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梁国平，周永发 著

图书标签:

• 有限元
• 数值分析
• 计算方法
• 结构力学
• 偏微分方程
• 科学计算
• 工程分析
• MATLAB
• Python
• 数值模拟

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030367099

版次：01

商品编码：11213628

包装：精装

开本：16开

出版时间：2013-03-01

用纸：胶版纸

页数：632

正文语种：中文

内容简介

　　有限元语言是一种适用于有限元方法求解偏微分方程的模型语言。采用有限元语言编程就是书写偏微分方程和算法，然后由生成器产生全部FORTRAN语言的有限元程序。《有限元语言及其应用》的主要内容包括：微分方程表达式，单物理场算法和多场耦合有限元算法的描述语言；元件化程序设计方法；有限元的数据结构；形函数库，微分算子库，单物理算法库等。

目录

前言

绪论

上篇 语言篇

第1章 微分方程表达式描述语言

第2章 单物理场算法描述语言

第3章 多场耦合有限元算法描述语言

第4章 元件化程序设计方法

第5章 有限元数据结构

下篇 应用篇

第6章 固体力学

第7章 Navier-Stokes方程

第8章 达西流

第9章 电磁场

第10章 结构力学

第11章 温度场

附录A 插值函数与单元类型

附录B 等参单元

附录C 数值积分

附录D 有限元语言术语总汇

附录E 有限元语言关键字总汇

附录F 符号表

参考文献

索引

前言/序言

流体力学数值模拟新视角：从基本原理到复杂系统 本书旨在为读者提供一个深入理解流体力学数值模拟方法的全面视角，特别关注那些能够有效处理复杂流动现象的先进技术。我们并非直接介绍“有限元语言”这一特定工具，而是致力于解析支撑这些工具的底层数学原理、核心算法设计以及实际应用中的关键考量。读者将通过本书，掌握构建和运用数值模型来解决流体力学问题的强大能力，而“有限元”不过是实现这一目标的一种高效“语言”。 第一部分：流体力学基础与数值方法的缘起 在深入探讨数值方法之前，我们首先需要扎实地理解流体力学的基本概念。本部分将回顾纳维-斯托克斯方程组的推导与物理意义，强调其在描述粘性流体运动中的核心地位。我们将详细讨论不同流动 regime（如层流与湍流）的特性，以及这些特性对数值模拟带来的挑战。 守恒律的数学表达： 从质量守恒、动量守恒和能量守恒出发，构建描述流体运动的偏微分方程。我们将深入分析方程组的物理内涵，例如压力梯度如何驱动流动，粘性力如何耗散能量，以及热传导和相变如何影响流体行为。 湍流的本质与建模挑战： 湍流作为自然界中最普遍、也是最难精确描述的流动现象，其统计特性、尺度分离和能量级串机制将得到重点阐述。我们将简要介绍湍流建模的几种主要思路，如雷诺平均方法（RANS）、大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS），为后续的数值方法选择提供背景。 数值方法的必要性： 讲解为何解析方法在大多数实际流体力学问题中失效，以及数值方法是如何通过离散化连续方程来近似求解的。我们将从数学角度解释数值模拟的诞生，强调其在工程设计、科学研究以及环境监测等领域的不可替代性。 第二部分：求解偏微分方程的基石：离散化技术 任何数值模拟的核心都在于将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。本部分将聚焦于几种主流的离散化技术，讲解它们如何逼近微分算子，以及不同方法在精度、稳定性和计算效率上的权衡。 有限差分法 (Finite Difference Method, FDM)： 作为最直观的离散化方法，我们将详细介绍其基本思想：用离散点的函数值差来近似导数。从一维常微分方程开始，逐步推广到二维、三维的偏微分方程，讨论网格划分（均匀网格与非均匀网格）、差分格式的构造（向前、向后、中心差分），以及高阶精度的实现。同时，分析其在处理复杂几何边界时遇到的困难。 有限体积法 (Finite Volume Method, FVM)： 这一方法在工程领域，特别是流体力学中，应用极为广泛。我们将深入讲解其“守恒性”的优势，即通过对控制体积内的方程进行积分，保证物理量在界面上的守恒。重点讨论通量计算（如通量限制器）、界面重构技术以及在多维问题中的应用。分析FVM如何自然地处理非结构网格，从而适应复杂几何。 有限元法 (Finite Element Method, FEM) 的数学基础： 虽然本书不直接教授“有限元语言”，但理解其数学原理是至关重要的。我们将重点讲解伽辽金方法的核心思想，即弱形式的引入，将微分方程转化为积分方程，并使用一系列基函数（或形函数）来逼近解。详细介绍单元划分、形函数插值、单元刚度矩阵的组装以及整体方程组的形成。强调FEM在处理复杂几何、非均质材料以及各种边界条件方面的强大能力。 方法的比较与选择： 对比FDM、FVM和FEM的优缺点，分析它们各自的适用范围。例如，FDM在规则几何上的效率，FVM在守恒性上的优势，以及FEM在处理复杂边界和非结构化数据上的灵活性。读者将学会根据具体问题的特点，选择最合适的离散化技术。 第三部分：求解大规模代数方程组的策略 离散化后得到的代数方程组往往规模庞大，维度很高。如何高效、稳定地求解这些方程组，是数值模拟成功的关键。本部分将深入探讨线性与非线性方程组的求解技术。 线性方程组的求解： 直接法： 介绍高斯消元法、LU分解、Cholesky分解等，分析其计算复杂度和存储需求，以及在小规模问题中的适用性。 迭代法： 这是求解大规模稀疏线性方程组的重头戏。我们将详细讲解雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、SOR（逐次超松弛）法等基本迭代格式，分析其收敛性条件。 预条件子方法： 重点介绍预条件子的概念，即通过构造一个与原系数矩阵相似但更容易求解的预条件矩阵，来加速迭代过程。介绍常见的预条件子，如对角预条件子、ILU（不完全LU分解）预条件子等。 Krylov子空间方法： 深入讲解共轭梯度法 (CG)（用于对称正定矩阵）和广义最小残量法 (GMRES)（用于一般线性系统）等先进的迭代方法，分析其理论基础和在实际中的表现。 非线性方程组的求解： 牛顿法及其变种： 介绍牛顿-拉夫逊法的迭代过程，分析其二次收敛性，以及在实际应用中遇到的计算雅可比矩阵的困难。讲解拟牛顿法（如BFGS）和阻尼牛顿法等改进方法，以提高稳定性和鲁棒性。 不动点迭代法： 讨论更简单的迭代格式，分析其收敛性，以及在某些特定问题中的应用。 第四部分：处理流动复杂性的高级数值技巧 流体力学模拟面临的挑战远不止于此，复杂几何、高马赫数流动、湍流以及多相流等都要求更高级的数值技术。本部分将介绍一些能够应对这些挑战的先进算法和模型。 高精度与高阶格式： 多项式插值与基函数： 深入讨论如何在网格点之间进行高精度的插值，以及如何在有限元方法中选择合适的基函数以获得更高的精度。 高阶差分与有限体积格式： 介绍如何构造高阶精度的差分和通量计算格式，例如TVD（全变差减小）格式、WENO（加权本质非振荡）格式等，它们能够有效抑制数值振荡，特别是在求解激波或接触间断时。 处理多尺度流动： 多网格方法 (Multigrid Methods)： 详细阐述多网格方法的思想，即在一个粗网格上加速全局收敛，在细网格上处理局部细节。分析不同网格尺度之间的信息传递和粗化/加密算子。 自适应网格精细化 (Adaptive Mesh Refinement, AMR)： 讲解如何根据计算结果（如误差估计）自动地在关键区域（如激波、边界层）细化网格，从而在保证精度的同时，显著减少计算量。 高马赫数流动与激波处理： 激波捕捉格式： 讨论激波存在时，低阶格式易产生振荡，而高阶格式又可能导致数值耗散增加的问题。重点介绍能够精确捕捉激波并保持激波两侧高精度的格式，如Godunov格式、Roe格式、AUSM格式等，分析它们在保持守恒性和物理正确性方面的设计理念。 熵条件： 解释激波的物理含义，以及数值解需要满足的熵条件，以区分物理可行的激波和数值伪影。 湍流建模在数值模拟中的应用： RANS模型： 介绍常见的RANS模型，如Spalart-Allmaras、k-epsilon、k-omega等，以及它们的数学形式和应用范围。 LES模型： 讲解亚格子尺度（SGS）模型的概念，以及如何通过滤波方法来分离大尺度和小尺度流动，然后对SGS模型进行建模。 混合方法： 讨论如何结合不同模型的优点，例如在大尺度流动中使用RANS，在近壁区使用LES。 第五部分：数值模拟的工程实践与前沿应用 理论与方法的掌握最终是为了解决实际问题。本部分将从工程实践的角度出发，探讨数值模拟的流程、数据处理以及在不同领域的应用。 建模流程与前处理： 问题定义与几何建模： 如何准确地将实际问题转化为数值模型，包括几何结构的简化与离散化。 网格生成： 讨论结构网格、非结构网格、混合网格的生成方法，以及网格质量对模拟结果的影响。 边界条件与初始条件： 详细介绍不同类型的边界条件（如速度入口、压力出口、壁面等）和初始条件的设置，以及它们对模拟稳定性和结果的至关重要性。 求解器设置与后处理： 求解器选项的理解： 分析不同数值方法的参数设置，如松弛因子、迭代次数、收敛准则等，以及如何根据问题特点进行调整。 结果可视化与分析： 介绍常用的后处理工具，如何进行流场可视化（如速度矢量图、压力云图、流线图），以及如何提取关键的工程参数（如阻力、升力、传热系数等）。 误差分析与验证： 强调结果的可靠性，讨论网格收敛性研究、解的独立性检验以及与实验数据的对比验证。 典型应用领域： 航空航天： 飞机气动外形优化、发动机燃烧模拟、火箭发射过程。 汽车工程： 车辆空气动力学设计、冷却系统模拟、发动机内部流动。 生物医学： 血液流动模拟、药物输送、呼吸道疾病研究。 能源与环境： 风力涡轮机气动设计、污染物扩散模拟、水力发电站水流分析。 工业过程： 化工反应器流动、热交换器设计、管道输送。 本书将通过清晰的逻辑框架、严谨的数学推导以及贴近实际的案例分析，帮助读者构建起坚实的流体力学数值模拟理论基础。虽然我们不直接教授“有限元语言”，但本书所涵盖的原理与方法，将是理解和运用任何高级数值模拟工具（包括有限元方法）的基石。读者在掌握了这些普适性的知识后，将能够更深入地理解不同数值方法的内在机制，从而更高效、更准确地解决各种复杂的流体力学问题。

评分☆☆☆☆☆

我一直对如何将复杂的工程问题转化为计算机可以求解的模型感到好奇，这本书无疑给了我一个非常好的答案。它用一种非常系统的方式，将一个连续的、复杂的物理现象，分解成一个个微小的、离散的单元，然后在这些单元的连接处（节点）建立方程组。这种“分而治之”的思想，在解决许多复杂问题时都非常有效。书中对离散化过程的描述，从一维到二维甚至三维，都有详细的介绍，让我看到了不同维度下有限元模型的构建差异。特别是对于网格划分的策略和技巧，书中也给出了一些指导性的建议，虽然没有直接给出具体的软件操作，但对于理解网格质量对计算结果的影响，以及如何选择合适的网格类型，都提供了宝贵的思路。这让我意识到，好的模型构建，是保证计算结果准确性的第一步。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，《有限元语言及其应用》这本书在理论深度和实践指导性之间找到了一个绝佳的平衡点。它既没有过度简化，也没有让初学者望而却步。我最欣赏的一点是，作者在讲解每一个概念或方法时，都会给出明确的数学推导和物理意义的解释。例如，在讲解形函数时，它不仅给出了数学表达式，还解释了形函数在单元内部插值和协调性方面的作用。这样的讲解，让我能够真正理解“为什么”这样做，而不是仅仅停留在“怎么做”的层面。此外，书中还穿插了一些重要的定理和性质，比如虚功原理、最小势能原理等，这些都被巧妙地融入到有限元法的推导过程中。这使得我在学习有限元法的过程中，也同时巩固和加深了对相关基础理论的理解，感觉收获颇丰，远超我的预期。

评分☆☆☆☆☆

阅读《有限元语言及其应用》的过程，是一次非常充实且令人兴奋的智力探索。我发现，这本书不仅仅是在教授一种技术，更是在传递一种解决问题的思维方式。它教会我如何从宏观到微观，将一个复杂系统进行分解，如何用数学的语言来描述物理现象，以及如何利用计算机强大的计算能力来验证和优化设计。书中对于不同单元类型（如三角形、四边形、三角形、四面体等）的特性和适用范围的讨论，让我对选择何种单元来适应不同几何形状和边界条件有了更清晰的认识。此外，书中对迭代求解方法和收敛性条件的介绍，也为我理解数值模拟的稳定性和精度提供了重要的理论基础。总而言之，这本书为我打开了一扇通往更深层次工程分析的大门，让我对未来在相关领域进行更深入的学习和研究充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字虽然叫做《有限元语言及其应用》，但读完之后，我才真正体会到它远不止于此。它更像是一扇门，为我打开了通往数值模拟和工程分析的奇妙世界。在翻阅之前，我对有限元法仅停留在一些零散的概念层面，知道它在解决复杂问题时非常强大，但具体如何实现，以及背后隐藏的数学原理，都让我感到神秘。这本书从最基础的“语言”入手，循序渐进地讲解了构建有限元模型的思维方式和基本要素，比如节点、单元、形函数、插值等等。我尤其喜欢它在解释这些概念时所使用的类比和图示，即使是复杂的数学公式，也能变得相对易懂。作者并没有直接抛出高深的理论，而是从一个问题出发，逐步引导读者理解为什么需要有限元法，以及它是如何一步步将连续介质离散化，转化为计算机可以处理的离散模型。这种“由表及里”的讲解方式，让我感到非常踏实，也极大地增强了我学习下去的信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“应用”部分，更是让我大开眼界。它不仅仅是列举了一些有限元法在不同领域的应用案例，而是深入到每一个具体应用的细节之中。我特别关注了书中关于结构力学、传热和流体动力学的章节。在结构力学方面，它详细介绍了如何对梁、板、壳等结构进行建模，如何施加载荷和边界条件，以及如何解释分析结果。书中对位移、应力、应变等物理量的计算过程，以及它们与单元节点自由度的关系，都讲解得非常透彻。我尝试着跟随书中的步骤，在脑海中模拟了一些简单的工程问题，发现自己竟然能够大致理解分析的逻辑。而在传热和流体动力学部分，虽然涉及到的偏微分方程比结构力学更为复杂，但作者依然采用了相似的“化繁为简”的方法，将连续的场变量转化为离散的节点值，并通过时间步进或迭代的方式来求解。这些内容让我意识到，有限元法并非万能的“黑箱”，而是建立在一系列严谨的数学和物理原理之上的。