2018奧林匹剋數學中的幾何問題奧賽經典專題研究係列 高中數學奧林匹剋教程輔導書高中數學競 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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瀋文選張垚冷崗鬆 編

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店鋪： 新知圖書專營店

齣版社： 湖南師範大學齣版社

ISBN：9787564819958

商品編碼：26208715502

叢書名： 奧林匹剋數學中的幾何問題

開本：16開

齣版時間：2015-01-01

數學思維的殿堂：一部聚焦於數論與組閤的奧賽進階指南 圖書名稱：《數論與組閤的奧秘：麵嚮頂尖數學競賽的深度解析與解題策略》 內容提要： 本書是一部專門為有誌於在高中階段衝擊更高層次數學奧林匹剋競賽（如 IMO、區域性乃至國傢級選拔賽）的學生和指導教師量身打造的進階級輔導專著。它摒棄瞭對基礎代數和初等幾何的常規敘述，而是將全部篇幅集中於兩個在現代數學競賽中占據核心地位且難度極高的分支領域：解析數論的初等方法與高級組閤結構與計數原理。本書旨在通過嚴謹的理論構建、精選的經典難題剖析以及獨到的解題思路引導，幫助讀者實現從“會解題”到“精通解題”的質的飛躍。 --- 第一部分：解析數論的初等鋒芒 (Elementary Aspects of Analytic Number Theory) 本部分不涉及高等微積分中的連續性與極限的嚴格分析，而是專注於利用初等工具（如整除性、模運算、算術函數性質、狄利剋雷級數的基礎概念等）來解決涉及整數性質的復雜問題。 第一章：算術函數與結構分解 1.1 經典算術函數的深入研究： 深入探討歐拉$phi$函數、除數函數$ au(n)$和$sigma(n)$的性質，著重分析其積性、完全積性，並推導其在特定模意義下的周期性。 1.2 狄利剋雷捲積與莫比烏斯反演的精妙應用： 不僅教授莫比烏斯反演公式本身，更側重於其在反嚮證明和構造性計數中的應用實例。探討狄利剋雷乘法錶的構造及其在求和估計中的潛力。 1.3 綫性篩法與更高效的函數計算： 講解如何利用綫性篩法在$O(N)$時間內預處理大量數論函數的值，以及如何結閤容斥原理設計更優化的篩法來計算特定形式的函數值之和（如 $sum_{i=1}^N mu(i)$ 的初步估計）。 第二章：同餘理論的深化與應用 2.1 原根、指標與二次剩餘： 係統介紹二次互反律（高斯引理的形式介紹，重點應用而非嚴格證明），以及歐拉判彆法在判斷一個數是否為模$p$的二次剩餘中的關鍵作用。講解原根的存在性判彆條件及其在密碼學基礎（如離散對數問題雛形）中的潛在聯係。 2.2 中國剩餘定理的高級變體： 探討超越標準形式的同餘方程組，例如模數不互質的情況，以及如何利用迭代代入法或構造函數來求解多重、嵌套的同餘係統。 2.3 丟番圖方程的有限性分析： 聚焦於 Pell 方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的基本解的求解策略（基於連分數展開法的基本思想介紹），以及齊次與非齊次綫性丟番圖方程的通解構造。 第三章：初等數論中的不等式與估計 3.1 狄利剋雷平均值： 介紹算術函數平均值（如平均階）的概念，通過分塊求和法（Dirichlet Hyperbola Method 的初等版本）對 $sum_{n=1}^N au(n)$ 進行更精確的階估計，探討誤差項的分析。 3.2 分布與密度： 初步介紹素數定理的“初等證明”的思想框架（如切比雪夫的上界和下界估計），並分析 $pi(x)$ 的初步估計公式及其在概率論背景下的意義。 3.3 模運算下的極值問題： 涉及利用鴿巢原理和抽屜原理解決與同餘類相關的極值問題，例如在特定集閤中尋找特定模的倍數或非倍數的存在性。 --- 第二部分：高級組閤結構與計數原理 (Advanced Combinatorial Structures and Counting Principles) 本部分專注於組閤數學中更抽象、更具結構性的主題，強調模型構建、圖論工具的運用以及生成函數的強大錶達能力。 第四章：生成函數的威力 4.1 普通生成函數 (OGF) 的深度應用： 熟練運用生成函數解決復雜的遞推關係（特彆是高階或變係數的綫性遞推），以及處理帶有限製條件的組閤計數問題（如卡特蘭數、斯特林數的推廣形式）。 4.2 指數型生成函數 (EGF) 與排列組閤： 深入講解 EGF 在處理帶標簽對象（標記問題）中的不可替代性，如環狀排列、帶有特定結構（如特定元素相鄰）的排列計數。 4.3 模塊化生成函數： 探討利用生成函數處理“不能重復選擇”或“選擇次數有限”的問題，並引入生成函數在周期性問題中的應用，如周期性序列的構造。 第五章：圖論在競賽中的建模與應用 5.1 基本圖論概念的深化： 重點講解連通性、歐拉路徑/迴路、哈密頓路徑的判定（歐拉-龐加萊定理的深入應用）。 5.2 樹的計數與性質： 詳細介紹 Cayley 公式（生成樹定理）及其推廣形式（如矩陣樹定理的入門思想），並結閤 Prufer 序列探討帶標簽樹的結構。 5.3 染色的藝術與應用： 介紹圖的染色問題（如邊染色、點染色），並結閤平麵圖的四色定理思想（僅限於基本性質和應用，不涉及復雜證明），解決涉及區域劃分或資源分配的優化問題。 第六章：高級計數原理與構造性證明 6.1 容斥原理的復雜迭代： 講解容斥原理在處理“至少有 $k$ 個性質成立”或“恰好有 $k$ 個性質成立”等復雜情況下的係統化應用，以及如何通過構造閤適的集閤族來簡化計算。 6.2 構造性證明與反證法在組閤中的結閤： 針對“證明存在性”的題目，提供構建具體實例的技巧。同時，講解如何通過假設一個結構不存在，進而導齣矛盾的嚴謹思路。 6.3 極值原理與局部最優解： 聚焦於最小/最大元素法（Extremal Principle），訓練讀者識彆問題中的“最”字，並從局部最優推導齣全局性質。分析拉姆齊理論的初級應用，如 Ramsey(3,3)=6 的直觀理解與應用。 --- 本書特色： 本書的每一章節都配備瞭大量由曆年國際及國內頂尖奧賽中篩選齣的“A級難題”，這些題目不僅考察知識點，更側重於思維的靈活性和知識的融會貫通。每道例題都提供至少兩種解題思路的對比分析，詳細闡述瞭從發現問題、構建模型到最終求解的完整思維鏈條，旨在培養讀者麵對未知數學問題時，敢於嘗試、善於轉化的頂級解題能力。本書是奧賽選手嚮更高目標邁進的必備階梯。

評分☆☆☆☆☆

我是一個偏嚮於“理論先行”的學習者，對於那些上來就丟一堆例題，不做深入原理探討的書籍，我通常敬而遠之。這本書最打動我的地方，在於它對基礎公理和定理的追溯。它在介紹一個復雜的幾何定理時，往往會先迴溯到歐幾裏得幾何的哪一條基本假設，再通過一係列嚴謹的邏輯步驟推導齣來，這種“溯源”式的講解，極大地滿足瞭我對知識體係完整性的渴求。它不是簡單地告訴你“怎麼做”，而是讓你明白“為什麼必須這麼做”。例如，在處理嚮量與坐標係轉換的章節，它清晰地論證瞭為什麼在特定的三維空間問題中，使用四元數而非傳統的歐拉角會更加簡潔高效，這種高屋建瓴的視角，讓我對高等數學與奧賽幾何的銜接點有瞭更清晰的認識。這種紮實的理論基礎，讓我在麵對那些看似無從下手的新穎題目時，不再慌亂，因為我知道，無論變化如何，它們終究脫離不瞭那些最基本的數學定律。

評分☆☆☆☆☆

說實話，拿到這本書的時候，我其實是帶著一絲懷疑的，市麵上的奧賽資料多如牛毛，真正能讓人眼前一亮的鳳毛麟角。但當我翻到關於數論與組閤的交叉部分時，我的看法徹底改觀瞭。它沒有迴避那些最棘手的容斥原理應用，反而用一種近乎講故事的方式，將復雜的計數過程層層剝開，仿佛有位經驗豐富的大師在你耳邊細細講解每一步邏輯推導的精妙之處。特彆是它對“鴿巢原理”在不同維度問題上的靈活變體進行瞭歸納總結，這比我之前看過的任何一本教材都要係統和深入。我感覺作者一定是傾注瞭大量心血，不僅僅是收集瞭曆年的真題，更重要的是提煉齣瞭隱藏在那些錶麵形式各異的題目背後的底層數學思想。這種由錶及裏的梳理，極大地提升瞭我看待問題的深度和廣度，不再滿足於套用模闆，而是開始嘗試構建自己的解題框架。這種能力的提升，對我來說比單純記住幾個結論要寶貴得多。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡直太吸引人瞭，那種深沉的藍色調配上簡潔有力的幾何圖形，一下子就讓人感覺到瞭專業和嚴謹。我記得我當時是在書店的奧賽專區一眼就相中的，那種“非同一般”的氣質是其他輔導書比不上的。拿到手裏沉甸甸的，厚度也相當可觀，翻開目錄，那密密麻麻的知識點劃分和例題索引，簡直就是一本武功秘籍。我個人對解析幾何的部分尤其期待，因為在那之前，總覺得立體幾何的某些技巧難以捉摸，希望這本書能提供一種全新的、更直觀的理解視角，不僅僅是公式的堆砌，而是那種深入骨髓的幾何直覺的培養。我已經迫不及待想知道，它究竟是如何係統地梳理那些被公認為“鬼題”的難題的，特彆是那些需要巧妙構造輔助綫的經典戰例，希望能從中找到破解迷局的鑰匙。這本書的排版也很舒服，字體大小適中，留白恰到好處，即便是長時間研讀，眼睛也不會感到太疲憊，這對於我們這種需要高強度學習的備賽者來說，簡直是福音。

評分☆☆☆☆☆

這本書的後半部分，主要集中在曆年國際奧賽（IMO）的精選真題解析上，這部分內容簡直是神來之筆。與其他資料不同，它提供的不是“標準答案”的機械展示，而是提供瞭至少三種不同思路的解法，並且對每種解法進行瞭詳細的優劣分析。有一種解法被標記為“最優構造法”，閱讀過程簡直是一種藝術享受，它展示瞭人類思維在極限挑戰下所能達到的創造力和優雅性。我記得有一道關於圓錐麯綫的題目，第一種解法用瞭繁復的代數運算，第二種用瞭仿射變換的幾何技巧，而第三種，僅僅用瞭幾筆簡單的平行綫和相似三角形，就洞穿瞭問題的本質。作者在解析中強調瞭“選擇正確工具的重要性”，這對我個人的解題習慣産生瞭深遠的影響。我開始有意識地在解題前花更多時間去構思，去尋找那個最“美”的切入點，而不是急於動筆計算，這無疑是邁嚮更高水平的標誌。

評分☆☆☆☆☆

對於那些已經有一定奧賽基礎，但希望衝刺省級或國傢級集訓的同學來說，這本書的價值是無可替代的。它非常“硬核”，幾乎沒有麵嚮初學者的“入門”章節，直接就切入瞭競賽的核心難度。我尤其欣賞它對於“反例與構造”這一主題的論述。在證明一個結論的普適性時，作者不僅給齣瞭證明，還特意設計瞭一係列“陷阱”——那些看似符閤直覺，實則謬誤的特例，並詳細解釋瞭為什麼這些特例會失效。這種“防患於未然”的教學方式，極大地提高瞭我對數學結論的審慎態度。它教會我的不僅僅是解題技巧，更是一種嚴謹的、懷疑一切的科學精神。讀完這本書，我感覺自己不僅僅是在準備一場考試，更像是在參與一場與曆史上那些最偉大數學傢們思想的對話，那種精神上的洗禮，是任何速成班都無法給予的。