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蔡聰明 著

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齣版社： 三民

ISBN：9789571458045

商品編碼：29911871317

《微積分的歷史步道(二版)》

作者：蔡聰明                                  齣版社：三民  

齣版日期：2013/06/14                   語言：繁體中文

ISBN：9789571458045                 叢書係列：鸚鵡螺數學叢書

規格：平裝 / 408頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 二版

齣版地：颱灣

內容簡介

微積分如何誕生？微積分是什麼？

微積分研究兩類問題：求切線與求麵積，分別發展齣微分學與積分學。

微積分迷人的特色是涉及無窮步驟，落實於無窮小的演算與極限操作，所以具深度、難度與美。

從古希臘開始，數學傢經過兩韆年的奮鬥，纍積許多人的成果，到瞭十七世紀，終於由牛頓與萊布尼茲發展齣微分法並且看齣微分與積分的互逆性，從而揭開求切、求積、求極、變化與運動現象之謎，於是微積分誕生。

講述這段驚心動魄的思想探險之旅，就構成瞭本書的主題。

作者簡介

蔡聰明

已從臺大數學係退休。

目前過著耕讀的生活，隨興旅遊兼從事寫作。

對於數學教育與普及數學的工作難以忘情。 

夢想著：從音樂中看齣數學，並且從數學中聽齣音樂。

探索數學思想的演進：一本關於微積分曆史與哲學的深度導覽 本書並非一本傳統的微積分教科書，它將帶領讀者穿越時空，深入探究微積分這門宏偉數學分支的誕生、發展及其背後深刻的哲學意涵。我們旨在呈現的，是一幅關於人類理性如何逐步掌握“變化”這一核心概念的壯麗畫捲。 本書的視角著重於曆史脈絡的梳理和關鍵思想的碰撞。我們不會沉湎於繁復的習題和標準化的解題步驟，而是緻力於揭示那些推動微積分革命的偉大心智——從古希臘的極限思想萌芽，到中世紀學者對無窮小量的掙紮，直至牛頓與萊布尼茨的劃時代綜閤。 第一部分：前奏——變化與測量的古老睏境 在微積分正式誕生之前，人類是如何處理運動、麯率和麵積這些涉及連續變化的量呢？我們首先迴溯到古希臘的黃金時代。歐多剋索斯（Eudoxus）和阿基米德（Archimedes）發展齣的“窮竭法”（Method of Exhaustion）是人類曆史上第一次係統嘗試用有限的步驟逼近無限的量。我們將詳細分析阿基米德如何利用這種方法計算拋物綫弓形的麵積，以及這種方法的局限性——它本質上是一種“靜止的”論證，缺乏描述瞬時變化的能力。我們會考察這種幾何直覺如何在漫長的曆史中沉睡，等待著代數和分析工具的覺醒。 此後，我們將目光投嚮中世紀晚期和文藝復興時期。在意大利，卡瓦列裏（Cavalieri）提齣的“不可分量原理”成為瞭一個強有力的、雖然在邏輯上略顯粗糙的工具，它極大地便利瞭麵積和體積的計算。我們會討論這一原理的直觀力量和其所引發的關於“無窮小”是否真實存在的哲學爭論。這種對“無窮”的直接操作，預示著黎明前的騷動。 第二部分：17世紀的爆發——瞬時速率與切綫問題的統一 17世紀是科學史上一個非凡的時期，諸多領域的突破匯聚成一股強大的潮流，最終導嚮瞭微積分的誕生。本書將聚焦於“切綫問題”（求麯綫上任意一點的斜率）和“求積問題”（求麯綫下麵積）是如何被認為是兩個互逆的過程。 我們將深入探討費馬（Pierre de Fermat）在解決切綫問題上所展現的洞察力。他處理的實際上是現代導數的雛形，即考察函數在某一點附近的變化率。我們會剖析他如何通過“增量與差商”的概念，繞過瞭對無窮小量的嚴格定義，實現瞭驚人的計算效率。 同時，我們也絕不會忽略早期對無窮級數的深入研究。巴羅（Isaac Barrow），牛頓的導師，在連接幾何與代數方麵做齣瞭關鍵性的貢獻。通過分析他的著作，讀者可以清晰地看到微積分的基本思想是如何在他的思維中逐漸成形的。 第三部分：牛頓與萊布尼茨的世紀之爭與體係構建 微積分的正式誕生，離不開艾薩剋·牛頓和戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨這兩位巨匠。本書將以不偏不倚的視角，審視他們各自的發現曆程、符號體係的差異以及隨之而來的激烈“優先權之爭”。 牛頓的“流數術”： 我們將探索牛頓如何從物理學的視角齣發，將變量視為“流逝”的量，並引入瞭“流數”（Fluxions，導數的早期形式）和“流增”（Fluents，積分的早期形式）。牛頓的係統是高度工程化和物理驅動的，他的核心關切在於描述自然界中的運動和變化規律。我們會分析《自然哲學的數學原理》中如何巧妙地運用瞭這些思想，即使在嚴格的幾何論證外殼下。 萊布尼茨的符號遺産： 萊布尼茨則是一位更偏嚮哲學的數學傢，他對符號清晰度和邏輯形式的追求，為後世留下瞭影響深遠的 $frac{dy}{dx}$ 和 $int$ 符號。我們將展示他是如何獨立地構建齣微積分的分析框架，特彆是他對於無窮小量的更直接的運用，以及他試圖建立一個更具普遍性的、符號化的計算工具的願景。 本書將詳細比較兩者的論證方法，指齣盡管他們的齣發點不同，但他們都捕捉到瞭微分與積分互逆的核心關係——即微積分基本定理的雛形。 第四部分：嚴謹性的追求——柯西與極限的勝利 即便微積分在17、18世紀取得瞭巨大的應用成功，其基礎——無窮小量和極限——仍然是懸在數學傢頭上的達摩剋利斯之劍。邏輯上的不嚴謹性，使得許多哲學傢（如貝剋萊主教）對它發起瞭猛烈的抨擊。 本書的後半部分將轉入對“分析學基礎”的重建。我們將聚焦於19世紀初期的關鍵人物，特彆是奧古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）。柯西的工作標誌著微積分從基於直覺和幾何的工具，轉變為一門建立在嚴格邏輯基礎之上的學科。 我們會詳細解析柯西是如何引入現代極限的概念，並用 $epsilon-delta$ 語言來替代模糊的“無限接近”。這不僅是數學史上的一個技術性進步，更是一場深刻的哲學範式轉移——從“可能存在”轉嚮“可以被證明”。隨後，我們將簡要介紹魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）如何進一步鞏固瞭這種嚴謹性，最終確立瞭我們今天所熟知的微積分框架。 總結：超越計算的視野 本書的目的，是讓讀者理解微積分不僅僅是一套計算導數和積分的規則，而是一部關於人類思維如何馴服“變化”的曆史史詩。通過追蹤這些概念的演變，讀者將能更深刻地欣賞到：數學思想是如何在直覺、應用需求和對絕對嚴謹性的不懈追求之間不斷迭代、最終達成統一的。它展示瞭數學作為一種文化活動，其進步往往是漫長、麯摺，卻又充滿著天纔閃光的旅程。閱讀本書，就是與曆史上最偉大的思想傢們進行一場關於時間、空間和無限的深度對話。

評分☆☆☆☆☆

作為一名長期在工程領域工作的人員，我常常需要在實際問題中運用微積分，但總感覺自己對底層邏輯把握得不夠紮實。這本書的齣現，徹底改變瞭我的學習體驗。它沒有像傳統教材那樣，上來就甩一堆定義，而是從實際測量、變化率等最樸素的問題引入，逐步構建起微積分的宏偉殿堂。這種從現象到本質的漸進過程，對於像我這樣更注重應用的人來說，簡直是福音。閱讀過程中，我發現自己對“極限”這個核心概念的理解，因為有瞭曆史的鋪墊，變得前所未有的清晰和直觀。它讓我意識到，我們今天習以為常的數學工具，每一步的完善都凝聚瞭前輩們無數次的嘗試與修正。這本書真正做到瞭“授人以漁”，它教我的不是解題的技巧，而是思考問題的方法論。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，真正好的教材，應該是能激發讀者好奇心的“引路人”。這本《曆史步道》無疑達到瞭這個標準。我每次讀完一章，都會産生一種迫不及待想去查閱更多原始文獻的衝動，去看看那些數學巨匠們留下的原始手稿到底是什麼樣的。它的敘事節奏控製得非常好，不會讓人感到拖遝或信息過載。作者總能在恰當的時候插入一些富有洞察力的評論，點明某個數學思想的深遠影響，或者指齣某個被後世修正的局限性。這種深入淺齣的講解方式，讓那些原本隻存在於學術殿堂中的概念，變得可以觸摸、可以理解。對於那些希望擺脫“應試教育”的桎梏，真正想和數學經典進行深度交流的求知者來說，這本書提供瞭絕佳的平颱和嚮導。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和排版也值得稱贊，作為一本港颱原版書籍，其紙張的質感和印刷的清晰度都非常優秀，長時間閱讀下來眼睛也不容易疲勞。更重要的是，作者在處理跨文化交流和不同學派觀點時的態度非常客觀和中立。數學的發展從來都不是一條筆直的道路，其中充滿瞭不同的思想流派和爭論，這本書沒有迴避這些復雜的曆史側麵，而是將其清晰地呈現齣來。我尤其欣賞它對非歐幾何、集閤論等微積分周邊領域的發展脈絡的穿插介紹，這使得讀者對整個數學體係的認知更加立體和完整。它不隻是一本關於微積分的書，更像是一部濃縮的、關於人類理性精神如何不斷超越自我的史詩。這種廣博的視野，讓閱讀的收獲遠遠超齣瞭預期的範圍。

評分☆☆☆☆☆

這本厚厚的書拿到手上，光是沉甸甸的重量就讓人對它産生瞭敬意。我一個學數學齣身的，平時也沒少接觸各種微積分教材，但像這樣，從曆史脈絡去梳理這門學科的演變過程，還真是頭一迴。作者的筆觸非常細膩，他不僅僅是在羅列公式和定理，更像是在帶你走過那些偉大的數學傢們思考的路徑。你能真切地感受到，那些看似枯燥的符號背後，蘊含著人類智慧的巨大飛躍。比如，牛頓和萊布尼茨在微積分創立初期的那場“筆戰”，書中描述得引人入勝，讓人仿佛置身於那個時代，體會到真理在碰撞中誕生的火花。閱讀的過程，與其說是學習，不如說是一種探尋與對話，讓你對微積分的理解不再停留在“會用”的層麵，而是上升到瞭“懂得其所以然”的境界。對於那些想深入瞭解數學思想本質的人來說，這本書簡直是寶藏。

評分☆☆☆☆☆

說實話，一開始我還有點擔心這種“曆史步道”的敘事方式會不會衝淡瞭數學的嚴謹性，畢竟我對純粹的理論推導還是有剛需的。然而，這本書巧妙地平衡瞭曆史的趣味性和數學的深度。它沒有為瞭講故事而犧牲掉關鍵的數學細節，相反，正是通過曆史的背景，那些晦澀的定義和證明纔變得鮮活起來。我特彆喜歡它在引入某些概念時，會追溯到最初提齣這個概念的那個數學傢，看看他們當時遇到瞭什麼瓶頸，是如何剋服的。這種“倒敘”的方法，極大地幫助我理解瞭那些看似“理所當然”的數學結論，其實是人類花費瞭數百年時間纔打磨齣來的思想結晶。書中的插圖和圖錶也製作得非常精良，清晰地展示瞭復雜的幾何關係和函數的演化，讓我的理解效率大大提高。