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出版社： 化学工业出版社

ISBN：9787122218506

版次：1

商品编码：11556097

包装：平装

开本：64开

出版时间：2014-11-01

页数：422

内容简介

本手册包含三部分内容：高等数学(微积分)、线性代数、概率论与数理统计．归纳总结了三部分内容中的定义、定理、公式、法则和方法．为便于读者学习和使用，在内容的编排顺序上与同济大学版高等数学保持一致；在目录上列出了手册中的重点条目；在每一章的最后，提供了本章知识点之间的关联网络．本手册对正在学习高等数学、线性代数、概率论与数理统计和复习准备考研究生的读者都有极大参考价值；此外，对于曾经学过大学数学课程，并希望在短时间内迅速复习和回忆大学数学内容的读者也具有重要的参考价值．

目录

第1章函数极限连续1
§1��1映射与函数1
集合1
常用数集1
邻域1
映射2
函数3
函数的基本特性6
基本初等函数8
初等函数12
§1��2数列的极限及其性质13
数列13
数列极限13

数列的有界性14
收敛数列的性质14
§1��3函数的极限及其性质15
极限定义（x→x0）15
极限定义（x→∞）16
函数极限的性质17
§1��4无穷小与无穷大19
无穷小19
无穷小与函数极限关系19
无穷大19
无穷大与无穷小关系20
§1��5极限运算法则20
无穷小运算法则20
极限的四则运算法则20
§1��6极限存在准则两个重要极限21
夹逼准则21
单调数列22
单调有界准则22
两个重要极限22
§1��7无穷小的比较23
无穷小的比较23
常用等价无穷小23

等价无穷小的充要条件24
无穷小的等价代换24
§1��8函数的连续性与间断点25
函数在一点处连续定义25
函数在开区间上连续26
函数在闭区间上连续26
函数的间断点定义26
第一类间断点27
第二类间断点27
连续函数的和、差、积、
商的连续性27
反函数的连续性28
复合函数的极限运算法则28
复合函数的连续性29
基本初等函数的连续性29
初等函数的连续性29
闭区间上连续函数的性质29
本章知识点及其关联网络30
第2章导数与微分31
§２��1导数概念31
导数定义31
导数定义式的不同形式32
左导数定义32
右导数定义32
单侧导数32
函数在一点可导的
充要条件32
导数几何意义32
切线与法线33
开区间内可导33
闭区间上可导33
导函数定义33
可导性与连续性的关系33
高阶导数定义34
§2��2函数的求导法则34
导数四则运算法则34
反函数求导法则35
复合函数求导法则35
隐函数求导法则35
对数求导法则36
参数方程求导法则37
常数和基本初等函数的导数公式39
常用高阶导数公式39
相关变化率40
§2��3函数微分概念与微分运算法则41
微分定义41
可微的充分必要条件42
函数在任意点的微分42
基本初等函数的微分公式42
函数和、差、积、商的微分
法则44
复合函数微分法则44
本章知识点及其关联网络45
第3章微分中值定理与导数应用46
§3��1微分中值定理46
费马引理46
罗尔定理46
拉格朗日中值定理46
拉格朗日中值定理推论46
柯西中值定理46
泰勒公式47
§3��2导数应用49
极限的未定式49
洛必达法则49
函数单调性判别法则51
函数凹凸性定义51
函数拐点定义52
函数凹凸性判别法53
函数极值定义53
函数极值的必要条件53
函数极值第一充分条件53
函数极值第二充分条件54
函数极值第三充分条件54
曲线的渐近线54
曲线的弧微分公式55
曲率公式56
本章知识点及其关联网络57
第4章不定积分58
§4��1不定积分的概念与性质58
原函数定义58
不定积分定义58
积分曲线59
不定积分性质59
§4��2不定积分的计算方法59
直接积分法60
换元积分法60
分部积分法61
基本积分公式61
§4��3特殊函数的不定积分63
(1)有理函数的积分63
有理函数63
有理函数真分式的部分分
式之和公式64
有理函数积分法65
(2)三角函数有理式的积分65
三角函数有理式65
三角函数有理式积分法65
(3)简单无理函数的积分66
简单无理函数66
简单无理函数积分法66
常见的无法用初等函数
表示的不定积分66
本章知识点及其关联网络67
第5章定积分68
§5��1定积分的概念与性质68
定积分定义68
可积的充分条件69
关于定积分的两点规定70
定积分性质70
§5��2微积分基本公式72
积分上限函数定义72
积分上限函数的性质73
牛顿�怖巢寄嶙裙�式73
§5��3定积分的计算74
定积分的换元积分法74
定积分的分部积分法75
定积分的几个常用结果75
§5��4反常积分76
无穷限的反常积分定义76
无穷限反常积分的计算78
无界函数反常积分的定义79
无界函数反常积分的计算80
本章知识点及其关联网络82
第6章定积分应用83
§6��1定积分元素法83
定积分元素法83
§6��2几何应用84
(1)平面图形面积84
直角坐标系中平面图
形面积84
极坐标系中平面图形面积85
(2)空间体的体积86
旋转体的体积86
平行截面面积已知的
空间体的体积86
(3)平面曲线弧长87
平面曲线弧长的定义87
曲线弧长公式88
§6��3物理应用89
变力沿直线做功89
水压力90
引力91
§6��4平均值94
函数的平均值94
函数的均方根94
本章知识点及其关联网络95
第7章空间解析几何与向量代数96
§7��1空间直角坐标系96
空间直角坐标系96
空间点的坐标97
空间两点间的距离公式98
§7��2空间向量及其运算98
向量98
空间点M的向径98
自由向量99
向量a与b相等99
向量a与b平行99
向量的模99
单位向量99
向量加法99
向量加法的运算算律100
负向量101
向量的差101
向量与数的乘法101
向量与数的乘法运算算律101
向量平行的充分必要条件102
非零向量的单位化102
§7��3向量的坐标102
向量坐标102
向量加法、减法和数乘运
算的坐标表示102
向量a//b的坐标表示103
向量模的坐标表示103
两向量的夹角103
向量的方向角103
向量的方向余弦及其性质103
向量在轴上的投影104
投影定理104
投影性质104
§7��4数量积向量积混合积105
(1)向量的数量积105
数量积定义105
数量积的性质106
数量积的运算算律106
数量积的坐标表示106
两个向量夹角余弦
的坐标表示106
(2)向量的向量积107
向量积定义107
向量积的性质107
向量积的运算算律107
向量积的坐标表示107
(3)向量的混合积108
混合积的定义108
混合积的坐标表示108
混合积的几何意义108
§7��5空间曲面及其方程109
曲面方程的概念109
旋转曲面109
旋转曲面方程109
柱面110
空间曲面的参数方程111
二次曲面111
二次曲面方程111
§7��6空间曲线及其方程112
空间曲线112
空间曲线的一般方程112
空间曲线的参数方程112
空间曲线在坐标面
上的投影113
§7��7平面及其方程113
平面的法向量113
平面的一般方程113
平面的点法式方程113
平面的截距式方程114
平面的两点式方程114
平面束方程114
两平面的夹角114
两平面垂直的条件115
两平面平行的条件115
平面外一点到平面的距离115
§7��8空间直线及其方程115
直线的方向向量115
空间直线的一般方程115
空间直线的对称式方程116
空间直线的参数方程116
两直线的夹角116
两直线夹角的余弦公式117
直线与平面的夹角117
直线与平面夹角的公式117
直线外一点到直线的距离117
本章知识点及其关联网络118
第8章多元函数微分法及其应用119
§8��1多元函数的基本概念119
坐标平面119
平面点集119
平面上两点间的距离119
平面上点P0的δ邻域120
平面上点P0
的去心δ邻域120
内点120
外点120
边界点与边界120
聚点121
开集121
闭集121
连通集121
区域(或开区域)121
闭区域122
有界点集和无界点集122
二元函数定义122
n元函数定义122
二元函数极限定义123
二元函数连续定义123
二元函数间断点定义124
多元连续函数的和、差、
积、商的连续性124
多元连续函数的复合
函数的连续性124
多元初等函数的概念124
多元初等函数的连续性124
有界闭区域上连续
函数的性质125
§8��2偏导数126
二元函数偏导数定义126
二元函数偏导数的
几何意义127
二元函数高阶偏导数概念128
二阶混合偏导与求导顺
序无关的条件129
§8��3全微分129
二元函数的偏增量与
偏微分的概念129
二元函数的全增量与全
微分的定义129
全微分存在的必要条件130
全微分存在的充分条件130
n元函数全微分的表达式131
§8��4多元复合函数的求导法则131
中间变量均为一元函
数的情形131
中间变量均为多元函
数的情形132
中间变量既有一元函数又
有多元函数的情形133
全微分形式的不变性133
§8��5隐函数的求导公式134
单一方程情形134
方程组情形135
多元反函数求导公式136
§8��6微分在几何上的应用139
空间曲线的切线概念139
空间曲线的切向量140
空间曲线的切线方程140
空间曲线的法平面
及其方程140
其他形式的空间曲线方程
的切线与法平面方程140
曲面的切平面和法
线的概念142
曲面法向量的概念142
曲面的切平面与法线方程143
曲面法向量的方向余弦144
二元函数全微分
的几何意义145
§8��7方向导数与梯度145
方向导数定义145
方向导数的存在条件
和计算公式146
梯度的概念146
梯度与方向导数的关系147
§8��8多元函数的极值及其求法148
二元函数极值的定义148
极值的必要条件149
极值的充分条件149
条件极值与无条件极值150
拉格朗日乘子法150
本章知识点及其关联网络①(多元函数微分法)152
本章知识点及其关联网络②(多元函数微分法应用)153
第9章重积分154
§9��1二重积分的概念与性质154
二重积分定义154
二重积分性质155
§9��2二重积分的计算法 157
直角坐标系中二重
积分的计算157
极坐标系中二重
积分的计算159
二重积分换元定理161
§9��3三重积分162
三重积分定义162
三重积分性质163
直角坐标系中三重
积分的计算163
柱坐标系中三重积
分的计算166
球坐标系中三重积
分的计算168
§9��4重积分应用171
(1)几何应用171
曲面面积171
(2)物理应用172
质心坐标172
转动惯量174
引力175
本章知识点及其关联网络178
第10章曲线积分与曲面积分179
§10��1对弧长的曲线积分179
对弧长曲线积分的定义179
对弧长曲线积分存在
的充分条件180
对弧长曲线积分的性质180
对弧长曲线积分的
计算公式182
对弧长曲线积分的
计算步骤183
§10��2对坐标的曲线积分183
对坐标曲线积分的定义183
对坐标曲线积分的
向量表达式185
对坐标曲线积分存
在的充分条件185
对坐标曲线积分的性质186
对坐标曲线积分的
计算公式186
对坐标曲线积分的
计算步骤188
两类曲线积分之间的联系189
§10��3格林公式190
单连通域与复连通域190
平面区域边界的正方向190
格林公式190
曲线积分与路径无
关的概念191
曲线积分与路径无
关的等价条件191
曲线积分与路径无关
的充分必要条件191
二元函数全微分求
积的概念192
二元函数全微分求积
的条件与方法192
§10��4曲线积分的应用194
(1)几何应用194
弧长的计算194
柱面的面积195
(2)物理应用195
线状物体的质量195
线状物体的质心196
线状物体的转动惯量197
变力沿曲线作功197
§10��5对面积的曲面积分198
对面积曲面积分的定义198
对面积曲面积分存
在的充分条件199
对面积曲面积分的性质199
对面积曲面积分的计算
步骤和计算公式200
§10��6对坐标的曲面积分202
有向曲面的概念202
有向曲面的方向202
有向曲面在坐标
面上的投影203
对坐标曲面积分的定义203
对坐标曲面积分存在
的充分条件205
对坐标曲面积分的性质205
对坐标曲面积分的计算
步骤和计算公式207
两类曲面积分之间的联系208
§10��7高斯公式通量和散度209
高斯公式209
通量和散度210
§10��8斯托克斯公式环流量和旋度210
斯托克斯公式210
环流量和旋度211
§10��9曲面积分的应用212
(1)几何应用212
空间曲面面积212
(2)物理应用212
曲面状物体的质量212
曲面状物体的质心213
面状物体的转动惯量213
本章知识点及其关联网络①(曲线积分)214
本章知识点及其关联网络②(曲面积分)215
第11章无穷级数216
§11��1常数项级数的概念和性质216
常数项级数定义216
级数的前n项和数列216
级数收敛和发散定义216
级数余项定义217
收敛级数的基本性质 217
级数收敛的必要条件218
柯西审敛原理218
§11��2常数项级数的审敛法218
正项级数定义218
正项级数收敛的充
分必要条件218
正项级数的比较审敛法219
正项级数的比较
审敛法推论219
三个重要级数的敛散性220
正项级数比较审敛法
的极限形式220
正项级数的极限审敛法221
正项级数的比值
审敛法（ 达朗贝尔
( D’Alembert) 判别法）221
正项级数的根值
审敛法（柯西
(Cauchy) 判别法）222
交错级数定义222
交错级数审敛法
（莱布尼兹定理）222
绝对收敛和条件收敛222
绝对收敛级数的性质223
§11��3幂级数224
函数项级数定义224
函数项级数的收
敛域和发散域224
函数项级数的和
函数及余项225
幂级数226
阿贝尔（Abel）定理226
阿贝尔（Abel）定理推论226
幂级数的收敛半径、
收敛区间和收敛域 226
幂级数收敛半径的求法227
幂级数的四则运算227
幂级数和函数的性质229
泰勒级数230
麦克劳林级数231
函数展成泰勒级数231
常用函数的麦克劳林级数231
§11��4函数项级数的一致收敛性232
函数项级数的一致收敛性232
函数项级数一致收
敛性的判别法（维
尔斯特拉斯
（Weierstrass）判别法）233
一致收敛级数的性质233
幂级数的一致收敛性235
§11��5复数项级数和欧拉公式235
复数项级数235
复数项级数的收敛性236

复数项级数的绝对收敛性236
欧拉（Euler）公式236
§11��6傅里叶级数237
三角级数237
傅里叶级数237
收敛定理（狄利
克雷（Dirichler）
充分条件）237
奇函数与偶函数的
傅里叶系数238
正弦级数238
余弦级数238
以2l为周期的函数的
傅里叶级数239
本章知识点及其关联网络 ①(数项级数)241
本章知识点及其关联网络②（幂级数、傅里叶级数）242
第12章微分方程243
§12��1微分方程的基本概念243
微分方程定义243
微分方程的阶243
n阶微分方程的一般形式243
微分方程的解243
微分方程的初始条件244
微分方程的通解和特解244
微分方程的积分曲线244
§12��2一阶微分方程244
可分离变量的微分
方程及其解法244
齐次方程及其解法244
一阶线性微分方程245
一阶线性齐次微分
方程的通解245
一阶线性非齐次微分
方程的通解246
伯努利方程246
伯努利方程解法246
全微分方程247
全微分方程解法247
积分因子247
§12��3高阶可降阶微分方程248
y(n)=f(x)型的
微分方程248
y″=f(x,y′)型的微
分方程248
y″=f(y,y′)型的微分方程248
§12��4高阶线性微分方程249
二阶线性微分方程249
二阶齐次线性微分方程
解的叠加原理249
函数的线性相关与
线性无关249
二阶齐次线性微分方
程的通解结构250
n阶齐次线性微分方程
的通解结构250
二阶非齐次线性微分方
程的通解结构250
二阶非齐次线性微分方
程解的叠加原理251
§12��5常系数齐次线性微分方程251
二阶常系数齐次线
性微分方程251
二阶常系数齐次线性微分
方程的特征方程252
二阶常系数齐次线性微分
方程的求解步骤252
n阶常系数齐次线
性微分方程252
n阶常系数齐次线性微分方
程的特征方程253
n阶常系数齐次线性微
分方程的通解253
§12��6常系数非齐次线性微分方程254
二阶常系数非齐次线
性微分方程254
f(x)=eλxPm(x)型254
f(x)=eλx［Pl(x)cosωx
+Pn(x)sinωx］型254
本章知识点及其关联网络256
第13章行列式257
§13��1行列式的概念257
排列257
排列的逆序与逆序数257
n阶行列式的定义257
几种特殊行列式的值258
§13��2行列式的基本性质259
行列式的基本性质259
余子式和代数余子式263
§13��3行列式按行（列）展开定理263
行列式按行(列)展开定理263
范德蒙行列式264
§13��4克莱姆法则解线性方程组264
克莱姆法则264
克莱姆法则的等价定理265
本章知识点及其关联网络266
第14章矩阵及其运算267
§14��1矩阵的概念267
矩阵定义267
几种特殊矩阵267
§14��2矩阵的运算269
矩阵的线性运算269
矩阵线性运算的性质269
矩阵的乘法270
矩阵乘法满足的运算规律270
方阵的幂271
方阵的幂的运算规律271
矩阵的转置271
矩阵转置的运算规律272
方阵的行列式272
方阵的行列式的运算性质272
共轭矩阵272
共轭矩阵的运算规律272
对称矩阵272
反对称矩阵272
伴随矩阵273
§14��3逆矩阵273
逆矩阵的定义273
可逆的充分必要条件274
逆矩阵的运算性质274
矩阵方程的求解274
逆矩阵的求法275
§14��4矩阵的初等变换276
矩阵初等变换定义276
等价矩阵276
等价的性质276
初等矩阵276
初等矩阵的性质279
§14��5矩阵的秩281
r阶子式281
矩阵秩的定义281
矩阵秩的性质281
利用初等变换求矩阵的秩282
§14��6分块矩阵法282
分块矩阵定义282
常用分块法282
分块矩阵的运算284
本章知识点及其关联网络289
第15章向量组的线性相关性290
§15��1向量及其线性运算290
向量的定义290向量的线性运算…………………290
两向量的相等290向量线性运算的性质……………291
§15��2向量的线性相关性292
线性组合292
向量的线性表示292
向量能由一组向量线性表
示的充分必要条件292
两个向量组的线性
表示与等价292
两个向量组的线性表示与
等价的充要条件293
线性相关与线性无关293
向量的线性相关性
的判别定理293
向量线性相关性的
几个重要定理294
向量线性相关性的
几个重要结论295
§15��3最大无关组与向量组的秩295
最大无关组定义295
向量组的秩296
向量组的秩的重要定理296
§15��4向量空间296
向量空间296
向量空间的基297
向量空间的维数297
向量在某组基下的坐标297
子空间298
基变换公式298
坐标变换公式299
§15��5向量的内积299
向量的内积299
向量的长度300
柯西施瓦兹不等式301
两向量的夹角301
正交向量组的性质301
§15��6标准正交基与正交矩阵301
标准正交基301
施密特正交化方法301
正交矩阵302
正交矩阵的性质302
本章知识点及其关联网络304
第16章线性方程组305
§16��1齐次线性方程组305
齐次线性方程组305
齐次线性方程组
有解的判别306
齐次线性方程组解的性质306
齐次线性方程组
的基础解系306
齐次线性方程组解的结构306
齐次线性方程组的求解（利用
矩阵的初等变换）步骤306
§16��2非齐次线性方程组307
非齐次线性方程组307
非齐次线性方程组
有解的判别308
非齐次线性方程组
解的性质308
非齐次线性方程组
解的结构309
解n元非齐次线性方程
组的步骤309
本章知识点及其关联网络310
第17章特征值特征向量311
§17��1特征值、特征向量及其性质311
方阵的特征值、特征向量311
特征矩阵，特征多项式，
特征方程311
特征值、特征向量的求法312
特征值、特征向量的性质312
§17��2相似矩阵313
相似矩阵313
相似矩阵的性质313
§17��3矩阵可对角化的条件315
矩阵可对角化…………………315矩阵可对角化的条件315
§17��4实对称矩阵的对角化315
实对称矩阵的性质315
本章知识点及其关联网络317
第18章二次型及其标准形318
§18��1二次型的矩阵表示，合同矩阵318
二次型318
二次型的矩阵318
标准形319
合同矩阵319
合同矩阵的性质319
线性变换320
§18��2线性变换化二次型为标准形321
配方法321
正交变换法321
用正交变换法化二次型
为标准形的步骤322
惯性定理322
§18��3正定二次型、正定矩阵323
正定二次型、正定矩阵323
n元二次型 f(X)=XTAX是
正定二次型（n阶矩阵 A
是正定矩阵）323
n元二次型 f(X)=XTAX是
负定二次型（n阶矩阵
A是负定矩阵）324
n元二次型 f(X)=XTAX是
半正定二次型（n阶矩阵
A是半正定矩阵）325
本章知识点及其关联网络326
第19章随机事件与概率327
§19��1随机试验327
随机现象327
随机试验327
§19��2样本空间、随机事件327
样本空间与样本点327
随机事件328
事件的关系和运算328
事件的运算算律329
§19��3频率与概率330
频率330
频率的性质331
概率的统计定义331
概率的公理化定义331
概率的性质332
§19��4等可能概型（古典概率）333
古典概型333
概率的计算公式333
古典概率的性质333
几何概率334
§19��5条件概率335
条件概率定义335
条件概率的性质335
乘法公式335
划分（完备事件组）336
全概率公式336
贝叶斯公式（Bayes）
（逆概率公式）336
§19��6独立性337
两事件的独立性337
三事件的独立性337
n个事件的相互独立性338
本章知识点及其关联网络339
第20章随机变量及其分布340
§20��1随机变量340
随机变量………………………340
§20��2离散型随机变量及其分布律340
离散型随机变量340
分布律340
常见的离散型分布341
§20��3随机变量的分布函数342
分布函数的定义342
分布函数的性质342
§20��4连续型随机变量及其概率密度343
连续型随机变量343
连续型随机变量的性质343
常见的连续型分布343
§20��5随机变量函数的分布348
离散型随机变量
函数的分布348
连续型随机变量函
数的分布348
本章知识点及其关联网络350
第21章多维随机变量351
§21��1二维随机变量351
二维随机变量定义351
联合分布函数351

二维离散型随机变量352
二维连续型随机变量353
§21��2边缘分布354
边缘分布函数354
边缘分布律354
边缘概率密度355
§21��3条件分布355
条件分布律355
条件概率密度356
§21��4相互独立的随机变量356
二维随机变量相互
独立的定义356
随机变量相互独立的
判别方法356
两个重要的二维分布357
§21��5二维随机变量的函数的分布359
Z=X+Y的分布(二维随机变
量和的分布)359
M=max{X，Y}及N=
min{X，Y}的分布(两个随
机变量的最大最小分布)360
本章知识点及其关联网络362
第22章随机变量的数字特征363
§22��1数学期望（简称均值）363
离散型随机变量的
数学期望363
连续型随机变量的
数学期望363
随机变量函数的数学期望364
数学期望的性质365
§22��2方差366
方差的定义366
方差计算公式366
方差的性质366
常见随机变量的
期望和方差366
§22��3协方差及相关系数367
协方差定义367
协方差的性质367
相关系数368
相关系数性质368
不相关368
§22��4矩369
k阶矩369
k阶中心矩369
混合原点矩369
混合中心矩369
本章知识点及其关联网络370
第23章大数定律与中心极限定理371
§23��1大数定律371
切比雪夫不等式371
大数定律371
§23��2中心极限定理372
独立同分布的中
心极限定理372
棣莫弗�怖�普拉斯定理373
本章知识点及其关联网络375
第24章样本及抽样分布376
§24��1随机样本376
总体376
样本376
样本的分布376
§24��2抽样分布377
统计量377
常用统计量377
χ2分布（卡方分布）378
t分布380
F分布381
正态总体的样本
均值的分布383
正态总体的样本
方差的分布383
正态总体的样本均值与
样本方差关系的分布383
两正态总体的样本均值
差和方差比的分布384
本章知识点及其关联网络385
第25章参数估计386
§25��1点估计386
点估计的定义386
矩法估计法387
似然函数…………………………387最大似然估计法388
§25��2估计量的评选标准390
无偏性390
有效性390
相合性(一致性)390
§25��3区间估计391
置信区间391
寻求置信区间的方法391
§25��4正态总体均值与方差的区间估计392
单个正态总体均值
的区间估计392
单个正态总体方差
的区间估计393
两个正态总体均值
差的置信区间393
两个正态总体方差
比的置信区间394
§25��5（0��1）分布参数的区间估计394
§25��6单侧置信区间395
本章知识点及其关联网络396
第26章假设检验397
§26��1假设检验397
假设检验397
显著性检验398
假设检验的步骤398
假设检验的几种检验法398
§26��2正态总体均值的假设检验399
单个正态总体均值
的假设检验399
两个正态总体均值差
异的显著性检验400
§26��3正态总体方差的假设检验401
单个正态总体方差
的假设检验401

两个正态总体方差的齐
性检验( F检验法) 402
本章知识点及其关联网络403
附表404
附表1标准正态分布表404
附表2泊松分布表406
附表3t分布表409
附表4Χ2分布表412
附表5Ｆ分布表417

前言/序言

《高等代数基础：从理论到应用》 本书特色： 深度与广度的完美结合： 本书旨在为理工科、经济管理类专业学生提供扎实的高等代数基础。内容覆盖了从集合论初步、数域扩充、线性空间、线性变换到内积空间、二次型等核心概念，并辅以大量的实际应用案例，帮助读者理解抽象理论在工程、数据科学和经济学中的具体价值。 强调几何直观与代数逻辑的统一： 区别于传统教材的纯理论推导，本书在讲解向量空间、线性变换等抽象概念时，大量引入三维空间及更高维空间的直观几何图像，将代数运算与几何意义紧密联系。我们相信，对几何直观的深刻理解是掌握高等代数本质的关键。 注重计算技能的培养： 详细阐述了高斯消元法、行列式计算、特征值与特征向量求解等核心计算技巧。每种方法都配有详尽的步骤解析和多种计算策略的比较，确保读者不仅“知其然”，更能“知其所以然”，从而在实际问题中快速准确地应用。 丰富的习题设计与精选解析： 习题分为基础巩固型、能力提升型和综合应用型三类。基础题旨在巩固基本概念和运算；能力题则侧重于逻辑推理和证明的训练；应用题则选取了如图论、优化问题中的线性规划基础、密码学中的有限域应用等前沿交叉领域案例，拓宽学生的视野。每章末均附有精选例题的详细解题思路分析。 清晰的逻辑脉络与严谨的表述： 全书结构清晰，从最基础的数域、矩阵入手，逐步构建起线性代数理论的宏伟殿堂。所有定义、定理均表述精确，证明过程逻辑严密且易于跟进。 --- 章节内容概述 第一部分：基础构建与矩阵代数 第一章：预备知识与基础代数结构 本章回顾了复数域、实数域、有理数域的基本性质，并引入了对多项式理论的初步探讨，包括多项式环 $mathbb{F}[x]$ 的基本概念、除法与带余定理。重点讲解了多项式的根的性质，为后续引入域扩张打下基础。同时，对集合论中的基本操作和映射性质进行了必要的梳理。 第二章：线性方程组与矩阵 本章是线性代数计算的基石。详细阐述了线性方程组的相容性判断、解的结构。系统介绍了矩阵的定义、线性运算及其性质。重点讲解了矩阵的秩、初等行变换在求解方程组和求矩阵逆过程中的核心作用。引入了矩阵的按列（或行）组合视角，为向量空间的概念做铺垫。 第三章：行列式 本章系统地介绍了行列式的定义、性质，包括行列式的乘法法则和按行（列）展开定理。重点分析了行列式在判断矩阵可逆性、求解线性方程组（克拉默法则）中的应用。通过行列式与矩阵的几何意义（如面积、体积的伸缩因子）的联系，增强对行列式概念的直观理解。 第二部分：抽象空间的建立与变换 第四章：线性空间（向量空间） 这是本书理论深化的关键章节。严格定义了线性空间的概念，引入了子空间、线性组合、线性相关性、基与维数等核心概念。详细讨论了有限维线性空间的结构，特别是如何通过基的选择来描述空间中的任意元素。对不同线性空间的同构性进行了探讨。 第五章：线性变换（线性映射） 本章将代数运算提升到映射的层面。定义了线性变换的性质，探讨了核（Kernel）与像（Image）子空间的概念，以及它们与变换的秩的关系。重点在于理解矩阵是如何作为线性变换在特定基下的坐标表示，以及基变换如何影响矩阵的表示形式。 第六章：特征值与特征向量 特征值问题是分析线性系统稳定性和动态行为的核心。本章详细讲解了如何通过求解特征多项式来确定特征值。深入分析了特征向量的几何意义，并探讨了特征值和特征向量在微分方程组、动力系统分析中的初步应用。 第三部分：内积结构与二次型分析 第七章：欧几里得空间与内积 本章引入了内积（点积）的概念，将线性空间提升为具有度量结构的欧几里得空间（或酉空间）。讲解了内积的性质，特别是长度、角度的概念。重点介绍施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，以及正交基在简化计算和理论分析中的巨大优势。 第八章：正交变换与最小二乘法 基于正交基，本章探讨了正交矩阵的特殊性质。重点讲解了正交投影的概念，并将其应用于最小二乘问题——这是工程和数据拟合中最常见的优化问题之一。通过正交化方法，展示如何找到在观测数据误差最小情况下的最佳近似解。 第九章：二次型与矩阵的对角化 二次型是理解高维空间曲面性质的关键。本章将二次型表示为二次函数，并用对称矩阵来描述。核心内容是实对称矩阵的谱定理，证明了任何实对称矩阵都可以通过正交变换对角化。这不仅是理论上的重要结论，也是优化问题中曲率分析的基础。 第十章：应用与拓展（选读） 本章选取了几个具有代表性的应用实例： 1. 奇异值分解（SVD）的几何意义与初步应用： 作为矩阵分解的有力工具，SVD 在数据压缩和主成分分析（PCA）中的基础作用。 2. 线性规划的基础： 介绍如何将实际的资源分配问题转化为线性规划模型，并简述单纯形法（Simplex Method）的基本思想。 3. 迭代法在大型系统求解中的地位： 简要介绍雅可比法和高斯-赛德尔法等，说明其在数值计算中的实际价值。 --- 目标读者： 两年制或三年制大专院校理工科专业学生（如数学、物理、化学、电子信息、计算机科学、机械工程等）。 经济学、金融学、管理科学等需要接触线性规划和矩阵分析的专业学生。 希望系统回顾并深入理解线性代数核心概念的自学者。 本书承诺： 通过系统学习本书内容，读者将不仅掌握高等代数的基本计算方法，更能建立起严密的代数思维和抽象逻辑能力，为后续学习线性规划、数值分析、傅里叶分析、机器学习（如线性回归、PCA）等高级课程打下坚实且灵活的基础。本书力求在“严谨”与“实用”之间找到最佳平衡点。

评分☆☆☆☆☆

作为一名即将踏入社会的大学生，我深知数学在未来工作中的重要性，但坦白说，大学数学的某些课程，对我来说，就像一道难以逾越的鸿沟。教材上的内容，虽然全面，但总感觉缺乏一种“落地”的感觉，很多抽象的理论，我很难将其与实际应用联系起来。就在我为如何高效学习这些内容而苦恼时，我偶然发现了《大学生数学手册》。这本书最吸引我的地方，在于它将理论与实践巧妙地结合。它不仅仅讲解了数学公式和定理，更重要的是，它深入浅出地剖析了这些知识在各个领域中的应用。例如，在讲解微积分时，它不仅详细解释了导数和积分的概念，还通过工程、经济等多个领域的实例，生动地展示了它们是如何被用来解决实际问题的。这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，让我对数学的理解从“死记硬背”提升到了“融会贯通”。而且，这本书在例题设计上也极具匠心，它精心挑选了大量具有代表性的问题，涵盖了从基础概念的理解到复杂应用题的分析。每道例题都提供了详尽的解题步骤和思路，而且还附带了对解题过程中可能遇到的难点和易错点的详细讲解。我常常在做题遇到困惑时，翻阅这本书，它的清晰解析和独到见解，总能帮助我茅塞顿开，找到解决问题的关键。这本书不仅是一本数学工具书，更像是一位经验丰富的导师，帮助我在掌握理论知识的同时，也培养了解决实际问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对是每个大学生数学学习路上的“神助攻”！作为一名大一新生，刚开始接触高等数学的时候，那种懵懂和无助感简直可以用“迷失在数学的海洋里”来形容。学校的教材虽然严谨，但很多时候对于我们初学者来说，就像一本天书，概念抽象，推导过程看得头晕眼花。就在我快要放弃的时候，我偶然发现了这本《大学生数学手册》，简直是及时雨！首先，它的编排非常清晰，章节划分符合我们学习的进度，而且每个概念的讲解都力求通俗易懂。不像有些参考书，上来就抛一大堆公式和定理，这本书会先用直观的语言解释概念的本质，然后才逐步引入公式和推导。举个例子，像导数和积分这两个概念，我之前怎么也弄不明白它们到底有什么物理意义或者几何意义，这本书里就用了大量的图示和贴近生活的例子来讲解，比如用速度和位移的关系来解释导数，用面积和体积的累积来解释积分，一下子就茅塞顿开。而且，它还提供了大量的例题，从基础到进阶，每道题的解题思路和步骤都讲解得特别详细，就像跟着老师一对一辅导一样。我常常会对照着书本上的例题，自己动手去解，遇到不懂的地方，再回头看书上的讲解，这种主动学习的方式让我对数学的理解更加深刻。这本书不仅仅是知识点的罗列，更是一种学习方法的引导，让我从被动接受知识转变为主动探索知识，极大地提升了我的学习效率和自信心。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学这门学科，要么就是你完全能get到它的美妙和逻辑，要么就是被那些冰冷的符号和公式打得晕头转向。在我看来，大多数大学生在面对高等数学时，都处于后者，包括我。学校的课程讲义，我承认它很全面，也很权威，但总感觉少了点“人情味”。很多时候，老师讲过的东西，回家再看，脑子里依然是浆糊。偶然的机会，朋友推荐了《大学生数学手册》，我抱着试试看的心态翻开了。这书最让我惊喜的地方在于，它不仅仅是内容的堆砌，更像是为我们这些“数学小白”量身定制的“通关秘籍”。它把那些复杂的数学概念，比如线性代数里的向量空间、矩阵的特征值等等，用非常具象化的语言去解释，甚至还穿插了一些历史故事和实际应用，让我在学习知识的同时，也能感受到数学的魅力。最关键的是，它的例题设计非常有针对性，几乎涵盖了我们学习过程中会遇到的所有难点和易错点。而且，每道题的解析都详尽入微，不仅仅给出答案，更重要的是剖析了出题者的思路，以及解决问题的关键步骤。我经常在做题遇到瓶颈的时候，翻开这本书，找到类似的例题，然后跟着它的思路一步步来，很快就能找到解题的窍门。这种“授人以鱼不如授人以渔”的学习方式，让我受益匪浅。它不再是冷冰冰的知识点集合，而是一个充满智慧和引导的伙伴，帮助我在数学的道路上少走弯路。

评分☆☆☆☆☆

我不得不承认，大学阶段的数学学习，对于很多人来说，都是一个不小的挑战。尤其是在面对那些抽象的概念和复杂的公式时，那种枯燥和无力感，常常让我想要放弃。学校的教材固然权威，但对于我们这些初学者来说，常常显得过于晦涩难懂。就在我感到前途渺茫的时候，一本《大学生数学手册》闯入了我的视野，从此，我与数学的“恩怨情仇”有了新的篇章。这本书最让我赞赏的一点，是它“温度”十足的讲解方式。它不像有些书籍那样，上来就是一大堆冷冰冰的公式，而是用一种循循善诱的方式，将每一个抽象的数学概念，都变得生动有趣。例如，在讲解集合论时，它会用大家熟悉的日常用品进行类比，让我一下子就明白了集合和元素之间的关系。而到了更复杂的微积分，它更是用了大量的图示和生活化的场景，把那些抽象的导数和积分，变得仿佛触手可及。最值得称道的是，它提供的例题，简直是“量身定制”的。不仅仅数量多，而且覆盖面广，从最基础的概念巩固，到那些让人头疼的应用题，几乎涵盖了我们学习过程中可能遇到的所有“拦路虎”。更重要的是，每一道例题的解析，都清晰明了，就像一个经验丰富的老师，手把手地教你如何一步步地解开谜题。我常常在做题卡壳的时候，翻开这本书，跟着它的思路走，很快就能找到突破口。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种学习方法的启迪，它让我真正体会到了学习数学的乐趣，并且极大地提升了我独立解决数学问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

说实话，大学数学的学习过程，对我而言，一直是一场艰苦卓绝的“战斗”。尤其是在一些抽象概念和复杂公式面前，我常常感到力不从心，甚至产生了畏难情绪。学校的教材虽然是官方的，但它的深度和广度，对于初次接触的我们来说，往往显得过于“硬核”，需要大量的课余时间去消化吸收。正是在这种背景下，我尝试性地入手了这本《大学生数学手册》。这本书最打动我的地方，在于它极其注重“化繁为简”。它不是简单地把教材上的内容重新排版，而是深入地挖掘了每个知识点的本质，用更易于理解的方式呈现出来。比如，在讲解概率论中的一些核心概念时，它没有直接给出复杂的数学定义，而是通过一系列生动形象的类比，比如抛硬币、抽奖等等，来帮助我们建立直观的认识。而且，这本书的例题选择非常有代表性，涵盖了从基础概念的巩固到复杂问题的求解，每道例题的解析都提供了详细的解题思路和步骤，能够让我们清晰地看到问题是如何被一步步拆解和解决的。我个人尤其喜欢它在一些关键节点上设置的“小贴士”和“易混淆点辨析”，这些内容非常实用，能够有效地帮助我们避开常见的学习误区。这本书就像一个经验丰富的向导，在我迷茫的时候，能够指引我找到正确的方向，并且教会我如何克服前进道路上的困难，极大地增强了我学习数学的信心和动力。