数学分析（第3版 下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋 编

图书标签:

• 数学分析
• 微积分
• 高等数学
• 实分析
• 函数
• 极限
• 连续
• 微分
• 积分
• 数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040207439

版次：3

商品编码：12273946

包装：平装

丛书名： “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材

开本：32开

出版时间：2007-04-01

用纸：胶版纸

页数：410

字数：340000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学分析》在1983年出版的第二版的基础上做了全面修订。修订的重点是概念的叙述和定理的论证以及某些章节内部结构的调整，同时，所有章节在文字上都重新梳理了一遍。
　　《数学分析》分上下两册，《数学分析（第3版 下册）》是其中的下册，由欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编，内容为数项级数和反常积分、函数项级数、多元函数的极限论、多变量微分学、含参变量的积分和反常积分、多变量积分学。
　　《数学分析（第3版 下册）》可作为一般院校数学类专业的教材，也可作为工科院校以及经济管理类院系中数学要求较高的专业的数学教材。

内页插图

目录

第三篇 级数
第一部分 数项级数和反常积分
第九章 数项级数
§1 预备知识：上极限和下极限
习题
§2 级数的收敛性及其基本性质
习题
§3 正项级数
习题
§4 任意项级数
一、绝对收敛和条件收敛
二、交错级数
三、阿贝尔（Abel）判别法和狄利克雷判别法
习题
§5 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质
习题
§6 无穷乘积
习题
第十章 反常积分
§1 无穷限的反常积分
一、无穷限反常积分的概念
二、无穷限反常积分和数项级数的关系
三、无穷限反常积分的收敛性判别法
四、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
习题
§2 无界函数的反常积分
一、无界函数反常积分的概念，柯西判别法
二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
三、反常积分的主值
习题
第二部分 函数项级数
第十一章 函数项级数、幂级数
§1 函数项级数的一致收敛
一、函数项级数的概念
二、一致收敛的定义
三、一致收敛级数的性质
四、一致收敛级数的判别法
习题
§2 幂级数
一、收敛半径
二、幂级数的性质
三、函数的幂级数展开
习题
§3 逼近定理
习题
第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换
§1 函数的傅里叶级数展开
一、傅里叶级数的引进
……

第四篇 多变量微积分学
第一部分 多元函数的极限论
第十三章 多元函数的极限与连续
第二部分 多变量微分学
第十四章 偏导数和全微分
第十五章 极值和条件极值
第十六章 隐函数存在定理、函数相关
第三部分 含参变量的积分和反常积分
第十七章 含参变量的积分
第十八章 含参变量的反常积分
第四部分 多变量积分学
第十九章 积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质
第二十章 重积分的计算及应用
第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算
第二十二章 各种积分间的联系和场论初步

附录 向量值函数的导数
索引

《数学分析（第3版 下册）》 内容概要 本书为《数学分析》第三版的下册，承接上册内容，深入探讨了数学分析的核心概念与理论，旨在为读者构建一个严谨、系统且富有洞察力的数学分析知识体系。本书在保留经典数学分析精髓的同时，融入了现代数学发展的新视角和新方法，力求使内容既具深度又富于时代感。 第一部分：多变量微分学 本部分将视角从一维空间拓展至多维空间，系统介绍多变量函数及其相关的微分理论。 多变量函数：首先，我们将定义和探讨多变量函数的概念，包括定义域、值域、图像等基本属性。我们将研究各种常见的多变量函数，例如多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数以及它们的复合函数。重点在于理解这些函数在多维空间中的行为，以及它们的连续性。 极限与连续性：多变量函数的极限是理解其行为的关键。我们将引入多变量函数的极限定义，并探讨其性质，例如极限的唯一性、四则运算等。在此基础上，我们将深入研究多变量函数的连续性概念，包括点连续、一致连续以及连续性在开集、闭集上的性质。我们将分析不连续点的类型和行为，并通过具体的例子来说明。 偏导数：多变量函数的一阶偏导数是衡量函数在特定方向上变化率的重要工具。我们将定义偏导数，并计算各种函数的偏导数。我们将讨论偏导数的几何意义，例如切平面和法向量的计算。 全微分与方向导数：全微分是描述多变量函数在某一点的总体变化量的概念，它比偏导数更能反映函数在局部区域的性质。我们将给出全微分的定义，并给出判别全微分存在的充当条件。在此基础上，我们将引入方向导数，它描述了函数沿着任意方向的变化率，并展示了方向导数与梯度之间的关系。 高阶偏导数与混合偏导数：我们将研究高阶偏导数的概念，并重点分析混合偏导数。我们将引入 Clairaut 定理，该定理阐述了在特定条件下，混合偏导数相等。这将为我们后续的泰勒展开等内容奠定基础。 多元函数的泰勒公式：类比于单变量函数，我们将推广泰勒公式至多元函数。我们将推导多元函数的泰勒公式，并讨论其在函数逼近、极值问题分析等方面的应用。 极值问题：多变量函数的极值问题是其重要应用之一。我们将介绍求极值的必要条件（驻点）和充分条件（二阶偏导数判别法）。我们将详细分析函数的局部极值和全局极值，并探讨约束条件下的极值问题，为引入拉格朗日乘数法做准备。 隐函数与反函数定理：隐函数定理是数学分析中的一个重要定理，它允许我们处理不能显式表达的函数。我们将深入理解隐函数定理的含义和应用，包括确定隐函数的导数。反函数定理则保证了在某些条件下，函数存在反函数。 第二部分：多重积分 本部分将积分的概念从单变量函数推广到多变量函数，涵盖二重积分、三重积分及其应用。 二重积分的概念与性质：我们将从黎曼和的角度出发，定义二重积分，并探讨其几何意义，例如曲顶曲面的体积。我们将讨论二重积分的性质，例如线性性质、可加性以及在对称区域上的简化计算。 二重积分的计算：我们将介绍计算二重积分的两种基本方法：直角坐标系下的累次积分和极坐标系下的积分。我们将详细讲解如何根据积分区域的形状选择合适的坐标系和积分次序。 二重积分的应用：二重积分在几何和物理中有广泛的应用，例如计算平面区域的面积、计算旋转体的体积、计算平面薄片的质量、计算质心和转动惯量等。我们将通过具体的例子来演示这些应用。 三重积分的概念与性质：我们将类似地定义三重积分，并探讨其几何意义，例如空间区域的体积。我们将讨论三重积分的性质，并介绍计算三重积分的方法，包括直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的累次积分。 三重积分的应用：三重积分在物理学中有重要的应用，例如计算空间物体的质量、质心、转动惯量，以及流体的密度分布和总质量等。 变量替换公式：对于多重积分，变量替换是简化计算的重要手段。我们将推广单变量函数的变量替换思想至多重积分，引入雅可比行列式，并推导出多重积分的变量替换公式。我们将通过具体例子展示如何运用此公式化简积分。 第三部分：向量微积分 本部分将数学分析的工具应用于向量场，研究向量场的性质及其在空间中的行为。 曲线积分：我们将引入第一类和第二类曲线积分的概念。第一类曲线积分主要用于计算曲线的长度、密度函数在曲线上的质量等。第二类曲线积分则与功、流量等物理概念密切相关。 格林公式：格林公式是连接平面区域上的二重积分与区域边界上的曲线积分的重要定理。我们将详细推导格林公式，并展示其在简化二重积分计算和求解一些物理问题中的应用。 曲面积分：我们将定义第一类和第二类曲面积分。第一类曲面积分常用于计算曲面的面积、密度函数在曲面上的质量等。第二类曲面积分则与流、通量等概念相关。 斯托克斯公式：斯托克斯公式是格林公式在三维空间中的推广，它将空间区域边界上的线积分与曲面上的面积分联系起来。我们将介绍斯托克斯公式，并探讨其在计算和理论证明中的重要性。 散度定理（高斯公式）：散度定理是联系空间区域上的三重积分与该区域边界上的曲面积分的又一重要定理。它在流体力学、电磁学等领域有广泛的应用。我们将详细介绍散度定理，并演示其应用。 向量场的势函数：我们将讨论无环向量场和势函数之间的关系，以及如何利用势函数简化向量场相关的计算。 第四部分：级数 本部分将重点研究无穷级数，包括其收敛性、性质以及相关的函数级数。 常数项级数的收敛性：我们将引入常数项级数的收敛性定义，并研究各种判别级数收敛的方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法以及莱布尼茨判别法。我们将分析级数的绝对收敛与条件收敛。 幂级数：幂级数是一种特殊的函数级数，其在数学分析和应用数学中扮演着重要角色。我们将讨论幂级数的收敛半径和收敛域，并研究幂级数的性质，例如项式求导和积分。 函数的泰勒展开：我们将利用幂级数研究函数的泰勒展开。我们将讨论函数的泰勒级数和麦克劳林级数，并分析它们的收敛性。我们将通过具体的例子来演示如何对常见函数进行泰勒展开，以及其在函数逼近和求解微分方程中的应用。 傅里叶级数：傅里叶级数是将周期函数展开为三角函数级数的一种重要方法。我们将介绍傅里叶级数的概念、收敛性及其应用，例如信号处理和偏微分方程的求解。 学习建议 本书内容涵盖了数学分析的核心领域，逻辑严谨，概念深刻。为更好地掌握本书内容，建议读者： 1. 循序渐进：务必在上册内容的基础上学习本册，理解每章的概念和定理之间的联系。 2. 注重理解：不要仅仅停留在记忆公式和定理，而是要深入理解其推导过程和几何、物理意义。 3. 勤加练习：每章节后的习题是检验和巩固学习效果的重要途径。认真完成习题，特别是综合性较强的题目。 4. 多方参考：如有疑问，可以参考其他同类教材或相关资料，从不同角度理解问题。 5. 联系实际：尽可能将所学理论与实际应用联系起来，这有助于加深理解和激发学习兴趣。 本书力求为读者提供一个坚实的数学分析基础，为后续更深入的数学学习和科学研究打下坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

《数学分析（第3版 下册）》这本书，在我看来，是一本充满智慧和挑战的读物。它所涵盖的内容，远超出了我之前对数学分析的认知。尤其是在关于“拓扑空间”和“度量空间”的章节，作者用一种非常清晰且富有启发性的方式，引入了这些抽象的数学概念。我记得书中在定义“拓扑”的时候，不仅仅给出了严格的数学定义，还用了很多通俗易懂的比喻来帮助理解，比如“邻域”的概念，就形象地描述了点的“周围”的区域。接着，它自然地过渡到了度量空间，通过距离的概念，将拓扑空间赋予了更具体的结构。我非常欣赏书中关于“连续性”的讨论，它不仅仅局限于度量空间中的连续性，还进一步推广到了拓扑空间中的连续函数。书中还详细阐述了紧致性、连通性等重要的拓扑性质，并给出了一些非常有启发性的例子，比如在实数轴上，开区间不是紧致的，但闭区间是紧致的，这与我们日常的直觉非常契合。我尝试着去理解书中关于“紧致集”的一些性质，比如 Heine-Borel 定理，这个定理在很多数学分支中都有广泛的应用。总的来说，这本书非常适合那些希望深入理解数学抽象概念，并能将其应用于更广泛领域的研究者。它要求读者具备一定的数学基础，但一旦掌握，必将受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

我之所以会选择《数学分析（第3版 下册）》，很大程度上是因为之前对它上册的良好印象。下册的内容，果然没有让我失望。它涵盖了现代数学分析的许多核心内容，例如泛函分析的初步，以及微分几何的一些基本概念。书中在介绍巴拿赫空间和希尔伯特空间时，非常注重从易到难，先从向量空间的性质讲起，逐步引入内积、范数等概念，最后才引出完备性。这种循序渐进的方式，对于初学者来说非常友好。我尤其欣赏书中对于范数不等式的详尽推导，比如柯西-施瓦茨不等式在不同空间中的体现，让我看到了数学的统一性。我记得在学习算子理论的部分，书中引用了一些经典的例子，比如积分算子和微分算子，通过这些具体的例子，我才真正理解了抽象的算子概念。作者在解释这些概念时，语言并不晦涩，反而有一种娓娓道来的感觉，让人在不知不觉中就掌握了核心要点。书后的习题设计也很有水平，有的是对概念的直接检验，有的则需要综合运用多个定理，能够有效地锻炼读者的解题能力。我尝试解答了其中一些难题，虽然过程曲折，但最终的成就感是无与伦比的。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《数学分析（第3版 下册）》，感觉像是完成了一场漫长而艰苦的跋涉，终于抵达了学术的山巅。这本书的难度，绝对不容小觑。我尤其印象深刻的是关于测度论的部分，作者在引入勒贝格积分时，那种由浅入深、步步为营的讲解方式，虽然消耗了大量时间去消化，但最终豁然开朗的感觉是无与伦比的。他对于一些关键概念的定义，比如可测集、可测函数，都做了非常严谨且细致的阐述，让我不再对这些抽象的概念感到模糊。书中例题的选择也十分精妙，涵盖了从基本应用到一些具有挑战性的问题的各个层面，每做一道题，都感觉自己对理论的理解又加深了一层。有时候，我会在一道题上花费好几个小时，反复推敲，直到完全理解其背后的逻辑和技巧。这种沉浸式的学习体验，虽然辛苦，但收获也是巨大的。我记得有一次，遇到一个关于逼近理论的问题，书中提供了几种不同的证明思路，每一种都展示了数学思维的独特魅力。我尝试着去复现这些思路，甚至在思考是否有其他更简洁或更普适的方法。这种探索的过程，让我深刻体会到数学的严谨性和创造性。总而言之，这本书是献给那些真正热爱钻研、渴望深入理解数学本质的读者的。它要求的不仅仅是记忆，更是理解、分析和创造。

评分☆☆☆☆☆

拿到《数学分析（第3版 下册）》这本书，我最直观的感受就是它的“厚重感”。这种厚重感不仅仅体现在书本的物理重量上，更体现在它所承载的数学内容的深度和广度上。这本书的章节安排相当合理，从测度论的基础，到勒贝格积分的构造，再到调和分析和微分几何的入门，几乎涵盖了本科阶段数学分析的进阶内容。我个人对书中关于“积分的定义”部分的论述印象尤为深刻。作者在详细讲解勒贝格积分的构造过程时，并没有回避其中的技术细节，而是通过一步步的逻辑推演，让读者清晰地看到从有限可加集函数到可测函数，再到可积函数的发展脉络。我常常在阅读时，会自己动手去验证书中给出的每一个性质，例如，对于一些抽象的集合操作，我会尝试在二维平面上画出具体的例子来理解。书中还涉及了一些关于“极限”和“收敛”的更深层次的讨论，这对于理解许多高级数学概念至关重要。我记得在学习“函数列和函数项级数的一致收敛”时，书中提供了一些反例，这些反例非常巧妙，能够帮助我们迅速理解一致收敛和逐点收敛的区别，以及一致收敛的重要性。这本书给我最大的感受是，它不仅仅是一本教科书，更像是一个严谨的数学导游，带领我们一步步探索数学世界的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

翻开《数学分析（第3版 下册）》的瞬间，一种久违的严谨感扑面而来。我一直在寻找一本能够系统性梳理现代数学分析脉络的书籍，而这本恰好满足了我的需求。它对于积分理论的阐述，特别是对黎曼积分和勒贝格积分的对比与衔接，处理得极为出色。在学习勒贝格积分时，我发现作者并没有急于给出复杂的定理，而是先铺垫了大量的集合论和测度论基础，使得接下来的内容显得水到渠成。那些关于外测度、可测集、可测函数的定义和性质，在书中得到了非常清晰的论述，配以精心设计的例子，让人能切实感受到理论的实际应用。我特别喜欢书中关于收敛定理的章节，比如控制收敛定理，作者给出的证明逻辑清晰，推理严密，让我对积分的极限和积分本身的关系有了更深刻的认识。此外，书中对傅立叶级数等重要专题的介绍，也为我打开了新的视野。我记得在学习傅立叶级数收敛性时，书中引入了一些辅助函数和不等式，这些细节的处理，恰恰体现了作者深厚的功力。阅读过程中，我常常会停下来，在草稿纸上画出函数图形，或者推导一些关键的数学关系，以加深理解。这种互动式的阅读体验，让我感觉自己不仅仅是在被动接收信息，而是在主动参与到数学的构建过程中。