数值计算方法 下册（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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林成森 著

图书标签:

• 数值计算
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• 科学计算
• 高等数学
• 工科数学
• 数值解
• 算法
• 数学软件
• 计算数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030143907

版次：2

商品编码：11869279

包装：平装

丛书名： 21世纪高等院校教材

开本：16开

出版时间：2005-01-01

用纸：胶版纸

页数：348

字数：428000

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：信息与计算、数学、应用数学、计算机应用及其他理工类相关专业学生、教师和科技工作者。
　　21世纪高等院校教材：数值计算方法(下册)(第二版)》可作为高校数学系、计算机系教材；也可供工程技术人员参考。

内容简介

　　《21世纪高等院校教材：数值计算方法(下册 第二版)》详细地介绍了计算机中常用的数值计算方法，主要内容包括解线性方程组的迭代法、矩阵特征值问题、解非线性方程组的数值方法、常微分方程初值和边值问题的数值解法、函数逼近。《21世纪高等院校教材：数值计算方法(下册)(第二版)》每章末均附有丰富、实用的习题。

目录

第6章 解线性方程组的迭代法
6.1 迭代法的基本理论
6.2 Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法
6.2.1 Jacobi迭代法
6.2.2 Gauss—Seidel迭代法
6.3 逐次超松弛迭代法（SOR方法）
6.3.1 SOR方法
6.3.2 SOR方法的收敛性
6.3.3 相容次序、性质A和最佳松弛因子
6.3.4 SOR方法的收敛速度
6.4 Chebyshev半迭代法
6.4.1 半迭代法
6.4.2 Chebyshev半迭代法
6.5 共轭斜量法
6.5.1 一般的共轭方向法
6.5.2 共轭斜量法
6.6 条件预优方法
6.7 迭代改善方法
习题6
第7章 线性最小二乘问题
7.1 线性方程组的最小二乘解
7.2 广义逆矩阵
7.3 直交分解
7.3.1 Gram—Schmidt直交化方法
7.3.2 直交分解和线性方程组的最小二乘解
7.3.3 Householder变换
7.3.4 列主元QR方法
7.4 奇异值分解
7.5 数据拟合
7.6 线性最小二乘问题
7.7 Chebyshev多项式在数据拟合中的应用
习题7
第8章 矩阵特征值问题
8.1 乘幂法
8.1.1 乘幂法
8.1.2 乘幂法的加速
8.1.3 求模数次大诸特征值的降阶法
8.1.4 逆迭代法（反乘幂法）
8.2 计算实对称矩阵特征值的同时迭代法
8.3 计算实对称矩阵特征值的Jacobi方法
8.3.1 Givens平面旋转矩阵
8.3.2 Jacobi方法及其收敛性
8.3.3 实用的Jacobi方法及其计算步骤
8.4 Givens—Householder方法
8.4.1 实对称矩阵的三对角化
8.4.2 计算实对称三对角矩阵特征值的二分法
8.5 QR方法
8.5.1 基本的QR方法
8.5.2 带原点平移的QR方法
8.6 广义特征值问题
8.6.1 问题Ax=λBx的特征值
8.6.2 问题ABx=λx的特征值
8.6.3 问题Ax=λBx和ABx=λx的特征向量
习题8
第9章 解非线性方程组的数值方法
9.1 多变元微积分
9.1.1 Gateaux导数
9.1.2 Frechet导数
9.1.3 高阶导数¨
9.1.4 Riemann积分
9.2 不动点迭代
9.3 Newton法
9.3.1 Newton法
9.3.2 修正Newton法
9.4 割线法
9.5 拟Newton法
9.5.1 Broyden方法
9.5.2 DFP方法和BFS方法
9.6 下降算法
9.7 延拓法
习题9
第10章 常微分方程初值问题的数值解法
10.1 引言
10.2 离散变量法和离散误差
10.3 单步法
10.3.1 Euler方法
10.3.2 改进的Euler方法
10.3.3 Runge—Kutta方法
10.3.4 自适应Runge—Kutta方法
10.3.5 Richardson外推法
10.4 单步法的相容性、收敛性和稳定性
10.4.1 相容性
10.4.2 收敛性
10.4.3 稳定性
10.5 多步法
10.5.1 线性多步法
10.5.2 Adams方法
10.5.3 预测—校正方法
10.5.4 Hamming方法
10.5.5 隐式公式的迭代解法
10.6 差分方程简介
10.6.1 线性差分方程
10.6.2 常系数线性差分方程
10.7 线性多步法的相容性、收敛性和数值稳定性
10.7.1 相容性
10.7.2 收敛性
10.7.3 稳定性
10.7.4 绝对稳定性
10.8 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法
10.8.1 微分方程组
10.8.2 高阶微分方程
习题10
第1章 常微分方程边值问题的数值解法
11.1 差分方法
11.1.1 解线性微分方程第一边值问题的差分方法
11.1.2 解线性微分方程第二、第三边值问题的差分方法
11.1.3 非线性问题
11.2 打靶法
习题11
第12章 函数逼近
12.1 函数逼近问题
12.2 最佳一致逼近
12.3 最佳平方逼近
12.4 离散的Fourier变换
习题12
部分习题答案
参考文献

前言/序言

数值计算方法 下册（第二版） 内容梗概： 《数值计算方法 下册（第二版）》深入探讨了一系列在科学计算、工程模拟、数据分析及人工智能等前沿领域至关重要的数值计算技术。本书延续上册严谨的理论基础，侧重于那些对大规模、高维度问题尤为有效的算法与方法，旨在为读者构建起一套坚实而全面的数值计算理论体系与实践能力。 本书涵盖的主要内容包括但不限于： 第一部分：线性代数方程组的数值解法 本部分聚焦于求解大规模线性代数方程组的各类高效算法。考虑到实际应用中，方程组的规模往往庞大且系数矩阵具有稀疏性或特定结构，因此本书详细介绍了迭代法。 基本迭代法： 从最基础的雅可比（Jacobi）方法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法入手，深入分析它们的收敛条件、收敛速度，并探讨如何通过预条件（Preconditioning）技术来加速收敛，例如对角占优、对称正定等性质对迭代法收敛性的影响。 加速迭代法： 进一步引入了更强大的迭代算法，如逐次超松弛（Successive Over-Relaxation, SOR）方法，分析其松弛因子对收敛性的优化作用。 Krylov子空间方法： 这是求解大规模稀疏线性系统最核心和最有效的一类方法。本书将详细阐述： 共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）： 重点介绍其在对称正定矩阵上的应用，详细推导其算法流程，分析其收敛性（基于残差范数或误差范数），并讨论其在求解最小二乘问题中的变种（如LSQR）。 广义最小残差法（Generalized Minimal Residual, GMRES）： 适用于非对称矩阵，介绍其算法原理，分析其在Arnoldi迭代过程中的应用，以及如何通过截断（GMRES(k)）来控制计算复杂度。 双共轭梯度法（Bi-Conjugate Gradient, BiCG）及其变种： 介绍BiCG算法，并深入探讨其对映子（Transpose-free）变种，如BiCGSTAB（Bi-Conjugate Gradient Stabilized）和CGS（Conjugate Gradient Squared），这些方法在实际应用中展现出更好的稳定性和收敛性。 求解大规模稀疏矩阵的各种技术： 穿插讲解如何有效地存储稀疏矩阵（如CSC、CSR格式），以及如何利用稀疏性来优化矩阵向量乘法和存储空间。 第二部分：特征值问题的数值计算 本部分深入研究求解大型稀疏或密集矩阵的特征值和特征向量的数值方法。 幂法（Power Iteration）与反幂法（Inverse Iteration）： 作为基础方法，讲解如何通过迭代来近似求解最大（或最小）特征值及其对应的特征向量。 QR算法： 这是求解所有特征值和特征向量的经典且强大的方法。本书将详细介绍其基本原理，包括Householder变换或Givens旋转在矩阵约化（ Hessenberg form, tridiagonal form）中的作用，以及QR分解的迭代过程。 子空间迭代法（Subspace Iteration）： 适用于求解若干个最大（或最小）特征值及其对应的特征向量，尤其适用于大型稀疏矩阵。 Krylov子空间方法在特征值问题中的应用： 介绍Lanczos方法（针对对称矩阵）和Arnoldi方法（针对一般矩阵），它们能够高效地从矩阵的少数次乘法中构造出问题的近似特征值和特征向量，尤其适用于求解大型稀疏问题的部分特征值。 求解代数特征值问题的数值稳定性与精度分析： 讨论算法中的病态问题、舍入误差的影响以及如何提高计算的鲁棒性。 第三部分：常微分方程（ODE）的数值解法 本部分关注如何数值求解常微分方程的初值问题（IVP）和边值问题（BVP）。 初值问题（IVP）： 单步法： 详细讲解欧拉法（显式与隐式）、改进欧拉法（Heun法）、龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法。重点介绍经典的四阶龙格-库塔方法（RK4），并探讨高阶RK方法的构造原理与精度分析。 多步法： 介绍亚当斯-巴什福斯（Adams-Bashforth, AB）和亚当斯-穆尔顿（Adams-Moulton, AM）等外插-内插（Predictor-Corrector）方法，分析它们的构造思想（基于多项式插值），并讨论它们的稳定性和收敛性。 刚性常微分方程（Stiff ODEs）： 引入刚性方程的概念，解释其数值求解的困难性，并介绍适用于刚性方程的隐式方法，如向后微分公式（Backward Differentiation Formulas, BDF）。 变步长与变阶控制： 讨论如何根据误差估计自动调整步长和阶数，以在保证精度的前提下提高计算效率。 边值问题（BVP）： 打靶法（Shooting Method）： 将BVP转化为IVP问题，通过调整初值来满足边界条件。详细阐述其原理、实现步骤以及可能遇到的困难。 有限差分法（Finite Difference Method）： 将求解域离散化，用差分近似代替导数，从而将BVP转化为代数方程组。讲解不同阶数的差分格式，并分析其精度和稳定性。 Galerkin方法和有限元方法（Finite Element Method, FEM）： 介绍变分原理，将BVP转化为一个积分方程，然后用基函数展开近似解。本书将侧重于理解FEM的基本思想、单元划分、形函数构造以及刚度矩阵的组装，重点在于建立起对FEM在求解PDE时的初步认识（虽然FEM更常用于PDE，但其思想与BVP求解中的加权残差法紧密相关）。 第四部分：偏微分方程（PDE）的数值解法 本部分将介绍求解几种典型偏微分方程的常用数值方法。 有限差分法（Finite Difference Method）： 详细讲解如何将PDE在空间和时间维度上离散化，导出差分格式。 抛物型方程（如热传导方程）： 介绍显式、隐式（Crank-Nicolson）等格式，分析它们的稳定性和收敛性。 椭圆型方程（如泊松方程）： 讲解离散化后的代数方程组求解，并与前述线性代数方程组的求解方法相结合。 双曲型方程（如波动方程）： 介绍迎风格式、中心差分格式等，并讨论其数值色散和耗散现象。 有限元方法（Finite Element Method, FEM）： 作为求解复杂几何形状和边界条件的PDE的强大工具，本书将进一步深化FEM的讲解。 基本原理与离散化： 强调弱形式（Variational Form）的建立，单元剖分，形函数（Basis Functions）的选择（如线性、二次多项式），积分的数值计算（如高斯求积）。 组装全局刚度矩阵和载荷向量： 讲解如何将局部单元方程组组装成全局方程组。 求解与后处理： 讨论求解线性系统的方法，以及如何从插值解恢复物理量。 二维与三维问题的初步介绍： 探讨在更高维度下FEM的推广。 有限体积法（Finite Volume Method, FVM）： 介绍作为另一种重要的数值方法，尤其在流体力学领域有广泛应用。讲解其基本思想：对控制方程在离散的控制体积上进行积分，利用通量平衡来建立方程。 第五部分：优化方法基础 本部分将介绍求解无约束和有约束优化问题的基本数值方法。 无约束优化： 梯度下降法（Gradient Descent）： 介绍其基本思想和不同步长选择策略（如线搜索）。 牛顿法（Newton's Method）： 讲解其收敛速度的优势，以及Hessian矩阵的计算与近似。 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）： 如BFGS（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）算法，它们通过近似Hessian矩阵来克服牛顿法的缺点，在实际中更为常用。 共轭梯度法在优化中的应用： 介绍其在大型无约束优化问题中的高效性。 有约束优化（初步）： 拉格朗日乘子法与KKT条件： 介绍如何将有约束问题转化为无约束问题或求解一阶最优性条件。 序列二次规划法（Sequential Quadratic Programming, SQP）的思想： 简要介绍其核心思想，即将约束优化问题转化为一系列二次规划问题来求解。 第六部分：插值、逼近与曲线拟合 本部分将回顾和拓展与函数逼近相关的数值方法。 多项式插值： 深入分析Lagrange插值、Newton插值及其误差分析。讨论Runge现象，以及如何通过分段多项式插值（如样条插值）来克服。 样条插值： 重点介绍三次样条的构造、性质与计算方法。 函数逼近与最小二乘法： 介绍如何在给定的函数空间中找到最佳逼近函数，特别是最小二乘逼近，用于数据拟合和信号处理。 傅里叶级数与傅里叶变换的数值计算： 介绍离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT），在信号处理、数据分析中的应用。 本书特色： 理论严谨与实践并重： 在深入阐述各种数值算法的数学原理、收敛性分析和稳定性研究的同时，也注重算法的实际应用，通过理论推导和算法描述，引导读者理解其实现的关键。 算法的系统性与递进性： 各章节内容相互关联，从基础方法到高级算法，层层递进，逐步构建起读者对数值计算方法体系的全面认知。 强调现代计算的挑战： 重点关注大规模、高维度问题，对稀疏矩阵技术、Krylov子空间方法、求解PDE的先进算法等进行了详细论述，这对于理解和解决当今科学计算领域面临的实际问题至关重要。 面向广泛读者群： 适用于高等院校数学、计算数学、应用数学、计算机科学、物理、工程等专业的本科生、研究生，以及从事科学计算、工程仿真、数据科学等领域的研究人员和工程师。 通过对本书的学习，读者将能够深刻理解各类数值计算方法的内在机制，掌握分析和评价算法优劣的能力，并具备独立运用这些工具解决实际问题的能力。本书旨在成为读者在数值计算领域深入探索的有力助手。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书让我对“数值计算”这个词的理解，从原本的“一大堆公式”升华到了“精妙的算法设计”。之前我总觉得，数值计算就是计算机代人脑做计算，但这本书让我看到了其中的智慧和艺术。尤其是关于非线性方程组的求解，像牛顿法、割线法这些，作者不仅介绍了它们的原理，还深入分析了它们的收敛速度和局限性。我一直对“全局收敛”和“局部收敛”的概念比较模糊，这本书用图示和清晰的语言，让我一下子就明白了它们之间的区别以及在实际应用中可能遇到的问题。此外，关于插值和逼近的部分，我之前只知道多项式插值，但这本书介绍了样条插值，并详细解释了它在平滑性和局部控制方面的优势，这给我带来了全新的视角。感觉这本书就像一个经验丰富的老工匠，不仅告诉你工具怎么用，还会告诉你为什么这个工具适合这个场合，以及在使用过程中需要注意哪些细节，让你能真正地“用好”这些工具。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的教科书，不仅要传授知识，更要点燃读者的求知欲。而这本《数值计算方法 下册（第二版）》，恰恰做到了这一点。我是一个动手能力比较强的人，虽然理论很重要，但我更喜欢通过实践来巩固学习。这本书在这方面做得非常好。书中提供了大量的习题，从基础的巩固到拔高应用，层次分明，难度适中。更难得的是，它还鼓励我们使用编程来实现这些算法。我尝试着将书中的一些核心算法，比如求解线性方程组的迭代法，用Python实现了出来。书中提供的伪代码和详细的步骤指导，让我能够毫不费力地将其转化为实际可运行的代码。当我成功运行出第一个程序，并且得到与书本例题一致的结果时，那种成就感是无与伦比的。这种理论与实践相结合的学习模式，让我觉得学习数值计算不再是枯燥的数学推导，而是一项充满乐趣的工程挑战。我甚至开始主动思考，如何优化这些算法，让它们运行得更快、更精确，这种主动探索的精神，是我在这本书中最大的收获。

评分☆☆☆☆☆

这本书，绝对是为那些真正想深入理解数值计算精髓的人准备的。我之前在学习过程中，遇到过很多模棱两可的定义，或者一些跳跃性的推导，常常让我陷入困境。但在这本《数值计算方法 下册（第二版）》中，我发现绝大多数地方的解释都极其严谨且详细。特别是当它讨论到一些高级主题，例如偏微分方程的数值解法，或者是特征值问题的求解时，它并没有止步于简单介绍，而是深入剖析了各种方法的理论基础、误差分析，以及在实际计算中的注意事项。比如，在讲解有限差分法时，书中就非常细致地讨论了不同阶数的差分格式如何影响精度和稳定性，并给出了清晰的稳定性条件。这种深入的讲解，让我感觉到作者是在真正地引导读者去思考，去理解算法背后的逻辑，而不是仅仅提供一个“开箱即用”的解决方案。这本书就像一位严谨的导师，它会引导你去发现问题，分析问题，并最终解决问题，让你在掌握知识的同时，也提升了独立思考的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书，怎么说呢，它给了我一种“拨云见日”的感觉。我一直对数值积分和微分方程的求解这块儿比较头疼，总觉得那些龙格-库塔方法、辛普森公式之类的，虽然知道怎么用，但背后的原理总像隔着一层纱。这本《数值计算方法 下册（第二版）》真的帮我把这层纱给捅破了。它在讲解这些方法的时候，不仅仅是罗列公式，而是把这些方法的发展脉络、不同方法的优缺点，以及它们各自适用的场景都讲得非常透彻。比如，当我看到关于收敛性和稳定性的分析时，我之前模糊的概念一下子就清晰了。作者用了非常形象的比喻，让我理解了为什么有些数值方法会“跑偏”，而另一些则能保持稳定。而且，书中还穿插了不少实际问题的例子，比如用数值方法求解流体力学中的一些方程，或者是进行信号处理中的傅里叶变换，这些都让我看到了理论在实际中的强大应用，极大地激发了我学习的兴趣。我甚至开始主动去查阅书中提到的相关文献，想更深入地了解某些算法的细节，这在我之前是很难想象的。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直就是我的救命稻草！自从我开始接触数值计算的领域，就觉得概念太多、公式太杂，一头雾水。尤其是到了“下册”的部分，感觉更是触及到了更深层次的理论和更复杂的算法，让我一度怀疑自己是不是选错了专业。市面上找了几本书，要么讲得过于浅显，要么就是直接丢一堆公式，看得我头昏眼花。直到我翻开这本《数值计算方法 下册（第二版）》，才真正看到了希望。它的讲解逻辑清晰得令人惊叹，每个算法的推导都循序渐进，哪怕是第一次接触到的一些高阶概念，比如快速傅里叶变换（FFT）的原理，或者更复杂的插值与逼近方法，都能通过作者细致入微的解释，一点点被我理解透彻。书中大量的图示和例子，更是让抽象的数学概念变得直观生动，仿佛我正置身于一个生动的课堂，老师就在我耳边耐心讲解。我尤其喜欢它在介绍每个算法时，都会先交代清楚其应用背景和解决的问题，这样我就能明白这个算法的意义所在，而不是死记硬背。这种“知其所以然”的学习方式，让我感觉自己在真正地掌握知识，而不是被动地接受信息。

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