數值計算方法 下冊（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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林成森 著

圖書標籤:

• 數值計算
• 數值分析
• 計算方法
• 科學計算
• 高等數學
• 工科數學
• 數值解
• 算法
• 數學軟件
• 計算數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030143907

版次：2

商品編碼：11869279

包裝：平裝

叢書名： 21世紀高等院校教材

開本：16開

齣版時間：2005-01-01

用紙：膠版紙

頁數：348

字數：428000

正文語種：中文

編輯推薦

適讀人群 ：信息與計算、數學、應用數學、計算機應用及其他理工類相關專業學生、教師和科技工作者。
　　21世紀高等院校教材：數值計算方法(下冊)(第二版)》可作為高校數學係、計算機係教材；也可供工程技術人員參考。

內容簡介

　　《21世紀高等院校教材：數值計算方法(下冊 第二版)》詳細地介紹瞭計算機中常用的數值計算方法，主要內容包括解綫性方程組的迭代法、矩陣特徵值問題、解非綫性方程組的數值方法、常微分方程初值和邊值問題的數值解法、函數逼近。《21世紀高等院校教材：數值計算方法(下冊)(第二版)》每章末均附有豐富、實用的習題。

目錄

第6章 解綫性方程組的迭代法
6.1 迭代法的基本理論
6.2 Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法
6.2.1 Jacobi迭代法
6.2.2 Gauss—Seidel迭代法
6.3 逐次超鬆弛迭代法（SOR方法）
6.3.1 SOR方法
6.3.2 SOR方法的收斂性
6.3.3 相容次序、性質A和最佳鬆弛因子
6.3.4 SOR方法的收斂速度
6.4 Chebyshev半迭代法
6.4.1 半迭代法
6.4.2 Chebyshev半迭代法
6.5 共軛斜量法
6.5.1 一般的共軛方嚮法
6.5.2 共軛斜量法
6.6 條件預優方法
6.7 迭代改善方法
習題6
第7章 綫性最小二乘問題
7.1 綫性方程組的最小二乘解
7.2 廣義逆矩陣
7.3 直交分解
7.3.1 Gram—Schmidt直交化方法
7.3.2 直交分解和綫性方程組的最小二乘解
7.3.3 Householder變換
7.3.4 列主元QR方法
7.4 奇異值分解
7.5 數據擬閤
7.6 綫性最小二乘問題
7.7 Chebyshev多項式在數據擬閤中的應用
習題7
第8章 矩陣特徵值問題
8.1 乘冪法
8.1.1 乘冪法
8.1.2 乘冪法的加速
8.1.3 求模數次大諸特徵值的降階法
8.1.4 逆迭代法（反乘冪法）
8.2 計算實對稱矩陣特徵值的同時迭代法
8.3 計算實對稱矩陣特徵值的Jacobi方法
8.3.1 Givens平麵鏇轉矩陣
8.3.2 Jacobi方法及其收斂性
8.3.3 實用的Jacobi方法及其計算步驟
8.4 Givens—Householder方法
8.4.1 實對稱矩陣的三對角化
8.4.2 計算實對稱三對角矩陣特徵值的二分法
8.5 QR方法
8.5.1 基本的QR方法
8.5.2 帶原點平移的QR方法
8.6 廣義特徵值問題
8.6.1 問題Ax=λBx的特徵值
8.6.2 問題ABx=λx的特徵值
8.6.3 問題Ax=λBx和ABx=λx的特徵嚮量
習題8
第9章 解非綫性方程組的數值方法
9.1 多變元微積分
9.1.1 Gateaux導數
9.1.2 Frechet導數
9.1.3 高階導數¨
9.1.4 Riemann積分
9.2 不動點迭代
9.3 Newton法
9.3.1 Newton法
9.3.2 修正Newton法
9.4 割綫法
9.5 擬Newton法
9.5.1 Broyden方法
9.5.2 DFP方法和BFS方法
9.6 下降算法
9.7 延拓法
習題9
第10章 常微分方程初值問題的數值解法
10.1 引言
10.2 離散變量法和離散誤差
10.3 單步法
10.3.1 Euler方法
10.3.2 改進的Euler方法
10.3.3 Runge—Kutta方法
10.3.4 自適應Runge—Kutta方法
10.3.5 Richardson外推法
10.4 單步法的相容性、收斂性和穩定性
10.4.1 相容性
10.4.2 收斂性
10.4.3 穩定性
10.5 多步法
10.5.1 綫性多步法
10.5.2 Adams方法
10.5.3 預測—校正方法
10.5.4 Hamming方法
10.5.5 隱式公式的迭代解法
10.6 差分方程簡介
10.6.1 綫性差分方程
10.6.2 常係數綫性差分方程
10.7 綫性多步法的相容性、收斂性和數值穩定性
10.7.1 相容性
10.7.2 收斂性
10.7.3 穩定性
10.7.4 絕對穩定性
10.8 常微分方程組和高階微分方程的數值解法
10.8.1 微分方程組
10.8.2 高階微分方程
習題10
第1章 常微分方程邊值問題的數值解法
11.1 差分方法
11.1.1 解綫性微分方程第一邊值問題的差分方法
11.1.2 解綫性微分方程第二、第三邊值問題的差分方法
11.1.3 非綫性問題
11.2 打靶法
習題11
第12章 函數逼近
12.1 函數逼近問題
12.2 最佳一緻逼近
12.3 最佳平方逼近
12.4 離散的Fourier變換
習題12
部分習題答案
參考文獻

前言/序言

數值計算方法 下冊（第二版） 內容梗概： 《數值計算方法 下冊（第二版）》深入探討瞭一係列在科學計算、工程模擬、數據分析及人工智能等前沿領域至關重要的數值計算技術。本書延續上冊嚴謹的理論基礎，側重於那些對大規模、高維度問題尤為有效的算法與方法，旨在為讀者構建起一套堅實而全麵的數值計算理論體係與實踐能力。 本書涵蓋的主要內容包括但不限於： 第一部分：綫性代數方程組的數值解法 本部分聚焦於求解大規模綫性代數方程組的各類高效算法。考慮到實際應用中，方程組的規模往往龐大且係數矩陣具有稀疏性或特定結構，因此本書詳細介紹瞭迭代法。 基本迭代法： 從最基礎的雅可比（Jacobi）方法和高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）方法入手，深入分析它們的收斂條件、收斂速度，並探討如何通過預條件（Preconditioning）技術來加速收斂，例如對角占優、對稱正定等性質對迭代法收斂性的影響。 加速迭代法： 進一步引入瞭更強大的迭代算法，如逐次超鬆弛（Successive Over-Relaxation, SOR）方法，分析其鬆弛因子對收斂性的優化作用。 Krylov子空間方法： 這是求解大規模稀疏綫性係統最核心和最有效的一類方法。本書將詳細闡述： 共軛梯度法（Conjugate Gradient, CG）： 重點介紹其在對稱正定矩陣上的應用，詳細推導其算法流程，分析其收斂性（基於殘差範數或誤差範數），並討論其在求解最小二乘問題中的變種（如LSQR）。 廣義最小殘差法（Generalized Minimal Residual, GMRES）： 適用於非對稱矩陣，介紹其算法原理，分析其在Arnoldi迭代過程中的應用，以及如何通過截斷（GMRES(k)）來控製計算復雜度。 雙共軛梯度法（Bi-Conjugate Gradient, BiCG）及其變種： 介紹BiCG算法，並深入探討其對映子（Transpose-free）變種，如BiCGSTAB（Bi-Conjugate Gradient Stabilized）和CGS（Conjugate Gradient Squared），這些方法在實際應用中展現齣更好的穩定性和收斂性。 求解大規模稀疏矩陣的各種技術： 穿插講解如何有效地存儲稀疏矩陣（如CSC、CSR格式），以及如何利用稀疏性來優化矩陣嚮量乘法和存儲空間。 第二部分：特徵值問題的數值計算 本部分深入研究求解大型稀疏或密集矩陣的特徵值和特徵嚮量的數值方法。 冪法（Power Iteration）與反冪法（Inverse Iteration）： 作為基礎方法，講解如何通過迭代來近似求解最大（或最小）特徵值及其對應的特徵嚮量。 QR算法： 這是求解所有特徵值和特徵嚮量的經典且強大的方法。本書將詳細介紹其基本原理，包括Householder變換或Givens鏇轉在矩陣約化（ Hessenberg form, tridiagonal form）中的作用，以及QR分解的迭代過程。 子空間迭代法（Subspace Iteration）： 適用於求解若乾個最大（或最小）特徵值及其對應的特徵嚮量，尤其適用於大型稀疏矩陣。 Krylov子空間方法在特徵值問題中的應用： 介紹Lanczos方法（針對對稱矩陣）和Arnoldi方法（針對一般矩陣），它們能夠高效地從矩陣的少數次乘法中構造齣問題的近似特徵值和特徵嚮量，尤其適用於求解大型稀疏問題的部分特徵值。 求解代數特徵值問題的數值穩定性與精度分析： 討論算法中的病態問題、捨入誤差的影響以及如何提高計算的魯棒性。 第三部分：常微分方程（ODE）的數值解法 本部分關注如何數值求解常微分方程的初值問題（IVP）和邊值問題（BVP）。 初值問題（IVP）： 單步法： 詳細講解歐拉法（顯式與隱式）、改進歐拉法（Heun法）、龍格-庫塔（Runge-Kutta, RK）方法。重點介紹經典的四階龍格-庫塔方法（RK4），並探討高階RK方法的構造原理與精度分析。 多步法： 介紹亞當斯-巴什福斯（Adams-Bashforth, AB）和亞當斯-穆爾頓（Adams-Moulton, AM）等外插-內插（Predictor-Corrector）方法，分析它們的構造思想（基於多項式插值），並討論它們的穩定性和收斂性。 剛性常微分方程（Stiff ODEs）： 引入剛性方程的概念，解釋其數值求解的睏難性，並介紹適用於剛性方程的隱式方法，如嚮後微分公式（Backward Differentiation Formulas, BDF）。 變步長與變階控製： 討論如何根據誤差估計自動調整步長和階數，以在保證精度的前提下提高計算效率。 邊值問題（BVP）： 打靶法（Shooting Method）： 將BVP轉化為IVP問題，通過調整初值來滿足邊界條件。詳細闡述其原理、實現步驟以及可能遇到的睏難。 有限差分法（Finite Difference Method）： 將求解域離散化，用差分近似代替導數，從而將BVP轉化為代數方程組。講解不同階數的差分格式，並分析其精度和穩定性。 Galerkin方法和有限元方法（Finite Element Method, FEM）： 介紹變分原理，將BVP轉化為一個積分方程，然後用基函數展開近似解。本書將側重於理解FEM的基本思想、單元劃分、形函數構造以及剛度矩陣的組裝，重點在於建立起對FEM在求解PDE時的初步認識（雖然FEM更常用於PDE，但其思想與BVP求解中的加權殘差法緊密相關）。 第四部分：偏微分方程（PDE）的數值解法 本部分將介紹求解幾種典型偏微分方程的常用數值方法。 有限差分法（Finite Difference Method）： 詳細講解如何將PDE在空間和時間維度上離散化，導齣差分格式。 拋物型方程（如熱傳導方程）： 介紹顯式、隱式（Crank-Nicolson）等格式，分析它們的穩定性和收斂性。 橢圓型方程（如泊鬆方程）： 講解離散化後的代數方程組求解，並與前述綫性代數方程組的求解方法相結閤。 雙麯型方程（如波動方程）： 介紹迎風格式、中心差分格式等，並討論其數值色散和耗散現象。 有限元方法（Finite Element Method, FEM）： 作為求解復雜幾何形狀和邊界條件的PDE的強大工具，本書將進一步深化FEM的講解。 基本原理與離散化： 強調弱形式（Variational Form）的建立，單元剖分，形函數（Basis Functions）的選擇（如綫性、二次多項式），積分的數值計算（如高斯求積）。 組裝全局剛度矩陣和載荷嚮量： 講解如何將局部單元方程組組裝成全局方程組。 求解與後處理： 討論求解綫性係統的方法，以及如何從插值解恢復物理量。 二維與三維問題的初步介紹： 探討在更高維度下FEM的推廣。 有限體積法（Finite Volume Method, FVM）： 介紹作為另一種重要的數值方法，尤其在流體力學領域有廣泛應用。講解其基本思想：對控製方程在離散的控製體積上進行積分，利用通量平衡來建立方程。 第五部分：優化方法基礎 本部分將介紹求解無約束和有約束優化問題的基本數值方法。 無約束優化： 梯度下降法（Gradient Descent）： 介紹其基本思想和不同步長選擇策略（如綫搜索）。 牛頓法（Newton's Method）： 講解其收斂速度的優勢，以及Hessian矩陣的計算與近似。 擬牛頓法（Quasi-Newton Methods）： 如BFGS（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）算法，它們通過近似Hessian矩陣來剋服牛頓法的缺點，在實際中更為常用。 共軛梯度法在優化中的應用： 介紹其在大型無約束優化問題中的高效性。 有約束優化（初步）： 拉格朗日乘子法與KKT條件： 介紹如何將有約束問題轉化為無約束問題或求解一階最優性條件。 序列二次規劃法（Sequential Quadratic Programming, SQP）的思想： 簡要介紹其核心思想，即將約束優化問題轉化為一係列二次規劃問題來求解。 第六部分：插值、逼近與麯綫擬閤 本部分將迴顧和拓展與函數逼近相關的數值方法。 多項式插值： 深入分析Lagrange插值、Newton插值及其誤差分析。討論Runge現象，以及如何通過分段多項式插值（如樣條插值）來剋服。 樣條插值： 重點介紹三次樣條的構造、性質與計算方法。 函數逼近與最小二乘法： 介紹如何在給定的函數空間中找到最佳逼近函數，特彆是最小二乘逼近，用於數據擬閤和信號處理。 傅裏葉級數與傅裏葉變換的數值計算： 介紹離散傅裏葉變換（DFT）及其快速算法（FFT），在信號處理、數據分析中的應用。 本書特色： 理論嚴謹與實踐並重： 在深入闡述各種數值算法的數學原理、收斂性分析和穩定性研究的同時，也注重算法的實際應用，通過理論推導和算法描述，引導讀者理解其實現的關鍵。 算法的係統性與遞進性： 各章節內容相互關聯，從基礎方法到高級算法，層層遞進，逐步構建起讀者對數值計算方法體係的全麵認知。 強調現代計算的挑戰： 重點關注大規模、高維度問題，對稀疏矩陣技術、Krylov子空間方法、求解PDE的先進算法等進行瞭詳細論述，這對於理解和解決當今科學計算領域麵臨的實際問題至關重要。 麵嚮廣泛讀者群： 適用於高等院校數學、計算數學、應用數學、計算機科學、物理、工程等專業的本科生、研究生，以及從事科學計算、工程仿真、數據科學等領域的研究人員和工程師。 通過對本書的學習，讀者將能夠深刻理解各類數值計算方法的內在機製，掌握分析和評價算法優劣的能力，並具備獨立運用這些工具解決實際問題的能力。本書旨在成為讀者在數值計算領域深入探索的有力助手。

評分☆☆☆☆☆

這本書，絕對是為那些真正想深入理解數值計算精髓的人準備的。我之前在學習過程中，遇到過很多模棱兩可的定義，或者一些跳躍性的推導，常常讓我陷入睏境。但在這本《數值計算方法 下冊（第二版）》中，我發現絕大多數地方的解釋都極其嚴謹且詳細。特彆是當它討論到一些高級主題，例如偏微分方程的數值解法，或者是特徵值問題的求解時，它並沒有止步於簡單介紹，而是深入剖析瞭各種方法的理論基礎、誤差分析，以及在實際計算中的注意事項。比如，在講解有限差分法時，書中就非常細緻地討論瞭不同階數的差分格式如何影響精度和穩定性，並給齣瞭清晰的穩定性條件。這種深入的講解，讓我感覺到作者是在真正地引導讀者去思考，去理解算法背後的邏輯，而不是僅僅提供一個“開箱即用”的解決方案。這本書就像一位嚴謹的導師，它會引導你去發現問題，分析問題，並最終解決問題，讓你在掌握知識的同時，也提升瞭獨立思考的能力。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，一本好的教科書，不僅要傳授知識，更要點燃讀者的求知欲。而這本《數值計算方法 下冊（第二版）》，恰恰做到瞭這一點。我是一個動手能力比較強的人，雖然理論很重要，但我更喜歡通過實踐來鞏固學習。這本書在這方麵做得非常好。書中提供瞭大量的習題，從基礎的鞏固到拔高應用，層次分明，難度適中。更難得的是，它還鼓勵我們使用編程來實現這些算法。我嘗試著將書中的一些核心算法，比如求解綫性方程組的迭代法，用Python實現瞭齣來。書中提供的僞代碼和詳細的步驟指導，讓我能夠毫不費力地將其轉化為實際可運行的代碼。當我成功運行齣第一個程序，並且得到與書本例題一緻的結果時，那種成就感是無與倫比的。這種理論與實踐相結閤的學習模式，讓我覺得學習數值計算不再是枯燥的數學推導，而是一項充滿樂趣的工程挑戰。我甚至開始主動思考，如何優化這些算法，讓它們運行得更快、更精確，這種主動探索的精神，是我在這本書中最大的收獲。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直就是我的救命稻草！自從我開始接觸數值計算的領域，就覺得概念太多、公式太雜，一頭霧水。尤其是到瞭“下冊”的部分，感覺更是觸及到瞭更深層次的理論和更復雜的算法，讓我一度懷疑自己是不是選錯瞭專業。市麵上找瞭幾本書，要麼講得過於淺顯，要麼就是直接丟一堆公式，看得我頭昏眼花。直到我翻開這本《數值計算方法 下冊（第二版）》，纔真正看到瞭希望。它的講解邏輯清晰得令人驚嘆，每個算法的推導都循序漸進，哪怕是第一次接觸到的一些高階概念，比如快速傅裏葉變換（FFT）的原理，或者更復雜的插值與逼近方法，都能通過作者細緻入微的解釋，一點點被我理解透徹。書中大量的圖示和例子，更是讓抽象的數學概念變得直觀生動，仿佛我正置身於一個生動的課堂，老師就在我耳邊耐心講解。我尤其喜歡它在介紹每個算法時，都會先交代清楚其應用背景和解決的問題，這樣我就能明白這個算法的意義所在，而不是死記硬背。這種“知其所以然”的學習方式，讓我感覺自己在真正地掌握知識，而不是被動地接受信息。

評分☆☆☆☆☆

說實話，這本書讓我對“數值計算”這個詞的理解，從原本的“一大堆公式”升華到瞭“精妙的算法設計”。之前我總覺得，數值計算就是計算機代人腦做計算，但這本書讓我看到瞭其中的智慧和藝術。尤其是關於非綫性方程組的求解，像牛頓法、割綫法這些，作者不僅介紹瞭它們的原理，還深入分析瞭它們的收斂速度和局限性。我一直對“全局收斂”和“局部收斂”的概念比較模糊，這本書用圖示和清晰的語言，讓我一下子就明白瞭它們之間的區彆以及在實際應用中可能遇到的問題。此外，關於插值和逼近的部分，我之前隻知道多項式插值，但這本書介紹瞭樣條插值，並詳細解釋瞭它在平滑性和局部控製方麵的優勢，這給我帶來瞭全新的視角。感覺這本書就像一個經驗豐富的老工匠，不僅告訴你工具怎麼用，還會告訴你為什麼這個工具適閤這個場閤，以及在使用過程中需要注意哪些細節，讓你能真正地“用好”這些工具。

評分☆☆☆☆☆

這本書，怎麼說呢，它給瞭我一種“撥雲見日”的感覺。我一直對數值積分和微分方程的求解這塊兒比較頭疼，總覺得那些龍格-庫塔方法、辛普森公式之類的，雖然知道怎麼用，但背後的原理總像隔著一層紗。這本《數值計算方法 下冊（第二版）》真的幫我把這層紗給捅破瞭。它在講解這些方法的時候，不僅僅是羅列公式，而是把這些方法的發展脈絡、不同方法的優缺點，以及它們各自適用的場景都講得非常透徹。比如，當我看到關於收斂性和穩定性的分析時，我之前模糊的概念一下子就清晰瞭。作者用瞭非常形象的比喻，讓我理解瞭為什麼有些數值方法會“跑偏”，而另一些則能保持穩定。而且，書中還穿插瞭不少實際問題的例子，比如用數值方法求解流體力學中的一些方程，或者是進行信號處理中的傅裏葉變換，這些都讓我看到瞭理論在實際中的強大應用，極大地激發瞭我學習的興趣。我甚至開始主動去查閱書中提到的相關文獻，想更深入地瞭解某些算法的細節，這在我之前是很難想象的。

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