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孙和军，赵培标 著

图书标签:

• 微分几何
• 流形
• 拓扑
• 几何
• 数学
• 高等教育
• 学术
• 理论
• 曲线曲面
• 黎曼几何

出版社： 电子工业出版社

ISBN：9787121262722

版次：1

商品编码：11753251

包装：平装

丛书名： 工业和信息化部“十二五”规划教材

开本：16开

出版时间：2015-08-01

用纸：胶版纸

页数：214

字数：358000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代微分几何》是“工业和信息化部‘十二五’规划教材”。《现代微分几何》针对理工科学生的特点和人才培养的需要编写，体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。全书共6章，主要内容包括：曲线与曲面论，张量代数和外形式，微分流形，切向量场、单参数变换群与切丛，张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络，流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调。《现代微分几何》提供配套电子课件、MATLAB程序代码等。

作者简介

　　孙和军，副教授，博士毕业于中国科学院数学与系统科学研究院，现任教于南京理工大学。美国数学会(AMS)会员，美国工业与应用数学会 (SIAM)会员；国际数学刊物美国《数学评论》(Mathematical Reviews)评论员；中国兵工学会会员。长期讲授研究生基础课现代微分几何、黎曼几何导论，本科生公共基础课高等数学、线性代数等。本课程被评为江苏省2010年研究生精品课程“现代微分几何”，“现代微分几何”多媒体课件在教育部举办的第十届全国多媒体课件大赛高教理科组中获得三等奖。

内页插图

目录

第1章 曲线与曲面论
1.1 度量空间与欧氏空间
1.1.1 度量空间
1.1.2 向量空间
1.1.3 仿射空间
1.1.4 欧氏空间
1.1.5 等距变换
1.2 三维欧氏空间中的向量代数和向量分析
1.2.1 三维欧氏空间中的向量及其运算
1.2.2 向量函数和向量分析
1.2 笛卡儿生平及学术贡献
1.3 曲线论概述
1.3.1 曲线的表示
1.3.2 空间曲线的基本三棱形
1.3.3 曲线的曲率、挠率和费雷内公式
1.3 欧拉生平及学术贡献
1.4 曲面论概述
1.4.1 曲面的表示
1.4.2 曲面的定向
1.4.3 曲面的第一基本形式
1.4.4 曲面的第二基本形式
1.4.5 曲面的曲率
1.4 高斯生平及学术贡献
1.5 基于MATLAB的几何图形绘制和数值计算
1.5.1 MATLAB用户环境介绍
1.5.2 基于MATLAB的平面曲线绘制
1.5.3 基于MATLAB的空间曲线绘制
1.5.4 基于MATLAB的曲面绘制
1.5.5 基于MATLAB的微分几何数值计算
习题

第2章 张量代数和外形式
2.1 对偶空间与多重线性函数
2.1.1 对偶空间
2.1.2 多重线性函数
2.2 张量与张量代数
2.2.1 张量及其表示
2.2.2 张量积和张量代数
2.2.3 张量的缩并运算
2.2.4 度量张量、指标的提升和下降
2.3 对称张量和反对称张量
2.3.1 对称与反对称张量
2.3.2 对称化与反对称化算子
2.4 外形式与外代数
2.4.1 外形式
2.4.2 外积
2.4.3 外形式空间和外代数
2.4.4 外形式的性质
2.4 嘉当生平及学术贡献
习题

第3章 微分流形
3.1 拓扑学基本概念
3.1.1 拓扑空间
3.1.2 拓扑空间的子集
3.1.3 拓扑空间的映射
3.1.4 拓扑不变性
3.2 微分流形
3.2.1 拓扑流形
3.2.2 微分流形
3.2.3 微分流形的例子
3.2 黎曼生平及学术贡献
3.3 光滑映射和微分同胚
3.3.1 流形间的光滑映射
3.3.2 微分同胚
3.3 惠特尼生平及学术贡献
3.4 切向量与余切向量
3.4.1 切向量与切空间
3.4.2 余切向量和余切空间
3.4.3 诱导切映射和诱导余切映射
3.5 子流形和带边流形
3.5.1 浸入与嵌入
3.5.2 开子流形和闭子流形
3.5.3 嵌入定理
3.5.4 带边流形和闭流形
3.5 纳什生平及学术贡献
习题

第4章 切向量场、单参数变换群与切丛
4.1 切向量场和泊松括号积
4.1.1 切向量场
4.1.2 李代数与泊松括号积
4.1.3 微分流形上的对合分布
4.1.4 诱导切映射与泊松括号积运算的可交换性
4.2 单参数变换群和李导数
4.2.1 单参数变换群
4.2.2 单参数变换群的诱导光滑切向量场
4.2.3 李导数
4.3 向量丛和切丛
4.3.1 向量丛
4.3.2 切丛和余切丛
4.3 陈省身生平及学术贡献
习题

第5章 张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络
5.1 光滑张量场
5.1.1 光滑张量场
5.1.2 张量场的李导数
5.2 单位分解定理、黎曼流形和伪黎曼流形
5.2.1 单位分解定理
5.2.2 黎曼流形
5.2.3 伪黎曼流形
5.2 爱因斯坦、广义相对论与黎曼几何
5.3 外微分式及外微分
5.3.1 外微分式
5.3.2 外微分
5.3.3 流形间光滑映射的诱导映射
5.4 仿射联络和列维-齐维塔联络
5.4.1 仿射联络和仿射联络空间
5.4.2 挠率张量和挠率形式
5.4.3 列维-齐维塔联络
5.4.4 协变微分
5.4 列维-齐维塔生平及学术贡献
5.5 黎曼曲率和结构方程
5.5.1 平行移动和测地线
5.5.2 仿射联络的曲率张量和曲率形式
5.5.3 黎曼曲率张量、截曲率和常曲率空间
5.5.4 黎曼流形的结构方程
5.5.5 里奇曲率和数量曲率
5.5.6 爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形
习题

第6章 流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调
6.1 流形的定向、流形上的积分和斯托克斯定理
6.1.1 流形的定向
6.1.2 光滑流形上的积分
6.1.3 黎曼流形上的积分
6.1.4 斯托克斯定理
6.2 黎曼流形上的微分算子
6.2.1 霍奇星算子
6.2.2 散度算子和梯度算子
6.2.3 余微分算子
6.3 霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子及其特征值
6.3.1 霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-贝尔特拉米算子
6.3.2 拉普拉斯算子的特征值
6.3 贝尔特拉米生平及学术贡献
6.4 德拉姆上同调和霍奇分解定理
6.4.1 德拉姆上同调
6.4.2 霍奇分解定理及其应用
6.4.3 庞加莱对偶定理
6.4 德拉姆生平及学术贡献
习题

名词索引
人名索引
参考文献

前言/序言

　　“微分几何”在我国研究生数学教育课程体系中占据着重要地位，它承担着向研究生普及现代数学知识、培养学生数学思维和创新能力的重要功能。随着我国建设创新型步伐的加快，创新型人才培养的客观需要、学生知识背景和需求的变化都对研究生微分几何课程的教学提出了新的要求。在主持江苏省高等教育学会“十二五”高等教育科学研究规划课题、江苏省研究生教育教学改革研究与实践课题、南京理工大学研究生课程教学模式改革项目、南京理工大学高等教育教学改革研究课题的过程中，第一作者对“现代微分几何”课程的教学内容和教学方法做了一系列的改革尝试。本书是作者在多年讲授的“现代微分几何”课程的教案基础上，结合相关教学改革实践编写而成的。“工业和信息化部‘十二五’规划教材”项目为本书的出版提供了契机。本书可供理工科高等学校的数学、物理、计算机设计、图形处理等专业的研究生和高年级本科生作为学习现代微分几何、微分流形的课程教材使用，也可供数学工作者参考使用。针对理工科学生的特点和人才培养的需要，本书注意体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。
　　第一，为了增强教材内容的完备性、提高教材的适用性，本书整合了曲线论、曲面论的主干内容和拓扑学的基本概念。本书内容可以分为古典微分几何和现代微分几何两部分：第一部分也就是本书的第1章，着重介绍古典微分几何的曲线和曲面主干理论，还包括公理化方法建立的欧氏空间的概念、向量代数和向量分析内容。第二部分是本书的第2~6章，介绍的是现代微分几何的基本概念、思想和方法，主要内容包括张量、外形式、微分流形、子流形、切向量场、单参数变换群、切丛、张量场、黎曼流形、协变微分、外微分式、流形上的积分、斯托克斯定理、流形上的微分算子、拉普拉斯算子的特征值、德拉姆上同调和霍奇分解定理等。我们希望通过这样的内容安排，能让具有微积分知识基础的读者自然地由古典微分几何进入现代微分几何。考虑到近年来许多理工科数学专业的研究生并没有古典微分几何的知识基础，以及服务于高年级本科生选修的需要，这样的安排还是有所裨益的。事实上，古典微分几何的曲线和曲面是现代微分几何中流形的低维例子，其概念和性质是研究和理解流形有关概念和性质不可或缺的基础。纵观全书，我们也希望通过这样的安排，可以为读者呈现几何学从欧氏几何、空间解析几何、古典微分几何直到现代微分几何的历史发展脉络和理论体系。
　　第二，为了加强教材内容的实践性，本书在第1章中安排了基于MATLAB的几何图形绘制的内容。这既是为了发挥数学软件在绘制几何图形方面的优势，帮助我们理解曲线、曲面和流形等微分几何研究对象的概念和性质，也是为了顺应数学软件普及和使用增加的趋势，提高理工科学生使用数学软件的能力。

好的，这里为您提供一份关于《现代微分几何》的图书简介，这份简介将详细阐述该领域的核心内容、重要性以及它如何与代数、拓扑等数学分支交织融合，同时避免提及您指定的书名或任何表明是人工智能生成的痕迹。 --- 数学的前沿：流形、张量与拓扑的交汇 这是一部深入探索现代几何学核心概念与应用的大部头著作。本书旨在为读者构建一个坚实而精妙的数学框架，用以理解空间、结构和运动的本质。它不仅仅是对传统欧几里得几何学的延伸，更是一场横跨拓扑学、代数、分析学和物理学的深刻数学旅程。 第一部分：基础构建——从拓扑到光滑 本书的开篇立足于现代数学中最基础的结构概念：拓扑空间。我们将从直观的集合与映射出发，逐步引入开集、闭集、紧致性、连通性等核心概念。这些概念是理解任何“空间”——无论其是否具有度量——的先决条件。我们探讨如何通过拓扑结构来区分不同的空间形态，比如判断一个甜甜圈是否能被拓扑地等价于一个咖啡杯。 然而，拓扑学描述的“软”结构往往不足以捕捉我们通常所关心的、具有局部平坦性质的几何对象。因此，本书迅速过渡到“光滑结构”的引入。这里，流形（Manifolds）的概念被隆重推出。流形是现代几何学的基石，它允许我们将局部视为欧几里得空间（即 $mathbb{R}^n$），从而在局部应用微积分工具，同时在整体上维持复杂的拓扑形态。 我们将详细解析图册（Atlas）和坐标变换（Transition Maps）的严格定义。关键在于，这些变换必须是光滑的（可无限次求导），这使得我们可以将经典分析工具移植到弯曲的空间之上。从零维的离散空间到一维的曲线，再到二维的曲面，直至高维的抽象流形，我们系统地建立起微分流形的完整定义。 第二部分：切空间、向量场与微分形式 一旦确立了光滑流形的框架，下一步就是引入“运动”和“变化”的度量工具——切空间（Tangent Space）。切空间是流形上每一点“可能移动方向”的向量空间。它是将线性代数工具锚定到弯曲几何上的关键桥梁。本书将精确定义切向量，并展示如何利用导数的定义来构造切空间结构。 基于切空间，我们得以定义向量场（Vector Fields）。向量场描述了流形上每一点的局部速度或方向的分配，它是描述流体运动、电磁场或动力系统演化的语言。随后，我们将探索张量（Tensors）的代数结构。张量是多重线性映射的推广，是连接不同切空间之间关系的强大工具。我们将深入剖析协变张量（如微分形式）和逆变张量（如切向量）的区分，以及它们在坐标变换下的行为法则。 微分形式（Differential Forms）是本书介绍的另一核心工具。它们是高阶的反称（楔积）线性泛函，构成了外微分代数的基础。我们详细阐述了外微分算子 ($d$)，它是经典梯度、旋度和散度的统一推广。外微分的引入不仅为微积分提供了优雅的符号系统，更为后续的拓扑学应用（如德拉姆上同调）铺平了道路。 第三部分：度量、联络与测地线 几何学不仅仅关注空间形态，更关注“距离”和“弯曲”的量化。本部分引入了黎曼几何（Riemannian Geometry）的核心——黎曼度量（Riemannian Metric）。度量是一个定义在每一点切空间上的正定二次型张量，它允许我们在流形上定义长度、角度和体积。 在此基础上，我们面临一个深刻的问题：如何定义流形上两个点之间的“直线”？因为空间本身是弯曲的，欧几里得几何中的直线概念不再适用。答案是通过联络（Connection），特别是列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）。联络定义了如何在相邻切空间之间“平行地”移动向量，从而实现平行移动（Parallel Transport）的概念。 联络的引入直接导向了测地线（Geodesics）——即局部上最短的曲线，它们是弯曲空间中的“直线”。我们将推导出测地线方程，并展示如何在度量结构下确定这些路径。 最终，我们引入了衡量空间局部弯曲程度的关键量：黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。我们将剖析曲率的几何意义，例如，通过计算围绕一小块区域平行移动向量所产生的旋转角度来理解曲率。曲率张量是描述空间结构复杂性的终极代数描述符。 第四部分：拓扑与分析的融合 现代几何学的力量在于其与拓扑学的深刻联系。本书将展示微分结构如何揭示深层次的拓扑不变量。 我们将介绍德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。通过利用外微分算子 $d$ 的性质（特别是 $d^2 = 0$），我们可以构造出衡量流形“洞”的代数不变量。我们论证了闭微分形式模去恰当微分形式的空间，精确地捕捉了流形的拓扑结构。这完美地统一了分析工具（微分）与拓扑结果（上同调群）。 此外，本书还将涉及重要的拓扑-几何定理，例如高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem），它建立了曲面上积分曲率（几何量）与拓扑不变量（欧拉示性数）之间的惊人关系。 应用与展望 本书的讨论贯穿始终地指向实际应用。从经典的经典力学（哈密顿系统与辛几何）到现代物理学（广义相对论中的时空几何），再到场论和拓扑场论，微分几何的语言是描述自然界基本规律的通用工具。读者将掌握用张量和流形语言来精确表述物理定律的能力，理解曲率如何决定物质的运动，以及拓扑结构如何约束了可能的物理模型。 这是一本需要深厚微积分和线性代数基础的著作，它要求读者具备抽象思考的能力，并将之视为通往更高阶数学和理论物理殿堂的钥匙。它提供的不仅仅是工具，更是一种看待空间与结构本质的全新视角。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对高等数学领域一直感到有些力不从心，尤其是那些涉及到复杂几何结构的理论。然而，《现代微分几何》这本书的出现，彻底改变了我的看法。它以一种令人耳目一新的方式，将原本晦涩难懂的概念变得触手可及。作者的笔触非常细腻，对于每一个数学对象的几何意义和直观理解，都进行了深入浅出的阐述。我尤其对书中关于“联络”的讲解印象深刻，它不像我想象中的那样是冰冷的代数工具，而是被描绘成一种“在流形上衡量向量方向如何变化”的“标尺”，这种形象的比喻极大地降低了我的理解门槛。此外，书中还巧妙地融入了一些物理学的视角，比如将微分几何的工具应用于广义相对论中，这让我看到了数学的实用价值，也让我更加坚定了继续学习下去的决心。本书在逻辑结构的安排上也十分精妙，从基础的代数结构出发，逐步过渡到几何概念，再到微积分和拓扑的应用，整个过程层层递进，清晰明了。读这本书，我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在培养一种解决问题的数学思维方式。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学研究有一定兴趣的读者，我一直在寻找一本能够真正帮助我建立起扎实现代微分几何基础的参考书。《现代微分几何》在这方面无疑给了我巨大的惊喜。它不仅仅是知识的罗列，更重要的是，它在构建完整的数学体系上下了很大的功夫。从基础的拓扑空间、微分流形，到后续的切丛、余切丛、联络，再到更高级的曲率、黎曼度量等，每一个概念的引入都显得顺理成章，前后呼应。作者非常注重概念之间的内在联系，以及它们在不同数学分支（如代数拓扑、微分方程、物理学）中的应用。这一点对我来说尤为重要，因为它让我看到了微分几何不仅仅是一个独立的数学领域，更是连接诸多学科的重要桥梁。书中在介绍新概念时，常常会回顾之前学过的知识，或者提前铺垫未来将要学习的内容，使得整个学习过程充满了连贯性。另外，书中提供的习题也很有代表性，它们不仅能帮助我巩固所学知识，更能引导我思考更深层次的问题，激发我进一步探索的欲望。这本书就像一本详尽的“地图册”，为我在广阔的现代微分几何领域指明了方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是打开了我对数学世界的新视角！一直以来，我对“抽象”的概念总有点望而却步，总觉得数学是冰冷而难以接近的。但《现代微分几何》完全颠覆了我的认知。它用一种极其生动、甚至可以说是充满诗意的方式，将那些原本只存在于符号和公式中的概念具象化了。比如，书中对流形的描述，不再是枯燥的定义堆砌，而是像在描绘一张精美的地图，让我们能直观地感受到空间是如何弯曲、如何“形变”的。当我读到曲率的概念时，书中那种将切向量场在流形上“平行移动”的直观比喻，瞬间就点亮了我大脑中的那个模糊的概念。作者仿佛一位经验丰富的向导，带着我在高维度的空间中漫步，每一次的转折，每一次的弯曲，都伴随着精彩的讲解和巧妙的类比。读这本书，不仅仅是在学习知识，更像是在经历一场思想的探索之旅，让我对宇宙的本质、空间的奥秘有了更深层次的理解。我尤其喜欢其中关于黎曼几何的部分，它不再是枯燥的公理证明，而是通过对测地线、曲率张量的细致刻画，展现了空间内在的几何结构，让人不禁感叹数学的强大与美丽。这本书不仅仅是给数学专业的学生看的，任何对理解世界有好奇心的人，都应该来领略一下它带来的震撼。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容实在是太丰富、太有启发性了！我从这本书中获得的不仅仅是知识，更重要的是一种全新的数学思维方式。作者在讲解过程中，非常注重培养读者的“几何直觉”，而不是简单地堆砌公式。通过大量的几何图形、直观的类比以及精心设计的例子，让原本抽象的数学概念变得鲜活起来。我特别喜欢书中关于“光滑映射”和“微分同胚”的讨论，它不是停留在符号层面，而是通过对函数的“局部线性化”和“保持空间结构”的描述，让我们能够深刻理解这些概念的本质。书中对“张量分析”的引入也处理得非常精彩，它不是一开始就陷入复杂的张量运算，而是从向量和线性映射的概念出发，逐步引导读者理解张量的多线性结构，并最终将其应用于微分几何的各个方面。每一次阅读，都能感受到作者在知识的组织和呈现上的用心良苦，每一个章节的安排都恰到好处，让学习过程流畅而富有成效。这本书不仅让我对现代微分几何有了更深刻的认识，也极大地拓展了我对数学的理解和欣赏能力。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书的写作风格非常独特，与我之前接触过的同类书籍截然不同。作者在文字的运用上，展现出了极高的技巧和深厚的功底。它不像一些教科书那样，上来就是冷冰冰的定义和冗长的定理，而是用一种非常“有人情味”的语言，娓娓道来。我特别欣赏书中对一些核心概念的引入方式，不是直接抛出数学公式，而是先从物理直觉或者更易理解的几何场景出发，层层递进，引导读者自己去发现和构建数学模型。这种“引导式”的学习过程，让我感觉自己不是被动地接受知识，而是主动地参与到数学的创造过程中。例如，在讲解张量场时，书中没有立刻陷入张量代数的复杂运算，而是先从物理学中矢量场和力场的概念出发，逐步引申出更高阶的张量概念，让读者能更自然地理解其物理意义和数学本质。书中对一些重要定理的证明，也处理得相当到位，既保留了严谨性，又避免了不必要的繁琐，让我能清晰地把握住证明的逻辑脉络。读这本书，就像在和一位睿智的长者进行一场深入的学术对话，每一次的阅读，都能获得新的启发和感悟。

评分☆☆☆☆☆

内容编排的还不错，就是有些错误。

评分☆☆☆☆☆

破损，严重差评！！！

评分☆☆☆☆☆

与陈维桓编写的微分几何相比，后者在曲线论，曲面论方面没有前者论述详尽！

评分☆☆☆☆☆

好好好

评分☆☆☆☆☆

内容编排的还不错，就是有些错误。

评分☆☆☆☆☆

让人家里哥哥发我邮箱里

评分☆☆☆☆☆

破损，严重差评！！！

评分☆☆☆☆☆

发货好快。读起来，清晰易懂。包含的数学家的生平故事和背景材料让微分几何理论变得有趣多了。从这本书可以看到从古典到现代几何发展的一些历史和重要的基本知识。

评分☆☆☆☆☆

好好好