单复变函数（第2卷） [Functions of One Complex Variable 2] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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康韦（John B.Conway） 著

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• 复变函数
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• 函数论
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出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510037542

版次：1

商品编码：10914302

包装：平装

外文名称：Functions of One Complex Variable 2

开本：24开

出版时间：2011-07-01

页数：394

正文语种：英文

内容简介

This is the sequel to my book Functions of One Complex Variable I, and probably a good opportunity to express my appreciation to the mathemat-ical community for its reception of that work. In retrospect, writing that book was a crazy venture.As a graduate student I had had one of the worst learning experiences of my career when I took complex analysis; a truly bad teacher. As a non-tenured assistant professor, the department allowed me to teach the graduate course in complex analysis. They thought I knew the material; I wanted to learn it. I adopted a standard text and shortly after beginning to prepare my lectures I became dissatisfied. All the books in print had virtues; but I was educated as a modern analyst, not a classical one, and they failed to satisfy me.

内页插图

目录

Preface
13 Return to Basics
1 Regions and Curves
2 Derivatives and Other Recollections
3 Harmonic Conjugates and Primitives
4 Analytic Arcs and the Reflection Principle
5 Boundary Values for Bounded Analytic Functions

14 Conformal Equivalence for Simply Connected Regions
1 Elementary Properties and Examples
2 Crosscuts
3 Prime Ends
4 Impressions of a Prime End
5 Boundary Values of Riemann Maps
6 The Area Theorem
7 Disk Mappings: The Class

15 Conformal Equivalence for Finitely Connected Regions
I Analysis on a Finitely Connected Region
2 Conformal Equivalence with an Analytic Jordan Region
3 Boundary Values for a Conformal Equivalence Between Finitely Connected Jordan Regions
4 Convergence of Univalent Functions
5 Conformal Equivalence with a Circularly Slit Annulus
6 Conformal Equivalence with a Circularly Slit Disk
7 Conformal Equivalence with a Circular Region

16 Analytic Covering Maps
1 Results for Abstract Covering Spaces
2 Analytic Covering Spaces
3 The Modular Function
4 Applications of the Modular Function
5 The Existence of the Universal Analytic Covering Map

17 De Branges's Proof of the Bieberbach Conjecture
1 Subordination
2 Loewner Chains
3 Loewner's Differential Equation
4 The Milin Conjecture
5 Some Special Functions
6 The Proof of de Branges's Theorem

18 Some Fundamental Concepts from Analysis
1 Bergman Spaces of Analytic and Harmonic Functions
2 Partitions of Unity
3 Convolution in Euclidean Space
4 Distributions
5 The Cauchy Transform
6 An Application: Rational Approximation
7 Fourier Series and Cesaro Sums

19 Harmonic Functions Redux
1 Harmonic Functions on the Disk
2 Fatou's Theorem
3 Semicontinuous Functions
4 Subharmonic Functions
5 The Logarithmic Potential
6 An Application: Approximation by Harmonic Functions
7 The Dirichlet Problem
8 Harmonic Majorants
9 The Green Function
10 Regular Points for the Dirichlet Problem
11 The Dirichlet Principle and Sobolev Spaces

20 Hardy Spaces on the Disk
1 Definitions and Elementary Properties
2 The Nevanlinna Class
3 Factorization of Functions in the Nevanlinna Class
4 The Disk Algebra
5 The Invariant Subspaces of Hp
6 Szego's Theorem

21 Potential Theory in the Plane
1 Harmonic Measure
2 The Sweep of a Measure
3 The Robin Constant
4 The Green Potential
5 Polar Sets
6 More on Regular Points
7 Logarithmic Capacity: Part 1
8 Some Applications and Examples of Logarithmic Capacity
9 Removable Singularities for Functions in the Bergman Space
10 Logarithmic Capacity: Part 2
11 The Transfinite Diameter and Logarithmic Capacity
12 The Refinement of a Subharmonic Function
13 The Fine Topology
14 Wiener's criterion for Regular Points
Contents
References
List of Symbols
Index

前言/序言

深入解析：《复分析导论：超越标准教材的视野》 本书聚焦于现代复分析理论的核心概念、深层结构及其在多个数学和物理领域中的应用。我们旨在提供一个既严谨又富有洞察力的叙述，引导读者从经典积分和幂级数的基础出发，逐步攀登至更高级的主题，如黎曼曲面、函数域的分析，以及与代数几何和物理弦理论的交叉点。 --- 第一部分：基础的重新审视与几何直觉的培养 本卷的开篇并非简单地复述复变函数的基础定义，而是着重于几何化复变函数的意义。我们首先回顾了复数的代数结构，但迅速将其置于 $mathbb{C}$ 上的微分几何视角下——即作为二维流形上的黎曼度量。 1.1 全纯函数的内在对称性： 我们深入探讨了柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）的几何起源，将其视为在 $mathbb{C}$ 上定义的全纯函数必须满足的等距条件。随后，我们详细分析了全纯函数的局部性质：泰勒展开的唯一性，以及局部反函数定理在复空间中的特殊体现。我们用拓扑的语言解释了为什么在 $mathbb{C}$ 上，解析性（Analyticity）等价于光滑性（Smoothness）。 1.2 柯西积分理论的深化： 柯西积分公式不仅是一个计算工具，更是一个强大的拓扑工具。我们花了大量篇幅来阐释同伦不变性（Homotopy Invariance）的真正意义，以及为什么 Cauchy 定理依赖于区域的单连通性。在此基础上，我们引入了函数的零点的结构：为什么零点必然是孤立的，以及如何通过除以 $(z-z_0)^m$ 的方式来“消除”奇点，从而引出洛朗级数。 1.3 奇点与留数定理的拓扑根源： 我们超越了标准的留数计算，探究了留数定理背后的拓扑学基础——即对流形边界上的积分的依赖关系。针对本性奇点（Essential Singularities），我们详细分析了其在单位圆盘上的行为，并引入了皮卡尔大定理（Picard's Great Theorem）的初级版本，展示了本性奇点附近函数值覆盖的广阔性。 --- 第二部分：全局构造与黎曼面的构建 本部分是本书的精髓之一，它将局部分析提升到全局结构的层面，引入了复分析中最为优美的概念之一：黎曼面。 2.1 覆盖空间与分支点的处理： 我们首先从函数方程（如 $w^2 = z$ 或 $w = log z$）的定义域的限制出发，展示了多值函数的内在矛盾。为了实现全局的解析性，我们引入了分支点（Branch Points）和分支线（Branch Cuts）的概念。 2.2 黎曼面的构造原理： 本书采用一种自底向上的方法构造黎曼面。我们不直接给出定义，而是通过解析延拓（Analytic Continuation）的过程，展示解析函数如何自然地“铺展”到一个新的、更广阔的定义域上。对于代数函数 $P(z, w) = 0$，我们详细演示了如何通过射影空间的嵌入，构造出紧致的、拓扑上可理解的黎曼面 $X$。 2.3 拓扑与解析的交汇： 一旦黎曼面 $X$ 被构造出来，我们便将其视为一个一维复流形。我们引入了微分形式的概念（但避免过于深入的微分几何术语），重点关注 $Omega^1(X)$ 空间——即全纯微分形式的空间。我们计算了亏格（Genus $g$）与黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）的初步联系，强调亏格是衡量黎曼面拓扑复杂度的核心不变量。 --- 第三部分：狄利克雷问题与势论的视角 本部分将复分析工具与实分析中的势论（Potential Theory）相结合，展示了复分析在边界值问题中的强大威力。 3.1 调和函数的角色： 我们详细阐述了全纯函数的实部和虚部——即调和函数（Harmonic Functions）的性质。我们证明了极值原理（Maximum Principle）在调和函数中的普适性，并探讨了它在物理学（如静电势、稳态热传导）中的直接解释。 3.2 狄利克雷问题的解析解法： 我们专注于在特定区域（如单位圆盘或上半平面）上求解狄利克雷问题（给定边界值，求内部调和函数）。我们引入了格林函数（Green's Function），并展示了如何利用共形映射将复杂边界区域的解转化为简单区域上的积分表示。 3.3 韦尔斯特拉斯分解与赫尔穆斯定理： 本节深入探讨了调和函数的全局结构。我们使用位势论的工具来证明韦尔斯特拉斯分解定理，即任意函数可以分解为一个解析函数的无穷级数和超函数（如 $log |f|$）。随后，我们引出了赫尔穆斯定理（Hurwitz's Theorem）的更强形式，涉及零点在紧区域上的收敛性。 --- 第四部分：共形映射与几何变换的深度剖析 本部分关注复分析在几何变换中的应用，特别是莫比乌斯变换及其在复杂结构下的推广。 4.1 莫比乌斯变换群 $ ext{PSL}(2, mathbb{C})$： 我们不仅将莫比乌斯变换视为解析函数，更将其视为射影群的作用。我们详细分析了其不动点、双曲、抛物线和椭圆分类，并展示了它们如何保持广义圆（直线或圆）的性质不变。 4.2 柯恩伯格定理与单连通域的映射： 黎曼映射定理（Riemann Mapping Theorem）的证明是本卷的高潮之一。我们详细阐述了利用巴拿赫不动点定理（在适当函数空间上）来构造单射共形映射的过程。我们分析了映射在边界上的行为，特别是当边界具有尖点或分段光滑时，映射的性质如何被保留。 4.3 覆盖映射与黎曼面之间的联系： 最后，我们将共形映射推广到黎曼面之间的映射——全纯覆盖映射。我们展示了如何利用这种映射来理解不同亏格的黎曼面之间的关系，并为后续进入更高级的代数几何或自动函数理论奠定了坚实的基础。 --- 本书的特点在于其对概念的系统性构建和对几何直觉的强调，力求使读者不仅能“计算”复分析问题，更能“理解”这些工具背后的深刻数学结构。

评分☆☆☆☆☆

这套书，尤其是第二卷，在我看来，简直是为那些渴望深入理解复变函数世界的读者量身定做的。我还在犹豫是否要购买，但仅从网上流传的一些试读章节和读者反馈来看，它所呈现出的学术深度和广度就足以让人心动。我尤其关注书中对一些经典证明的重新阐述，据说作者以一种非常清晰且富有启发性的方式，将那些看似复杂的推导过程变得易于理解。这对于很多初学者或者希望巩固基础的读者来说，无疑是一笔宝贵的财富。我了解到，这本书不仅仅是知识的堆砌，更是在培养读者的数学思维方式。它鼓励读者去思考“为什么”，而不是仅仅记住“是什么”。这种教学理念，正是我在学习过程中所极力追求的。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我还没有来得及深入翻阅这本书，但光是它的名字和在学术界的口碑，就足以让我对其充满敬意。在我的学习生涯中，数学一直是让我着迷又颇具挑战性的学科，而复变函数更是其中的佼佼者。我听闻这本书的论述风格严谨而又不失清晰，对于那些晦涩的定义和定理，作者似乎总能找到一种巧妙的方式来阐释，让读者豁然开朗。我非常欣赏这种能够化繁为简的教学能力。我期待着有一天，当我有足够的时间和精力时，能够静下心来，好好地与这本书进行一次深刻的对话，去感受数学的逻辑之美，去领略复变函数所展现出的独特数学世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就给人一种沉静而深邃的感觉，与“单复变函数”这个略带艰涩的题目倒是相得益彰。拿到手里，纸张的质感相当不错，书页泛着柔和的米白色，即使长时间阅读也不会觉得刺眼。我一直对数学的抽象美有着浓厚的兴趣，而复变函数更是将这种美感推向了一个新的高度。虽然我还没有正式开始深入研读，但仅仅是浏览目录和前言，就足以让我感受到作者在这本书中倾注的心血。那些符号、那些定理，虽然我需要花费一些时间去理解，但它们的背后隐藏着精妙的逻辑和深刻的洞察，这正是吸引我的地方。我期待着在这本书的引导下，能够一步步揭开单复变函数的神秘面纱，感受数学思想的严谨与优雅。它就像是一扇通往新世界的门，我迫不及待地想推开它，去探索其中的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计非常考究，细节之处尽显匠心。我至今还记得第一次在书店看到它时的情景，那简洁而又不失力量感的封面，就仿佛在诉说着数学的严谨与深刻。虽然我目前主要还在钻研其他领域的书籍，但这本书就像一位安静的智者，静静地躺在我的书架上，时不时地吸引我的目光。我常常会去翻阅其中的一些章节，哪怕只是看几个公式，也能从中感受到一种独特的数学魅力。据说，作者在书中对于一些概念的引入和解释，都经过了反复的斟酌，力求做到既严谨又不失生动。我深信，一本好的数学教材，不仅要传授知识，更要激发读者的学习热情和探索欲望，而这本书似乎就具备了这样的特质。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的期待，更多地源于它所代表的学术高度。我了解到，这是一本在复变函数领域享有盛誉的著作，被许多优秀的数学家和学生所推崇。虽然我目前的基础还比较薄弱，对于复变函数的理解还停留在比较初步的阶段，但我坚信，通过研读这样一本高质量的书籍，能够极大地提升我的数学素养和分析能力。我尤其看重书中对于那些抽象概念的解释，以及证明的逻辑链条。我希望通过这本书，能够真正理解复变函数所蕴含的深刻思想，并将其应用到未来的学习和研究中。它不仅仅是一本教科书，更像是一本能够指引我探索数学更深层世界的地图。

评分☆☆☆☆☆

不错，内容好，质量也好。

评分☆☆☆☆☆

书是好书，不过书角都给摔坏了。。

评分☆☆☆☆☆

This is the sequel to Functions of One Complex Variable I。All the books in print had virtues

评分☆☆☆☆☆

书一般般吧。帮朋友买的。

评分☆☆☆☆☆

经典书籍，值得推荐！

评分☆☆☆☆☆

不错，内容好，质量也好。

评分☆☆☆☆☆

最起码整个书本逻辑上很明显

评分☆☆☆☆☆

最起码整个书本逻辑上很明显

评分☆☆☆☆☆

This is the sequel to Functions of One Complex Variable I。All the books in print had virtues