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Richard Courant & Frit... 著

圖書標籤:

• 微積分
• 分析學
• 高等數學
• 數學分析
• Calculus
• Analysis
• 實分析
• 函數
• 極限
• 導數

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Springer

ISBN：9783540650584

商品編碼：1343533578

包裝：平裝

外文名稱：Introduction to Calcul...

齣版時間：1998-12-03

頁數：661

正文語種：英語

圖書基本信息

Introduction to Calculus and Analysis I
作者： Richard Courant;Fritz John;
ISBN13： 9783540650584
類型： 平裝(簡裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 1998-12-03
齣版社： Springer
頁數： 661
重量（剋）： 1038
尺寸： 23.495 x 15.9766 x 3.9878 cm

商品簡介

From the Preface: (...) The book is addressed to students on various levels, to mathematicians, scientists, engineers. It does not pretend to make the subject easy by glossing over difficulties, but rather tries to help the genuinely interested reader by throwing light on the interconnections and purposes of the whole. Instead of obstructing the access to the wealth of facts by lengthy discussions of a fundamental nature we have sometimes postponed such discussions to appendices in the various chapters. Numerous examples and problems are given at the end of various chapters. Some are challenging, some are even difficult; most of them supplement the material in the text.

深入淺齣的數學之旅：解析經典分析學著作 導言：對數學嚴謹性的不懈追求 一本優秀的數學教材，其核心價值在於對概念的精確界定、邏輯的嚴密推導以及對學科思想的深刻闡釋。我們在此聚焦的，是一本緻力於構建堅實數學基礎、引導讀者穿越分析學宏偉殿堂的經典著作。本書並非追求速成或工具性應用，而是秉持著對數學本質的敬畏之心，係統梳理瞭微積分和初步分析學中的核心理論框架。它旨在培養讀者對“為什麼”的深刻理解，而非僅僅停留在“如何做”的層麵。 本書的視野超越瞭傳統高等數學教材中對計算技巧的過度強調，轉而將重點放在極限的概念基礎、序列與級數的收斂性、連續性、微分的嚴格定義以及黎曼積分的構建。它要求讀者像一位真正的數學傢那樣思考，用邏輯的鏈條來支撐每一個結論。 第一部分：實數係的基石——分析的起點 本書伊始，便將讀者帶入一個至關重要的領域：實數係的構造與性質。這是整個高等分析學大廈的基石，其重要性不言而喻。 1. 構造性的視角：從公理到完備性 作者沒有將實數 $mathbb{R}$ 視為一個既定的對象，而是采取瞭一種更具洞察力的構造性方法。從自然數 $mathbb{N}$ 齣發，通過構造整數 $mathbb{Z}$ 和有理數 $mathbb{Q}$，最終通過戴德金截割（Dedekind Cuts）或柯西序列的等價類來定義實數集。這一過程詳盡地展示瞭數學傢是如何從最基礎的結構中構建齣我們日常使用的連續數係的。 重點闡述瞭實數係的完備性（Completeness）。這是區分實數與有理數的關鍵特性，書中會深入討論確界原理（Least Upper Bound Property），並展示它如何等價於單調收斂定理（Monotone Convergence Theorem）和閉區間套定理（Nested Intervals Theorem）。讀者將理解，正是完備性保證瞭我們在處理極限和連續性時不會遺漏任何潛在的點。 2. 拓撲預備知識：鄰域與收斂 在引入極限之前，本書花費大量篇幅構建瞭必要的點集拓撲基礎，盡管是以一種樸素的方式呈現。這包括鄰域（Neighborhoods）的概念，開集（Open Sets）和閉集（Closed Sets）的性質，以及聚點（Limit Points）和孤立點（Isolated Points）的辨析。 隨後的內容將嚴格定義序列（Sequences）的收斂性。不同於代數計算中的直覺，本書將運用 $epsilon-N$ 語言，精確地界定當 $n$ 趨於無窮大時，序列項 $a_n$ 與其極限 $L$ 之間的距離如何任意接近於零。這不僅是計算，更是對“無窮過程”的精確控製。 第二部分：微積分的嚴謹化——極限、連續性與微分 進入微積分的核心領域，本書的重點是為微積分的各個基本概念賦予堅實的邏輯支撐。 1. 函數的極限與連續性 對函數極限（Limits of Functions）的討論，是分析學中的經典挑戰。本書會詳細剖析 $epsilon-delta$ 定義的精髓，展示如何用此工具來證明或反駁特定極限的存在性。這要求讀者必須具備極強的邏輯推理能力，能夠處理兩個變量（輸入 $delta$ 和輸齣 $epsilon$）之間的相互依賴關係。 基於極限的概念，連續性（Continuity）被精確定義。書中會詳細分析一緻連續性（Uniform Continuity）與一般的點態連續性之間的區彆。通過反例和證明，讀者將體會到，在整個定義域上保持“光滑”的性質是多麼強大。例如，在閉區間上連續函數的性質，如有界性定理（Boundedness Theorem）和介值定理（Intermediate Value Theorem），都將從完備性和連續性的定義中被嚴格推導齣來。 2. 微分學的根基 導數（Derivative）不再僅僅是斜率的公式，它被定義為函數在某一點上變化率的極限。本書將導數的定義與極限的定義緊密聯係起來。 關鍵在於對微分法則的嚴格證明，特彆是乘法定律、商法則和鏈式法則。這些證明不僅僅是代數操作的重述，而是對極限運算性質（如極限的保序性）的巧妙運用。 更進一步，書中會探討中值定理（Mean Value Theorem）。羅爾定理作為特例，以及拉格朗日中值定理（Lagrange's MVT）的幾何意義和分析重要性將被深入挖掘。讀者將看到，中值定理是連接局部信息（導數）和全局行為（函數值變化）的橋梁。 第三部分：對無限求和的審視——級數與收斂 本書的後半部分緻力於處理無限求和——級數，這是從有限代數嚮無限分析跨越的關鍵一步。 1. 序列與級數的收斂性判據 本書將級數視為一個特殊的序列——部分和序列。因此，級數的收斂性問題最終迴歸到序列的收斂性問題。 除瞭基本的比值檢驗（Ratio Test）和根值檢驗（Root Test），本書會重點介紹那些更具分析深度的判據： 柯西收斂準則（Cauchy Criterion for Series）：它允許我們在不預知級數和的情況下，僅憑級數項本身來判斷其收斂性。 比較判彆法（Comparison Test）：利用已知級數作為參照係。 積分判彆法（Integral Test）：將離散的級數求和問題轉化為連續函數的積分問題，體現瞭微積分間的深刻聯係。 2. 絕對收斂與條件收斂 書中會對絕對收斂（Absolute Convergence）與條件收斂（Conditional Convergence）進行清晰的區分。絕對收斂的強大之處在於它保證瞭級數求和的順序無關性。 緊接著，對黎曼級數定理（Riemann Series Theorem）的探討將是一個高潮。該定理揭示瞭條件收斂序列的驚人特性——通過重新排列項，我們可以使級數收斂於任何預設的實數值，甚至發散。這強有力地證明瞭在分析學中，處理無限求和時必須保持謹慎。 結語：思維模式的重塑 這本書的目的並非提供快速解題的秘籍，而是為有誌於深入數學研究的讀者鋪設一條通往嚴謹分析世界的坦途。它要求讀者放下對直覺的完全依賴，轉而信賴邏輯的必然性。閱讀本書的過程，即是一個將直觀的微積分概念轉化為精確的、基於實數係結構的分析理論的過程。它培養的，是一種對數學結構、定義和證明的深刻尊重與理解。

評分☆☆☆☆☆

我手裏拿著的這本教材，說實話，更像是一部結構精密的工程藍圖，而不是一本讓人輕鬆入門的嚮導手冊。它的魅力在於那份對“為什麼”的執著追問。很多其他入門書可能會直接告訴你如何計算導數或者積分的公式，然後讓你去應用，但這本偏偏要從 $epsilon-delta$ 語言的定義開始，掰開瞭揉碎瞭讓你理解極限的真正含義。這種處理方式的後果是顯著的：它迫使你停止做機械的運算，轉而開始進行真正的“分析”思考。我記得有一次，我為一個關於有界閉區間套定理的證明卡瞭好幾天，那種感覺就像是自己親手構建瞭一個邏輯大廈的基石，雖然緩慢而痛苦，但一旦理解瞭，那種豁然開朗的成就感是無與倫比的。所以，如果你期望的是一本能讓你在期末考試前快速抱佛腳的書，那絕對不是它。它要求的是時間投入，要求的是對每一個符號和定義的尊重。它像一位嚴厲的導師，不給你任何捷徑，但它承諾的，是你將獲得一個堅不可摧的分析學基礎。對於那些未來打算走純數學或理論物理方嚮的同學來說，這本書的價值無可替代。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和印刷質量，說實話，放在一堆學術著作裏，絕對算是上乘的。紙張有一定的厚度，不是那種一碰水就可能捲邊的廉價紙張，墨跡清晰，符號渲染得尤其到位，那些希臘字母和上下標看起來賞心悅目，這一點在處理復雜公式時非常重要，能有效避免閱讀錯誤。不過，作為一本數學分析的入門讀物，我個人非常期待能在習題部分看到更多結閤實際應用的案例分析。現在的習題大多集中在概念的驗證和技巧的訓練上，雖然對鞏固理論知識很有幫助，但常常讓人在完成一連串抽象證明後，感到有些脫離瞭現實世界的聯係。比如，關於級數收斂性的討論，如果能加入一些物理學中常見的級數展開的應用背景，或者工程中如何用泰勒展開進行近似計算的實例，或許能更好地激發那些對應用更感興趣的讀者的學習熱情。當前的版本更像是一個純粹的、自洽的數學宇宙，其內部的邏輯完美無瑕，但外部的“連接點”略顯不足，這使得它在作為一本“導論”時，少瞭一點橋梁的作用。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計倒是挺吸引人的，簡約的配色，加上那個古典的襯綫字體，給人一種沉穩、嚴肅的感覺，讓人覺得這絕對是一本“正經”的數學教材。我當初選它，很大程度上是衝著這個“Introduction”來的，想著它應該會比較友好地帶領我進入微積分和分析這個看似深奧的領域。翻開目錄，結構安排得很有層次感，從最基礎的集閤論和拓撲預備知識開始，逐步過渡到極限、連續性，最後深入到導數和積分的基礎概念。編排的邏輯性是沒得挑剔的，作者顯然花費瞭不少心思去設計一條平滑的學習麯綫。然而，實際閱讀體驗嘛，就有點……怎麼說呢，像是在攀登一座略顯陡峭的山峰。雖然路徑清晰，但每一步的論證都紮實得讓人喘不過氣。對於那些已經對數學有一定敏感度的讀者來說，這可能是一份寶藏，因為它的嚴謹性無可指摘。但對於我這種初學者，有時候會覺得它跳過瞭太多“人情味”的解釋，直接就拋齣瞭定理和證明，雖然確保瞭數學的純粹性，卻犧牲瞭一點點初學者的友好度。整體而言，這本書的“骨架”非常健壯，適閤那些渴望一步到位掌握嚴謹基礎的人。

評分☆☆☆☆☆

閱讀體驗上，我發現這本書的一個顯著特點是其“去人性化”的敘述風格。它幾乎完全省略瞭曆史背景的介紹，沒有講述這些定理是如何一步步被發現和完善的。你直接就被扔進瞭現代數學的嚴謹框架之中。這帶來瞭一種高效和純粹，但同時也帶來瞭一種疏離感。我有時會想，如果作者能在引入一個重要概念，比如“一緻連續性”時，先稍微聊聊為什麼普通連續性在處理某些函數時會失效，或者它解決瞭曆史上數學傢遇到的什麼具體睏難，那麼這個抽象概念的引入就會顯得更加自然和必要。這本書的態度是：這是真理，你隻需學習如何運用和證明它。對於那些習慣瞭通過故事和背景來理解事物發展脈絡的學習者來說，這種“真空”中的理論灌輸，可能會導緻理解停留在機械記憶的層麵，而不是真正內化為一種直覺。它在“教你如何思考”方麵下足瞭功夫，但在“激發你為什麼要去思考”方麵，似乎做得比較剋製。

評分☆☆☆☆☆

從整體的教學設計來看，這本書的難度梯度設置得非常陡峭，幾乎沒有給讀者太多緩衝地帶。它更像是麵嚮已經具備一定高等數學背景，或者自學能力極強、且對數學有強烈內在驅動力的讀者群。例如，它對度量空間和完備性的引入非常迅速，而這些概念往往是初次接觸分析學的學生感到最睏惑的地方。對於我來說，每次完成一章的學習，都感覺像是在進行一場高強度的智力馬拉鬆。書中的例題和反例的選取非常經典且富有啓發性，它們往往能精準地揭示某個定理條件的必要性，這一點我非常欣賞——它教會你不僅要記住結論，更要警惕“反例”這個沉默的老師。然而，這也意味著，如果你在某一章節的學習中稍微跟丟瞭節奏，後續章節的理解就會像滾雪球一樣變得越來越睏難，因為後續的建立完全依賴於前麵對每一個細節的精確掌握。因此，這本書更適閤作為輔修或研究生階段的參考書，而非純粹的本科一年級“啓濛讀物”。