俄羅斯數學教材選譯·現代幾何學·方法與應用：流形上的幾何與拓撲2（第5版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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福緬科 等 著

圖書標籤:

• 數學
• 幾何學
• 拓撲學
• 流形
• 微分幾何
• 代數拓撲
• 現代幾何學
• 教材
• 選譯
• 俄羅斯數學教材

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040214925

版次：1

商品編碼：10000999

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2007-01-01

頁數：310

正文語種：中文

編輯推薦

　　《現代幾何學——方法與應用》可用作數學和理論物理專業高年級和研究生的教學用書，對從事幾何和拓撲研究的工作者也極有參考價值。

內容簡介

　　《現代幾何學——方法與應用》是莫斯科大學數學力學係對幾何課程現代化改革的成果，作者之一的諾維可夫是1970年菲爾茲奬和2005年沃爾夫奬得主。全書力求以直觀的和物理的視角闡述，是一本難得的現代幾何方麵的好書。內容包括張量分析、麯綫和麯麵幾何、一維和高維變分法(一捲)，微分流形的拓撲和幾何(第二捲)，以及同調與上同調理論(第三捲)。

內頁插圖

目錄

第一章 流形的例子
1．流形的概念
2．最簡單的流形例子
3．李群理論中的必需結果
4．復流形
5．最簡單的齊性空間
6．常麯率空間(對稱空間
7．流形上的切叢

第二章 基本問題．函數論中一些必需的結果．典型的光滑映射
8．單位分解及其應用
9．緊流形作為麯麵在黔中的實現
10．流形的光滑映射的某些性質
11．薩德定理的應用

第三章 映射度和相交指數及其應用
12．同倫的概念
13．映射度
14．映射度的若乾應用
15．相交指數及其應用

第四章 流形的可定嚮性．基本群．覆疊空間(具離散縴維的縴維叢)
16．可定嚮性和閉路的同倫
17．基本群
18．覆疊映射和覆疊同倫
19．覆疊與基本群．某些流形的基本群的計算
20．羅巴切夫斯基平麵的離散運動群

第五章 同倫群
21．絕對同倫群和相對同倫群的定義例
22．覆疊同倫．覆疊空間的同倫群和閉路空間
23．球麵同倫群的若乾結果．裝配流形霍普夫不變量

第六章 光滑縴維叢
24．縴維叢的同倫理論
25．縴維叢的微分幾何學
26．紐結和鏈環辮

第七章 動力係統的某些例子和流形的葉狀結構
27．動力係統定性理論的最簡單的一些概念．2維流形
28．流形上的哈密頓係統．劉維爾定理．例
29．葉狀結構
30．具高階導數的變分問題．哈密頓場係統

第八章 高維變分問題解的整體結構
31．廣義相對論(OTO)中的某些流形
32．楊一米爾斯方程的某些整體解的例子．手徵場
33．復子流形的極小性
參考文獻
索引

前言/序言

　　從上世紀50年代初起，在當時全麵學習蘇聯的大背景下，國內的高等學校大量采用瞭翻譯過來的蘇聯數學教材。這些教材體係嚴密，論證嚴謹，有效地幫助瞭青年學子打好紮實的數學基礎，培養瞭一大批優秀的數學人纔。到瞭60年代，國內開始編纂齣版的大學數學教材逐步代替瞭原先采用的蘇聯教材，但還在很大程度上保留著蘇聯教材的影響，同時，一些蘇聯教材仍被廣大教師和學生作為主要參考書或課外讀物繼續發揮著作用。客觀地說，從解放初一直到文化大革命前夕，蘇聯數學教材在培養我國高級專門人纔中發揮瞭重要的作用，起瞭不可忽略的影響，是功不可沒的。
　　改革開放以來，通過接觸並引進在體係及風格上各有特色的歐美數學教材，大傢眼界為之一新，並得到瞭很大的啓發和教益。但在很長一段時間中，盡管蘇聯的數學教學也在進行積極的探索與改革，引進卻基本中斷，更沒有及時地進行跟蹤，能看懂俄文數學教材原著的人也越來越少，事實上已造成瞭很大的隔膜，不能不說是一個很大的缺憾。
　　事情終於齣現瞭一個轉摺的契機。今年初，在由中國數學會、中國工業與應用數學學會及國傢自然科學基金委員會數學天元基金聯閤組織的迎春茶話會上，有數學傢提齣，莫斯科大學為慶祝成立250周年計劃推齣一批優秀教材，建議將其中的一些數學教材組織翻譯齣版。這一建議在會上得到廣泛支持，並得到高等教育齣版社的高度重視。會後高等教育齣版社和數學天元基金一起邀請熟悉俄羅斯數學教材情況的專傢座談討論，大傢一緻認為：在當前著力引進俄羅斯的數學教材，有助於擴大視野，開拓思路，對提高數學教學質量、促進數學教材改革均十分必要。《俄羅斯數學教材選譯》係列正是在這樣的情況下，經數學天元基金資助，由高等教育齣版社組織齣版的。

好的，下麵是為您撰寫的關於《俄羅斯數學教材選譯·現代幾何學·方法與應用：流形上的幾何與拓撲2（第5版）》的圖書簡介，內容聚焦於該書之外的數學主題，力求詳盡且自然。 《幾何直觀與解析構造：從歐幾裏得到微分空間的研究進階》 第一部分：歐氏空間基礎與非歐幾何的起源 本書旨在為讀者構建一個堅實的幾何學基礎，並引導他們深入探索近代幾何學的奠基性工作。我們從歐幾裏得幾何學的基本公理體係入手，係統梳理平麵與立體幾何的經典定理及其邏輯推導過程。重點在於培養讀者對幾何結構中不變性概念的初步理解，例如平移、鏇轉和反射等剛體運動下的性質保持。 隨後的章節轉嚮對歐氏幾何局限性的反思，這是理解現代幾何學的關鍵一步。我們將詳細考察龐加萊和洛巴切夫斯基在第五公設（平行綫公設）上的突破性工作。不同於僅僅陳述非歐幾何的“存在性”，本書著重剖析瞭在雙麯幾何中，三角形內角和如何小於180度，以及球麵幾何中，三角形內角和如何大於180度。我們通過剋萊因（Klein）的“模型化”思想，將抽象的幾何概念映射到具體的幾何對象上，比如利用龐加萊圓盤模型來可視化雙麯空間，使讀者直觀地感受不同公理體係下空間形態的根本差異。 此外，我們還會探討射影幾何學的早期發展。射影幾何關注的是透視變換下的不變性，即在透視投影下保持不變的幾何性質。這不僅涉及對射影平麵、射影坐標係的介紹，更重要的是，它揭示瞭視點對物體感知的影響，為後來的代數幾何奠定瞭處理坐標變換的視角。 第二部分：解析幾何的深化與四維空間的探索 本捲的第二大闆塊將解析幾何的工具推嚮更高維度，並將其與綫性代數緊密結閤。我們從笛卡爾坐標係齣發，詳細闡述如何使用矩陣和嚮量來錶示空間中的點、綫、麵乃至更高維的超平麵。 綫性代數的知識，如特徵值與特徵嚮量，被引入到二次型（Quadratic Forms）的研究中。我們分析瞭如何通過正交變換將二次型化為標準形式，這在空間麯綫和麯麵的分類中具有至關重要的作用。例如，如何區分橢圓拋物麵與雙麯拋物麵，完全依賴於其對應的二次型矩陣的特徵值符號。 隨後，本書大膽地邁入四維空間的直觀化嘗試。雖然人類的直觀感受局限於三維，但通過代數方法，我們可以清晰地描述四維空間中的點、嚮量、超平麵和超立方體（tesseract）。我們使用代數投影和截麵法，幫助讀者理解高維空間的拓撲特性，例如四維球體的體積與錶麵積公式的推導，這為理解更高維度流形提供瞭一種必要的思維預演。 第三部分：拓撲學初步：從變形到不變量 在本教材的第三部分，我們將轉嚮拓撲學的核心思想——研究在連續形變下保持不變的性質。這部分內容側重於定性分析而非嚴格的度量。 我們從最基礎的拓撲空間定義開始，探討開集、閉集、緊緻性、連通性的概念。緊緻性（Compactness）的引入是關鍵，它在分析中扮演瞭極其重要的角色，例如魏爾斯特拉斯最大值定理的幾何背景。 隨後，我們將介紹拓撲不變量的概念。區彆於歐氏幾何中的長度和角度，拓撲不變量是幾何對象在拓撲等價意義下的固有屬性。本書將重點介紹歐拉示性數（Euler Characteristic）的計算及其在多麵體上的應用。我們通過對立方體、圓環麵等簡單拓撲空間的剖分與歐拉公式 $chi = V - E + F$ 的驗證，使讀者理解這個指標如何捕捉空間的“洞”的數量和性質。 最後，我們簡要介紹瞭同倫群（Homotopy Groups）的初步概念，作為理解“洞”的更精細工具。通過構造路徑和環路，我們演示瞭如何區分一個圓盤（沒有洞）和一個環麵（有一個洞）在拓撲結構上的差異。這部分內容為後續深入學習代數拓撲，如基本群的計算，打下瞭直觀和基礎的準備。 第四部分：黎曼幾何的初步接觸：測地綫與麯率的直覺 雖然本書沒有深入流形上的微分幾何細節，但我們會在本章為讀者建立黎曼幾何的直覺基礎。我們將從平麵上的麯綫和球麵上的麯麵入手，討論麯率的概念。 麯率不再僅僅是平麵幾何中圓的麯率，而是對空間“彎麯程度”的度量。對於二維麯麵，我們引入高斯麯率的概念。通過高斯絕妙定理（Theorema Egregium），我們展示瞭麯率本質上是一個內蘊量，即可以通過測量麯麵上的短距離來確定，而不需要參考其在外部空間中的嵌入方式。這一點是黎曼幾何區彆於傳統幾何學的核心思想。 我們還將討論測地綫（Geodesics）——即彎麯空間中的“最短路徑”。在平麵上是直綫，在球麵上是大圓弧。通過對球麵測地綫的直觀描述，讀者可以初步理解在彎麯時空中，運動的自然軌跡是怎樣的，這為理解廣義相對論中的時空幾何提供瞭必要的背景知識。 總結 《幾何直觀與解析構造》旨在為對現代數學有興趣的讀者提供一個跨越經典與近代理論的橋梁。它強調幾何直覺的培養，並運用代數工具來精確描述和分析這些直覺，為未來進入微分幾何、代數拓撲或微分拓撲的學習做好堅實的準備。全書力求通過豐富的實例和清晰的邏輯推導，展現幾何學的內在美感和強大的應用潛力。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學充滿好奇心的研究生，一直在探索更前沿的數學分支。當我在書架上看到《俄羅斯數學教材選譯·現代幾何學·方法與應用：流形上的幾何與拓撲2（第5版）》時，就被它深邃的書名所吸引。讀過之後，我發現這本書確實是一本重量級的學術著作。它係統地梳理瞭流形上的幾何與拓撲理論，從基礎概念到高級應用，層層遞進，邏輯嚴密。書中對一些核心概念的闡述，如黎曼幾何、聯絡、麯率張量等，都極其詳盡，並且給齣瞭嚴格的數學證明。我特彆欣賞作者在討論這些概念時，並沒有迴避其背後的深刻思想和發展脈絡，而是通過曆史的視角和邏輯的推演，讓我對這些理論有瞭更深層次的理解。雖然有些章節需要反復閱讀和思考，但我認為這是任何一本優秀數學教材的必然要求。這本書為我打開瞭一個全新的數學世界，讓我看到瞭幾何學與物理學、計算機科學等領域的緊密聯係，激發瞭我從事相關研究的極大熱情。

評分☆☆☆☆☆

對於許多數學專業學生而言，學習現代幾何學，尤其是流形上的幾何與拓撲，往往會遇到一些挑戰，主要在於其高度抽象性和理論的嚴謹性。而《俄羅斯數學教材選譯·現代幾何學·方法與應用：流形上的幾何與拓撲2（第5版）》這本書，恰恰在很大程度上解決瞭這個問題。它以一種非常清晰且富有條理的方式，逐步引導讀者理解和掌握現代幾何學的核心概念。我尤其欣賞它在講解諸如微分同胚、光滑映射、嚮量場等基礎概念時，所采用的詳實而直觀的闡述方式。書中也花瞭相當大的篇幅來介紹各種拓撲不變量，例如陳類，並且闡述瞭它們在幾何和拓撲中的重要作用。這本書的優點在於，它不僅提供瞭理論框架，還結閤瞭實際的應用，例如在物理學中的引力理論和規範場論中的應用，這使得學習過程更加生動有趣，並且能夠讓我們體會到這些抽象數學工具的強大力量。可以說，這本書為我們提供瞭通往現代數學前沿的堅實階梯。

評分☆☆☆☆☆

這套書簡直是數學愛好者們的寶藏！我一直在尋找一本能夠深入淺齣地介紹現代幾何學，特彆是流形幾何與拓撲的書籍，而《俄羅斯數學教材選譯·現代幾何學·方法與應用：流形上的幾何與拓撲2（第5版）》完全超齣瞭我的預期。從翻開第一頁的那一刻起，我就被它嚴謹的數學邏輯和清晰的闡述方式所吸引。作者們似乎有一種神奇的能力，能夠將那些看似復雜抽象的概念，比如微分流形、縴維叢、李群等，拆解成一個個易於理解的部分。我尤其喜歡書中大量的例子和圖示，它們不僅僅是簡單的插圖，更是幫助我構建幾何直觀、理解抽象理論的絕佳工具。書中的練習題也很有挑戰性，能夠很好地鞏固所學知識，並且能夠激發我進一步思考和探索的興趣。雖然我還沒有完全讀完，但已經可以預見到，這將是一本我反復研讀、受益終生的經典之作。它不僅僅是理論的堆砌，更是方法的傳授，讓我看到瞭幾何學在現代數學研究中的強大生命力。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我第一次看到《俄羅斯數學教材選譯·現代幾何學·方法與應用：流形上的幾何與拓撲2（第5版）》的時候，有些被它的篇幅和深度嚇到，感覺它是一本“硬核”讀物。但是，當我真正沉下心來閱讀時，我發現它並沒有我預想的那麼難以接近。作者們以一種非常係統和全麵的方式構建瞭整個知識體係，從流形的局部性質到整體性質，從一般的拓撲概念到具體的幾何不變量，都進行瞭深入的探討。我特彆喜歡書中關於麯率和測地綫的討論，它們是理解黎曼流形幾何的核心。通過書中精心設計的例子，我能清晰地看到麯率如何影響空間的幾何性質，以及測地綫如何描述“最短路徑”的概念。此外，書中還涉及瞭一些與代數幾何和李群相關的初步內容，這讓我看到瞭現代幾何學與其他數學分支的交叉點，極大地拓展瞭我的數學視野。雖然這本書的學習麯綫確實比較陡峭，但它所帶來的知識迴報是巨大的。

評分☆☆☆☆☆

我之前對拓撲學的瞭解僅限於一些基礎的代數拓撲概念，但一直覺得在幾何學方麵存在知識的斷層。偶然的機會，我接觸到瞭《俄羅斯數學教材選譯·現代幾何學·方法與應用：流形上的幾何與拓撲2（第5版）》，它徹底改變瞭我對幾何學和拓撲學的認知。這本書的標題“流形上的幾何與拓撲”就已經足夠吸引人，而實際內容更是讓我驚嘆不已。作者將抽象的流形概念與具體的幾何性質巧妙地結閤起來，從不同角度展現瞭它們的魅力。我喜歡書中對縴維叢的講解，這是理解許多現代幾何學理論的關鍵。通過書中豐富的例子，比如正切叢、餘切叢等，我得以直觀地理解這些抽象結構的幾何意義。同時，書中對微分形式和de Rham定理的介紹，更是將拓撲學和微分幾何完美地融閤在一起，讓我看到瞭它們之間深刻的內在聯係。這本書不僅是一本教材，更像是一位經驗豐富的嚮導，引領我深入探索數學的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

俄羅斯風格的數學教材，比較經典的幾何教材，值得一看。

評分☆☆☆☆☆

這本書是蘇聯於70年代現代化數學教育的一次嘗試。作者之一諾維科夫的一大領域就是物理數學，所以此書中幾乎所有內容都有物理方麵的應用與數學形式對應，而現代的方法讓數學內容非常深刻，於是其內容廣度和深度都讓其在其他同等級教科書中獨樹一幟。而作者的齣發點也同樣新奇：以幾何為底與其他現代數學和科學建立廣泛的聯係，且多處附以圖片強調抽象幾何的直觀理解，這就是其為“現代”幾何學的原因。同樣為瞭讓本書內容對物理學學生同樣適用，第一捲不需要掌握任何拓撲學知識，僅僅運用瞭分析、代數、解析幾何（從書中感覺俄羅斯高中的解析幾何內容比國內要多）和（如標題所提示）最基礎的群論（第一同構定理等等）。雖然如此，讀者若先對一些微分幾何概念有些瞭解可能更好，比如本書中雖然隻字未提流形，但許多與此相關的材料的講解實際上完全采用瞭流形的思想，而現代的俄羅斯數學分析教程當中已經包含瞭流形（數學分析，卓裏奇；或者美國的Calculus on Manifolds, Spivak）。 作者的風格十分清晰簡潔，配以大量的深刻的例子，當然後果之一就是步調很快。第一章快速講述瞭基礎的幾何的概念以及變換群在其中的作用，弗萊特公式和專門的介紹狹義相對論的幾何內容的一章來在物理學中實踐之前內容，其中包括瞭洛倫茲變換群。第二章的規劃更加野心勃勃，從麯麵和空間開始，介紹瞭第一第二基本型、麯率和群的幾何理論。這種速度應該歸功於作者的簡練，然而很多的定理驗證等任務也落到瞭讀者身上作為鞏固的練習。 第三章是張量的代數理論和微分形式以及張量在物理問題比如說形變等的應用，還有特彆的一章討論晶體。重點討論瞭反對稱張量，隨後還有一章講述電磁（反對稱）張量的不變量理論並以新的符號介紹瞭麥剋斯韋方程組。最後是對於李代數和矢量場的討論以及對李代數的分類。第四章討論張量的幾何性質以及張量在空間上的微分和積分（其實就是流形），介紹瞭廣義斯托剋斯公式及其在數學和物理中的應用和復空間，隨後過渡到瞭協變微分以及黎曼麯率，最後有在高維空間中對麯率的討論。 第五章是其點睛之筆，介紹瞭基礎的變分法，並通過變分統一瞭之前四章的內容以及物理和數學。變分自然從力學中的拉格朗日函數開始，到變換群和守恒律的關係，以及經典哈密頓力學的幾何理論和泊鬆括弧（見阿諾德的《經典力學的數學方法》）。到第六章將變分推廣到瞭高維情況，於是就能講很多的物理中的數學內容，從用電磁場中的拉格朗日函數推導麥剋斯韋方程組到廣義相對論、自鏇和狄拉剋方程，充分展示瞭幾何在物理學中的威力，錦上添花的是對規範場理論的非常基礎的介紹，從而又統一瞭物理、幾何和變分法。 作為學習物理的學生，筆者覺得對於想學習廣義相對論或者電動力學的人來說，這本書是最理想的參考書，但是裏麵的物理內容僅僅滿足於介紹數學工具，而幾乎沒有任何物理方麵的討論，這仍然是寫給數學係的學生的。

評分☆☆☆☆☆

經典的現代幾何書。非常好。

評分☆☆☆☆☆

在中國學習數學是悲哀的事情，

評分☆☆☆☆☆

在中國學習數學是悲哀的事情，

評分☆☆☆☆☆

可以，兒子滿意

評分☆☆☆☆☆

值得慢慢學習的幾何學著作

評分☆☆☆☆☆

國外的教材，特彆是經過翻譯者篩選的，真的是經典中的經典。

評分☆☆☆☆☆

值得慢慢學習的幾何學著作