

評分☆☆☆☆☆

這本書的編排簡直是為我量身定做的！我一直覺得實變函數這門課概念多、證明難，但這本書就像一位經驗豐富的老師，總能在關鍵時刻點撥我。一開始我對“測度”這個概念就覺得很模糊，不知道它到底在衡量什麼。但書中用“長度”、“麵積”、“體積”作為直觀的引入，然後逐步引申到更一般的測度概念，我纔真正理解瞭它的本質。特彆是書中對 Borel 測度、Lebesgue 測度的構建過程，詳細到每一個公式和每一步推導都解釋得清清楚楚，讓我感覺不再是自己在孤軍奮戰，而是有瞭一個堅實的後盾。然後是關於可測函數的定義和性質，以及 Lebesgue 積分的引入。我一直對積分的黎曼定義感到有些局限，而 Lebesgue 積分的強大之處在書中得到瞭充分的體現。書中對單調收斂定理、Fatou 引理、控製收斂定理的證明，清晰而富有邏輯，讓我理解瞭這些強大工具是如何運作的。還有書中對 L^p 空間和泛函分析的初步介紹，也為我打開瞭新的視野，讓我看到瞭實變函數在其他數學分支中的應用。這本書的難度麯綫設置得非常閤理，不會一開始就讓人望而卻步，也不會後期突然變得過於簡單。