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[加] 斯迈尔 著，冯贝叶 译

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• 函数方程
• 数学分析
• 解题技巧
• 高等数学
• 数学竞赛
• 函数
• 方程
• 数学方法
• 理论研究
• 学术著作

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560353319

版次：1

商品编码：11755202

包装：平装

开本：16开

出版时间：2015-05-01

用纸：胶版纸

页数：166

字数：132000

正文语种：中文

内容简介

　　《函数方程及其解法》包括了函数方程的理论和应用。特别强调了像普特南竞赛和国际数学奥林匹克中的函数方程题目的解法。
　　《函数方程及其解法》对准备参加普特南竞赛和准备参加各类全国或国际数学竞赛而希望提高自己的解题技巧的大学生或中学生是特别有用的，那些对参赛学生进行辅导和训练的数学工作者也可在《函数方程及其解法》中找到培训函数方程问题的有价值的材料。

目录

第1章 历史介绍
1.1 预先的说明
1.2 尼古拉·奥雷姆
1.3 圣-文森特的格里高利
1.4 奥古斯丁-路易斯·柯西
1.5 关于微积分的说明
1.6 让·达朗贝尔
1.7 查尔斯·巴贝奇
1.8 数学竞赛和趣味数学
1.9 拉马努金的贡献
1.10 联立函数方程
1.11 关于术语的说明
1.12 解的存在性和唯一性
1.13 问题

第2章 两个变量的函数方程
2.1 柯西方程
2.2 柯西方程的应用
2.3 琴生方程
2.4 线性函数方程
2.5 柯西指数方程
2.6 佩德方程
2.7 文茨方程
2.8 柯西不等式
2.9 涉及两个变量的方程
2.10 欧拉方程
2.11 达朗贝尔方程
2.12 问题

第3章 一个变量的函数方程
3.1 引言
3.2 线性化
3.3 某些方程的基本族
3.4 一个共轭方程的小动物园
3.5 求共轭方程的解
3.5 .1 施罗德方程的柯尼格斯算法
3.5 .2 阿贝尔方程的莱维算法
3.5 .3 伯特夏方程的一个算法
3.5 .4 解交换方程
3.6 阿贝尔方程和施罗德方程的推广
3.7 迭代根的一般性质
3.8 函数方程和方根的迭套
3.9 问题

第4章 若干有关函数方程的其他问题
4.1 多项式方程
4.2 幂级数方法
4.3 涉及算数函数的方程
4.4 一个利用特殊群的方程
4.5 问题
……

第5章 一些最后的建议
第6章 附录：哈默基
第7章 提示和部分问题的解答

参考文献
索引

精彩书摘

　　《函数方程及其解法》：
　　1815年复辟，随后在滑铁卢之战中失败，再度被推翻），柯西本人是一个坚定的君主主义者，因此后来，他决心离开了自己的祖国。（译者注：1830年7月革命再次推翻波旁王朝后，内阁通过了公职人员必须宣誓效忠新国王的法令，而保王党人（柯西也在其中）认为宣誓就是背叛。起义中发生的一些暴烈行为，使柯西愤慨。所有这些因素，促使柯西下定决心最后离开了法国）这一天才的数学家在数学的很多领域中都做出了贡献，然而一般认为其主要研究领域是微积分，是公认的现代数学分析理论的创始人之一。
　　特别与柯西的名字相连的函数方程是
　　f（x+y）=f（x）+f（y）（1.3）
　　其中，x，y可取所有实数。现在此方程通称为柯西方程。提出的问题是要求求出所有满足方程（1.3）的实值函数（译者注：如果不附加其他条件，仅这样提出问题将可能不得不考虑非常复杂的函数，见哈代，利特伍德《不等式》）。现在，读者可以立即注意到任意形如
　　f（x）=ax
　　的函数都满足柯西方程，其中a是任意常数。然而，我们可以求出这个方程的一个简单的解仅是故事的一小部分。我们必须问，是否形如f（x）=ax的函数族就是方程（1.3）的所有解的完全集？
　　……

前言/序言

现代代数结构：群论、环论与域论的深度探索 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代代数结构基础，侧重于群论、环论和域论这三大核心分支的理论构建、重要定理的证明及其在数学其他领域中的应用。本书的叙述风格严谨而清晰，旨在培养读者对抽象代数概念的直觉理解和严格的逻辑推理能力。 第一部分：群论基础与结构 本部分将从集合论和二元运算的基本概念出发，逐步引入群的严格定义及其基本性质。我们将详尽讨论子群的概念、陪集的构造以及拉格朗日定理的精妙证明，这是有限群结构分析的基石。 随后，我们将深入探讨群的同态与同构，这是比较不同群结构的有力工具。重点分析正规子群及其与商群（或因子群）的构造，这是理解群内部结构层次的关键步骤。第一同构定理（或称基本同态定理）的证明及其在群结构分解中的作用将被细致阐述。 在结构理论方面，本书会花费大量篇幅讨论可解群和幂零群。我们将引入换位子子群和中心列的概念，分析它们的性质和构造，并给出霍尔特定理在有限群分类中的应用。 对于有限阿贝尔群，我们将给出基本定理的完整证明，即任何有限阿贝尔群都同构于一组初等因子群的直积。对于无限群，我们将考察自由群的构造，特别是群表示理论的初步概念，包括如何使用矩阵群来表示抽象群，这为后续的表示论打下基础。此外，还会涉及置换群的详细分析，包括卡伊利定理的证明和在群作用下的轨道-稳定化子定理的应用。 第二部分：环论的拓扑与代数交汇 本书的第二部分转向环的研究。从具有单位元和乘法结合律的代数结构出发，我们定义了环，并区分了交换环与非交换环。理想的概念被引入，并类比群中的商群，构造商环。 我们将详细分析环同态和第一同构定理在环情境下的应用。环的结构分析依赖于特殊的元素，如零因子、整环以及具备除法运算的域。 在理想的分类上，我们将区分主理想、唯一因子化域（UFD）、正则局部环和诺特环。诺特定理的证明及其对环结构的限制至关重要。我们将深入探讨主理想域（PID）和欧几里得整环之间的关系，证明欧几里得整环必然是PID，而PID必然是UFD，并提供明确的反例来说明这些概念的微妙区别。 本书对积分域上的多项式环 $ ext{K}[x]$ 进行了深入探讨，涵盖了多项式的带余除法、最大理想与素理想的对应关系。对于更一般的情况，我们将分析域扩张的基础，包括代数扩张和超越扩张的概念，以及最小多项式的唯一性。 第三部分：域论与伽罗瓦理论的宏大叙事 第三部分是本书的理论高潮，聚焦于域论及其在解方程问题中的核心地位——伽罗瓦理论。 我们将从域扩张的构造出发，详细分析次数、中间域和代数扩张的塔。代数闭包的概念被引入，并证明其存在性和唯一性（在同构意义下）。 核心内容集中于伽罗瓦扩张的定义：有限、正规且可分（separable）的扩张。我们将严格证明基本定理，即伽罗瓦群 $G(L/K)$ 与 $L/K$ 之间中间域之间的一一反序对应关系。这个定理不仅统一了域扩张的结构，更揭示了群论与域结构之间的深刻联系。 基于伽罗瓦理论，我们将分析多项式方程的可解性问题。我们将证明五次及以上多项式方程一般不可用根式求解的结论，其核心在于证明不可约五次多项式的伽罗瓦群是非可解群（通常是 $S_5$）。我们将详细分析二次、三次和四次方程的根式解如何对应于其伽罗瓦群的可解性。 最后，本书会涉及有限域（伽罗瓦域）的结构分析，证明存在一个唯一的、阶数为 $p^n$ 的有限域，并讨论其乘法群的循环性质。 本书的结构旨在逐步构建一个严谨的、相互关联的抽象代数知识体系，使其成为代数研究者和需要深入理解数学基础的读者的重要参考书。每章后都附有大量的练习题，以巩固理论理解和提升问题解决能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字，《函数方程及其解法》，让我立刻联想到了一些更加高级和复杂的数学问题，与我平时接触到的基础代数和几何知识有着明显的区别。我一直对数学充满好奇，但我的知识背景相对有限，主要停留在高中和大学初级的数学课程。 我非常好奇“函数方程”究竟是什么。我理解函数是描述变量之间关系的工具，那么“函数方程”是否就是一种描述函数之间关系的方程？它是否比我们常说的代数方程更加抽象和普遍？我希望书中能够以一种循序渐进的方式，从最基本的形式开始，逐步引导读者理解函数方程的概念，而不是直接抛出复杂的定义和定理。 我希望书中能够包含一些引人入胜的实际应用案例。例如，函数方程在哪些科学领域得到了广泛的应用？物理学中的波动方程、热传导方程，或者在工程学、金融学中，它又扮演着怎样的角色？如果能够看到这些抽象的数学概念如何转化为解决现实问题的有力工具，那将极大地激发我的学习兴趣。 我也希望书中能够介绍一些经典的函数方程以及它们独特的解法。我喜欢看到数学家们如何巧妙地运用各种方法和技巧来解决看似棘手的问题。即使我无法完全掌握所有的解题步骤，但了解其中的思路和逻辑，也能让我感受到数学的智慧和魅力。 我希望这本书能够让我对函数方程有一个初步的、直观的认识，即使我无法成为这方面的专家，也能因此拓宽我的数学视野，感受到数学世界的广阔和深邃。我期望这本书能够像一盏明灯，照亮我探索数学未知领域的一小部分。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名——《函数方程及其解法》，对我而言，既充满了神秘感，也带着一丝挑战性。我一直对数学有着浓厚的兴趣，但我的知识体系更多地构建在基础的代数、微积分和概率论之上。对于“函数方程”这个概念，我只能隐约地感受到它比我熟悉的方程要复杂和抽象得多，它似乎触及了函数之间更深层的、动态的联系。 我非常期待书中能够以一种清晰且富有逻辑的方式，为我这样的非专业读者揭示函数方程的本质。它会从最基础的定义开始吗？会不会用类比或图示的方法，来帮助我理解那些可能非常抽象的数学概念？我希望作者能够避免使用过于专业化的术语，或者至少在引入专业术语时，能够提供详细的解释和例证，让我能够逐步跟上思路。 我希望这本书能够展示函数方程在现实世界中的强大力量。例如，它是否在描述物理现象的演变（如波的传播、热量的扩散）方面发挥着关键作用？在经济学中，函数方程又如何被用来预测市场趋势或优化资源配置？如果能看到数学模型如何将复杂的现实世界简化和解释，我将感到非常振奋。 此外，我也很想了解一些经典的函数方程及其解法。我总是会被那些巧妙而优雅的解题思路所吸引，它们往往能展现出数学的创造性和深刻性。即使我不能完全掌握所有的解题技巧，但了解其中的基本思想和发展脉络，对我来说也是一种宝贵的学习。 总而言之，我希望这本书不仅仅是一本“教科书”，更是一次引人入胜的数学探索之旅。它能够激发我的求知欲，让我对函数方程这个领域产生更深的理解和兴趣，即使我只是一个初次涉足的读者。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学抱有浓厚兴趣的非专业人士，偶然间看到了这本《函数方程及其解法》。这个标题本身就对我有着巨大的吸引力，因为它暗示着一种更深层次的数学结构和解决问题的方式。我一直认为，数学不仅仅是枯燥的数字和符号，更是一种思考问题、解决问题的工具和语言。 在我的认知里，“方程”通常是指一些等式，需要我们找出其中的未知数。而“函数方程”听起来则更像是一种描述事物之间动态关系的数学模型，它可能不仅仅是求一个确定的值，而是去理解和把握这些关系的内在规律。我对此充满了好奇，不知道书中会如何将这些抽象的概念解释得清晰易懂。 我特别期待书中能够提供一些通俗易懂的例子，将函数方程与我们日常生活中能够观察到的现象联系起来。比如，生物体的生长模型，人口的增长规律，或者一些物理现象的演变过程，这些是否都能用函数方程来描述？如果能看到数学如何“解释”世界，我会感到非常兴奋。 我希望这本书能够为我打开一扇新的窗户，让我看到数学的另一面。也许它会挑战我原有的认知，让我明白数学的深度和广度远超我的想象。我并不追求成为一个数学家，但我希望通过阅读这本书，能够对函数方程有一个初步的、感性的认识，理解它的重要性和它的魅力所在。 我也希望这本书能够启发我以一种全新的方式去思考问题，学会用数学的逻辑和方法去分析和解决生活中的挑战。即使其中的一些理论对我来说过于深奥，但只要能让我感受到数学的智慧和力量，我便认为这是一次非常有价值的阅读体验。

评分☆☆☆☆☆

这是一本非常吸引我的书，虽然我并非数学专业的学生，但“函数方程”这个标题本身就充满了探索的魅力。我之前接触过的数学概念，大多局限于中学时代的代数、几何和一些基础的微积分。对于“方程”的理解，通常是求出未知数的值，而“函数方程”听起来则像是更为复杂的“方程”，它可能涉及的不是单个的数值，而是整个函数的性质和它们之间的关系。 我非常好奇书中会如何引导我理解“函数方程”的本质。它会从最基础的概念讲起吗？会不会通过一些直观的图示来帮助我理解抽象的数学语言？我希望作者能够像一位耐心的向导，带领我一步步走进这个未知的领域，而不是直接抛出大量我无法理解的公式和定理。 我希望这本书能够给我带来一些“原来如此”的时刻。例如，当它解释某个函数方程时，我能从中联想到一些熟悉的现象，比如自然界的生长规律，或者物理世界的运动轨迹。如果书中能提供一些实际的例子，说明函数方程是如何被用来建模和解决现实问题的，那将是非常有价值的。比如，在预测天气、分析股票市场，甚至是在生物学研究中，函数方程又扮演着怎样的角色？ 我也期待书中能有一些巧妙的解题方法。我喜欢看到那些充满智慧的解决方案，它们能让我感受到数学的逻辑之美和创造性。即使我无法完全复现这些解法，但了解它们是如何被发现和应用的，也能极大地激发我的学习兴趣。我希望这本书能让我对数学的认识从“计算”提升到“理解”和“创造”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面上写着“函数方程及其解法”，当我翻开目录，映入眼帘的是一些我从未接触过的符号和公式。我是一名普通的爱好者，平时喜欢阅读一些关于数学的科普读物，了解一些数学史上的趣事，或者学习一些基本的代数和几何知识。对于“函数方程”这样听起来就充满挑战的数学分支，我并没有深入研究过。 在我的理解中，数学大概就是解一些代数方程，比如求 x，或者研究一些几何图形的性质。而“函数方程”这个词，让我脑海中浮现出的是一些相互关联的函数，它们之间有着某种奇妙的联系，需要我用一些更高级的技巧去“解开”这个联系，找到那个隐藏在背后的规律。我很好奇，这本书会以怎样的语言和例子来向我这样的读者解释这些深奥的概念。 我期待书中能够有一些生动形象的比喻，或者从实际应用出发，让我看到函数方程在现实世界中的作用。比如，它是否与物理学中的某些定律有关？或者在工程学、经济学领域，它又扮演着怎样的角色？如果能有一些历史故事，介绍一下那些伟大的数学家是如何一步步探索函数方程的奥秘，那更是极大的乐趣。我不太喜欢纯粹的理论推导，那样很容易让我感到枯燥乏味，如果能穿插一些有趣的解题思路和技巧，那就更好了。 当然，我知道“函数方程”的难度不言而喻，但作为一名渴望学习的读者，我希望能从这本书中获得一些启发，即使不能完全掌握所有内容，也能对这个领域有一个初步的认识，打开一扇通往更广阔数学世界的大门。我希望这本书不仅仅是一本教材，更是一次精彩的数学旅行，让我能够在这个过程中感受到数学的魅力。

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Small曾任加拿大IMO教练

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