怎樣解題(數學思維的新方法)/發現數學叢書 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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塗泓馮承天... 編

圖書標籤:

• 數學思維
• 解題技巧
• 數學普及
• 發現數學
• 思維訓練
• 初中數學
• 高中數學
• 數學方法
• 學習方法
• 問題解決

店鋪： 木垛圖書旗艦店

齣版社： 上海科教

ISBN：9787542843876

商品編碼：12526408333

開本：32

齣版時間：2007-05-01

基本信息

• 商品名稱：怎樣解題(數學思維的新方法)/發現數學叢書
• 作者：(美)G·波利亞|譯者:塗泓//馮承天
• 定價：22
• 齣版社：上海科教
• ISBN號：9787542843876

其他參考信息（以實物為準）

• 齣版時間：2007-05-01
• 印刷時間：2016-03-01
• 版次：1
• 印次：21
• 開本：32開
• 包裝：平裝
• 頁數：213
• 字數：195韆字

內容提要

G·波利亞著的《怎樣解題》這本經久不衰的暢 銷書齣自一位**數學傢的手筆，雖然它討論的是數 學中發現和發明的方法和規律，但是對在其他任何領 域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。本書圍 繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法， 闡述瞭求得一個證明或解齣一個未知數的數學方法怎 樣可以有助於解決任何“推理”性問題——從建造一 座橋到猜齣一個字謎。一代又一代的讀者嘗到瞭本書 的甜頭，他們在本書的指導下，學會瞭怎樣摒棄不相 乾的東西，直搗問題的心髒。
    

作者簡介

波利亞（GeorgePolya，1887—1985），**美國數學傢和數學教育傢。生於匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學博士學位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業大學任數學助理教授、副教授和教授，1928年後任數學係主任。1940年移居美國，曆任布朗大學和斯坦福大學的教授。1976年當選美國**科學院院士。還是匈牙利科學院、法蘭西科學院、比利時布魯塞爾國際哲學科學院和美國藝術和科學學院的院士。其數學研究涉及復變函數、概率論、數論、數學分析、組閤數學等眾多領域。1937年提齣的波利亞計數定理是組閤數學的重要工具。長期從事數學教學，對數學思維的一般規律有深入的研究，這方麵的名著有《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

目錄

**部分 在教室裏
目的
1.幫助學生
2.問題，建議，思維活動
3.普遍性
4.常識
5.教師和學生，模仿和實踐
主要部分，主要問題
6.四個階段
7.理解題目
8.例子
9.擬訂方案
10.例子
11.執行方案
12.例子
13.迴顧
14.例子
15.不同的方法
16.教師提問的方法
17.好問題與壞問題
進一步的例子
18.一道作圖題
19.一道證明題
20.一道速率題
第二部分 怎樣解題
一段對話
第三部分 探索法小詞典
類比
輔助元素
輔助題目
波爾察諾
齣色的念頭
你能檢驗這個結果嗎
你能以不同的方式推導這個結果嗎
你能應用這個結果嗎
執行
條件
矛盾
推論
你能從已知數據中得齣一些有用的東西嗎
你能重新敘述這道題目嗎
分解和重組
定義
笛卡兒
決心、希望、成功
診斷
你用到所有的已知數據瞭嗎
你知道一道與它有關的題目嗎
畫一張圖
檢驗你的猜想
圖形
普遍化
你以前見過它嗎
這裏有一道題目和你的題目有關
而且以前解過
探索法
探索式論證
如果你不能解所提的題目
歸納與數學歸納
創造者悖論
條件有可能滿足嗎
萊布尼茨
引理
觀察未知量
現代探索法
符號
帕普斯，
拘泥與變通
實際題目
求解題、證明題
進展與成績
謎語
歸謬法與間接證明
多餘
常規題目
發現的規則
格式的規則
教學的規則
將條件的不同部分分開
建立方程
進展的標誌，
特殊化
潛意識活動
對稱性
新舊術語
量綱檢驗
未來的數學傢
聰明的解題者
聰明的讀者
傳統的數學教授
變化題目
未知量是什麼
為什麼證明
諺語的智慧
倒著乾
第四部分 題目、提示、解答
題目
提示
解答
注釋

深度探索：超越傳統解題範式的數學思維進階 導言：數學的本質與思維的邊界 數學，作為人類理性思維的結晶，其魅力不僅在於精確的計算和嚴謹的邏輯，更在於其深層的結構美學和無窮的創造潛力。然而，在長期的教育實踐中，數學學習常常被固化為對既定公式和標準步驟的機械模仿。“解題”——這個看似核心的環節——往往淪為對過去經驗的復製，而非對未知世界的探索。 本書旨在提供一種全新的視角，引導學習者跳齣傳統解題思維的窠臼，直麵數學本質，培養能夠適應復雜、非常規問題的深度思考能力。我們相信，真正的數學能力並非源於對大量題型的熟悉，而是建立在對問題深層結構、內在聯係以及靈活策略的深刻洞察之上。 本書將帶領讀者進入一個由思維模式、策略應用和概念重構構成的廣闊領域，它不依賴於特定知識點的堆砌，而是專注於如何思考。 --- 第一部分：解題的哲學基礎——重塑問題觀 本部分探討的是在麵對一個新問題時，我們應該抱持何種心智模型。我們拒絕將數學視為一個等待被填補的知識黑洞，而將其視為一個需要被主動構建和理解的結構。 1.1 從“求答案”到“求理解”的範式轉變 傳統的解題訓練導嚮的是一個單一、確定的“正確答案”。這種導嚮往往扼殺瞭探究過程中的多樣性和偶然性。本書首先要求讀者進行一次深刻的反思：解題的真正價值在於其過程是否揭示瞭某種普遍的數學規律。 過程的透明化： 詳細分析如何將一個復雜的、抽象的問題分解為若乾個可操作的、有意義的子問題。這不僅僅是步驟的羅列，而是對每一步邏輯跳躍的閤理性進行自我辯護。 不確定性管理： 麵對信息不完全或錶述模糊的問題時，如何運用概率思維和假設驅動法來逐步逼近解決方案，而非被初始的不確定性所麻痹。 1.2 概念的“去標簽化”與重構 許多問題之所以難以解決，並非因為其運算難度大，而是因為我們被既有的概念標簽所束縛。例如，將一個幾何問題硬性套用到代數框架中，或者反之。 核心要素的剝離： 學習如何剝離掉問題錶述中的修飾性語言和不必要的背景信息，直擊問題的核心數學結構——這些結構可以是集閤關係、映射函數或拓撲性質。 跨域映射（Cross-Domain Mapping）： 探索如何將一個領域（如數論）中的工具和結構，巧妙地遷移到另一個領域（如組閤學）中去解決問題。這要求對基礎數學概念有極高的抽象理解力。 --- 第二部分：核心策略的係統化構建——思維工具箱的擴充 本部分聚焦於那些被廣泛證明有效，但往往在標準教程中被割裂或簡單提及的“高階解題策略”。我們不是簡單地列舉策略，而是深入剖析它們適用的情境、內在機製及其局限性。 2.1 極端情形分析與邊界條件探索 在復雜的數學係統中，極端情況往往隱藏著最深刻的洞察。通過考察“零”、“無窮大”、“最小/最大可能值”或“退化情況”下的行為，可以迅速驗證猜測的有效性或揭示問題的內在約束。 零點與無窮的物理意義： 探討在抽象模型中，這些極值點如何對應到現實世界的物理限製或邏輯斷點。 對稱性與不變性原理的應用： 識彆問題中隱藏的對稱結構。如果一個過程在某種變換下保持不變，那麼解也必須滿足這種不變性。這是一種強大的“剪枝”工具。 2.2 模型構建與抽象化層次的切換 解決現實世界或高度抽象的數學問題，往往需要從一個層次跳躍到另一個層次進行觀察。 自上而下的分解（Top-Down Decomposition）： 麵對一個龐大的係統問題，如何設計一個抽象層級，使其能夠被分解為數個可獨立求解的模塊。 自下而上的綜閤（Bottom-Up Synthesis）： 從最簡單的案例或基礎公理齣發，通過迭代和歸納，逐步構建齣解決復雜情況的通用框架。這要求對歸納法和反嚮歸納法有清晰的認識。 2.3 “反嚮工程”與逆嚮思維的藝術 許多睏難問題，正麵突破異常艱難，但如果嘗試從終點（答案或目標狀態）迴溯，路徑可能會清晰得多。 目標驅動的路徑規劃： 將目標狀態視為已知，然後思考“為瞭達到這個狀態，前一步必須是什麼？”這種追溯鏈條，直到迴到問題的初始條件。 反例的生成與假設的證僞： 學習如何主動構造反例來挑戰自己提齣的假設。一個失敗的嘗試，如果能清晰地指齣失敗的原因，其價值遠超一次成功的標準解法。 --- 第三部分：情境適應性與策略的靈活部署 數學思維的成熟，體現在能夠根據問題的“脾氣”選擇最閤適的“武器”。本書強調策略的靈活性和組閤運用。 3.1 策略的兼容性與衝突管理 在實際解題中，很少隻使用單一策略。更常見的是需要並行使用、甚至相互衝突的策略。 分析性與直覺性的融閤： 如何在快速的直覺判斷和嚴謹的分析驗證之間找到平衡點，避免“過早收斂”或“過度分析”。 組閤策略的流程化： 建立一套評估體係，用於判斷在當前問題狀態下，應優先使用代數技巧、幾何可視化，還是組閤枚舉。例如，何時用積分近似代替離散求和，何時反之。 3.2 視覺化與非語言錶徵的力量 人類的認知係統在處理空間和模式信息時效率極高。本書將探討如何將純粹的代數或邏輯錶達，有效地轉化為可視化的信息，從而捕捉到純文本難以揭示的結構。 動態可視化： 不僅是靜態的圖錶，而是模擬係統隨時間或參數變化的動態過程，揭示其內在的穩定性或不穩定性。 符號的“物質化”： 將抽象的變量和函數視為具有特定屬性的實體，通過操作這些實體來進行思考。 --- 結語：持續的、內驅的探索 本書並非提供一套標準化的“秘籍”，因為真正的數學創新和深刻的解題能力，源於持續的、內驅的探索欲望。我們提供的是一套批判性的思維框架，一套對“為什麼有效”的深度追問。掌握瞭這些思維的基石，讀者將能夠自信地迎接那些尚未被編寫進任何教科書的全新挑戰，真正實現從“解題者”到“問題構建者”的蛻變。 學習數學思維的終極目標，是讓你在麵對任何陌生領域時，都能本能地、有效地運用理性的工具去解構和重塑世界。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我買這本書的時候，並沒有對它抱有太大的期望，畢竟市麵上類似的“思維訓練”書籍實在太多瞭，很多內容都大同小異，缺乏新意。《怎樣解題》卻給瞭我一個意想不到的驚喜。這本書的厲害之處在於，它並非簡單地羅列一些解題技巧，而是從更深層次，去挖掘數學思維的本質。作者用一種非常流暢且富有邏輯的語言，引導讀者去理解“如何思考”。我印象最深刻的是書中關於“設未知數”和“反證法”的討論，這兩種方法在我看來，就像是數學世界裏的“魔法”，能夠化腐朽為神奇，解決那些看似無解的問題。我過去常常陷入一種思維的死鬍同，無法自拔，但這本書教會瞭我如何跳齣思維的框架，從全新的角度去審視問題。讀完這本書，我感覺自己的思維變得更加敏銳，也更加靈活。即使麵對一些非數學的難題，我也能夠運用書中提到的思維方式，去找到更有效的解決方案。這不僅僅是一本數學書，更是一本關於如何提升個人解決問題能力的實用指南。

評分☆☆☆☆☆

我是一個對數學充滿熱情，但又時常感到力不從心的人。總是在學習過程中，感覺自己似乎抓住瞭什麼，卻又瞬間溜走，無法形成係統性的理解。《怎樣解題》這本書，就像一股清流，滋潤瞭我求知的渴望。它以一種非常細膩和富有啓發性的方式，剖析瞭數學思維的核心要素。我特彆喜歡書中對於“問題分解”和“模型構建”的講解，這些概念讓我恍然大悟，原來很多復雜的數學難題，都可以通過將其拆解成更小的、可管理的部分來逐個擊破。書中提供的那些具體的解題案例，更是讓我能夠直觀地感受到這些抽象思維方法的應用。我曾一度認為數學是一門需要大量記憶和練習的學科，但這本書顛覆瞭我的認知，讓我看到瞭數學思維的創造性和靈活性。它鼓勵我去探索，去發現，去質疑，而不是被動地接受。讀完這本書，我感覺自己仿佛擁有瞭一把開啓數學之門的鑰匙，能夠更加自信地去麵對各種挑戰，也更加享受解題過程中帶來的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，很多所謂的“學霸”之所以能夠輕鬆應對各種復雜的題目，並非僅僅是因為他們擁有過人的天賦，更重要的是他們掌握瞭某種特殊的思維模式。《怎樣解題》這本書，恰好就揭示瞭這種思維模式的奧秘。它並沒有直接告訴我們“怎麼做”，而是帶領我們去“理解為什麼”。書中關於“歸納”、“類比”等概念的闡述，讓我對數學的理解上升到瞭一個新的高度。我開始意識到，很多數學問題的解決，都離不開這些基礎的、卻又極其強大的思維工具。我特彆欣賞作者在書中反復強調的“變通”思想，也就是在遇到睏難時，不要固執己見，而是要嘗試從不同的角度去思考，去尋找新的突破口。這種思想不僅適用於數學，更能夠靈活地運用到生活中的各種情境中。我發現，自從讀瞭這本書，我解決問題的能力似乎也提升瞭不少，能夠更冷靜地分析問題的根源，並且找到更有效的解決方案。這本書就像是一位經驗豐富的老師，用最樸實無華的語言，為我指點迷津，讓我逐漸領略到數學的魅力，也讓我對自己解決問題的能力充滿瞭信心。

評分☆☆☆☆☆

這次偶然在書店的角落裏發現瞭這本《怎樣解題》，書名本身就帶著一種神秘感，仿佛打開瞭數學世界的一扇新大門。我一直對數學的某些方麵感到好奇，但又苦於找不到閤適的切入點，總是被那些復雜的公式和抽象的概念所睏擾。這本書的齣現，就像在迷霧中點亮瞭一盞燈，讓我看到瞭一種全新的思考方式。我並非數學科班齣身，但讀這本書的時候，卻感覺作者並沒有設下太高的門檻，而是用一種非常友好的姿態，引領我一步步去探索解題背後的邏輯和智慧。我尤其喜歡書中那些看似簡單卻又發人深省的例子，它們不像課本上那樣生硬，而是充滿瞭生活氣息，讓我能夠更容易地理解數學思維的實際應用。我甚至開始嘗試著用書中提到的方法去解決生活中遇到的一些小問題，雖然過程有些笨拙，但那種“啊，原來是這樣！”的頓悟感，真的非常令人著迷。這本書讓我對數學的態度發生瞭巨大的轉變，不再覺得它是枯燥乏味的科目，而是變成瞭一個充滿趣味和挑戰的智力遊戲。我強烈推薦給所有對數學感到睏惑或者想要提升思維能力的朋友們，相信你們也會和我一樣，愛上這種“怎樣解題”的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我拿到這本書的時候，並沒有抱太大的期望，畢竟市麵上關於數學思維的書籍琳琅滿目，真正能讓人眼前一亮的並不多。然而，《怎樣解題》卻給瞭我一個巨大的驚喜。這本書的獨特之處在於，它不僅僅是講解解題技巧，更是深入剖析瞭數學思維的本質。作者通過層層遞進的引導，讓我逐漸理解到，數學解題並非簡單的套用公式，而是一個包含觀察、分析、猜想、證明等一係列復雜而又精妙的過程。書中提到的“分析法”和“綜閤法”，對我來說就像是打開瞭新世界的大門，讓我看到瞭解決問題時，從不同角度切入的無限可能性。我開始反思自己過去學習數學的模式，發現自己常常拘泥於細節，而忽略瞭整體的邏輯框架。這本書幫助我擺脫瞭這種思維定勢，讓我能夠更加從容地麵對難題。即使是那些我曾經認為非常棘手的數學問題，現在我也敢於去嘗試，去探索，而不是望而卻步。這本書不僅僅是一本關於數學的書，更是一本關於如何思考的書，它教會瞭我如何清晰地錶達自己的想法，如何嚴謹地進行邏輯推理，這對我在其他領域的學習和工作都産生瞭深遠的影響。