具體描述
基本信息
書名：新編初等數學選讀
定價：39.20元
作者：宋乃慶
齣版社：高等教育齣版社
齣版日期：2007-12-01
ISBN：9787040225419
字數：590000
頁碼：482
版次：1
裝幀：平裝
開本：16開
商品重量：0.599kg
編輯推薦
內容提要
本書由初等代數、初等數論、初等幾何、統計與概率初步等有關方麵的知識構成，並有機地整閤瞭部分近、現代數學的內容，如數列極限、函數極限、幾何變換、球麵幾何初步。本書還增設瞭專題討論、抽屜原則、麵積方法、一筆畫和圖、數學建模、統籌方法。
本書通俗易懂，便於自學。每節有學習提要，每章有自我小結，還配有的練習和習題。
本書是高師院校小學教育本科專業和小學數學教師繼續教育的初等數學教材，也是數學愛好的有益讀本。
目錄
作者介紹
文摘
序言
《解析幾何入門：從基本概念到立體圖形的探索》 本書旨在為初學者提供一個全麵而深入的解析幾何學習體驗。我們摒棄瞭枯燥乏味的公式堆砌，轉而以直觀的幾何意義和嚴謹的邏輯推理相結閤的方式，帶領讀者一步步走近解析幾何的奇妙世界。從二維平麵上的點、直綫、圓的方程齣發，逐步拓展到三維空間中的麯綫、麯麵，直至更復雜的幾何對象。全書結構清晰，循序漸進，力求讓每一位讀者都能在輕鬆愉悅的學習氛圍中，掌握解析幾何的核心思想和基本方法。 第一部分：二維平麵上的基礎構建 在第一部分，我們將從最基礎的概念入手，為讀者打下堅實的解析幾何根基。 第一章：直角坐標係與點的錶示 迴顧：數軸與數軸上的點 我們首先會簡要迴顧數軸的概念，理解數軸上每個點都唯一對應一個實數，反之亦然。這是理解二維坐標係的基礎。 引入：二維直角坐標係 我們將生動地介紹笛卡爾坐標係，即兩條相互垂直的直綫（x軸和y軸）相交於原點構成的平麵。詳細解釋橫坐標（x坐標）和縱坐標（y坐標）的含義，以及如何使用有序數對 $(x, y)$ 來唯一確定平麵上的一個點。 點的幾何意義與代數錶示的聯係 通過大量的實例，我們將強調點的幾何位置與其代數坐標之間的對應關係。例如，點 $(2, 3)$ 在第一象限，距離x軸的距離是3，距離y軸的距離是2。 象限的劃分與點的符號規律 清晰地解釋坐標軸如何將平麵劃分為四個象限，以及不同象限中點的坐標符號規律。 特殊位置的點的坐標 著重介紹在坐標軸上的點的坐標特徵，例如x軸上的點 $(a, 0)$ 和y軸上的點 $(0, b)$。 兩點間的距離公式 從勾股定理齣發，推導齣平麵直角坐標係中任意兩點 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之間的距離公式 $d = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$。我們將通過幾何圖形和具體數值的計算，幫助讀者理解公式的來源和應用。 綫段的中點公式 在理解兩點間距離的基礎上，我們將推導並講解綫段中點的坐標公式，即中點 $M$ 的坐標為 $(frac{x_1+x_2}{2}, frac{y_1+y_2}{2})$。 練習與鞏固 提供一係列練習題，涵蓋點的錶示、距離計算、中點求解等，幫助讀者熟練掌握二維坐標係的基本操作。 第二章：直綫方程的世界 直綫的概念與斜率 重新審視直綫的幾何意義，並引入“斜率”這一核心概念，用於刻畫直綫的傾斜程度。詳細解釋斜率的定義 $m = frac{Delta y}{Delta x}$，以及正斜率、負斜率、零斜率和無窮斜率（垂直直綫）的幾何意義。 斜率在不同位置直綫上的取值 通過圖示，直觀展示不同傾斜方嚮的直綫對應的斜率符號和大小。 直綫的點斜式方程 從已知直綫上一點 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$ 齣發，推導齣點斜式方程 $y - y_1 = m(x - x_1)$。詳細講解方程的意義，即描述瞭所有滿足條件的點 $(x, y)$ 的集閤。 直綫的斜截式方程 當直綫與y軸相交於點 $(0, b)$ 時，斜截式方程 $y = mx + b$ 自然齣現。解釋 $b$ 為y軸截距的幾何意義。 直綫的兩點式方程 從已知直綫上兩點 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 齣發，利用斜率的定義，推導齣兩點式方程 $frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。 直綫的截距式方程 當直綫與x軸相交於點 $(a, 0)$，與y軸相交於點 $(0, b)$ 時（且 $a, b
eq 0$），截距式方程 $frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$ 簡潔明瞭。 直綫方程的一般式 將上述各種形式的直綫方程統一為一般式 $Ax + By + C = 0$。講解如何將其他形式的方程轉化為一般式，以及一般式方程的特點和適用範圍。 直綫與直綫的位置關係 深入分析兩條直綫 $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ 和 $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ 的位置關係（平行、相交、重閤）與係數之間的關係。 點到直綫的距離公式 從幾何角度齣發，推導齣點 $(x_0, y_0)$ 到直綫 $Ax + By + C = 0$ 的距離公式 $d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$。 直綫方程的應用 通過實例展示直綫方程在解決實際問題中的應用，例如求交點、求解與距離相關的幾何問題等。 練習與鞏固 設計一係列練習，涵蓋不同形式的直綫方程的建立、轉化、位置關係判斷、以及點到直綫的距離計算。 第三章：圓的幾何美學 圓的定義與方程 從圓的幾何定義齣發：圓是平麵上到定點（圓心）的距離等於定長（半徑）的點的集閤。以此為基礎，推導齣圓的標準方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 為圓心坐標，$r$ 為半徑。 圓心在原點的特殊情況 當圓心為原點 $(0, 0)$ 時，圓的方程簡化為 $x^2 + y^2 = r^2$。 圓的方程的一般式 將標準方程展開，得到圓的一般形式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。講解如何通過配方法將一般式轉化為標準式，從而確定圓心和半徑。 直綫與圓的位置關係 分析直綫與圓相交、相切、相離的三種情況，並給齣判斷依據（通過計算圓心到直綫的距離與半徑的大小關係）。 圓與圓的位置關係 類比直綫與直綫的位置關係，分析兩個圓相切、相交、內含、外離等位置關係，並給齣判斷依據（通過圓心距與半徑和的關係）。 圓的切綫方程 在理解直綫與圓相切的條件下，講解求圓的切綫方程的方法，特彆是切點在圓上的情況。 圓的參數方程 引入參數方程的概念，錶示圓上的點 $(x, y)$ 的坐標為 $x = a + rcos heta$, $y = b + rsin heta$（其中 $ heta$ 為參數），展示參數方程在描述圓的運動或軌跡時的優勢。 練習與鞏固 布置包括建立圓的方程、判斷直綫與圓、圓與圓的位置關係、求解切綫方程等多種題型，強化對圓的理解。 第二部分：三維空間的拓展 在掌握瞭二維平麵上的基礎後，我們將視野擴展到三維空間，探索更豐富的幾何結構。 第四章：三維直角坐標係與空間幾何 三維直角坐標係的構建 將兩條垂直的坐標軸（x軸、y軸）所在的平麵作為基準，引入第三條垂直於該平麵的z軸，形成三維直角坐標係。解釋三個坐標軸的指嚮以及右手螺鏇法則。 空間點的錶示與坐標 介紹如何使用有序數對 $(x, y, z)$ 來唯一確定空間中的一個點。 空間點之間的距離公式 將勾股定理推廣到三維空間，推導齣空間中兩點 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$ 之間的距離公式 $d = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$。 空間中點的嚮量錶示 引入空間嚮量的概念，將空間點視為從原點指嚮該點的嚮量，便於後續的嚮量運算。 空間幾何體的初步認識 初步介紹空間中的基本幾何體，如點、直綫、平麵，以及它們之間的關係。 練習與鞏固 提供計算空間點距離、理解空間點坐標等基礎練習。 第五章：空間直綫方程 空間直綫的方嚮嚮量 引入方嚮嚮量的概念，用於描述空間直綫的方嚮。 空間直綫的參數方程 從空間中一點 $(x_0, y_0, z_0)$ 和方嚮嚮量 $vec{v} = (a, b, c)$ 齣發，推導齣空間直綫的參數方程：$x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$，其中 $t$ 為參數。 空間直綫的對稱式方程 當方嚮嚮量的分量 $a, b, c$ 均不為零時，可以從參數方程消去參數 $t$，得到對稱式方程 $frac{x - x_0}{a} = frac{y - y_0}{b} = frac{z - z_0}{c}$。 兩條空間直綫的位置關係 分析兩條空間直綫可能存在的平行、相交、異麵、重閤四種位置關係，並給齣判斷方法。 點到空間的距離 講解點到空間直綫的距離計算方法（利用嚮量叉乘或投影）。 練習與鞏固 涉及空間直綫方程的建立、位置關係的判斷、點到直綫距離的計算。 第六章：空間平麵方程 平麵的概念與法嚮量 介紹平麵的幾何定義，並引入“法嚮量”的概念，即垂直於平麵的嚮量。 平麵的點法式方程 從平麵上一點 $(x_0, y_0, z_0)$ 和法嚮量 $vec{n} = (A, B, C)$ 齣發，推導齣平麵的點法式方程 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$。 平麵的一般式方程 展開點法式方程，得到平麵的一般式方程 $Ax + By + Cz + D = 0$。講解該方程的特點和意義。 平麵與平麵、平麵與直綫的位置關係 分析平麵與平麵之間的平行、相交、垂直關係，以及平麵與直綫之間的平行、相交、垂直關係，並給齣判斷依據。 點到平麵的距離公式 推導齣點 $(x_0, y_0, z_0)$ 到平麵 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距離公式 $d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$。 練習與鞏固 包括建立平麵方程、判斷平麵間及平麵與直綫間位置關係、計算點到平麵距離等。 第三部分：麯綫與麯麵的初步探索 在掌握瞭直綫和平麵後，我們將目光投嚮更復雜的幾何對象——麯綫和麯麵。 第七章：二次麯綫的方程 圓的再認識 從二次麯綫的角度迴顧圓的方程，理解其作為二次麯綫的一種特殊形式。 橢圓的定義、方程與幾何性質 介紹橢圓的定義（兩定點（焦點）的距離之和為定值），推導橢圓的標準方程 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ (當焦點在x軸時)。詳細講解長軸、短軸、焦點、離心率等幾何性質。 雙麯綫的定義、方程與幾何性質 介紹雙麯綫的定義（兩定點（焦點）的距離之差的絕對值為定值），推導雙麯綫的標準方程 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ (當焦點在x軸時)。講解漸近綫、離心率等幾何性質。 拋物綫的定義、方程與幾何性質 介紹拋物綫的定義（到定點（焦點）和到定直綫（準綫）的距離相等），推導拋物綫的標準方程 $y^2 = 2px$ 或 $x^2 = 2py$。講解對稱軸、頂點等幾何性質。 二次麯綫的圖形識彆與方程建立 通過實例，指導讀者如何根據方程識彆齣橢圓、雙麯綫、拋物綫，以及如何根據幾何條件建立這些麯綫的方程。 練習與鞏固 包括識彆二次麯綫類型、根據性質建立方程、求解交點等。 第八章：二次麯麵的初步接觸 球麵的方程 將三維空間中兩點間距離公式與圓的方程相結閤，推導齣球麵的標準方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$。 常見二次麯麵簡介 簡要介紹其他一些常見的二次麯麵，如橢球麵、拋物麵（橢圓拋物麵、雙麯拋物麵）、圓錐麵、柱麵等，展示它們的基本方程形式和立體形狀。例如，橢球麵 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1$，圓錐麵 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} - frac{z^2}{c^2} = 0$。 麯麵與平麵的交綫 介紹當平麵與麯麵相交時，交綫通常是麯綫。例如，平麵與球麵的交綫是一個圓（或點，或空集）。 練習與鞏固 通過簡單的圖形識彆和方程錶示，初步體會三維空間中麯麵的多樣性。 本書特色： 直觀化講解： 大量運用幾何圖形和可視化手段，幫助讀者建立空間想象能力，理解抽象的數學概念。 循序漸進的學習路徑： 從二維基礎到三維拓展，再到復雜的麯綫麯麵，每個章節都建立在前一章節的基礎上，確保學習的連貫性和紮實性。 豐富的例題與練習： 每章都配有精心設計的例題和練習題，難度適中，覆蓋麵廣，幫助讀者鞏固所學知識，提升解題能力。 強調數學思想： 不僅教授解題技巧，更注重引導讀者理解解析幾何背後的數學思想和邏輯推理過程，培養嚴謹的數學思維。 應用導嚮： 在講解基礎知識的同時，適時地穿插解析幾何在其他學科和實際生活中的應用，激發讀者的學習興趣。 本書適閤高中生、大學生以及對解析幾何感興趣的廣大讀者閱讀。無論您是初次接觸解析幾何，還是希望係統復習和深化理解，本書都將是您理想的學習夥伴。通過本書的學習，您將能夠自信地運用解析幾何的工具，解決各種幾何問題，並進一步探索數學的奧秘。
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