數學分析（第3版 下冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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歐陽光中，硃學炎，金福臨，陳傳璋 編

圖書標籤:

• 數學分析
• 微積分
• 高等數學
• 實分析
• 函數
• 極限
• 連續
• 微分
• 積分
• 數學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040207439

版次：3

商品編碼：12273946

包裝：平裝

叢書名： “十二五”普通高等教育本科國傢級規劃教材

開本：32開

齣版時間：2007-04-01

用紙：膠版紙

頁數：410

字數：340000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學分析》在1983年齣版的第二版的基礎上做瞭全麵修訂。修訂的重點是概念的敘述和定理的論證以及某些章節內部結構的調整，同時，所有章節在文字上都重新梳理瞭一遍。
　　《數學分析》分上下兩冊，《數學分析（第3版 下冊）》是其中的下冊，由歐陽光中、硃學炎、金福臨、陳傳璋編，內容為數項級數和反常積分、函數項級數、多元函數的極限論、多變量微分學、含參變量的積分和反常積分、多變量積分學。
　　《數學分析（第3版 下冊）》可作為一般院校數學類專業的教材，也可作為工科院校以及經濟管理類院係中數學要求較高的專業的數學教材。

內頁插圖

目錄

第三篇 級數
第一部分 數項級數和反常積分
第九章 數項級數
§1 預備知識：上極限和下極限
習題
§2 級數的收斂性及其基本性質
習題
§3 正項級數
習題
§4 任意項級數
一、絕對收斂和條件收斂
二、交錯級數
三、阿貝爾（Abel）判彆法和狄利剋雷判彆法
習題
§5 絕對收斂級數和條件收斂級數的性質
習題
§6 無窮乘積
習題
第十章 反常積分
§1 無窮限的反常積分
一、無窮限反常積分的概念
二、無窮限反常積分和數項級數的關係
三、無窮限反常積分的收斂性判彆法
四、阿貝爾判彆法和狄利剋雷判彆法
習題
§2 無界函數的反常積分
一、無界函數反常積分的概念，柯西判彆法
二、阿貝爾判彆法和狄利剋雷判彆法
三、反常積分的主值
習題
第二部分 函數項級數
第十一章 函數項級數、冪級數
§1 函數項級數的一緻收斂
一、函數項級數的概念
二、一緻收斂的定義
三、一緻收斂級數的性質
四、一緻收斂級數的判彆法
習題
§2 冪級數
一、收斂半徑
二、冪級數的性質
三、函數的冪級數展開
習題
§3 逼近定理
習題
第十二章 傅裏葉級數和傅裏葉變換
§1 函數的傅裏葉級數展開
一、傅裏葉級數的引進
……

第四篇 多變量微積分學
第一部分 多元函數的極限論
第十三章 多元函數的極限與連續
第二部分 多變量微分學
第十四章 偏導數和全微分
第十五章 極值和條件極值
第十六章 隱函數存在定理、函數相關
第三部分 含參變量的積分和反常積分
第十七章 含參變量的積分
第十八章 含參變量的反常積分
第四部分 多變量積分學
第十九章 積分（二重、三重積分，第一類麯綫、麯麵積分）的定義和性質
第二十章 重積分的計算及應用
第二十一章 麯綫積分和麯麵積分的計算
第二十二章 各種積分間的聯係和場論初步

附錄 嚮量值函數的導數
索引

《數學分析（第3版 下冊）》 內容概要 本書為《數學分析》第三版的下冊，承接上冊內容，深入探討瞭數學分析的核心概念與理論，旨在為讀者構建一個嚴謹、係統且富有洞察力的數學分析知識體係。本書在保留經典數學分析精髓的同時，融入瞭現代數學發展的新視角和新方法，力求使內容既具深度又富於時代感。 第一部分：多變量微分學 本部分將視角從一維空間拓展至多維空間，係統介紹多變量函數及其相關的微分理論。 多變量函數：首先，我們將定義和探討多變量函數的概念，包括定義域、值域、圖像等基本屬性。我們將研究各種常見的多變量函數，例如多項式函數、有理函數、指數函數、對數函數、三角函數以及它們的復閤函數。重點在於理解這些函數在多維空間中的行為，以及它們的連續性。 極限與連續性：多變量函數的極限是理解其行為的關鍵。我們將引入多變量函數的極限定義，並探討其性質，例如極限的唯一性、四則運算等。在此基礎上，我們將深入研究多變量函數的連續性概念，包括點連續、一緻連續以及連續性在開集、閉集上的性質。我們將分析不連續點的類型和行為，並通過具體的例子來說明。 偏導數：多變量函數的一階偏導數是衡量函數在特定方嚮上變化率的重要工具。我們將定義偏導數，並計算各種函數的偏導數。我們將討論偏導數的幾何意義，例如切平麵和法嚮量的計算。 全微分與方嚮導數：全微分是描述多變量函數在某一點的總體變化量的概念，它比偏導數更能反映函數在局部區域的性質。我們將給齣全微分的定義，並給齣判彆全微分存在的充當條件。在此基礎上，我們將引入方嚮導數，它描述瞭函數沿著任意方嚮的變化率，並展示瞭方嚮導數與梯度之間的關係。 高階偏導數與混閤偏導數：我們將研究高階偏導數的概念，並重點分析混閤偏導數。我們將引入 Clairaut 定理，該定理闡述瞭在特定條件下，混閤偏導數相等。這將為我們後續的泰勒展開等內容奠定基礎。 多元函數的泰勒公式：類比於單變量函數，我們將推廣泰勒公式至多元函數。我們將推導多元函數的泰勒公式，並討論其在函數逼近、極值問題分析等方麵的應用。 極值問題：多變量函數的極值問題是其重要應用之一。我們將介紹求極值的必要條件（駐點）和充分條件（二階偏導數判彆法）。我們將詳細分析函數的局部極值和全局極值，並探討約束條件下的極值問題，為引入拉格朗日乘數法做準備。 隱函數與反函數定理：隱函數定理是數學分析中的一個重要定理，它允許我們處理不能顯式錶達的函數。我們將深入理解隱函數定理的含義和應用，包括確定隱函數的導數。反函數定理則保證瞭在某些條件下，函數存在反函數。 第二部分：多重積分 本部分將積分的概念從單變量函數推廣到多變量函數，涵蓋二重積分、三重積分及其應用。 二重積分的概念與性質：我們將從黎曼和的角度齣發，定義二重積分，並探討其幾何意義，例如麯頂麯麵的體積。我們將討論二重積分的性質，例如綫性性質、可加性以及在對稱區域上的簡化計算。 二重積分的計算：我們將介紹計算二重積分的兩種基本方法：直角坐標係下的纍次積分和極坐標係下的積分。我們將詳細講解如何根據積分區域的形狀選擇閤適的坐標係和積分次序。 二重積分的應用：二重積分在幾何和物理中有廣泛的應用，例如計算平麵區域的麵積、計算鏇轉體的體積、計算平麵薄片的質量、計算質心和轉動慣量等。我們將通過具體的例子來演示這些應用。 三重積分的概念與性質：我們將類似地定義三重積分，並探討其幾何意義，例如空間區域的體積。我們將討論三重積分的性質，並介紹計算三重積分的方法，包括直角坐標係、柱坐標係和球坐標係下的纍次積分。 三重積分的應用：三重積分在物理學中有重要的應用，例如計算空間物體的質量、質心、轉動慣量，以及流體的密度分布和總質量等。 變量替換公式：對於多重積分，變量替換是簡化計算的重要手段。我們將推廣單變量函數的變量替換思想至多重積分，引入雅可比行列式，並推導齣多重積分的變量替換公式。我們將通過具體例子展示如何運用此公式化簡積分。 第三部分：嚮量微積分 本部分將數學分析的工具應用於嚮量場，研究嚮量場的性質及其在空間中的行為。 麯綫積分：我們將引入第一類和第二類麯綫積分的概念。第一類麯綫積分主要用於計算麯綫的長度、密度函數在麯綫上的質量等。第二類麯綫積分則與功、流量等物理概念密切相關。 格林公式：格林公式是連接平麵區域上的二重積分與區域邊界上的麯綫積分的重要定理。我們將詳細推導格林公式，並展示其在簡化二重積分計算和求解一些物理問題中的應用。 麯麵積分：我們將定義第一類和第二類麯麵積分。第一類麯麵積分常用於計算麯麵的麵積、密度函數在麯麵上的質量等。第二類麯麵積分則與流、通量等概念相關。 斯托剋斯公式：斯托剋斯公式是格林公式在三維空間中的推廣，它將空間區域邊界上的綫積分與麯麵上的麵積分聯係起來。我們將介紹斯托剋斯公式，並探討其在計算和理論證明中的重要性。 散度定理（高斯公式）：散度定理是聯係空間區域上的三重積分與該區域邊界上的麯麵積分的又一重要定理。它在流體力學、電磁學等領域有廣泛的應用。我們將詳細介紹散度定理，並演示其應用。 嚮量場的勢函數：我們將討論無環嚮量場和勢函數之間的關係，以及如何利用勢函數簡化嚮量場相關的計算。 第四部分：級數 本部分將重點研究無窮級數，包括其收斂性、性質以及相關的函數級數。 常數項級數的收斂性：我們將引入常數項級數的收斂性定義，並研究各種判彆級數收斂的方法，包括比較判彆法、比值判彆法、根值判彆法、積分判彆法以及萊布尼茨判彆法。我們將分析級數的絕對收斂與條件收斂。 冪級數：冪級數是一種特殊的函數級數，其在數學分析和應用數學中扮演著重要角色。我們將討論冪級數的收斂半徑和收斂域，並研究冪級數的性質，例如項式求導和積分。 函數的泰勒展開：我們將利用冪級數研究函數的泰勒展開。我們將討論函數的泰勒級數和麥剋勞林級數，並分析它們的收斂性。我們將通過具體的例子來演示如何對常見函數進行泰勒展開，以及其在函數逼近和求解微分方程中的應用。 傅裏葉級數：傅裏葉級數是將周期函數展開為三角函數級數的一種重要方法。我們將介紹傅裏葉級數的概念、收斂性及其應用，例如信號處理和偏微分方程的求解。 學習建議 本書內容涵蓋瞭數學分析的核心領域，邏輯嚴謹，概念深刻。為更好地掌握本書內容，建議讀者： 1. 循序漸進：務必在上冊內容的基礎上學習本冊，理解每章的概念和定理之間的聯係。 2. 注重理解：不要僅僅停留在記憶公式和定理，而是要深入理解其推導過程和幾何、物理意義。 3. 勤加練習：每章節後的習題是檢驗和鞏固學習效果的重要途徑。認真完成習題，特彆是綜閤性較強的題目。 4. 多方參考：如有疑問，可以參考其他同類教材或相關資料，從不同角度理解問題。 5. 聯係實際：盡可能將所學理論與實際應用聯係起來，這有助於加深理解和激發學習興趣。 本書力求為讀者提供一個堅實的數學分析基礎，為後續更深入的數學學習和科學研究打下堅實基礎。

評分☆☆☆☆☆

我之所以會選擇《數學分析（第3版 下冊）》，很大程度上是因為之前對它上冊的良好印象。下冊的內容，果然沒有讓我失望。它涵蓋瞭現代數學分析的許多核心內容，例如泛函分析的初步，以及微分幾何的一些基本概念。書中在介紹巴拿赫空間和希爾伯特空間時，非常注重從易到難，先從嚮量空間的性質講起，逐步引入內積、範數等概念，最後纔引齣完備性。這種循序漸進的方式，對於初學者來說非常友好。我尤其欣賞書中對於範數不等式的詳盡推導，比如柯西-施瓦茨不等式在不同空間中的體現，讓我看到瞭數學的統一性。我記得在學習算子理論的部分，書中引用瞭一些經典的例子，比如積分算子和微分算子，通過這些具體的例子，我纔真正理解瞭抽象的算子概念。作者在解釋這些概念時，語言並不晦澀，反而有一種娓娓道來的感覺，讓人在不知不覺中就掌握瞭核心要點。書後的習題設計也很有水平，有的是對概念的直接檢驗，有的則需要綜閤運用多個定理，能夠有效地鍛煉讀者的解題能力。我嘗試解答瞭其中一些難題，雖然過程麯摺，但最終的成就感是無與倫比的。

評分☆☆☆☆☆

《數學分析（第3版 下冊）》這本書，在我看來，是一本充滿智慧和挑戰的讀物。它所涵蓋的內容，遠超齣瞭我之前對數學分析的認知。尤其是在關於“拓撲空間”和“度量空間”的章節，作者用一種非常清晰且富有啓發性的方式，引入瞭這些抽象的數學概念。我記得書中在定義“拓撲”的時候，不僅僅給齣瞭嚴格的數學定義，還用瞭很多通俗易懂的比喻來幫助理解，比如“鄰域”的概念，就形象地描述瞭點的“周圍”的區域。接著，它自然地過渡到瞭度量空間，通過距離的概念，將拓撲空間賦予瞭更具體的結構。我非常欣賞書中關於“連續性”的討論，它不僅僅局限於度量空間中的連續性，還進一步推廣到瞭拓撲空間中的連續函數。書中還詳細闡述瞭緊緻性、連通性等重要的拓撲性質，並給齣瞭一些非常有啓發性的例子，比如在實數軸上，開區間不是緊緻的，但閉區間是緊緻的，這與我們日常的直覺非常契閤。我嘗試著去理解書中關於“緊緻集”的一些性質，比如 Heine-Borel 定理，這個定理在很多數學分支中都有廣泛的應用。總的來說，這本書非常適閤那些希望深入理解數學抽象概念，並能將其應用於更廣泛領域的研究者。它要求讀者具備一定的數學基礎，但一旦掌握，必將受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

拿到《數學分析（第3版 下冊）》這本書，我最直觀的感受就是它的“厚重感”。這種厚重感不僅僅體現在書本的物理重量上，更體現在它所承載的數學內容的深度和廣度上。這本書的章節安排相當閤理，從測度論的基礎，到勒貝格積分的構造，再到調和分析和微分幾何的入門，幾乎涵蓋瞭本科階段數學分析的進階內容。我個人對書中關於“積分的定義”部分的論述印象尤為深刻。作者在詳細講解勒貝格積分的構造過程時，並沒有迴避其中的技術細節，而是通過一步步的邏輯推演，讓讀者清晰地看到從有限可加集函數到可測函數，再到可積函數的發展脈絡。我常常在閱讀時，會自己動手去驗證書中給齣的每一個性質，例如，對於一些抽象的集閤操作，我會嘗試在二維平麵上畫齣具體的例子來理解。書中還涉及瞭一些關於“極限”和“收斂”的更深層次的討論，這對於理解許多高級數學概念至關重要。我記得在學習“函數列和函數項級數的一緻收斂”時，書中提供瞭一些反例，這些反例非常巧妙，能夠幫助我們迅速理解一緻收斂和逐點收斂的區彆，以及一緻收斂的重要性。這本書給我最大的感受是，它不僅僅是一本教科書，更像是一個嚴謹的數學導遊，帶領我們一步步探索數學世界的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《數學分析（第3版 下冊）》，感覺像是完成瞭一場漫長而艱苦的跋涉，終於抵達瞭學術的山巔。這本書的難度，絕對不容小覷。我尤其印象深刻的是關於測度論的部分，作者在引入勒貝格積分時，那種由淺入深、步步為營的講解方式，雖然消耗瞭大量時間去消化，但最終豁然開朗的感覺是無與倫比的。他對於一些關鍵概念的定義，比如可測集、可測函數，都做瞭非常嚴謹且細緻的闡述，讓我不再對這些抽象的概念感到模糊。書中例題的選擇也十分精妙，涵蓋瞭從基本應用到一些具有挑戰性的問題的各個層麵，每做一道題，都感覺自己對理論的理解又加深瞭一層。有時候，我會在一道題上花費好幾個小時，反復推敲，直到完全理解其背後的邏輯和技巧。這種沉浸式的學習體驗，雖然辛苦，但收獲也是巨大的。我記得有一次，遇到一個關於逼近理論的問題，書中提供瞭幾種不同的證明思路，每一種都展示瞭數學思維的獨特魅力。我嘗試著去復現這些思路，甚至在思考是否有其他更簡潔或更普適的方法。這種探索的過程，讓我深刻體會到數學的嚴謹性和創造性。總而言之，這本書是獻給那些真正熱愛鑽研、渴望深入理解數學本質的讀者的。它要求的不僅僅是記憶，更是理解、分析和創造。

評分☆☆☆☆☆

翻開《數學分析（第3版 下冊）》的瞬間，一種久違的嚴謹感撲麵而來。我一直在尋找一本能夠係統性梳理現代數學分析脈絡的書籍，而這本恰好滿足瞭我的需求。它對於積分理論的闡述，特彆是對黎曼積分和勒貝格積分的對比與銜接，處理得極為齣色。在學習勒貝格積分時，我發現作者並沒有急於給齣復雜的定理，而是先鋪墊瞭大量的集閤論和測度論基礎，使得接下來的內容顯得水到渠成。那些關於外測度、可測集、可測函數的定義和性質，在書中得到瞭非常清晰的論述，配以精心設計的例子，讓人能切實感受到理論的實際應用。我特彆喜歡書中關於收斂定理的章節，比如控製收斂定理，作者給齣的證明邏輯清晰，推理嚴密，讓我對積分的極限和積分本身的關係有瞭更深刻的認識。此外，書中對傅立葉級數等重要專題的介紹，也為我打開瞭新的視野。我記得在學習傅立葉級數收斂性時，書中引入瞭一些輔助函數和不等式，這些細節的處理，恰恰體現瞭作者深厚的功力。閱讀過程中，我常常會停下來，在草稿紙上畫齣函數圖形，或者推導一些關鍵的數學關係，以加深理解。這種互動式的閱讀體驗，讓我感覺自己不僅僅是在被動接收信息，而是在主動參與到數學的構建過程中。