具体描述
基本信息
书名：新编初等数学选读
定价：39.20元
作者：宋乃庆
出版社：高等教育出版社
出版日期：2007-12-01
ISBN：9787040225419
字数：590000
页码：482
版次：1
装帧：平装
开本：16开
商品重量：0.599kg
编辑推荐
内容提要
本书由初等代数、初等数论、初等几何、统计与概率初步等有关方面的知识构成，并有机地整合了部分近、现代数学的内容，如数列极限、函数极限、几何变换、球面几何初步。本书还增设了专题讨论、抽屉原则、面积方法、一笔画和图、数学建模、统筹方法。
本书通俗易懂，便于自学。每节有学习提要，每章有自我小结，还配有的练习和习题。
本书是高师院校小学教育本科专业和小学数学教师继续教育的初等数学教材，也是数学爱好的有益读本。
目录
作者介绍
文摘
序言
《解析几何入门：从基本概念到立体图形的探索》 本书旨在为初学者提供一个全面而深入的解析几何学习体验。我们摒弃了枯燥乏味的公式堆砌，转而以直观的几何意义和严谨的逻辑推理相结合的方式，带领读者一步步走近解析几何的奇妙世界。从二维平面上的点、直线、圆的方程出发，逐步拓展到三维空间中的曲线、曲面，直至更复杂的几何对象。全书结构清晰，循序渐进，力求让每一位读者都能在轻松愉悦的学习氛围中，掌握解析几何的核心思想和基本方法。 第一部分：二维平面上的基础构建 在第一部分，我们将从最基础的概念入手，为读者打下坚实的解析几何根基。 第一章：直角坐标系与点的表示 回顾：数轴与数轴上的点 我们首先会简要回顾数轴的概念，理解数轴上每个点都唯一对应一个实数，反之亦然。这是理解二维坐标系的基础。 引入：二维直角坐标系 我们将生动地介绍笛卡尔坐标系，即两条相互垂直的直线（x轴和y轴）相交于原点构成的平面。详细解释横坐标（x坐标）和纵坐标（y坐标）的含义，以及如何使用有序数对 $(x, y)$ 来唯一确定平面上的一个点。 点的几何意义与代数表示的联系 通过大量的实例，我们将强调点的几何位置与其代数坐标之间的对应关系。例如，点 $(2, 3)$ 在第一象限，距离x轴的距离是3，距离y轴的距离是2。 象限的划分与点的符号规律 清晰地解释坐标轴如何将平面划分为四个象限，以及不同象限中点的坐标符号规律。 特殊位置的点的坐标 着重介绍在坐标轴上的点的坐标特征，例如x轴上的点 $(a, 0)$ 和y轴上的点 $(0, b)$。 两点间的距离公式 从勾股定理出发，推导出平面直角坐标系中任意两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间的距离公式 $d = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$。我们将通过几何图形和具体数值的计算，帮助读者理解公式的来源和应用。 线段的中点公式 在理解两点间距离的基础上，我们将推导并讲解线段中点的坐标公式，即中点 $M$ 的坐标为 $(frac{x_1+x_2}{2}, frac{y_1+y_2}{2})$。 练习与巩固 提供一系列练习题，涵盖点的表示、距离计算、中点求解等，帮助读者熟练掌握二维坐标系的基本操作。 第二章：直线方程的世界 直线的概念与斜率 重新审视直线的几何意义，并引入“斜率”这一核心概念，用于刻画直线的倾斜程度。详细解释斜率的定义 $m = frac{Delta y}{Delta x}$，以及正斜率、负斜率、零斜率和无穷斜率（垂直直线）的几何意义。 斜率在不同位置直线上的取值 通过图示，直观展示不同倾斜方向的直线对应的斜率符号和大小。 直线的点斜式方程 从已知直线上一点 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$ 出发，推导出点斜式方程 $y - y_1 = m(x - x_1)$。详细讲解方程的意义，即描述了所有满足条件的点 $(x, y)$ 的集合。 直线的斜截式方程 当直线与y轴相交于点 $(0, b)$ 时，斜截式方程 $y = mx + b$ 自然出现。解释 $b$ 为y轴截距的几何意义。 直线的两点式方程 从已知直线上两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 出发，利用斜率的定义，推导出两点式方程 $frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。 直线的截距式方程 当直线与x轴相交于点 $(a, 0)$，与y轴相交于点 $(0, b)$ 时（且 $a, b
eq 0$），截距式方程 $frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$ 简洁明了。 直线方程的一般式 将上述各种形式的直线方程统一为一般式 $Ax + By + C = 0$。讲解如何将其他形式的方程转化为一般式，以及一般式方程的特点和适用范围。 直线与直线的位置关系 深入分析两条直线 $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ 和 $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ 的位置关系（平行、相交、重合）与系数之间的关系。 点到直线的距离公式 从几何角度出发，推导出点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式 $d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$。 直线方程的应用 通过实例展示直线方程在解决实际问题中的应用，例如求交点、求解与距离相关的几何问题等。 练习与巩固 设计一系列练习，涵盖不同形式的直线方程的建立、转化、位置关系判断、以及点到直线的距离计算。 第三章：圆的几何美学 圆的定义与方程 从圆的几何定义出发：圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。以此为基础，推导出圆的标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为半径。 圆心在原点的特殊情况 当圆心为原点 $(0, 0)$ 时，圆的方程简化为 $x^2 + y^2 = r^2$。 圆的方程的一般式 将标准方程展开，得到圆的一般形式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。讲解如何通过配方法将一般式转化为标准式，从而确定圆心和半径。 直线与圆的位置关系 分析直线与圆相交、相切、相离的三种情况，并给出判断依据（通过计算圆心到直线的距离与半径的大小关系）。 圆与圆的位置关系 类比直线与直线的位置关系，分析两个圆相切、相交、内含、外离等位置关系，并给出判断依据（通过圆心距与半径和的关系）。 圆的切线方程 在理解直线与圆相切的条件下，讲解求圆的切线方程的方法，特别是切点在圆上的情况。 圆的参数方程 引入参数方程的概念，表示圆上的点 $(x, y)$ 的坐标为 $x = a + rcos heta$, $y = b + rsin heta$（其中 $ heta$ 为参数），展示参数方程在描述圆的运动或轨迹时的优势。 练习与巩固 布置包括建立圆的方程、判断直线与圆、圆与圆的位置关系、求解切线方程等多种题型，强化对圆的理解。 第二部分：三维空间的拓展 在掌握了二维平面上的基础后，我们将视野扩展到三维空间，探索更丰富的几何结构。 第四章：三维直角坐标系与空间几何 三维直角坐标系的构建 将两条垂直的坐标轴（x轴、y轴）所在的平面作为基准，引入第三条垂直于该平面的z轴，形成三维直角坐标系。解释三个坐标轴的指向以及右手螺旋法则。 空间点的表示与坐标 介绍如何使用有序数对 $(x, y, z)$ 来唯一确定空间中的一个点。 空间点之间的距离公式 将勾股定理推广到三维空间，推导出空间中两点 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$ 之间的距离公式 $d = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$。 空间中点的向量表示 引入空间向量的概念，将空间点视为从原点指向该点的向量，便于后续的向量运算。 空间几何体的初步认识 初步介绍空间中的基本几何体，如点、直线、平面，以及它们之间的关系。 练习与巩固 提供计算空间点距离、理解空间点坐标等基础练习。 第五章：空间直线方程 空间直线的方向向量 引入方向向量的概念，用于描述空间直线的方向。 空间直线的参数方程 从空间中一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 和方向向量 $vec{v} = (a, b, c)$ 出发，推导出空间直线的参数方程：$x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$，其中 $t$ 为参数。 空间直线的对称式方程 当方向向量的分量 $a, b, c$ 均不为零时，可以从参数方程消去参数 $t$，得到对称式方程 $frac{x - x_0}{a} = frac{y - y_0}{b} = frac{z - z_0}{c}$。 两条空间直线的位置关系 分析两条空间直线可能存在的平行、相交、异面、重合四种位置关系，并给出判断方法。 点到空间的距离 讲解点到空间直线的距离计算方法（利用向量叉乘或投影）。 练习与巩固 涉及空间直线方程的建立、位置关系的判断、点到直线距离的计算。 第六章：空间平面方程 平面的概念与法向量 介绍平面的几何定义，并引入“法向量”的概念，即垂直于平面的向量。 平面的点法式方程 从平面上一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 和法向量 $vec{n} = (A, B, C)$ 出发，推导出平面的点法式方程 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$。 平面的一般式方程 展开点法式方程，得到平面的一般式方程 $Ax + By + Cz + D = 0$。讲解该方程的特点和意义。 平面与平面、平面与直线的位置关系 分析平面与平面之间的平行、相交、垂直关系，以及平面与直线之间的平行、相交、垂直关系，并给出判断依据。 点到平面的距离公式 推导出点 $(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离公式 $d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$。 练习与巩固 包括建立平面方程、判断平面间及平面与直线间位置关系、计算点到平面距离等。 第三部分：曲线与曲面的初步探索 在掌握了直线和平面后，我们将目光投向更复杂的几何对象——曲线和曲面。 第七章：二次曲线的方程 圆的再认识 从二次曲线的角度回顾圆的方程，理解其作为二次曲线的一种特殊形式。 椭圆的定义、方程与几何性质 介绍椭圆的定义（两定点（焦点）的距离之和为定值），推导椭圆的标准方程 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ (当焦点在x轴时)。详细讲解长轴、短轴、焦点、离心率等几何性质。 双曲线的定义、方程与几何性质 介绍双曲线的定义（两定点（焦点）的距离之差的绝对值为定值），推导双曲线的标准方程 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ (当焦点在x轴时)。讲解渐近线、离心率等几何性质。 抛物线的定义、方程与几何性质 介绍抛物线的定义（到定点（焦点）和到定直线（准线）的距离相等），推导抛物线的标准方程 $y^2 = 2px$ 或 $x^2 = 2py$。讲解对称轴、顶点等几何性质。 二次曲线的图形识别与方程建立 通过实例，指导读者如何根据方程识别出椭圆、双曲线、抛物线，以及如何根据几何条件建立这些曲线的方程。 练习与巩固 包括识别二次曲线类型、根据性质建立方程、求解交点等。 第八章：二次曲面的初步接触 球面的方程 将三维空间中两点间距离公式与圆的方程相结合，推导出球面的标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$。 常见二次曲面简介 简要介绍其他一些常见的二次曲面，如椭球面、抛物面（椭圆抛物面、双曲抛物面）、圆锥面、柱面等，展示它们的基本方程形式和立体形状。例如，椭球面 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1$，圆锥面 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} - frac{z^2}{c^2} = 0$。 曲面与平面的交线 介绍当平面与曲面相交时，交线通常是曲线。例如，平面与球面的交线是一个圆（或点，或空集）。 练习与巩固 通过简单的图形识别和方程表示，初步体会三维空间中曲面的多样性。 本书特色： 直观化讲解： 大量运用几何图形和可视化手段，帮助读者建立空间想象能力，理解抽象的数学概念。 循序渐进的学习路径： 从二维基础到三维拓展，再到复杂的曲线曲面，每个章节都建立在前一章节的基础上，确保学习的连贯性和扎实性。 丰富的例题与练习： 每章都配有精心设计的例题和练习题，难度适中，覆盖面广，帮助读者巩固所学知识，提升解题能力。 强调数学思想： 不仅教授解题技巧，更注重引导读者理解解析几何背后的数学思想和逻辑推理过程，培养严谨的数学思维。 应用导向： 在讲解基础知识的同时，适时地穿插解析几何在其他学科和实际生活中的应用，激发读者的学习兴趣。 本书适合高中生、大学生以及对解析几何感兴趣的广大读者阅读。无论您是初次接触解析几何，还是希望系统复习和深化理解，本书都将是您理想的学习伙伴。通过本书的学习，您将能够自信地运用解析几何的工具，解决各种几何问题，并进一步探索数学的奥秘。
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