俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用：流形上的几何与拓扑2（第5版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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福缅科 等 著

图书标签:

• 数学
• 几何学
• 拓扑学
• 流形
• 微分几何
• 代数拓扑
• 现代几何学
• 教材
• 选译
• 俄罗斯数学教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040214925

版次：1

商品编码：10000999

包装：平装

开本：16开

出版时间：2007-01-01

页数：310

正文语种：中文

编辑推荐

　　《现代几何学——方法与应用》可用作数学和理论物理专业高年级和研究生的教学用书，对从事几何和拓扑研究的工作者也极有参考价值。

内容简介

　　《现代几何学——方法与应用》是莫斯科大学数学力学系对几何课程现代化改革的成果，作者之一的诺维可夫是1970年菲尔兹奖和2005年沃尔夫奖得主。全书力求以直观的和物理的视角阐述，是一本难得的现代几何方面的好书。内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法(一卷)，微分流形的拓扑和几何(第二卷)，以及同调与上同调理论(第三卷)。

内页插图

目录

第一章 流形的例子
1．流形的概念
2．最简单的流形例子
3．李群理论中的必需结果
4．复流形
5．最简单的齐性空间
6．常曲率空间(对称空间
7．流形上的切丛

第二章 基本问题．函数论中一些必需的结果．典型的光滑映射
8．单位分解及其应用
9．紧流形作为曲面在黔中的实现
10．流形的光滑映射的某些性质
11．萨德定理的应用

第三章 映射度和相交指数及其应用
12．同伦的概念
13．映射度
14．映射度的若干应用
15．相交指数及其应用

第四章 流形的可定向性．基本群．覆叠空间(具离散纤维的纤维丛)
16．可定向性和闭路的同伦
17．基本群
18．覆叠映射和覆叠同伦
19．覆叠与基本群．某些流形的基本群的计算
20．罗巴切夫斯基平面的离散运动群

第五章 同伦群
21．绝对同伦群和相对同伦群的定义例
22．覆叠同伦．覆叠空间的同伦群和闭路空间
23．球面同伦群的若干结果．装配流形霍普夫不变量

第六章 光滑纤维丛
24．纤维丛的同伦理论
25．纤维丛的微分几何学
26．纽结和链环辫

第七章 动力系统的某些例子和流形的叶状结构
27．动力系统定性理论的最简单的一些概念．2维流形
28．流形上的哈密顿系统．刘维尔定理．例
29．叶状结构
30．具高阶导数的变分问题．哈密顿场系统

第八章 高维变分问题解的整体结构
31．广义相对论(OTO)中的某些流形
32．杨一米尔斯方程的某些整体解的例子．手征场
33．复子流形的极小性
参考文献
索引

前言/序言

　　从上世纪50年代初起，在当时全面学习苏联的大背景下，国内的高等学校大量采用了翻译过来的苏联数学教材。这些教材体系严密，论证严谨，有效地帮助了青年学子打好扎实的数学基础，培养了一大批优秀的数学人才。到了60年代，国内开始编纂出版的大学数学教材逐步代替了原先采用的苏联教材，但还在很大程度上保留着苏联教材的影响，同时，一些苏联教材仍被广大教师和学生作为主要参考书或课外读物继续发挥着作用。客观地说，从解放初一直到文化大革命前夕，苏联数学教材在培养我国高级专门人才中发挥了重要的作用，起了不可忽略的影响，是功不可没的。
　　改革开放以来，通过接触并引进在体系及风格上各有特色的欧美数学教材，大家眼界为之一新，并得到了很大的启发和教益。但在很长一段时间中，尽管苏联的数学教学也在进行积极的探索与改革，引进却基本中断，更没有及时地进行跟踪，能看懂俄文数学教材原著的人也越来越少，事实上已造成了很大的隔膜，不能不说是一个很大的缺憾。
　　事情终于出现了一个转折的契机。今年初，在由中国数学会、中国工业与应用数学学会及国家自然科学基金委员会数学天元基金联合组织的迎春茶话会上，有数学家提出，莫斯科大学为庆祝成立250周年计划推出一批优秀教材，建议将其中的一些数学教材组织翻译出版。这一建议在会上得到广泛支持，并得到高等教育出版社的高度重视。会后高等教育出版社和数学天元基金一起邀请熟悉俄罗斯数学教材情况的专家座谈讨论，大家一致认为：在当前着力引进俄罗斯的数学教材，有助于扩大视野，开拓思路，对提高数学教学质量、促进数学教材改革均十分必要。《俄罗斯数学教材选译》系列正是在这样的情况下，经数学天元基金资助，由高等教育出版社组织出版的。

好的，下面是为您撰写的关于《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用：流形上的几何与拓扑2（第5版）》的图书简介，内容聚焦于该书之外的数学主题，力求详尽且自然。 《几何直观与解析构造：从欧几里得到微分空间的研究进阶》 第一部分：欧氏空间基础与非欧几何的起源 本书旨在为读者构建一个坚实的几何学基础，并引导他们深入探索近代几何学的奠基性工作。我们从欧几里得几何学的基本公理体系入手，系统梳理平面与立体几何的经典定理及其逻辑推导过程。重点在于培养读者对几何结构中不变性概念的初步理解，例如平移、旋转和反射等刚体运动下的性质保持。 随后的章节转向对欧氏几何局限性的反思，这是理解现代几何学的关键一步。我们将详细考察庞加莱和洛巴切夫斯基在第五公设（平行线公设）上的突破性工作。不同于仅仅陈述非欧几何的“存在性”，本书着重剖析了在双曲几何中，三角形内角和如何小于180度，以及球面几何中，三角形内角和如何大于180度。我们通过克莱因（Klein）的“模型化”思想，将抽象的几何概念映射到具体的几何对象上，比如利用庞加莱圆盘模型来可视化双曲空间，使读者直观地感受不同公理体系下空间形态的根本差异。 此外，我们还会探讨射影几何学的早期发展。射影几何关注的是透视变换下的不变性，即在透视投影下保持不变的几何性质。这不仅涉及对射影平面、射影坐标系的介绍，更重要的是，它揭示了视点对物体感知的影响，为后来的代数几何奠定了处理坐标变换的视角。 第二部分：解析几何的深化与四维空间的探索 本卷的第二大板块将解析几何的工具推向更高维度，并将其与线性代数紧密结合。我们从笛卡尔坐标系出发，详细阐述如何使用矩阵和向量来表示空间中的点、线、面乃至更高维的超平面。 线性代数的知识，如特征值与特征向量，被引入到二次型（Quadratic Forms）的研究中。我们分析了如何通过正交变换将二次型化为标准形式，这在空间曲线和曲面的分类中具有至关重要的作用。例如，如何区分椭圆抛物面与双曲抛物面，完全依赖于其对应的二次型矩阵的特征值符号。 随后，本书大胆地迈入四维空间的直观化尝试。虽然人类的直观感受局限于三维，但通过代数方法，我们可以清晰地描述四维空间中的点、向量、超平面和超立方体（tesseract）。我们使用代数投影和截面法，帮助读者理解高维空间的拓扑特性，例如四维球体的体积与表面积公式的推导，这为理解更高维度流形提供了一种必要的思维预演。 第三部分：拓扑学初步：从变形到不变量 在本教材的第三部分，我们将转向拓扑学的核心思想——研究在连续形变下保持不变的性质。这部分内容侧重于定性分析而非严格的度量。 我们从最基础的拓扑空间定义开始，探讨开集、闭集、紧致性、连通性的概念。紧致性（Compactness）的引入是关键，它在分析中扮演了极其重要的角色，例如魏尔斯特拉斯最大值定理的几何背景。 随后，我们将介绍拓扑不变量的概念。区别于欧氏几何中的长度和角度，拓扑不变量是几何对象在拓扑等价意义下的固有属性。本书将重点介绍欧拉示性数（Euler Characteristic）的计算及其在多面体上的应用。我们通过对立方体、圆环面等简单拓扑空间的剖分与欧拉公式 $chi = V - E + F$ 的验证，使读者理解这个指标如何捕捉空间的“洞”的数量和性质。 最后，我们简要介绍了同伦群（Homotopy Groups）的初步概念，作为理解“洞”的更精细工具。通过构造路径和环路，我们演示了如何区分一个圆盘（没有洞）和一个环面（有一个洞）在拓扑结构上的差异。这部分内容为后续深入学习代数拓扑，如基本群的计算，打下了直观和基础的准备。 第四部分：黎曼几何的初步接触：测地线与曲率的直觉 虽然本书没有深入流形上的微分几何细节，但我们会在本章为读者建立黎曼几何的直觉基础。我们将从平面上的曲线和球面上的曲面入手，讨论曲率的概念。 曲率不再仅仅是平面几何中圆的曲率，而是对空间“弯曲程度”的度量。对于二维曲面，我们引入高斯曲率的概念。通过高斯绝妙定理（Theorema Egregium），我们展示了曲率本质上是一个内蕴量，即可以通过测量曲面上的短距离来确定，而不需要参考其在外部空间中的嵌入方式。这一点是黎曼几何区别于传统几何学的核心思想。 我们还将讨论测地线（Geodesics）——即弯曲空间中的“最短路径”。在平面上是直线，在球面上是大圆弧。通过对球面测地线的直观描述，读者可以初步理解在弯曲时空中，运动的自然轨迹是怎样的，这为理解广义相对论中的时空几何提供了必要的背景知识。 总结 《几何直观与解析构造》旨在为对现代数学有兴趣的读者提供一个跨越经典与近代理论的桥梁。它强调几何直觉的培养，并运用代数工具来精确描述和分析这些直觉，为未来进入微分几何、代数拓扑或微分拓扑的学习做好坚实的准备。全书力求通过丰富的实例和清晰的逻辑推导，展现几何学的内在美感和强大的应用潜力。

评分☆☆☆☆☆

我之前对拓扑学的了解仅限于一些基础的代数拓扑概念，但一直觉得在几何学方面存在知识的断层。偶然的机会，我接触到了《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用：流形上的几何与拓扑2（第5版）》，它彻底改变了我对几何学和拓扑学的认知。这本书的标题“流形上的几何与拓扑”就已经足够吸引人，而实际内容更是让我惊叹不已。作者将抽象的流形概念与具体的几何性质巧妙地结合起来，从不同角度展现了它们的魅力。我喜欢书中对纤维丛的讲解，这是理解许多现代几何学理论的关键。通过书中丰富的例子，比如正切丛、余切丛等，我得以直观地理解这些抽象结构的几何意义。同时，书中对微分形式和de Rham定理的介绍，更是将拓扑学和微分几何完美地融合在一起，让我看到了它们之间深刻的内在联系。这本书不仅是一本教材，更像是一位经验丰富的向导，引领我深入探索数学的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学充满好奇心的研究生，一直在探索更前沿的数学分支。当我在书架上看到《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用：流形上的几何与拓扑2（第5版）》时，就被它深邃的书名所吸引。读过之后，我发现这本书确实是一本重量级的学术著作。它系统地梳理了流形上的几何与拓扑理论，从基础概念到高级应用，层层递进，逻辑严密。书中对一些核心概念的阐述，如黎曼几何、联络、曲率张量等，都极其详尽，并且给出了严格的数学证明。我特别欣赏作者在讨论这些概念时，并没有回避其背后的深刻思想和发展脉络，而是通过历史的视角和逻辑的推演，让我对这些理论有了更深层次的理解。虽然有些章节需要反复阅读和思考，但我认为这是任何一本优秀数学教材的必然要求。这本书为我打开了一个全新的数学世界，让我看到了几何学与物理学、计算机科学等领域的紧密联系，激发了我从事相关研究的极大热情。

评分☆☆☆☆☆

这套书简直是数学爱好者们的宝藏！我一直在寻找一本能够深入浅出地介绍现代几何学，特别是流形几何与拓扑的书籍，而《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用：流形上的几何与拓扑2（第5版）》完全超出了我的预期。从翻开第一页的那一刻起，我就被它严谨的数学逻辑和清晰的阐述方式所吸引。作者们似乎有一种神奇的能力，能够将那些看似复杂抽象的概念，比如微分流形、纤维丛、李群等，拆解成一个个易于理解的部分。我尤其喜欢书中大量的例子和图示，它们不仅仅是简单的插图，更是帮助我构建几何直观、理解抽象理论的绝佳工具。书中的练习题也很有挑战性，能够很好地巩固所学知识，并且能够激发我进一步思考和探索的兴趣。虽然我还没有完全读完，但已经可以预见到，这将是一本我反复研读、受益终生的经典之作。它不仅仅是理论的堆砌，更是方法的传授，让我看到了几何学在现代数学研究中的强大生命力。

评分☆☆☆☆☆

对于许多数学专业学生而言，学习现代几何学，尤其是流形上的几何与拓扑，往往会遇到一些挑战，主要在于其高度抽象性和理论的严谨性。而《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用：流形上的几何与拓扑2（第5版）》这本书，恰恰在很大程度上解决了这个问题。它以一种非常清晰且富有条理的方式，逐步引导读者理解和掌握现代几何学的核心概念。我尤其欣赏它在讲解诸如微分同胚、光滑映射、向量场等基础概念时，所采用的详实而直观的阐述方式。书中也花了相当大的篇幅来介绍各种拓扑不变量，例如陈类，并且阐述了它们在几何和拓扑中的重要作用。这本书的优点在于，它不仅提供了理论框架，还结合了实际的应用，例如在物理学中的引力理论和规范场论中的应用，这使得学习过程更加生动有趣，并且能够让我们体会到这些抽象数学工具的强大力量。可以说，这本书为我们提供了通往现代数学前沿的坚实阶梯。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我第一次看到《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用：流形上的几何与拓扑2（第5版）》的时候，有些被它的篇幅和深度吓到，感觉它是一本“硬核”读物。但是，当我真正沉下心来阅读时，我发现它并没有我预想的那么难以接近。作者们以一种非常系统和全面的方式构建了整个知识体系，从流形的局部性质到整体性质，从一般的拓扑概念到具体的几何不变量，都进行了深入的探讨。我特别喜欢书中关于曲率和测地线的讨论，它们是理解黎曼流形几何的核心。通过书中精心设计的例子，我能清晰地看到曲率如何影响空间的几何性质，以及测地线如何描述“最短路径”的概念。此外，书中还涉及了一些与代数几何和李群相关的初步内容，这让我看到了现代几何学与其他数学分支的交叉点，极大地拓展了我的数学视野。虽然这本书的学习曲线确实比较陡峭，但它所带来的知识回报是巨大的。

评分☆☆☆☆☆

专业教材蛮好

评分☆☆☆☆☆

1、3卷都没货。。。。

评分☆☆☆☆☆

京东送货快，价格实惠，特别是做活动时优惠力度很大，值得称赞一个。商品是正品。 经典的书籍，需要抽时间慢慢品味。温故而知新，有时间的话还需要多看几遍。如果想从量变达到质变，必须有一点一滴积累的过程。 当结果出现在面前时，是如此的自然，简洁，优美，而发现的过程却漫长而艰辛。

评分☆☆☆☆☆

应该不错，书囤地有些多了，也不知道猴年马月能看完

评分☆☆☆☆☆

经典的一套书，值得阅读

评分☆☆☆☆☆

数学教材有两种，一种是给人看的，一种是给毛子看的。

评分☆☆☆☆☆

经典教材，全套三本，都是经典。

评分☆☆☆☆☆

书是好书 但俄罗斯人讲的很简洁 不是入门读物 要有一定基础

评分☆☆☆☆☆

这本书是苏联于70年代现代化数学教育的一次尝试。作者之一诺维科夫的一大领域就是物理数学，所以此书中几乎所有内容都有物理方面的应用与数学形式对应，而现代的方法让数学内容非常深刻，于是其内容广度和深度都让其在其他同等级教科书中独树一帜。而作者的出发点也同样新奇：以几何为底与其他现代数学和科学建立广泛的联系，且多处附以图片强调抽象几何的直观理解，这就是其为“现代”几何学的原因。同样为了让本书内容对物理学学生同样适用，第一卷不需要掌握任何拓扑学知识，仅仅运用了分析、代数、解析几何（从书中感觉俄罗斯高中的解析几何内容比国内要多）和（如标题所提示）最基础的群论（第一同构定理等等）。虽然如此，读者若先对一些微分几何概念有些了解可能更好，比如本书中虽然只字未提流形，但许多与此相关的材料的讲解实际上完全采用了流形的思想，而现代的俄罗斯数学分析教程当中已经包含了流形（数学分析，卓里奇；或者美国的Calculus on Manifolds, Spivak）。 作者的风格十分清晰简洁，配以大量的深刻的例子，当然后果之一就是步调很快。第一章快速讲述了基础的几何的概念以及变换群在其中的作用，弗莱特公式和专门的介绍狭义相对论的几何内容的一章来在物理学中实践之前内容，其中包括了洛伦兹变换群。第二章的规划更加野心勃勃，从曲面和空间开始，介绍了第一第二基本型、曲率和群的几何理论。这种速度应该归功于作者的简练，然而很多的定理验证等任务也落到了读者身上作为巩固的练习。 第三章是张量的代数理论和微分形式以及张量在物理问题比如说形变等的应用，还有特别的一章讨论晶体。重点讨论了反对称张量，随后还有一章讲述电磁（反对称）张量的不变量理论并以新的符号介绍了麦克斯韦方程组。最后是对于李代数和矢量场的讨论以及对李代数的分类。第四章讨论张量的几何性质以及张量在空间上的微分和积分（其实就是流形），介绍了广义斯托克斯公式及其在数学和物理中的应用和复空间，随后过渡到了协变微分以及黎曼曲率，最后有在高维空间中对曲率的讨论。 第五章是其点睛之笔，介绍了基础的变分法，并通过变分统一了之前四章的内容以及物理和数学。变分自然从力学中的拉格朗日函数开始，到变换群和守恒律的关系，以及经典哈密顿力学的几何理论和泊松括弧（见阿诺德的《经典力学的数学方法》）。到第六章将变分推广到了高维情况，于是就能讲很多的物理中的数学内容，从用电磁场中的拉格朗日函数推导麦克斯韦方程组到广义相对论、自旋和狄拉克方程，充分展示了几何在物理学中的威力，锦上添花的是对规范场理论的非常基础的介绍，从而又统一了物理、几何和变分法。 作为学习物理的学生，笔者觉得对于想学习广义相对论或者电动力学的人来说，这本书是最理想的参考书，但是里面的物理内容仅仅满足于介绍数学工具，而几乎没有任何物理方面的讨论，这仍然是写给数学系的学生的。