店鋪： 科學齣版社旗艦店
齣版社： 科學齣版社
ISBN：9787030548504
商品編碼：23257347781
包裝：平裝
齣版時間：2017-12-04
頁數：400
字數：400
具體描述
商品參數
| 高中數學解題方法與技巧典例分析 | ||
| 曾用價 | 59.00 | |
| 齣版社 | 科學齣版社 | |
| 版次 | 1 | |
| 齣版時間 | 2017年12月 | |
| 開本 | ||
| 作者 | 馬岷興 等 | |
| 裝幀 | 平裝 | |
| 頁數 | 400 | |
| 字數 | 400 | |
| ISBN編碼 | 9787030548504 | |
內容介紹
本書共29章，分為上篇和下篇。上篇介紹高中數學解題中重要的22類解題方法及其子方法：每一章以一種數學方法為核心，首先，闡述該數學方法的定義、步驟、使用範圍等；其次，對於高中的典型例題，進行詳細分析和歸納解題經驗；*後，提供若乾習題，供讀者進行針對訓練。下篇主要為數學新題賞析：分彆對數學作文題、情境題、建模題、探索題、實驗題、思維題、文化題進行點評與賞析。
目錄
目錄
上篇 解題方法
第1章 數學抽象的方法 3
1.1 符號化 3
1.2 代數化 6
1.3 圖示化 10
第2章 分類與整閤的方法 14
2.1 分類與整閤 14
2.2 分解與組閤 20
2.3 局部與整體 22
第3章 數學歸納法 27
3.1 第*數學歸納法 27
3.2 第二數學歸納法 31
第4章 遞推的方法 35
4.1 纍加法 35
4.2 纍乘法 38
4.3 不動點法 39
4.4 特徵根法 41
4.5 數列求和方法 43
第5章 演繹證明法 47
5.1 綜閤法 47
5.2 分析法 50
5.3 比較法 53
5.4 反證法 55
5.5 反例法 57
5.6 放縮法 58
第6章 邏輯推理方法 63
6.1 演繹推理法 63
6.2 集閤思想 66
6.3 容斥原理 69
6.4 抽屜原理 71
6.5 計數原理 74
第7章 算法的方法 81
7.1 迭代法 81
7.2 窮舉法 84
第8章 統計方法 89
8.1 抽樣的方法 89
8.2 樣本估計總體的方法 92
8.3 頻率估計概率的方法 98
第9章 概率方法 105
9.1 圖錶法 105
9.2 古典概型方法 108
9.3 幾何概型方法 111
9.4 互斥事件與條件概率方法 114
第10章 數形結閤法 119
10.1 由“數”化“形” 119
10.2 由“形”化“數” 125
10.3 “數”“形”相生 131
第11章 函數法 137
11.1 待定係數法 137
11.2 分離參數法 142
第12章 方程法 147
12.1 設元法 147
12.2 根的判彆式法 153
12.3 點差法 157
第13章 代換法 162
13.1 換元法 162
13.2 配方法 166
13.3 參數法 169
第14章 幾何變換法 175
14.1 幾何變換法 175
14.2 麵積法 180
第15章 逐步逼近法 186
15.1 降維法 186
15.2 消元法 191
15.3 逐步調整法 197
15.4 極限法 202
第16章 數學模型法 206
16.1 函數模型 206
16.2 三角模型 210
16.3 數列模型 211
16.4 迴歸分析模型 213
16.5 概率分布列模型 219
第17章 特殊化與一般化的方法 225
17.1 特殊化法 225
17.2 一般化法 231
17.3 特殊化VS一般化 235
第18章 聯想法 239
18.1 形似聯想法 239
18.2 類比聯想法 242
18.3 關係聯想法 245
第19章 猜想法 249
19.1 不完全歸納法 249
19.2 類比法 253
19.3 演繹猜想法 257
第20章 構造法 261
20.1 構造輔助圖形 261
20.2 構造輔助式 267
20.3 構造函數法 271
第21章 模式法 278
21.1 變量替換模式法 278
21.2 對稱模式法 281
21.3 同一模式法 285
第22章 逆嚮思維法 288
22.1 對稱逆嚮思維法 288
22.2 差異逆嚮思維法 290
22.3 途徑倒轉逆嚮思維法 294
下篇 新題賞析
第23章 數學作文題 301
23.1 綜述 301
23.2 新題賞析 305
第24章 數學情境題 316
24.1 綜述 316
24.2 典例分析 318
24.3 針對練習 324
第25章 數學建模題 327
25.1 綜述 327
25.2 典例分析 330
25.3 針對練習 337
第26章 數學探索題 339
26.1 綜述 339
26.2 典例分析 340
26.3 針對練習 343
第27章 數學實驗題 344
27.1 綜述 344
27.2 典例分析 346
27.3 針對練習 348
第28章 數學思維題 350
28.1 綜述 350
28.2 典例分析 350
28.3 針對練習 354
第29章 數學文化題 356
29.1 綜述 356
29.2 典題分析 361
29.3 針對練習 384
在綫試讀
上篇 解題方法
第1章 數學抽象的方法
數學在本質上研究的是抽象的東西，因此可以推斷，數學的發展所依賴的*重要的基本思想也就是抽象，因為隻有通過抽象纔能得到抽象的東西。①
“抽象”一詞源於拉丁語abstracio，其本意是排除、抽取的意思。現在人們對抽象的理解一般有兩種，一種是用來形容那種遠離具體經驗，因而不太容易理解的對象性質的程度；另一種是指從具體事物中捨棄非本質屬性而抽取本質屬性的過程和方法。後者反映齣抽象是一種思維活動，也是本書的研究內容。
抽象性是數學的基本特點之一，抽象也是數學活動*基本的思維方法。作為方法的數學抽象抽取的是事物在數量關係和空間形式等方麵的本質屬性，進而提煉數學概念，構造數學模型，建立數學理論。即從研究對象或問題中抽取齣數量關係或空間形式而捨棄其他的屬性，藉助定義和推理進行邏輯構建的思維過程和方法。②
數學的一切活動，從概念到方法，實質上都是抽象的，大到組織一個數學體係所用的公理化方法，在實際中應用的數學模型方法，小到一個概念的給齣，一個計算過程的建立，一個證明技巧的發現，甚至於一個問題的錶徵都需要用到數學抽象。由此也可以看齣數學抽象是多種多樣的，也是多層次的。③
1.1 符號化
方法點撥
英國著名數學傢羅素說過：“什麼是數學？數學就是符號加邏輯。”懷特海也說：“隻要細細分析，即可發現符號化給數學理論的錶述和論證帶來的極大方便，甚至是必不可少的”。符號化是指將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型的過程。符號化超*瞭實際問題的具體情境，深刻地揭示和指明瞭存在於某一類問題中的共性和普遍性，把認識和推理提高到一個更高的水平，而這是數學活動和數學思考*本質的東西。
典例精講
【典例1】計算：
【解析】本題可以通過直接計算得到，但是比較麻煩。觀察代數式的結構發現，其有重復的元素設將原問題符號化，原式。
【評注】此題如果采用常規算法則顯然麻煩又容易齣錯，但是通過數值設元，把數的運算抽象為式的運算，這樣解題就顯得簡單、便捷。
【典例2】（2017全國Ⅰ捲）函數f(x)在單調遞減，且為奇函數。若，則滿足的x的取值範圍是。
【解析】因為函數f(x)為奇函數，若，所以。又因為，因為函數在單調遞減，將其符號化：所以，選。
【評注】本題中，將符號化為，有利於準確找到自變量x的不等式組，提高解題準確率。
【典例3】（2014全國I捲）已知分彆為△ABC的三個內角A,B,C的對邊，且，則△ABC麵積的*大值為。
【解析】本題的核心的條件是直接展開，沒法化簡。觀察到，考慮將以上等式進一步“形式化”，得，觀察到以上等式每個項都含有正弦值，故而考慮將“角化為邊”，由正弦定理，得，利用均值不等式進行放縮，得。
【評注】本題的關鍵是根中的“2”進行符號化，代換為a，而後根據三角變換的基本方法：邊角互化，降次歸一等進行化簡求解。
【典例4】某村計劃建造一個室內麵積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內，沿左、右兩側與後側內牆各保留1m寬的通道，沿前側內牆保留3m寬的空地。則矩形溫室的蔬菜的種植麵積*大值是m2。
【答案】648。
【解析】設矩形溫室的左側邊長為am，後側邊長為bm，則ab=800m2。蔬菜的種植麵積S=(a-4)·(b-2)=ab-4b？2a+8=808-2(a+2b)。結閤基本不等式，∴S≤808-42ab=648(m2)。當且僅當a=2b，即a=40m，b=20m時，Smax=648m2。
【評注】將生活問題符號化，用數學的眼光來認識世界。讓我們的大腦不光有感性的猜想，還有理性的思辨。
【典例5】如圖1-1所示，小明從街道的E處齣發，先到F處與小紅會閤，再一起到位於G處的老年公寓參加誌願者活動，則小明到老年公寓可以選擇的*短路徑條數為（）。
圖1-1 A.24 B.18 C.12 D.9
【解析】通過分析，發現：從E到F，再到G的過程中，為瞭保證*短路程，故每到一個路口隻能嚮上或者嚮右。從點E到點F，無論如何走，隻需要嚮右走2個格，嚮上走2格，故本問題可以抽象為組閤問題：在4個步驟中，選取2步嚮右，2步嚮上，有24C=6種走法；同理，從點F到點G，可以抽象為組閤問題：在3個步驟中，選取2步嚮右，1步嚮上，有23C=3種走法。*後利用分步乘法原理，得6×3=18種。選B。
【評注】本題初次分析，可以嘗試用窮舉法完成，但是容易齣錯，沒有觸及問題的本質。本題等價於從點E到點G，無論如何走，隻需要嚮右走m個格，嚮上走n格。可以抽象為組閤問題：在m+n個步驟中，選取m步嚮右，n步嚮上，有種走法。
【典例6】（2013四川捲）節日前夕，小李在傢門前的樹上掛瞭兩串彩燈，這兩串彩燈的第*次閃亮相互獨立，且都在通電後的4秒內任一時刻等可能發生，然後每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那麼這兩串彩燈同時通電後，它們第*次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（）。
A.14 B. 12 C.34 D.78
【解析】本題中有兩個核心元素：相鄰的兩個彩燈，故而將問題歸類為幾何概型的麵積問題。設在通電後的4秒鍾內，甲串彩燈、乙串彩燈第*次亮的時刻為X、Y，X、Y相互獨立，由題意可知，如圖1-2所示。兩串彩燈第*次亮的時間相差不超過2秒的概率為圖正方形正方形。
【評注】本題的關鍵是甲串彩燈、乙串彩燈第*次亮的時刻為X、Y，將原問題代數化，通過分析發現其本質是一個綫性規劃模型，通過作齣麵積示意圖，進而加以求解。學生在處理本題的時候，茫然不知所措，反應過來利用幾何概型將生活問題符號化，再圖示化後，則問題迎刃而解。
針對練習
1.（2015清華自招）從正15邊形的頂點中選齣3個構成鈍角三角形，則不同的選法有（）。
A.105種 B.225種 C.315種 D.420種
2.計算的值。
參考答案
1.【解析】先看一個頂點處構成鈍角的三角形個數，假設此點為A，從A逆時針方嚮的點依次記為kA（k=1，2，3，…，7），順時針方嚮的頂點依次記為要構成以A為鈍角的鈍角三角形，則n+m≤7，有1+2+3+…+6=21個。於是共可構成15×21=315個鈍角三角形。選C。
2.【解析】本題也可以考慮直接平方，進而尋求化簡求值。
1.2 代數化
方法點撥
笛卡兒曾設想：“把一切問題歸結為數學問題，把一切數學問題歸結為代數問題，把一切代數問題歸結為方程。”可見代數化的極大價值與意義。代數化有兩層含義：一方麵，用代數的語言描述幾何要素及其關係，進而將幾何問題轉化為代數問題，處理代數問題，分析代數結果的幾何含義，*終解決幾何問題；另一方麵，用代數的語言抽象齣數學問題的本質和規律，通過處理代數問題，*終解決數學問題。
圖書簡介： 《幾何拓撲基礎與前沿探索》 作者： [此處可虛構一位知名數學傢或教授的姓名，例如：張偉教授] 齣版社： [此處可虛構一傢專業學術齣版社的名稱，例如：科學技術文獻齣版社] 齣版日期： [此處可虛構一個近期或經典的年份，例如：2023年10月] --- 內容概述：跨越維度的數學視界 本書旨在為對現代數學，特彆是幾何學和拓撲學領域抱有濃厚興趣的讀者提供一個既係統深入又充滿啓發性的導覽。它並非高中數學的簡單延伸或技巧匯編，而是一部直麵高等數學核心概念、聚焦抽象結構與空間不變性的專業性著作。全書結構嚴謹，內容前沿，緻力於構建起讀者理解現代數學研究範疇的堅實橋梁。 第一部分：經典幾何學的重建與深化 本書伊始，我們並未停留在歐幾裏得幾何的平麵或三維空間範疇，而是著手於對幾何學基本概念進行更深層次的哲學與代數化重構。 第一章：仿射幾何與射影幾何的代數基礎 本章將拋棄依賴直覺的繪圖方法，轉而采用綫性代數工具來嚴格定義仿射空間和射影空間。我們詳細闡述瞭齊次坐標係在處理無窮遠點和對偶性問題上的威力。內容涵蓋： 嚮量空間到仿射空間的映射： 明確點（Point）與嚮量（Vector）的區彆與聯係。 射影平麵上的對偶原理： 闡釋“點集”與“綫集”之間完美對稱性的內在邏輯。 二次麯綫的射影分類： 利用矩陣的行列式和特徵值，對橢圓、雙麯綫、拋物綫進行統一的幾何描述與代數判據。 第二章：微分幾何入門——麯綫與麯麵的局部分析 本部分是連接代數與幾何的樞紐，引入瞭微積分和張量分析的觀點來研究光滑結構。重點關注於局部性質的精確計算。 空間麯綫的內蘊幾何： 深入探討撓率（Torsion）和麯率（Curvature）的概念及其幾何意義，通過弗雷內-塞雷（Frenet-Serret）標架，揭示麯綫在三維空間中的“扭麯”和“彎麯”程度。 麯麵的基本形式理論： 詳細推導第一、第二基本形式，它們是描述麯麵度量的核心工具。 高斯麯率與平均麯率： 闡明高斯絕妙定理（Theorema Egregium）的深遠意義，即高斯麯率是麯麵的一個內蘊量，不依賴於麯麵嵌入的三維空間。這為後續的拓撲學研究埋下瞭伏筆。 第二部分：拓撲學：研究“可形變性”的科學 拓撲學是現代幾何學的核心領域之一，本書用大量篇幅來介紹其抽象美感和強大的分類能力。拓撲學關注的是在連續形變（拉伸、擠壓，但不允許撕裂或粘閤）下保持不變的性質。 第三章：點集拓撲學的嚴謹基石 為理解更高級的結構，必須先建立穩固的點集拓撲基礎。本章側重於抽象空間的構建和性質的刻畫。 拓撲空間的定義與例子： 從度量空間齣發，逐步過渡到一般拓撲空間，介紹開集、閉集、鄰域、緊緻性、連通性的嚴格定義。 連續函數的拓撲視角： 重新審視連續性，將其視為保持拓撲結構的映射。 商拓撲的構造： 介紹如何通過“粘閤”一個空間的子集來構造新的拓撲空間，這是理解流形的關鍵步驟。 第四章：代數拓撲的幾何應用——同調論導引 本章是本書的難點與精華所在，旨在用代數工具來區分本質上不同的幾何對象。我們關注的是“洞”的數量與類型。 基本群（Fundamental Group）： 定義迴路空間和路徑積分，講解如何利用基本群來判斷一個空間是否具有“洞”（如圓環與實心圓盤的區彆）。我們詳細分析瞭圓周 $mathbb{S}^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$，並探討布勞威爾不動點定理的拓撲證明思路。 同調群（Homology Groups）簡介： 引入鏈復形、邊界算子和鏈復形，教授讀者如何計算更復雜的拓撲不變量，如霍莫洛伊群（Hole counts）。 歐拉示性數： 討論它是如何作為重要的拓撲不變量，將麯麵的組閤結構與幾何性質聯係起來的（如球麵 $chi=2$，環麵 $chi=0$）。 第三部分：前沿展望與應用模型 最後一部分將視野投嚮當代數學研究的熱點領域，展示幾何與拓撲如何滲透到其他科學分支。 第五章：流形理論的構建 流形是現代微分幾何和拓撲學的基本研究對象，它局部看起來像歐幾裏得空間，但整體結構可能極其復雜。 拓撲流形與光滑流形： 明確區分這兩種流形，並介紹坐標圖、轉移函數和光滑結構的建立過程。 切空間與張量場： 在流形上引入微積分的概念，定義切嚮量空間，為研究嚮量場和微分形式做準備。 第六章：幾何學的交叉領域 本章簡要介紹瞭當前幾何拓撲學的幾個活躍研究方嚮，這些內容超越瞭本科基礎教學範圍，但對於有誌於從事研究的讀者具有極高的參考價值。 紐結理論（Knot Theory）： 探討紐結不變量（如瓊斯多項式），以及它們在分子生物學和統計物理學中的潛在應用。 黎曼幾何概述： 引入度量張量的概念，探討麯率的全局效應，為廣義相對論的數學基礎做鋪墊。 辛幾何與可積係統： 介紹泊鬆括號結構在保守係統中的重要性，這在經典力學和量子場論中占據核心地位。 --- 本書特色與目標讀者 專業深度與嚴謹性： 本書的證明詳實而嚴謹，拒絕依賴直覺和“不言自明”的斷言，所有結論均基於明確的公理體係推導。 思維的抽象化訓練： 讀者將學會如何將具象的幾何問題轉化為抽象的代數或組閤問題進行求解，培養處理高維、非歐幾裏得空間的思維能力。 目標讀者： 1. 數學專業本科生（高年級）及研究生，作為進階學習和研究的參考書目。 2. 物理學、計算機圖形學、工程學領域中需要深入理解空間結構和幾何不變性的研究人員。 3. 具有堅實微積分和綫性代數基礎，渴望挑戰高等抽象數學的自學者。 本書並非側重於解題技巧的速成手冊，而是側重於建立對空間結構本質的深刻理解，是通往純粹數學殿堂的裏程碑式著作。
用戶評價
評分
這本書的裝幀設計和印刷質量真是沒話說，拿到手裏就感覺分量十足，很有質感。封麵設計簡約又不失大氣，那種深藍色調配上金色的字體，透著一股沉穩和專業感。內頁紙張選得也特彆好，不反光，長時間閱讀眼睛也不會覺得纍，這對於需要長時間麵對數學公式和例題的讀者來說簡直是福音。排版布局也十分清晰，章節劃分邏輯性強，讓人一目瞭然。特彆是那些復雜的數學符號和圖形，印製得非常銳利清晰，沒有絲毫模糊不清的情況，這在很多同類書籍中是很難得的。我注意到一些關鍵概念的定義和定理的錶述部分，都用瞭不同的字體或加粗來突齣顯示，這對於快速抓住核心知識點非常有幫助。整體來看，這本書在硬件上的投入絕對是下足瞭功夫，光是拿在手上摩挲，就能感受到齣版方對讀者的尊重和用心，讓人在學習之餘也能享受到一種良好的閱讀體驗。
評分這本書在語言錶達上，保持瞭一種恰到好處的平衡感，既有學術的嚴謹性，又不失為高中生的可讀性。我遇到過一些數學參考書，要麼就是晦澀難懂的術語堆砌，要麼就是過於口語化而顯得不夠正式。這本書的作者顯然深諳此道，在講解復雜的定理或技巧時，措辭精準到位，邏輯鏈條清晰到幾乎不需要讀者去主動思考“然後呢？”下一步是什麼。它用詞非常講究，比如在描述一個關鍵步驟時，會使用“巧妙地構造齣”、“等價地轉化為”這類富有引導性的詞匯，引導讀者的注意力。而且，在總結性的評論部分，語言充滿瞭鼓勵和啓發性，讓人感覺作者不是一個高高在上的指導者，而是一個耐心的引路人，這種親和力在技術類書籍中是難能可貴的，極大地提升瞭閱讀的沉浸感和學習的積極性。
評分作為一名正在備考的學生，我最看重的是知識點的覆蓋麵和實用性。這本書在這兩方麵錶現得極其齣色。它不僅僅停留在基礎的代數、幾何和解析幾何這些傳統強項上，對於概率統計、函數與導數這些近年來比重逐年加大的模塊，也給予瞭充分的篇幅和深入的技巧講解。我特彆留意瞭它對不同數學分支之間知識融會貫通的提示，比如如何用代數的思想去解決幾何問題，或者如何利用微積分的概念來輔助解決最值問題。這種跨學科的思維導圖構建，對於應對現在越來越綜閤化的考試題型至關重要。這本書的使用，讓我感覺像是擁有瞭一位全科的數學私教，它係統性地幫我梳理瞭知識體係的脈絡，並針對性地打磨瞭我的應試能力，感覺我的解題工具箱瞬間豐富瞭許多，信心也隨之大增。
評分這本書的內容組織結構實在是太值得稱贊瞭，完全沒有那種東拼西湊的感覺，而是像一個經驗豐富的老教師精心鋪設的知識階梯。它不是簡單地羅列公式和習題，而是真正做到瞭“解題方法與技巧”的深度挖掘。每一章的引入都非常自然，從基礎概念的溫故知新開始，然後逐步過渡到各種題型的典型分析，這一點讓我感覺特彆受用，因為它完美地銜接瞭我們高中數學的知識體係，避免瞭因為基礎不牢而導緻的後續學習障礙。特彆是對那些標誌性的、每年都會在高考或重要考試中齣現的題型，作者都會用好幾個不同的角度去剖析解題的思路和背後的數學思想，這比死記硬背解題步驟要高明得多。對於我這種在某些特定難點上總是卡殼的同學來說，這種多維度、深層次的解析簡直是醍醐灌頂，讓人茅塞頓開，真正理解瞭“為什麼這麼做”而不是僅僅學會瞭“怎麼做”。
評分我個人對這本書的“典例分析”部分給予最高的評價，這絕對是本書的靈魂所在。它挑選的例題絕對不是那種一眼就能看齣解法的普通習題，而是那些帶著陷阱、需要巧妙轉化的“攔路虎”。更絕的是，作者對於每一個典例，都進行瞭詳盡的、庖丁解牛式的拆解。它不僅展示瞭正確的解題路徑，更重要的是，還探討瞭其他可能的錯誤解法以及為什麼會齣錯，這種“反例教學”的方式極大地拓寬瞭我的思維邊界。我發現自己過去很多時候不是不會做，而是思維定勢瞭。通過閱讀這些典例分析，我學會瞭在麵對陌生問題時，如何進行有效的聯想和轉化，如何從題目的已知條件中挖掘齣隱藏的約束或隱含信息。這種對解題藝術的精雕細琢，讓我感覺自己不僅僅是在刷題，而是在接受一種高水平的數學思維訓練，收獲遠超於一本書本身的價值。
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