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Liqun Qi & Haibin Chen... 著

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出版社： Springer

ISBN：9789811080579

商品编码：29204949798

包装：精装

外文名称：Tensor Eigenvalues and...

出版时间：2018-04-17

页数：329

正文语种：英语

图书基本信息

Tensor Eigenvalues and Their Applications
作者： Liqun Qi;Haibin Chen;Yannan Chen;
ISBN13： 9789811080579
类型： 精装(精装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2018-04-17
出版社： Springer
页数： 329
重量（克）： 657
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 2.0574 cm

商品简介

It also addresses higher-order diffusion tensor imaging, third-order symmetric and traceless tensors in liquid crystals, piezoelectric tensors, strong ellipticity for elasticity tensors, and higher-order tensors in quantum physics.

隐秘的结构：现代数学中的拓扑学与几何学的交汇 书籍简介 本书深入探讨了现代数学中两个核心分支——拓扑学与微分几何——的深刻联系及其在解决复杂问题中的强大能力。我们并非聚焦于矩阵或张量代数，而是将读者的视野引向了对空间形态、连续形变以及内在结构的研究。本书旨在为数学、物理以及相关工程领域的学者和高级学生提供一套严谨且富有洞察力的导览，揭示空间本质的深层奥秘。 第一部分：拓扑学的基石与不变量 第一部分奠定了理解空间“形状”的拓扑学基础。拓扑学，常被称为“橡皮泥几何学”，关注的是在拉伸、弯曲或扭曲而不撕裂或粘合的前提下保持不变的性质。 第一章：拓扑空间的严谨定义与基本概念 本章从点集拓扑学出发，严格定义了拓扑空间。我们将讨论开集、闭集、邻域、紧致性、连通性等核心概念。尤其关注紧致性和连通性的拓扑概念，它们是后续分析的基础，例如，在讨论函数空间时，紧致性保证了极限过程的有效性。我们将通过大量的例子来区分“欧几里得几何”中的距离概念与“拓扑结构”中的邻近概念。 第二章：同伦与同调：代数拓扑的序曲 这是本书的核心代数拓扑部分。我们引入同伦群（$pi_n(X)$），研究如何通过路径来探测空间的“洞”。我们将详细阐述基本群（$pi_1$）如何分类具有一个洞的结构，例如环面与球面之间的差异。随后，我们将过渡到同调理论，重点介绍奇异同调（Singular Homology）和胞腔同调（CW Homology）。同调群提供了更易于计算的拓扑不变量，能够系统地描述高维“孔洞”。我们将展示如何计算简单的拓扑空间（如球体、圆环、射影平面）的同调群，并解释贝蒂数（Betti Numbers）的几何意义。 第三章：纤维丛与主丛：局部到全局的桥梁 本章将拓扑学的抽象概念与几何结构的构造联系起来。纤维丛是现代几何学中的基本构件。我们将定义向量丛、纤维丛和主丛，重点研究如何通过纤维丛的结构群（Structure Group）来理解其几何特性。例如，理解切丛（Tangent Bundle）如何编码了流形上的方向信息，以及法丛（Normal Bundle）在嵌入理论中的作用。我们将探讨庞加莱对偶定理（Poincaré Duality）在同调理论中的应用，它揭示了流形上不同维度的同调群之间的深刻对偶关系。 第二部分：微分几何的尺度与曲率 第二部分转向微分几何，即研究在局部具有欧几里得结构的可微空间——光滑流形。在这里，我们引入了度量、曲率和黎曼几何的概念，允许我们谈论“距离”和“弯曲”。 第四章：光滑流形与张量场 本章首先建立光滑流形的数学框架，包括坐标图集、转移函数和光滑性定义。随后，我们将细致地讲解张量场——协变张量和反变张量。我们详细区分张量场与普通向量场或函数，强调张量作为线性映射的本质。我们将引入指标记号（如爱因斯坦求和约定）和协变导数（Covariant Derivative），这是在弯曲空间中定义“微分”的必要工具。 第五章：黎曼度量与测地线 黎曼几何的核心在于度量张量 $g_{ij}$。本章将 $g_{ij}$ 视为一种工具，允许我们在流形上定义内积、长度和角度。我们将推导出克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols），并展示如何利用它们定义测地线方程——流形上“最短路径”的广义形式。我们将探讨测地线的完备性问题，以及它们如何反映流形的整体几何结构。 第六章：曲率的几何解释 曲率是衡量空间偏离平坦程度的量度。本章聚焦于黎曼曲率张量 $R_{ijkl}$。我们将从高斯曲率（Gauss Curvature）在二维曲面上的直观概念出发，推广到任意维度的黎曼曲率。我们将详细介绍黎奇曲率（Ricci Curvature）及其在爱因斯坦场方程中的作用，以及斯卡拉曲率（Scalar Curvature）的定义。我们还将讨论曲率的积分形式，如高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem），这是连接拓扑不变量（如欧拉示性数）与几何量（如曲率）的桥梁。 第三部分：几何分析与应用交叉 第三部分将前两部分的概念融合，探讨几何分析中的关键工具，特别是调和分析在流形上的推广，以及拓扑与几何在特定物理模型中的体现。 第七章：Hodge理论与德拉姆上同调 本章是拓扑学与微分形式（微分几何中的“度量”信息载体）的完美结合。我们将定义微分形式 $omega$ 和外微分 $d$，并建立德拉姆复形。核心在于德拉姆上同调群 $H_{dR}^k(M)$ 的构造。我们将深入讲解Hodge分解定理，它指出在黎曼流形上，任何微分形式都可以唯一地分解为一个闭形式、一个共轭的精确形式和一个调和形式（Harmonic Form）。调和形式的数目直接对应于流形的某些拓扑特征（如贝蒂数），证明了德拉姆上同调与奇异同调的同构（De Rham's Theorem）。 第八章：测地流与动力系统 我们将视角转向流形上的运动。本章研究测地线流（Geodesic Flow）——在切丛上定义的动力系统。我们探讨测地线的稳定性、周期性，以及在曲率影响下的行为，例如在负曲率空间中相邻测地线的指数级分离（体现了混沌的几何起源）。本章还简要涉及李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）在对称性结构下的几何应用。 总结 本书不追求对线性代数中的具体数值计算，而是致力于构建一个理解空间连续形态、内在结构和曲率效应的抽象但实用的数学框架。它强调了代数工具（如群论、同调论）如何精确地量化几何属性（如洞的数量、弯曲的程度），为研究更高维空间、物理场以及复杂的几何对象提供了不可或缺的工具集。读者将掌握从拓扑空间的非度量分类到黎曼流形的度量微分分析的完整路径。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁而富有张力，封面上那深邃的蓝色调仿佛预示着一场深入数学核心的旅程。拿到书的时候，厚重的手感让人立刻感受到作者在内容上的投入与严谨。我尤其欣赏它在理论阐述上的细腻之处，作者并非只是简单地罗列公式和定理，而是花了大篇幅去构建一个清晰的逻辑框架，循序渐进地引导读者理解那些看似抽象的概念是如何在实际问题中生根发芽的。比如，在介绍矩阵分解的基础部分，作者通过一系列生动的几何解释，将高维空间的旋转与拉伸过程可视化，这对于我这种偏爱直观理解的读者来说，简直是醍醐灌顶。全书的排版也极为考究，数学符号的间距处理得恰到好处，阅读起来非常流畅，很少有因为排版混乱而需要反复揣摩的困扰。阅读过程中，我感觉自己仿佛有了一位耐心且知识渊博的导师在身边，随时准备解答那些隐藏在公式背后的深层含义。这本书无疑是为那些希望扎实掌握数学工具，而非仅仅停留在表面应用的研究者量身定做的精品。

评分☆☆☆☆☆

本书最让我感到惊喜的是，它在处理计算复杂性问题时所采取的独特视角。许多教材在讲授数值方法时，往往会直接给出算法步骤，而本书则花了大量篇幅去剖析为什么某些特定的迭代方法在理论上是收敛的，以及它们在面对病态矩阵（ill-conditioned matrices）时的局限性。作者没有回避这些“不完美”的现实问题，反而将其作为深入理解理论深层次含义的切入点。例如，书中对瑞利商（Rayleigh quotient）的讨论，不仅限于其定义，更深入探讨了它在数值优化中的稳定性边界。这种“知其然更要知其所以然”的教学态度，极大地培养了读者的批判性思维。通过这本书，我学会了在实际计算中，如何根据问题的特性，审慎地选择最合适的数学工具，而不是盲目地套用公式。这使得本书的价值远远超出了纯粹的数学理论范畴，直接赋能了我的工程实践能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格是那种沉稳而又不失活力的类型。它不像某些教科书那样干巴巴地堆砌定义，作者在关键的转折点会插入一些富有哲理性的评述，这些评述往往能帮助读者跳出具体的计算细节，从更高的维度去审视整个数学体系的结构之美。例如，在探讨特征值与系统稳定性关系的那一章，作者对“不变子空间”的阐述，几乎可以当作一篇独立的数学哲学小品来阅读，它探讨了“不变性”在动态系统中的重要性，并将其与物理世界的守恒律巧妙地联系起来。这种将严谨的数学推理与深刻的洞察力相结合的写作方式，极大地提升了阅读的体验。我发现自己不再是被动地接受知识，而是在与作者进行一场高水平的智力对话。对于那些追求学术深度和思想深度的读者来说，这本书带来的精神满足感是其他同类书籍难以比拟的。

评分☆☆☆☆☆

不得不提的是，本书在章节安排上的匠心独运，它巧妙地平衡了理论的深度与应用的广度。第一部分建立起坚实的代数基础，确保读者不会在后续的高级主题中感到力不从心。然而，真正让我眼前一亮的是书中对“应用”部分的深入挖掘。作者没有满足于介绍经典的应用场景，而是引入了一些相当前沿的案例，比如在复杂网络拓扑分析中的某种特定谱方法，以及在信号处理中利用特征值来识别系统固有模式的精妙技巧。这些内容并非是简单地引用文献，而是经过了作者的重新组织和提炼，使得原本可能非常晦涩的工程问题，通过数学的语言被阐述得清晰有力。尤其欣赏作者在每个应用实例后都留有“思考题”或“拓展阅读”，这极大地激发了我主动探索的欲望，让我不仅仅是“学完”了知识，更是学会了如何“运用”和“创新”。这是一本能真正提升解决问题能力的工具书，而不是一本只能束之高阁的参考手册。

评分☆☆☆☆☆

从编辑和装帧的角度来看，这本书绝对称得上是一流的作品。纸张的选择非常考究，光滑却不反光，长时间阅读眼睛也不会感到疲劳，这对于需要长时间沉浸在复杂公式中的读者来说至关重要。装订工艺牢固，即使我频繁地将书页翻到极限去对照前后文，也没有出现松散的迹象，可见出版方在质量控制上投入了极大的精力。此外，书中附带的索引做得非常详尽，几乎可以达到“即时查找”的级别，这对于经常需要回顾特定概念的研究工作者而言，是节省了宝贵时间的一大福利。很多技术书籍在索引上总是敷衍了事，但这本书的索引系统，其深度和颗粒度，体现了对读者需求的深刻理解。总而言之，这不仅仅是一本知识的载体，更是一件制作精良的学术工艺品，值得被珍藏和反复研读。