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周伯壎 著

图书标签:

• 同调代数
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• 代数拓扑
• 数学
• 高等数学
• 代数
• 环论
• 模论
• 范畴论
• 数学教材

店铺： 北新网图书专营店

出版社： 科学

ISBN：9787030006288

商品编码：19859537540

出版时间：1988-02-01

基本信息

商品名称： 同调代数	出版社： 科学出版社	出版时间：1988-02-01
作者：周伯壎	译者：	开本： 32开
定价： 168.00	页数：	印次： 1
ISBN号：9787030006288	商品类型：图书	版次： 1

内容提要

同调代数是本世纪四十年代发展起来的，现在已成为代数学中的重要方 向之一．同调代数是代数学中研究群、环、模理论的重要工具，也是研究数学 中其他分支如：代数几何学、拓扑学、微分几何、函数论、代数数论的有效工 具． 本书阐述同调代数的基本理论与方法，包括范畴、模、同调、同调函 子与一些环、谱序列等五章，另外还有两个附录，阐述正则局部环的理论 与Serre问题． 本书论证严格，起点不太高，但较深入，可供学过近世代数的大学生、 研究生及数学工作者参考．

拓扑学概论：从点集到流形 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的拓扑学基础。拓扑学作为现代数学的一个重要分支，研究的是空间在连续形变下的基本性质，是连接几何、分析乃至物理学的桥梁。我们试图以一种循序渐进的方式，引导读者领略这个迷人领域的精髓。 第一部分：点集拓扑的基石 本部分专注于构建理解拓扑空间的必要工具。我们从最基本的概念——度量空间开始。度量空间提供了距离的概念，是理解开集、闭集和收敛性的基础。我们详细探讨了开球、闭球的定义，以及它们如何构成拓扑空间中“开集”和“闭集”的直观模型。通过大量的实例，如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的标准拓扑，读者可以建立起对这些基本概念的深刻理解。 紧接着，我们将引入拓扑空间的公理化定义。拓扑是定义在集合上的一组特殊的开集族，它弱化了度量对距离的依赖，从而使得我们可以研究更广泛的“空间”。我们将重点分析拓扑的等价性，证明拓扑可以由基（Basis）或序（Subbasis）来生成，并探讨相对拓扑和商拓扑这两种构造新拓扑空间的关键方法。商拓扑的介绍将涉及如何通过等价关系构造出具有特定性质的空间，例如圆周 $S^1$ 对直线 $mathbb{R}$ 的粘合。 在工具箱中，连续性的概念至关重要。在线性代数或分析中，连续性与 $epsilon-delta$ 定义紧密相关。在拓扑学中，我们采用更抽象的刻画：一个函数是连续的，当且仅当它的原像是一个开集。我们还将引入同胚（Homeomorphism）的概念，这是拓扑学中的“等价”关系，意味着两个空间在拓扑性质上是不可区分的。 为了区分不同的拓扑空间，我们需要引入分离公理。从 $T_1$ 空间到豪斯多夫空间（Hausdorff Space，或称 $T_2$ 空间），我们逐级探讨了这些分离条件的强大之处。豪斯多夫性是后续许多定理成立的必要前提，它确保了极限点和序列的极限在拓扑空间中是唯一的。 随后，我们深入探讨紧致性（Compactness）。紧致性是有限性在任意拓扑空间中的推广。我们证明了紧致性的等价刻画，例如 Heine-Borel 定理（在有限维欧氏空间中），并探讨了紧致集在连续映射下的保持性。紧致性的概念对于处理积分和优化问题至关重要。 与紧致性相对的是连通性（Connectedness）。连通性描述了一个空间是否可以被“分割”成不相交的开集的并集。我们介绍了路径连通性作为一种更强的连通性概念，并证明了在 $mathbb{R}^n$ 中，连通性和路径连通性是等价的。 最后，在点集拓扑的收尾部分，我们将探讨可数性和完备性。可数紧致性、可数紧性、可数紧致性之间的微妙区别将在案例分析中得到澄清。完备性则主要在度量空间中讨论，它为分析学中的收敛性提供了严谨的框架。 第二部分：代数拓扑的初步探索 点集拓扑主要关注空间的局部结构和“形状”的保持性，但它难以区分具有相同开集结构但“洞”的数量不同的空间，例如圆环和圆盘。代数拓扑正是为了解决这一问题而诞生的，它通过构造代数不变量（如群、环）来“度量”空间的拓扑性质。 本部分将读者引向代数拓扑的门槛，重点介绍最基础且应用最广泛的工具——基本群（Fundamental Group）。 我们首先引入同伦（Homotopy）的概念，它是路径之间的连续形变。同伦关系将路径空间划分成不同的等价类，这些等价类构成了基本群 $pi_1(X, x_0)$。基本群是研究空间中“环路”结构的核心工具。 我们将详细计算一些基本空间的 $pi_1$： 1. 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 和凸集： 它们的基本群是平凡群 ${e}$，表明这些空间中不存在拓扑意义上的“洞”。 2. 圆周 $S^1$： 我们将证明 $pi_1(S^1)$ 是整数群 $mathbb{Z}$，其中每个整数对应于绕圆周的圈数。这是代数拓扑的第一个非平凡、极其重要的结果。 为了严谨地计算基本群，我们需要发展万用覆盖空间（Covering Space）理论。覆盖空间是拓扑学中一个极其优美的概念，它提供了一种将非豪斯多夫空间“展开”成豪斯多夫空间的方法。我们探讨了覆盖映射的定义、提升（Lifting）性质，并应用覆盖空间对应定理，将基本群的计算转化为对覆盖空间的简单组合计数问题。 第三部分：流形与微分几何的交汇 在本书的最后，我们将把拓扑学的概念应用于流形（Manifolds）的研究。流形是局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间，是现代几何、物理学（如广义相对论）和微分几何的语言。 我们定义了拓扑流形，并重点介绍了光滑流形（Differentiable Manifolds）的概念，即在流形上定义了相容的坐标图集（Atlas）和过渡函数（Transition Maps），使得我们可以进行微积分运算。 本书将以对球面 $S^n$ 的深入分析收尾，展示拓扑学、几何学与代数如何在一个统一的框架下运作，为读者未来深入研究微分几何、代数拓扑的更高阶工具（如奇异同调）打下坚实的基础。 本书面向具有微积分和线性代数基础的读者，旨在提供一个清晰、连贯且富有启发性的拓扑学入门体验。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本关于同调代数的著作，让我产生了一种强烈的“自我审视”感——我是否真的准备好进入这个领域？这本书的选材非常全面，它涵盖了从基础的阿贝尔群上同调到更高级的张量积和内积的复杂构造。它的深度是毋庸置疑的，尤其是在处理导出函子（Derived Functors）的构造性证明时，作者展现了非凡的耐心和逻辑清晰度。但这种深度是以牺牲流畅的阅读叙事为代价的。书中的论证结构往往是“自下而上”地堆砌定义，使得整个理论体系显得异常庞大和难以消化。例如，在解释Tor 函子时，作者给出了基于自由分解的定义，随后又引入了基于张量积的替代描述，两者之间的等价性证明虽然是必要的，但被放置得过于紧凑，以至于读者很难在脑海中形成一个统一的图像。这本书更像是为已经掌握了基础抽象代数知识的硕士生或博士生设计的“工具箱”，而非一个引导人进入新世界的“地图集”。它提供了所有必要的零件，但组装的责任完全落在了读者肩上。

评分☆☆☆☆☆

这本《同调代数》的作者显然是在试图搭建一座连接不同数学领域的宏伟桥梁，但从读者的角度来看，这座桥梁的某些部分似乎还处在基础结构的搭建阶段。全书的叙事节奏把握得相当大胆，开篇便直接切入了复杂的概念，对于那些没有深厚代数拓扑背景的读者来说，这无疑是一场智力的“速成课”。书中对链复形（Chain Complexes）的引入，以及随后对同调群（Homology Groups）的详尽阐述，展现了作者扎实的理论功底。然而，这种“深度优先”的讲解方式，使得初次接触这些理论的读者很容易在迷雾中迷失方向。特别是关于射影分解（Projective Resolutions）和内射分解（Injective Resolutions）的部分，虽然数学推导无可指摘，但缺乏足够直观的几何或物理类比支撑，使得抽象的代数结构显得异常冰冷和难以捉摸。书中在处理特定例子时，例如对球面同调的计算，虽然步骤清晰，但并未充分展示不同代数工具在解决实际问题时的适用性和局限性，这让人感觉理论与实践之间存在着一条不易跨越的鸿沟。整体阅读体验像是在攀登一座陡峭的山峰，风景无疑是壮丽的，但过程却异常艰辛，需要读者具备极高的专注度和预备知识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和符号体系给我留下了非常深刻的印象，它带着一种古典数学著作的庄重感，同时也夹杂着一些现代化的便捷。页边距相对宽裕，为读者手写笔记提供了充足的空间，这对于需要反复演算的代数主题来说是莫大的福音。然而，在术语的统一性上，我发现了一些细微的、但可能影响理解的瑕疵。例如，某些章节使用“拓扑群”的术语，而在后续章节中却倾向于使用更广义的“李群”概念，并且没有明确标注这种转换的必然性，这让习惯了线性、清晰定义的读者略感困惑。内容上，关于导出范畴（Derived Categories）的讨论，是这本书的亮点之一，它巧妙地将同调代数与更现代的代数几何联系起来。作者似乎对格罗滕迪克（Grothendieck）的学说抱有极高的敬意，并试图将这些前沿思想融入基础框架中。这种融合是勇敢的，但对于初学者来说，这就像是尝试在学习走路时就学习如何进行高空走钢丝——一旦出错，后果将是彻底的迷失。书中对这些高级概念的论述非常精炼，精炼到几乎没有给出任何可以回溯的“脚手架”。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书在某些章节的论证严谨性上达到了令人敬畏的水平，但这种极致的严谨性，在阅读体验上却成了一把双刃剑。作者似乎更倾向于“证明什么”而不是“为什么这么做”。比如，当讲解到函子（Functors）的性质，特别是其正合性（Exactness）时，所有的定义和定理都被包裹在一层层符号逻辑的外衣之下，缺乏对这些结构在更高维度空间中实际“作用力”的描绘。我们被告知它们是“好的”或“坏的”，但很少被温柔地引导去感受它们在范畴论框架下的内在美感。书中对谱序列（Spectral Sequences）的介绍，是全书中最具挑战性的部分之一。谱序列本身就是一种高度复杂的收敛工具，而本书的呈现方式，更像是一份为资深研究人员准备的参考手册，而非一本面向进阶学生的教科书。它罗列了不同的谱序列（如Serre谱序列或Atiyah-Hirzebruch谱序列），却很少花篇幅去解释在什么情境下应该选择哪一个，以及它们如何简化了原本复杂的计算。对于希望通过阅读来建立直觉的读者而言，这本书提供的更多是精确的路线图，而非鼓励人探索的指南针。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值在于它为同调代数提供了一个坚实且无懈可击的理论基础，其构建的数学结构如同精密的瑞士钟表。对于那些需要查阅特定定理的严谨表述或证明细节的研究人员来说，这本书无疑是一本绝佳的案头参考书。作者在处理正合序列和长正合序列（Long Exact Sequences）的性质时，逻辑推导几乎是滴水不漏的，每一小步都经过了深思熟虑的检验。然而，作为一本“学习”材料，它的节奏感略显古板。它更侧重于证明和构造的数学纯度，而相对忽视了这些代数结构与它们在拓扑学、代数几何乃至数论中应用的联系。比如，虽然提到了奇异同调（Singular Homology），但关于如何使用这些代数工具去真正计算出某些空间的同调群的“秘诀”或“技巧”并未被充分揭示。整本书读下来，你学会了“如何证明”同调的性质，却可能仍然在疑惑“如何应用”同调来解决实际的几何问题。这使得阅读过程更多地像是一次对理论大厦的“结构考察”，而非一次充满发现的“旅程”。