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蔡聰明 著

图书标签:

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出版社： 三民

ISBN：9789571458045

商品编码：29911871317

《微積分的歷史步道(二版)》

作者：蔡聰明                                  出版社：三民  

出版日期：2013/06/14                   語言：繁體中文

ISBN：9789571458045                 叢書系列：鸚鵡螺數學叢書

規格：平裝 / 408頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 二版

出版地：台灣

內容簡介

微積分如何誕生？微積分是什麼？

微積分研究兩類問題：求切線與求面積，分別發展出微分學與積分學。

微積分迷人的特色是涉及無窮步驟，落實於無窮小的演算與極限操作，所以具深度、難度與美。

從古希臘開始，數學家經過兩千年的奮鬥，累積許多人的成果，到了十七世紀，終於由牛頓與萊布尼茲發展出微分法並且看出微分與積分的互逆性，從而揭開求切、求積、求極、變化與運動現象之謎，於是微積分誕生。

講述這段驚心動魄的思想探險之旅，就構成了本書的主題。

作者簡介

蔡聰明

已從臺大數學系退休。

目前過著耕讀的生活，隨興旅遊兼從事寫作。

對於數學教育與普及數學的工作難以忘情。 

夢想著：從音樂中看出數學，並且從數學中聽出音樂。

探索数学思想的演进：一本关于微积分历史与哲学的深度导览 本书并非一本传统的微积分教科书，它将带领读者穿越时空，深入探究微积分这门宏伟数学分支的诞生、发展及其背后深刻的哲学意涵。我们旨在呈现的，是一幅关于人类理性如何逐步掌握“变化”这一核心概念的壮丽画卷。 本书的视角着重于历史脉络的梳理和关键思想的碰撞。我们不会沉湎于繁复的习题和标准化的解题步骤，而是致力于揭示那些推动微积分革命的伟大心智——从古希腊的极限思想萌芽，到中世纪学者对无穷小量的挣扎，直至牛顿与莱布尼茨的划时代综合。 第一部分：前奏——变化与测量的古老困境 在微积分正式诞生之前，人类是如何处理运动、曲率和面积这些涉及连续变化的量呢？我们首先回溯到古希腊的黄金时代。欧多克索斯（Eudoxus）和阿基米德（Archimedes）发展出的“穷竭法”（Method of Exhaustion）是人类历史上第一次系统尝试用有限的步骤逼近无限的量。我们将详细分析阿基米德如何利用这种方法计算抛物线弓形的面积，以及这种方法的局限性——它本质上是一种“静止的”论证，缺乏描述瞬时变化的能力。我们会考察这种几何直觉如何在漫长的历史中沉睡，等待着代数和分析工具的觉醒。 此后，我们将目光投向中世纪晚期和文艺复兴时期。在意大利，卡瓦列里（Cavalieri）提出的“不可分量原理”成为了一个强有力的、虽然在逻辑上略显粗糙的工具，它极大地便利了面积和体积的计算。我们会讨论这一原理的直观力量和其所引发的关于“无穷小”是否真实存在的哲学争论。这种对“无穷”的直接操作，预示着黎明前的骚动。 第二部分：17世纪的爆发——瞬时速率与切线问题的统一 17世纪是科学史上一个非凡的时期，诸多领域的突破汇聚成一股强大的潮流，最终导向了微积分的诞生。本书将聚焦于“切线问题”（求曲线上任意一点的斜率）和“求积问题”（求曲线下面积）是如何被认为是两个互逆的过程。 我们将深入探讨费马（Pierre de Fermat）在解决切线问题上所展现的洞察力。他处理的实际上是现代导数的雏形，即考察函数在某一点附近的变化率。我们会剖析他如何通过“增量与差商”的概念，绕过了对无穷小量的严格定义，实现了惊人的计算效率。 同时，我们也绝不会忽略早期对无穷级数的深入研究。巴罗（Isaac Barrow），牛顿的导师，在连接几何与代数方面做出了关键性的贡献。通过分析他的著作，读者可以清晰地看到微积分的基本思想是如何在他的思维中逐渐成形的。 第三部分：牛顿与莱布尼茨的世纪之争与体系构建 微积分的正式诞生，离不开艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨这两位巨匠。本书将以不偏不倚的视角，审视他们各自的发现历程、符号体系的差异以及随之而来的激烈“优先权之争”。 牛顿的“流数术”： 我们将探索牛顿如何从物理学的视角出发，将变量视为“流逝”的量，并引入了“流数”（Fluxions，导数的早期形式）和“流增”（Fluents，积分的早期形式）。牛顿的系统是高度工程化和物理驱动的，他的核心关切在于描述自然界中的运动和变化规律。我们会分析《自然哲学的数学原理》中如何巧妙地运用了这些思想，即使在严格的几何论证外壳下。 莱布尼茨的符号遗产： 莱布尼茨则是一位更偏向哲学的数学家，他对符号清晰度和逻辑形式的追求，为后世留下了影响深远的 $frac{dy}{dx}$ 和 $int$ 符号。我们将展示他是如何独立地构建出微积分的分析框架，特别是他对于无穷小量的更直接的运用，以及他试图建立一个更具普遍性的、符号化的计算工具的愿景。 本书将详细比较两者的论证方法，指出尽管他们的出发点不同，但他们都捕捉到了微分与积分互逆的核心关系——即微积分基本定理的雏形。 第四部分：严谨性的追求——柯西与极限的胜利 即便微积分在17、18世纪取得了巨大的应用成功，其基础——无穷小量和极限——仍然是悬在数学家头上的达摩克利斯之剑。逻辑上的不严谨性，使得许多哲学家（如贝克莱主教）对它发起了猛烈的抨击。 本书的后半部分将转入对“分析学基础”的重建。我们将聚焦于19世纪初期的关键人物，特别是奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）。柯西的工作标志着微积分从基于直觉和几何的工具，转变为一门建立在严格逻辑基础之上的学科。 我们会详细解析柯西是如何引入现代极限的概念，并用 $epsilon-delta$ 语言来替代模糊的“无限接近”。这不仅是数学史上的一个技术性进步，更是一场深刻的哲学范式转移——从“可能存在”转向“可以被证明”。随后，我们将简要介绍魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）如何进一步巩固了这种严谨性，最终确立了我们今天所熟知的微积分框架。 总结：超越计算的视野 本书的目的，是让读者理解微积分不仅仅是一套计算导数和积分的规则，而是一部关于人类思维如何驯服“变化”的历史史诗。通过追踪这些概念的演变，读者将能更深刻地欣赏到：数学思想是如何在直觉、应用需求和对绝对严谨性的不懈追求之间不断迭代、最终达成统一的。它展示了数学作为一种文化活动，其进步往往是漫长、曲折，却又充满着天才闪光的旅程。阅读本书，就是与历史上最伟大的思想家们进行一场关于时间、空间和无限的深度对话。

评分☆☆☆☆☆

这本厚厚的书拿到手上，光是沉甸甸的重量就让人对它产生了敬意。我一个学数学出身的，平时也没少接触各种微积分教材，但像这样，从历史脉络去梳理这门学科的演变过程，还真是头一回。作者的笔触非常细腻，他不仅仅是在罗列公式和定理，更像是在带你走过那些伟大的数学家们思考的路径。你能真切地感受到，那些看似枯燥的符号背后，蕴含着人类智慧的巨大飞跃。比如，牛顿和莱布尼茨在微积分创立初期的那场“笔战”，书中描述得引人入胜，让人仿佛置身于那个时代，体会到真理在碰撞中诞生的火花。阅读的过程，与其说是学习，不如说是一种探寻与对话，让你对微积分的理解不再停留在“会用”的层面，而是上升到了“懂得其所以然”的境界。对于那些想深入了解数学思想本质的人来说，这本书简直是宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版也值得称赞，作为一本港台原版书籍，其纸张的质感和印刷的清晰度都非常优秀，长时间阅读下来眼睛也不容易疲劳。更重要的是，作者在处理跨文化交流和不同学派观点时的态度非常客观和中立。数学的发展从来都不是一条笔直的道路，其中充满了不同的思想流派和争论，这本书没有回避这些复杂的历史侧面，而是将其清晰地呈现出来。我尤其欣赏它对非欧几何、集合论等微积分周边领域的发展脉络的穿插介绍，这使得读者对整个数学体系的认知更加立体和完整。它不只是一本关于微积分的书，更像是一部浓缩的、关于人类理性精神如何不断超越自我的史诗。这种广博的视野，让阅读的收获远远超出了预期的范围。

评分☆☆☆☆☆

说实话，一开始我还有点担心这种“历史步道”的叙事方式会不会冲淡了数学的严谨性，毕竟我对纯粹的理论推导还是有刚需的。然而，这本书巧妙地平衡了历史的趣味性和数学的深度。它没有为了讲故事而牺牲掉关键的数学细节，相反，正是通过历史的背景，那些晦涩的定义和证明才变得鲜活起来。我特别喜欢它在引入某些概念时，会追溯到最初提出这个概念的那个数学家，看看他们当时遇到了什么瓶颈，是如何克服的。这种“倒叙”的方法，极大地帮助我理解了那些看似“理所当然”的数学结论，其实是人类花费了数百年时间才打磨出来的思想结晶。书中的插图和图表也制作得非常精良，清晰地展示了复杂的几何关系和函数的演化，让我的理解效率大大提高。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，真正好的教材，应该是能激发读者好奇心的“引路人”。这本《历史步道》无疑达到了这个标准。我每次读完一章，都会产生一种迫不及待想去查阅更多原始文献的冲动，去看看那些数学巨匠们留下的原始手稿到底是什么样的。它的叙事节奏控制得非常好，不会让人感到拖沓或信息过载。作者总能在恰当的时候插入一些富有洞察力的评论，点明某个数学思想的深远影响，或者指出某个被后世修正的局限性。这种深入浅出的讲解方式，让那些原本只存在于学术殿堂中的概念，变得可以触摸、可以理解。对于那些希望摆脱“应试教育”的桎梏，真正想和数学经典进行深度交流的求知者来说，这本书提供了绝佳的平台和向导。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期在工程领域工作的人员，我常常需要在实际问题中运用微积分，但总感觉自己对底层逻辑把握得不够扎实。这本书的出现，彻底改变了我的学习体验。它没有像传统教材那样，上来就甩一堆定义，而是从实际测量、变化率等最朴素的问题引入，逐步构建起微积分的宏伟殿堂。这种从现象到本质的渐进过程，对于像我这样更注重应用的人来说，简直是福音。阅读过程中，我发现自己对“极限”这个核心概念的理解，因为有了历史的铺垫，变得前所未有的清晰和直观。它让我意识到，我们今天习以为常的数学工具，每一步的完善都凝聚了前辈们无数次的尝试与修正。这本书真正做到了“授人以渔”，它教我的不是解题的技巧，而是思考问题的方法论。