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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040129410J

商品编码：26533525838

商品参数

书   名:数学分析习题课讲义（下册）

作 者: 谢惠民　

I S B N :9787040129410

出版社: 高等教育出版社

出版时间:2010年11月01日

印刷时间:2010年11月01日

字 数:字

页 数:408页

开 本:16开

包 装:平装

重 量:599g

定 价:33.9元

内容简介

《数学分析习题课讲义》(下)是教育部“国家理科基地创建课程项目”的研究成果，其目的是为数学分析的习题课教学提供一套具有创新特色的教材和参考书。《数学分析习题课讲义》(下)以编著者们近20年来在数学分析及其习题课方面的教学经验为基础，吸取了外多种教材和研究性论著中的大量成果，注意经典教学内容中的思想、方法和技巧的开拓和延伸，在例题的讲解中强调启发式和逐步深入，在习题的选取中致力于对传统内容的更新、补充与层次化。

目录

下册内容简介

第十三章数项级数

513.1 无穷级数的基本概念

13.1.1 无穷级数的多种视角

13.1.2 思考题

§13.2 正项级数

13.2.1 比较判别法的一般形式

13.2.2 比较判别法的特殊形式

13.2.3 其他判别法

13.2.4 例题

13.2.5 练习题

§13.3 一般项级数

13.3.1 一般项级数的敛散性判别法

13.3.2 一般项级数的基本性质

13.3.3 例题

13.3.4 练习题

§13.4 无穷乘积

13.4.1 基本内容

13.4.2 例题

13.4.3 练习题

§13.5 对于教学的建议

13.5.1 学习要点

13.5.2 参考题

第十四章函数项级数与幂级数

514.1 一致收敛性及其判别法

14.1.1 基本内容

14.1.2 例题

14.1.3 练习题

§14.2 和函数与极限函数的性质

14.2.1 三分法与极限顺序交换原理

14.2.2 例题

14.2.3 准一致收敛与控制收敛定理

14.2.4 练习题

§14.3 幂级数的收敛域与和函数

14.3.1 幂级数的基本理论

14.3.2 思考题

14.3.3 例题

14.3.4 练习题

§14.4 函数的幂级数展开

14.4.1 Taylor级数与函数的幂级数展开

14.4.2 将函数展开为幂级数的基本方法

14.4.3 例题

14.4.4 练习题

§14.5 对于教学的建议

14.5.1 学习要点

15.5.2 参考题

第十五章Fourier级数

§15.1 Fourier系数

15.1.1 Fourier系数的计算公式

15.1.2 Fourier系数的渐近性质

15.1.3 Fourier系数的几何意义

15.1.4 例题

15.1.5 练习题

515.2 Fourier级数的收敛性

15.2.1 Dirichler核和点收敛性

15.2.2 Gibbs现象

15.2.3 Fourier级数的？eshro求和

15.2.4 Fourier级数的平方平均收敛

15.2.5 Fourier级数的一致收敛性

15.2.6 例题

15.2.7 练习题

§15.3 对于教学的建议

15.3.1 学习要点

15.3.2 参考题

第十六章无穷级数的应用

§16.1 积分计算

16.1.1 关于逐项积分的补充命题

16.1.2 例题

16.1.3 练习题

§16.2 级数求和计算

16.2.1 级数求和法

16.2.2 例题

16.2.3 练习题

§16.3 连续函数的逼近定理

16.3.1 核函数方法

16.3.2 Bernstein证明的概率解释

16.3.3 逼近定理的一个初等证明

16.3.4 逼近定理的其他证明

16.3.5 逼近定理的应用举例

16.3.6 练习题

16.4 用级数构造函数

16.4.1 处处连续处处不可微的函数

16.4.2 填满正方形的连续曲线

§16.5 对于教学的建议

16.5.1 学习要点

16.5.2 参考题

第十七章高维空间的点集与基本定理

§17.1 点与点集的定义及其基本性质

17.1.1 点的分类及其性质

17.1.2 集合的分类及其性质

17.1.3 思考题

17.1.4 练习题

§17.2 R中的几个基本定理

17.2.1 综述

17.2.2 例题

17.2.3 练习题

§1.7.3 对于教学的建议

17.3.1 学习要点

17.3.2 参考题

第十八章多元函数的极限与连续

518.1 多元函数的极限

18.1.1 重极限

18.1.2 累次极限

18.1.3 证明函数的重极限不存在的常用方法

18.1.4 思考题

18.1.5 关于累次极限换序

18.1.6 练习题

§18.2 多元函数的连续性

18.2.1 定义与基本性质

18.2.2 紧集上多元连续函数的性质

18.2.3 多元连续函数的介值定理

18.2.4 向量值函数

18.2.5 练习题

§18.3 对于教学的建议

18.3.1 学习要点

18.3.2 参考题

第十九章偏导数与全微分

§19.1 偏导数

19.1.1 偏导数的定义

19.1.2 偏导数与连续

19.1.3 高阶偏导数

§19.2 全微分

19.2.1 全微分的定义与基本性质

19.2.2 多元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系

19.2.3 思考题

19.2.4 练习题

§19.3 复合函数求导链式法则

19.3.1 复合函数偏导数的链式法则

19.3.2 例题

19.3.3 齐次函数

19.3.4 练习题

519.4.向量值函数的微分学定理

19.4.1 有限增量公式与拟微分平均值定理

19.4.2 练习题

§19.5 对于教学的建议

19.5.1 学习要点

19.5.2 参考题

第二十章隐函数存在定理与隐函数求导

520.1 一个方程的情形

20.1.1 隐函数存在定理

20.1.2 隐函数求导

20.1.3 思考题

20.1.4 练习题

§20.2 隐函数组

20.2.1 存在定理

20.2.2 思考题

20.2.3 求已知函数组所确定的隐函数组的导数

20.2.4 存在定理的证明

20.2.5 练习题

§20.3 变量代换问题

20.3.1 仅变换自变量的情形

20.3.2 自变量与函数同时变换的情形

20.3.3 练习题

§20.4 隐函数及隐函数组的整体存在性

§20.5 对于教学的建议

20.5.1 学习要点

20.5.2 参考题

第二十一章偏导数的应用

§21.1 偏导数在几何上的应用

21.1.1 曲线的切向量、切线与法平面

21.1.2 曲面的法向量、法线和切平面

21.1.3 曲线的夹角、曲面的夹角

21.1.4 练习题

§21.2 方向导数与梯度

21.2.1 方向导数

21.2.2 梯度

21.2.3 练习题

§21.3 Taylor公式与极值问题

21.3.1 Taylor公式

21.3.2 极值问题

21.3.3 大小值问题

21.3.4.练习题

§21.4 条件极值与条件值

21.4.1 条件极值

21.4.2 条件值

21.4.3 隐函数的极值

21.4.4 练习题

§21.5 高维Rolle定理

§21.6 对于教学的建议

21.6.1 学习要点

21.6.2 参考题

第二十二章重积分

§22.1 二重积分的概念

22.1.1 二重积分的定义

22.1.2 可积函数类

22.1.3 思考题

22.1.4 练习题

§22.2 二重积分的计算

22.2.1 矩形区域上的二重积分

22.2.2 一般区域上的二重积分

22.2.3 二重积分的变量替换

22.2.4 练习题

§22.3 三重积分，n重积分

22.3.1 三重积分在直角坐标系中的计算

……

第二十三章含参变量积分

第二十四章曲线积分

第二十五章曲面积分

第二十六章场论初步

参考提示

参考文献

中文名词索引

外文名词索引

《高等代数精要与应用》 第一部分：数域与矩阵代数基础 第一章：数域的结构与扩张 本章将深入探讨代数结构的核心——数域。我们将从集合论的基础出发，严谨地定义有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$ 以及复数域 $mathbb{C}$，并考察它们在代数运算下的封闭性与完备性。重点将放在域的扩张理论上，介绍子域、域的扩张次数 $[L:K]$ 的概念。我们将构建初等伽罗瓦理论的基石，讨论最小多项式和代数数。通过对有限域的初步探索，为后续的编码理论和密码学打下理论基础。本章的习题将侧重于构造特定阶数的域扩张，并证明某些数（如 $sqrt{2}$ 或 $sqrt[3]{2}$）的最小多项式。 第二章：线性空间与线性映射 线性代数是现代数学的通用语言。本章以公理化的方式定义线性空间（向量空间），详细考察有限维线性空间的基与维数。我们将深入研究线性映射的性质，包括核空间（Kernel）与像空间（Image），并利用秩-零化度定理阐明其内在联系。多项式空间、函数空间等具体实例将被用来加深对抽象概念的理解。本章的难点将在于抽象基的选取与坐标变换的理解，特别是如何通过改变基来简化矩阵表示。 第三章：矩阵理论与行列式 矩阵作为线性变换的数值表示，其运算规则和性质至关重要。本章将系统阐述矩阵的乘法、转置、逆矩阵的求法。行列式的定义将通过莱布尼茨公式和拉普拉斯展开式给出，并详细讨论行列式的性质，例如与矩阵的秩、线性无关性的关系。我们将运用行列式来求解线性方程组（克拉默法则），并探讨初等矩阵在矩阵分解中的作用。矩阵的秩的计算将通过初等行变换（行阶梯形）来系统化，这是后续对线性系统解空间分析的基础。 第四章：特征值与特征向量 特征值和特征向量揭示了线性变换在特定方向上的不变性，是理解线性系统动态行为的关键。本章将介绍特征多项式、特征值、特征向量的计算方法。我们将讨论对角化问题，判定一个矩阵是否可对角化，并探究若可对角化，如何构造对角矩阵和相似变换矩阵。此外，本章会触及矩阵的若尔当标准型（Jordan Canonical Form）理论的引言，尽管其完整的构造和证明将留待更高阶的课程，但其必要性和基本概念需要在此处建立起来，特别是当矩阵不可对角化时如何寻找“广义特征向量”。 第二部分：二次型与规范化 第五章：二次型与二次曲面 二次型是二次方程所描述的几何对象的代数基础。本章将二次型表示为对称矩阵的二次函数 $f(x) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$。我们将重点讨论二次型的标准形（Canonical Form）的化简。通过正交变换（即相似变换的一种特殊形式），我们将二次型化为只含平方项的和。本章的核心在于“惯性定理”（Sylvester’s Law of Inertia），它确保了二次型的标准形在符号上具有唯一性。我们还将简要介绍二次曲面（如椭球面、双曲面）在主轴方向上的几何意义。 第六章：欧几里得空间与正交性 在引入内积的概念后，线性空间升维为欧几里得空间（内积空间）。本章定义内积、范数和角度，从而建立了度量几何结构。关键技术是施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），它能将任意一组基转化为一组正交（或标准正交）基。正交矩阵的特殊性质将被详细分析。在正交基下，二次型的对角化问题被简化为：对称矩阵总能被正交对角化，这为理解谱理论（Spectrum Theory）提供了直观的几何解释。 第三部分：多项式环与代数方程 第七章：环论基础与多项式环 在回顾了群和域的基本概念后，本章转向环论。重点关注整环和主理想整环（PID）的结构。随后，我们将聚焦于多项式环 $F[x]$，其中 $F$ 是一个域。本章将证明多项式环具有唯一分解的性质，并引入最大理想与素理想的概念。多项式的最大公约数（GCD）的求解将使用欧几里得算法。本章的练习将涉及在特定环中构造理想，并判断其是否为主理想。 第八章：多项式的根与分解 本章是代数几何和伽罗瓦理论的直接铺垫。我们将研究多项式的根的性质，特别是重根的判定。关键内容是多项式的有理根定理，以及如何利用模 $p$ 运算来辅助判断不可约性。本章将详细讨论在特定域上分解多项式的方法，例如利用插值法或通过构造扩域来寻找根。最终，我们将讨论代数基本定理的几种常见证明思路，理解代数数域的稠密性。 第九章：线性规划的初步 虽然线性规划（Linear Programming, LP）通常在应用数学中详细展开，但其基础代数结构根植于线性方程组的解空间。本章将 LP 问题形式化为标准形式，定义可行域（凸多面体）和目标函数。我们将使用图形法（针对二元变量）来直观理解最优解的几何意义。重点将放在单纯形法（Simplex Method）的代数思想上：如何通过选择基变量和非基变量来系统地遍历可行域的顶点，以寻找全局最优解。本章旨在展示线性代数知识在优化问题中的直接应用。 附录：线性代数计算与软件应用导引 本附录提供了一些计算工具的使用指南，建议读者利用计算软件（如 MATLAB, Python/NumPy 或 R）来验证复杂的矩阵运算，如大规模矩阵的特征值分解、奇异值分解（SVD）的数值稳定性分析，以及求解大型稀疏线性系统的迭代方法（如雅可比法、高斯-赛德尔法）的基本原理。这将帮助读者将理论知识与实际工程计算相结合。

评分☆☆☆☆☆

我购买这本书的初衷是希望它能提供一套足够全面的习题集，能够覆盖“下册”通常涵盖的全部核心内容，特别是那些需要大量计算和技巧的题目。然而，实际情况是，提供的练习题数量明显不足，而且很多题目都集中在最基本、最容易理解的类型上，缺乏那种能真正考验思维深度和灵活应用能力的高难度、创新性的挑战题。更糟糕的是，随书附带的参考答案部分也显得过于单薄，很多关键步骤依然是含糊带过，没有提供详细的解题思路或多种解法对比，这使得我们这些希望通过钻研习题来巩固知识点的读者，得不到应有的反馈和指导。对于一本主打“习题课”的讲义来说，习题部分的乏力和肤浅是致命的缺陷。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，怎么说呢，有一种非常浓厚的、上世纪八九十年代俄式数学教育的遗风，笔调非常克制和严谨，但这带来的负面效果就是过于晦涩和缺乏现代数学的活力。作者在表述定理和引理时，倾向于使用冗长而复杂的从句结构，使得初读时需要花费数倍于理解内容本身的时间去梳理句子的主谓宾。偶尔出现的数学符号定义也显得有些古旧，与当前主流教材所采用的简洁表示法存在脱节。我花了很长时间才适应这种叙事方式，但坦白讲，这种阅读体验是相当消耗精力的，它要求读者具备极高的专注度和耐性，对于追求高效学习体验的现代学习者来说，可能不是最优选择。

评分☆☆☆☆☆

这本书的讲解深度似乎存在一个奇特的断层。前半部分，对于一些基础概念的阐述，比如一些涉及拓扑和度量空间的基础论述，可以说是深入浅出，逻辑链条清晰可见，即便是初次接触这些复杂概念的读者也能有所领会。然而，一旦进入到级数、积分的收敛性证明或者泛函分析的初步探讨时，作者的笔锋突然变得极其简略，许多关键的中间步骤被跳过，仿佛预设读者已经完全掌握了更高阶的分析技巧。这导致在尝试跟进证明推导时，我常常感到力不从心，不得不转头去查阅其他更详尽的参考资料来填补这些空白。这种前后不一的难度梯度，使得这本书更像是为已经有扎实基础的进阶学生准备的“速查手册”，而非能够引导初学者平稳过渡的优秀教程。

评分☆☆☆☆☆

这本讲义在章节间的逻辑过渡上处理得非常生硬，仿佛是把数个独立讲义的文稿拼凑在了一起。例如，从某一章关于傅立叶分析的收敛性讨论，直接跳跃到下一章关于变分法的介绍，中间缺乏必要的桥梁性的回顾或者“引言”来阐明它们之间的内在联系，或者说明本章知识在后续学习中的作用。这就导致阅读时有一种“碎片化”的感受，知识点是孤立存在的，难以形成一个完整的知识体系网络。我感觉作者似乎更侧重于每一个单元内部的完美，却忽略了如何将这些单元有机地串联成一个连贯的、循序渐进的分析学全景图，使得整体的学习体验显得零散而不连贯。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版简直是灾难，字体大小不统一，有些地方印得太淡几乎看不清，另一页又浓得发黑，让人阅读起来非常吃力。而且，目录和正文的页码经常对不上，找一个特定的定理或者例题要花费大量时间，这对于需要快速查阅资料进行复习的学生来说简直是折磨。更令人沮丧的是，印刷质量太差，书页边缘有明显的裁切不齐，有些地方甚至可以看到油墨的溢出，感觉像是盗版书的质量。作为一本专业的教材，对细节的把控如此粗糙，实在让人难以接受。我期望一本严肃的学术书籍能有与之匹配的装帧和印刷质量，但这本书完全没有达到标准，让人在翻阅时就失去了学习的兴趣。我得承认，内容本身可能还行，但糟糕的载体极大地削弱了它的价值。