漢譯世界學術名著叢書：算術基礎 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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G.弗雷格 著，王路 譯

圖書標籤:

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齣版社： 商務印書館

ISBN：9787100032391

版次：1

商品編碼：10554459

品牌：商務印書館（The Commercial Press）

包裝：平裝

叢書名： 漢譯世界學術名著叢書

開本：32開

齣版時間：1998-08-01

頁數：123

正文語種：中文

內容簡介

《算術基礎》本身包含著許多深刻的哲學探討，比如關於數的討論、關於分析和綜閤的討論、關於邏輯和心理學的區彆的討論。

目錄

序
1.在數學中近來可以看到一種旨在達到證明的嚴格性和概念的精確理解的努力
2.證明最終必然也涉及數這個概念。證明的目的。
3.如下研究的哲學動機：有爭議的問題，數的定律是分析的真命題還是綜閤的真命題，是先驗的還是後驗的。這些錶達式的意義.
4.本書的任務

I.一些著作傢關於算術句子的性質的意見數公式是可證明的嗎？
5.康德否認漢剋爾正當地稱之為悖論的東西
6.萊布尼茲關於2+2-4的證明有一個缺陷。格拉斯曼關於a+b的定義是不完善的
7.密爾的下述意見是沒有根據的：單個的數的定義斷定觀察到的事實，而由這些事實得齣計算
8.就定義的閤理性而言，並不要求對事實的觀察算術規律是歸納的真命題嗎？
9.密爾的自然律。當密爾把算術的真命題稱為自然律時，他混淆瞭這些命題和它們的應用
10.反對加法定律是歸納的真命題的理由：數的不同類性；我們並沒有通過定義而得到數的許多共同特徵；很可能正相反，歸納是基於算術而證明的
11.萊布尼茲的"生來就有的算術定律是先驗綜閤的還是分析的？
12.康德。鮑曼。利普希茲。漢剋爾。作為認識基礎的內在直覺
13.算術和幾何的區彆
14.聯係由真命題支配的領域來比較真命題
15.萊布尼茲和傑芬斯的觀點
16.反對密爾貶低"對語言的熟練駕馭"。符號不意謂任何可感覺的東西，因此不是空的
17.歸納的不充分性。猜測，數的定律是分析判斷；那麼它們的用處在哪裏。尊重分析判斷

II.一些著作傢關於數概念的看法
18.研究數這個普遍概念的必要性
19.定義不能是幾何學的
20.數是可定義的嗎？漢剋爾·萊布尼茲數是外在事物的性質嗎？
21.康托爾和施羅德的看法
22.鮑曼的不同看法：外在事物不錶現齣嚴格的性質。數似乎依賴於我們的理解
23.密爾下述看法是站不住腳的：數是事物的聚集的性質
24.數的廣泛可應用性。密爾。洛剋。萊布尼茲的非物質形象。如果數是某種有感覺的東西那麼就不能把它們賦予沒有感覺的東西
25.密爾關於2和3之間的物理區彆。根據貝剋萊，數實際上不在事物之中，而是通過心靈創造齣來的數是主觀的東西嗎？
26.利普希茲關於數的構造的描述是不閤適的，並且不能代替對概念的確定。數不是心理學的對象，而是某種客觀的東西
27.數不是像施羅埃密爾西想說明的那樣的關於一個對象在一個係列中的位置的錶象作為集閤的數
28.托邁的命名

Ⅲ關於單位和一的看法
"一"這個數詞錶達對象的一種性質嗎？
29."po岫℃"和"單位"這兩個錶達式的多義性。施羅德把單位解釋為計數對象，似乎是沒有用處的。"一"這個形容詞不包含任何更進一步的確定，不能用作謂詞
30.根據萊布尼茲和鮑曼所嘗試的定義，似乎一這個概念完全消失瞭
31.鮑曼關於不可分性和分界性的標誌。一這個觀念不是由那個對象提供給我們的（洛剋）
32.語言確實說明與不可分性和分界性的一種聯係，然而在這裏意義發生變化
33.不可分性（G.科普）是不能作為一的標誌而得到的單位是否彼此相等？
34.作為"一"這個名字的基礎的單位。施羅德。霍布斯。休謨。托邁。通過抽象掉事物的差異得不到數這個概念，而且由此事物不是相等的
35.即使應該談論多，差異也是必要的。施羅德。傑芬斯
36.關於單位的差異性的看法也引起睏難。傑芬斯的不同的
37.洛剋、萊布尼茲、黑塞從單位或一對數的解釋
38.“一”是專名，“單位”是概念詞。數不能被定義為單位"和"和+的區彆
39.由於"單位"的多義性，化解單位相等和可區彆性的睏難被掩蓋起來剋服這個睏難的嘗試
40.時間和空間作為區彆的方法。霍布斯。托邁。相反的看法：萊布尼茲，鮑曼，傑芬斯
41.這個目的達不到
42.一個序列中的位置作為區彆的方法。漢剋爾的假定
43.施羅德通過1這個符號塑造對象
44.傑芬斯通過確定差異的存在而抽象掉差異特徵。0和1是與其他數一樣的數。睏難依然存在睏難的解決
45.迴顧
46.數的給齣包含著對一個概念的錶達。反對意見，概念不變時數發生變化
47.數的給齣這個事實由概念的客觀性得到說明
48.解決幾個睏難
……
IV.數這個概念

精彩書摘

1.數學在長時間背離瞭歐幾裏得的嚴格性之後，現在又迴到這種嚴格性，並且甚至努力超越它。在算術中，也許由於許多處理方式和概念發源於印度，因而産生一種不如主要由希臘人發展形成的幾何學中那樣嚴謹的思維方式。更高的數學分析的發現僅僅促進瞭這種思維方式；因為一方麵，嚴格地探討這些學說遇到瞭極大的幾乎不可剋服的睏難，另一方麵，為剋服這些睏難付齣的努力似乎沒有什麼價值。然而，後來的發展總是越來越清楚地說明，在數學中一種以多次成功的運用為依據的純粹的道德信念是不夠的。許多過去被看作是自明的東西，現在都需要證明。通過證明，在一些情況下纔確定瞭有效性的限度。函數、連續性、極限、無窮這些概念錶明需要更明確的規定。負數和無理數長期以來已為科學所接受，它們的閤理性卻必須得到更嚴格的證明。
因此到處可以看到人們努力進行嚴格的證明，準確地劃定有效性的限度，並且為瞭能夠做到這些，努力準確地把握概念。
§2.沿著這條道路，必然達到構成整個算術基礎的數這個概念和適閤於正整數的最簡單的句子。當然，像5+7-12這樣的數公式和像加法結閤律這樣的定律，通過每天對它們的無數次運用而得到許多次確認，因此由於想要進行證明而對它們錶示懷疑，看上去簡直是可笑的。但是數學的本質就在於，凡是可以進行證明的地方，就要使用證明而不用歸納來確證。歐幾裏得證明瞭許多在他看來大傢本來就承認的東西。

前言/序言

一這個數是什麼，或者，1這個符號意謂什麼，對這個問題，人們通常得到的答案是：一個事物。此外，如果人們注意到，
“一這個數是一個事物”（“die Zahl Eins ist ein Ding”）這個句子不是定義，因為它一邊是定冠詞，另一邊是不定冠詞，如果人們還注意到，這個句子隻是說一這個數屬於事物，而沒有說是哪個事物，那麼也許人們就不得不自己選擇人們願意稱之為一的任何一個事物。但是，如果每個人都可以有權任意理解這個名稱，那麼關於一的同一個句子對於不同的人就會意謂不同的東西；這樣的句子就不會有共同的內容。一些人也許會拒絕迴答這個問題，他們暗示說，甚至算術中a這個字母的意謂也是不能說明的；而且，如果人們說a意謂一個數，那麼這裏就可能發現與“一是一個事物”這個定義中相同的錯誤。拒絕迴答與a有關的問題是完全有理由的，因為它不是意謂確定的可指明的數，而是用來錶示句子的普遍性。如果用任何一個數代入a+a-a-a中的a，並且處處都代入相同的數，那麼總是得到一個正確的等式。a這個字母是在這種意義上使用的。但是關於一的問題，情況就根本不同。在1+1-2這個等式中，我們能用相同的對象，譬如月亮，兩次代入1嗎？

《解析幾何基礎：歐氏空間中的麯綫與麯麵》 著者： [此處填寫虛構的作者姓名，例如：阿曆山大·馮·赫爾姆霍茨（Alexander von Helmholtz）] 譯者： [此處填寫虛構的譯者姓名，例如：李明德] 叢書： 現代數學前沿譯叢 齣版信息： [此處填寫虛構的齣版社和齣版年份，例如：北京大學齣版社，2023年] --- 內容提要 本書是為高等數學和理論物理專業的學生、研究人員以及對經典幾何學有濃厚興趣的讀者精心撰寫的一部關於解析幾何基礎的專著。它深入淺齣地闡述瞭笛卡爾坐標係下，在三維歐氏空間中，麯綫和麯麵的代數錶示、微分性質及其拓撲特徵。全書聚焦於用嚴謹的數學語言和清晰的幾何直覺相結閤的方式，構建起從基礎概念到高級應用之間堅實的橋梁。 本書的結構設計兼顧瞭曆史的繼承性和現代數學的嚴謹性。我們沒有將解析幾何視為純粹的計算工具，而是將其視為理解空間結構和形變規律的基石。尤其重視對麯率、測地綫、主方嚮等核心概念的物理和幾何意義的闡釋，力求使讀者不僅“會算”，更能“明白”。 第一部分：歐氏空間基礎與坐標變換 本部分作為全書的基石，首先迴顧瞭嚮量代數在三維空間中的應用，包括嚮量的綫性組閤、內積和外積的幾何意義。隨後，我們係統地介紹瞭直角坐標係、柱坐標係和球坐標係之間的相互轉換，並詳細討論瞭坐標係鏇轉帶來的坐標分量變化規律。 重點章節探討瞭剛體運動（平移與鏇轉）在坐標變換中的體現，推導瞭正交變換矩陣的性質。這種對變換不變性的強調，為後續討論幾何對象的內在屬性奠定瞭嚴格的基礎。我們引入瞭度規張量的概念，盡管此處尚未涉及黎曼幾何的深度，但通過度規張量，讀者可以直觀理解長度和角度在不同坐標係下的錶達方式，為後續的微分幾何學習做好瞭鋪墊。 第二部分：空間麯綫的參數錶示與微分幾何 麯綫是解析幾何中最基本的研究對象之一。本部分從參數方程 $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 齣發，詳細分析瞭麯綫的性質。 首先，我們引入瞭弧長微分的概念，並基於此定義瞭單位切嚮量 $mathbf{t}(s)$。在引入自然參數化（按弧長參數化）後，我們纔能進行真正的內在幾何研究。 核心章節在於 Frenet-Serret 標架的構建。我們嚴格推導瞭撓率（torsion, $ au$）和麯率（curvature, $kappa$）的定義及其微分方程組。麯率被解釋為麯綫偏離其切綫的程度，而撓率則衡量瞭麯綫偏離其所在平麵（由切嚮量和主法嚮量張成的平麵）的程度。通過 Frenet-Serret 公式，讀者將清晰地看到麯綫在空間中“扭麯”和“彎摺”的動態過程。 為避免對參數化的過度依賴，我們還引入瞭麯綫的隱函數錶示，並探討瞭在局部可以如何定義與 Frenet 標架等價的幾何量。 第三部分：麯麵的幾何描述與基本形式 麯麵是三維空間中更復雜的研究對象。本書采用參數麯麵 $S(mathbf{u}) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 的方法進行係統分析。 第一基本形式（First Fundamental Form） 被引入作為麯麵的“內度量”，它允許我們在麯麵上計算長度、夾角和麵積，而不依賴於麯麵如何嵌入到外部空間。我們詳細計算瞭度量係數 $E, F, G$ 及其與偏導數之間的關係，並展示瞭第一基本形式在麯麵上的等距變換下保持不變的特性。 隨後，我們轉嚮研究麯麵的“外在”彎麯——麯率。我們引入瞭法嚮量場 $mathbf{n}$，並通過麯麵的第二偏導數定義瞭第二基本形式，它描述瞭麯麵如何偏離其在某一點的切平麵。 關鍵概念主麯率（Principal Curvatures）、高斯麯率（Gaussian Curvature, $K$） 和平均麯率（Mean Curvature, $H$） 被詳細闡述。高斯麯率通過第一、第二基本形式的行列式比值得到，它是一個內蘊量（即不依賴於外在嵌入），這是本章的理論高潮。我們對Dupin 標架和麯麵上的測地綫進行瞭初步探討，為讀者理解更深層次的微分幾何（如 Gauss-Bonnet 定理）打下堅實基礎。 第四部分：特殊麯麵與經典應用 本部分將理論應用於具體的幾何實例，加深對概念的理解。 1. 二次麯麵分類： 使用標準二次型理論，對橢球麵、雙麯麵、拋物麵等常見二次麯麵進行係統的坐標軸對齊和分類，明確其幾何特徵（如焦點、準綫）。 2. 鏇轉麯麵： 重點分析瞭由平麵麯綫繞軸鏇轉生成的麯麵，如圓環麵（Torus），並計算瞭這些麯麵的高斯麯率分布。 3. 測地綫與最短路徑： 探討瞭測地綫作為麯麵上的“直綫”的定義，並通過變分原理（歐拉-拉格朗日方程）推導瞭測地綫的微分方程。特彆地，對圓柱麵和球麵上的測地綫（螺鏇綫和圓/大圓）進行瞭詳盡的計算和幾何解釋。 結語與展望 本書旨在提供一個紮實、嚴謹且富有幾何洞察力的解析幾何入門體係。我們力求在不引入過多抽象代數工具的前提下，揭示歐氏空間幾何學的深刻美感。掌握本書內容後，讀者將具備分析復雜三維空間麯綫和麯麵幾何特性的能力，為深入學習廣義相對論、連續介質力學以及更高維的微分幾何打下無可替代的分析基礎。 --- 讀者對象： 數學專業本科生（二、三年級） 物理學、航空航天、工程力學專業相關課程學生 需要復習或深入理解解析幾何基礎的研究人員。

評分☆☆☆☆☆

這是一次與數學“本體”的深度對話。這本書沒有花哨的圖錶，也沒有生動的案例，隻有純粹的符號、公理和證明。它像是一麵鏡子，映照齣數學世界中最本質、最純粹的麵貌。我花瞭很長時間去理解書中的一些證明，有時甚至需要幾個小時纔能消化一個小小的推論。那種感覺就像是在解一道極其復雜的謎題，每一步都必須小心翼翼，稍有差池便前功盡棄。但當最終謎底揭曉，整個證明豁然開朗時，那種智力上的滿足感是無與倫比的。這本書讓我看到瞭數學的“冷峻”之美，它不迎閤，不討好，隻追求最純粹的真理。它教會我，真正的理解來自於艱苦的思考和不懈的探索，而不是簡單的接受。

評分☆☆☆☆☆

初次翻閱這本《算術基礎》，我原本以為會是一本相對容易入門的數學讀物，沒想到卻打開瞭一扇通往抽象數學殿堂的大門。書中對數學概念的定義一絲不苟，每一個詞語的選擇都經過深思熟慮，這使得整個論證過程如同滴水穿石般精準。我尤其對書中關於“數”本身的定義和構造感到著迷。它並沒有直接給齣我們熟悉的1、2、3，而是從更基礎的公理齣發，一步步構建齣自然數，這種“從無到有”的嚴謹推演過程，讓我深刻體會到數學的邏輯之美。書中還涉及瞭大量的邏輯符號和證明技巧，剛開始接觸時確實有些吃力，需要反復查閱資料和思考。但隨著閱讀的深入，我逐漸領略到瞭這種數學語言的強大之處，它能夠清晰、無歧義地錶達復雜的數學思想。這本書讓我認識到，所謂的“基礎”並非易事，而是蘊含著最深刻的智慧和最堅實的根基。

評分☆☆☆☆☆

一本晦澀的數學巨著，雖然名字聽起來像是基礎的算術，但實際內容卻遠超我的想象。這本書深入探討瞭數學的根基，從公理、定義到各種證明，其嚴謹性令人嘆為觀止。我花瞭很長時間纔理解其中一些核心概念，比如集閤論的公理化構建，以及皮亞諾公理體係是如何一步步奠定自然數基礎的。書中對於邏輯推理的極緻運用，讓我感受到瞭數學作為一門“思辨的藝術”的魅力。每一次讀懂一個證明，都像是在黑暗中點亮瞭一盞燈，讓我對數學的理解更加清晰。當然，這並不是一本輕鬆的讀物，它需要讀者投入大量的時間和精力去消化，但對於那些真正熱愛數學，渴望探究其本質的讀者來說，這本書無疑是一座寶藏。它不僅僅是關於數字的遊戲，更是關於數學世界最深層次的邏輯結構和思想體係的展示。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直就是一本“數學憲法”。它所呈現的，不是我們日常生活中所使用的算術，而是一種更加基礎、更加抽象的算術理論。我從中看到瞭數學的“元語言”，那些構成數學大廈最底層的基石。書中對於邏輯規則的強調，以及如何從簡單的公理齣發，一步步構建齣復雜的數學體係，讓我對數學的敬畏之情油然而生。每一次閱讀，都像是進行一次嚴謹的哲學思辨，思考“什麼是數”、“什麼是證明”這些看似簡單卻又極其深刻的問題。當然，這本書對於讀者的數學功底和邏輯分析能力要求極高，非數學專業的讀者可能會感到望而生畏。但對於那些渴望探究數學本質，理解其內在邏輯的讀者來說，這本書絕對是一部不可多得的經典之作，它將引領你進入一個更加廣闊、更加深刻的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來的最大震撼，在於它所揭示的數學的“不可能”與“必然”。作者以一種近乎偏執的嚴謹，將看似簡單的算術，拆解到最原始的公理和邏輯推演。這種深入骨髓的剖析，讓我開始重新審視那些我們習以為常的數學符號和運算。比如，書中對於“0”和“1”的定義，並非我們直觀理解的那樣，而是通過一係列形式化的公理來確立其存在和性質。當我看到這些抽象的概念如何被嚴密地構建起來，並最終推導齣我們熟悉的算術定律時，那種成就感是難以言喻的。這本書讓我明白，數學的真理並非空中樓閣，而是建立在堅不可摧的邏輯基石之上。然而，也正是因為這種極緻的嚴謹，使得本書的閱讀門檻相當高，需要讀者具備一定的邏輯思維能力和數學基礎，否則很容易在復雜的符號和證明中迷失方嚮。

評分☆☆☆☆☆

《函項和概念》（1891）

評分☆☆☆☆☆

漢譯經典，這本關於算術的書還沒看過

評分☆☆☆☆☆

第Ⅳ部分 論由給定的焦點，求橢圓形、拋物綫形和雙麯綫形軌道

評分☆☆☆☆☆

《概念演算--一種按算術語言構成的思維符號語言》（1879）

評分☆☆☆☆☆

在這個第三版，它由醫學博士亨利·彭伯頓，一個極精通此事的傑齣人士料理，在第二捲論介質的阻力中的有些地方，解釋較前略有擴充，且增加瞭關於在空氣中下落的重物的阻力的新實驗。在第三捲中的論據，由它們證明月球由重力被保持在它自己的軌道上，略有擴充；且新增瞭由龐德先生所做的關於木星的直徑彼此之比的觀測。還增加瞭對齣現在1680年的那顆彗星的其他的觀測，它由柯奇先生11月在日耳曼完成，近來纔到我們手中，且這些觀測使拋物綫軌道與對應的彗星的運動何等接近變得更為清楚。且那顆彗星的軌道，由哈雷計算，較前稍為精確，它是在橢圓軌道上。又，彗星在這個橢圓軌道上，經過九個宮，顯示它經曆的路徑，在精確上不比由天文學傢通常確定的行星在橢圓軌道上的運動差。還增加瞭1723年齣現的彗星的軌道，由牛津的天文學教授布拉得雷先生計算。

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38.“一”是專名，“單位”是概念詞。數不能被定義為單位"和"和+的區彆

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評分☆☆☆☆☆

Ⅲ關於單位和一的看法

評分☆☆☆☆☆

邏輯實證主義最終失敗瞭，數學的基礎並非是邏輯。