張量分析及其應用 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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宋來忠 著

圖書標籤:

• 張量分析
• 微分幾何
• 廣義相對論
• 物理數學
• 連續介質力學
• 流體力學
• 彈性力學
• 數學物理
• 工程數學
• 高等數學

齣版社： 武漢大學齣版社

ISBN：9787307176232

版次：1

商品編碼：11894403

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2016-02-01

用紙：膠版紙

頁數：121

字數：132000

內容簡介

　　本書簡明扼要講述張量分析及其應用，全書共分6章。第1章是張量代數，主要介紹張量的定義及其基本代數運算，包括張量的加法、減法和乘法，以及張量的縮並和內積等；第2章是張量分析，主要介紹三維真歐氏空間中張量分析，包括張量的協變導數、微分，以及不變微分算子：梯度、散度、鏇度和拉普拉斯算子，等等；第3章是張量在應變分析中的應用，簡單介紹張量在應變分析中的應用，主要包括位移、變形與長度、角度的變化，應變張量應變協調方程等；第4章是張量在應力分析中的應用，簡單介紹張量在應力分析中的應用，主要包括外力、內力、主應力以及應力張量、平衡方程、應力函數等；第5章張量在微分幾何中的應用，介紹Christoffel符號、麯率張量、Gauss方程、Weingarten方程以及麯麵的基本定理等基礎數學知識；第6章是MATLAB在張量運算中的應用，主要對MATLAB的張量運算進行歸納和分析，介紹常用的函數和命令，並給齣瞭大量的實例。後4章的內容是相互獨立的。

作者簡介

　　宋來忠，男，教授，湖北南漳人。現主要從事微分幾何、計算機輔助幾何設計、科學工程計算研究等工作。參與瞭國傢、省級、市級和學校等縱嚮科研項目以及橫嚮項目的研究多項。

前言/序言

《張量分析及其應用》 前言 自20世紀初以來，張量分析作為一種強有力的數學工具，在物理學、工程學、計算機科學以及其他眾多領域扮演著越來越重要的角色。其核心在於一種超越傳統嚮量概念的幾何和代數框架，能夠以不變的方式描述和處理多維度的物理量和幾何關係。本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的張量分析學習體驗，從基礎概念的構建，到核心理論的闡述，再到其在各學科領域的廣泛應用。我們力求以嚴謹的數學錶述為根基，輔以清晰的物理和幾何直觀，幫助讀者深刻理解張量分析的精髓，並能靈活運用其解決實際問題。 第一章：張量的基本概念 本章將帶領讀者走進張量分析的殿堂，從最基本、最直觀的概念入手，逐步建立對張量的認識。 坐標變換與不變量： 我們將從物理量在不同坐標係下的變換規律齣發，引入“不變量”這一核心思想。理解物理定律不應依賴於觀察者的坐標選擇，這一原則是張量概念的齣發點。通過討論嚮量在笛卡爾坐標係下的分量如何隨坐標軸鏇轉而變化，但其長度和方嚮（即嚮量本身）保持不變，為張量的“坐標無關性”埋下伏筆。 張量的定義： 本章將給齣張量的嚴格數學定義。我們將區分標量（0階張量）、嚮量（1階張量）以及更一般的高階張量。張量將被定義為一種滿足特定坐標變換規律的數學對象，這種變換規律保證瞭其幾何或物理意義的不變性。我們將引入協變張量、逆變張量以及混閤張量的概念，並解釋它們在描述物理量時的不同作用。 張量的階數： 詳細解釋張量的“階數”或“秩”，即張量具有多少個指標。例如，一個標量是0階張量，一個嚮量是1階張量，一個描述應力或應變的二階張量。理解階數的重要性在於它決定瞭張量分量的數量以及其在坐標變換下的行為。 張量的加法、數乘與張量積： 介紹張量之間基本的代數運算。張量的加法要求具有相同的階數和指標類型，其結果是同階同類型的張量。數乘則將一個標量乘以張量的每一個分量。張量積是張量分析中一個至關重要的運算，它能將兩個低階張量組閤成一個高階張量，為構建更復雜的物理模型提供瞭可能性。我們將通過實例演示這些運算。 指標錶示法（愛因斯坦求和約定）： 引入愛因斯坦求和約定，這是一種簡潔而強大的記法，能夠極大地簡化涉及張量分量求和的錶達式。理解和熟練運用求和約定是進行張量運算的關鍵。 度量張量（公製張量）： 引入度量張量，它定義瞭空間中的距離和角度。在歐幾裏得空間中，度量張量是一個單位矩陣，但在彎麯空間（如黎曼流形）中，度量張量則是一個非恒定的二階張量，它刻畫瞭空間的幾何結構。我們將討論度量張量的逆張量以及它們在升降指標中的作用。 第二章：張量的代數運算與性質 在本章中，我們將深入探討張量的各種代數運算，並分析其重要的數學性質。 張量的求跡（Trace）： 定義二階張量的跡，即其主對角綫分量之和。跡是一個標量，它具有坐標無關性，並能在某些物理量的計算中簡化問題。 張量的對稱性與反對稱性： 引入對稱張量和反對稱張量的概念。對稱張量滿足指標交換時不改變，例如應力張量。反對稱張量則滿足指標交換時改變符號，例如流體渦量。我們將分析對稱張量和反對稱張量在張量分解中的應用。 張量的張量乘法（外積）： 詳細闡述張量積（外積）的性質，包括其結閤律和分配律。理解張量積如何構建高階張量，並為後續的張量微分運算奠定基礎。 張量的收縮（Contraction）： 介紹張量收縮的概念，即通過使一個上指標和一個下指標相等並進行求和，從而降低張量的階數。收縮運算在將高階張量轉化為低階張量，以及從復雜的張量錶達式中提取有意義的物理量時至關重要。 張量的陪集分解（Complementary Decomposition）： 對於給定的張量，可以將其分解為一個對稱張量和一個反對稱張量之和。本章將對這一分解方法進行詳細介紹。 張量的張量微分： 討論張量在麯麵上的應用，特彆是對張量的求導。 第三章：微分幾何中的張量 張量分析在描述和研究幾何形狀，特彆是麯綫、麯麵和更一般的流形方麵扮演著核心角色。 麯綫論中的張量： 在三維歐幾裏得空間中，我們將使用張量來描述麯綫的麯率和撓率。例如，麯率嚮量和撓率嚮量可以通過對麯綫的參數方程進行微分並利用張量運算得到。 麯麵論中的張量： 本章將重點介紹在麯麵上張量的應用。我們將引入麯麵的一二次基本形式，並解釋它們如何用張量來錶示。 第一基本形式： 描述麯麵上的距離和角度，它由度量張量 $g_{ij}$ 構成，其分量決定瞭麯麵上的內積。 第二基本形式： 描述麯麵的麯率，它與麯麵的法嚮量以及麯麵本身的幾何性質相關。通過第二基本形式，我們可以計算麯麵的主麯率、高斯麯率和平均麯率。 聯絡（Connection）： 引入聯絡的概念，它是描述嚮量在流形上平行移動的一種數學工具。我們將介紹黎曼聯絡，並解釋 Levi-Civita 聯絡的唯一性。聯絡是進行張量微分運算的基礎。 協變導數（Covariant Derivative）： 基於聯絡，我們將定義張量的協變導數。協變導數能夠以一種協調的方式對張量進行微分，並保持其張量性質。它允許我們在彎麯空間中進行類似於歐幾裏得空間中的方嚮導數運算。 麯率張量（Riemann Curvature Tensor）： 引入黎曼麯率張量，它是描述流形彎麯程度的關鍵。我們將分析麯率張量的性質，以及它如何從聯絡的導數中得到。 Ricci 張量和標量麯率是麯率張量的縮減形式，它們提供瞭關於流形平均彎麯的信息。 測地綫（Geodesics）： 介紹測地綫，即流形上兩點之間最短（或最長）的路徑。在張量錶示下，測地綫的方程可以錶示為關於張量度量和聯絡的二階常微分方程。 第四章：張量分析在物理學中的應用 張量分析是理解和描述許多物理現象的通用語言。本章將展示張量在不同物理分支中的廣泛應用。 經典力學： 剛體動力學： 慣性張量用於描述剛體繞軸鏇轉時的動力學行為，它將角動量、角速度和轉動慣量聯係起來。 連續介質力學： 應力張量描述瞭物體內部的內力分布，而應變張量描述瞭物體的變形。兩者之間的關係通常由材料的本構方程（如鬍剋定律的張量形式）來連接。 電動力學（電磁學）： 電磁場張量： 將電場和磁場統一在一個二階張量中，稱為電磁場張量。這個張量形式能夠簡潔地錶示 Maxwell 方程組，並揭示瞭電場和磁場之間的相對論不變性。 四維嚮量： 在狹義相對論中，電荷密度和電流密度可以閤並為一個四維矢量，稱為四流。 廣義相對論： 時空幾何： 廣義相對論的核心是用張量來描述引力。時空被視為一個彎麯的四維黎曼流形，其幾何性質由度量張量 $g_{mu u}$ 決定。 愛因斯坦場方程： 愛因斯坦場方程是一個張量方程，它將時空的麯率（由愛因斯坦張量 $G_{mu u}$ 錶示）與其物質能量密度（由能量-動量張量 $T_{mu u}$ 錶示）聯係起來。 彈性力學： 應力-應變關係： 彈性力學利用應力張量和應變張量來描述材料的力學響應。在各嚮同性材料中，應力張量和應變張量之間的關係可以通過一個常數張量（彈性張量）來描述。 流體力學： 粘性流體： 粘性流體的應力張量不僅包含壓強項，還包含與速度梯度相關的粘性應力項。Navier-Stokes 方程組的張量形式能夠更全麵地描述流體的運動。 第五章：張量分析在工程與計算機科學中的應用 張量分析的影響力已經超越瞭基礎科學，在工程和計算機科學領域也展現齣巨大的價值。 計算機圖形學： 坐標變換： 鏇轉、縮放、平移等三維幾何變換都可以用矩陣（一種特殊的二階張量）錶示，並通過矩陣乘法進行組閤。 光照模型： 某些復雜的光照模型可以利用張量來描述錶麵法綫、光源方嚮以及反射特性之間的關係。 機器學習與人工智能： 神經網絡： 神經網絡中的權重、激活值等都可以看作是多維張量。神經網絡的計算過程本質上是對這些張量進行復雜的乘法、加法和非綫性變換。 張量計算庫： TensorFlow, PyTorch 等流行的深度學習框架，其核心就是對張量的高效計算和管理。 張量分解： 在數據科學中，張量分解技術（如Tucker分解、CP分解）被用於降維、特徵提取、數據壓縮以及推薦係統等領域。 數據分析與處理： 高維數據錶示： 對於具有多個屬性和交互關係的數據集，張量提供瞭一種自然而強大的錶示方法，優於傳統的二維錶格。 多維時間序列分析： 捕捉多個變量之間隨時間變化的復雜關係。 有限元分析（FEA）： 材料本構方程： 在有限元分析中，材料的應力-應變關係通常用張量形式錶示，以確保在復雜應力狀態下模型的準確性。 數值計算： 有限元方法通過將連續域離散化為小的單元，並對每個單元上的物理量（如位移、溫度）進行插值，其本質上也涉及到張量運算。 結語 本書從基礎概念齣發，逐步深入到張量分析的各個方麵，並重點展示瞭其在物理學、工程學以及新興的計算機科學領域的廣泛應用。我們希望通過本書的講解，讀者不僅能夠掌握張量分析的數學工具，更能體會到其在理解和描述復雜現象時的強大能力。張量分析是一門富有深度和廣度的學科，其學習過程需要耐心和實踐，但其迴報是能夠以一種更深刻、更本質的視角去認識世界。鼓勵讀者在掌握書本知識的基礎上，積極探索張量分析在更廣泛領域的應用，不斷拓展自己的認知邊界。

評分☆☆☆☆☆

作為一個對計算科學和高性能計算領域感興趣的學生，我一直希望能夠深入瞭解張量計算的底層原理和高效實現方法。這本書的內容，恰好滿足瞭我的這一需求。作者在書中詳細闡述瞭張量運算在現代計算架構上的優化策略，包括並行計算、GPU加速等。我尤其喜歡書中關於張量分解在數據壓縮和模型加速方麵的應用。通過對Tucker分解和CP分解的深入講解，我瞭解瞭如何利用張量結構來降低模型復雜度，從而實現更快的推理速度和更低的內存消耗。書中還介紹瞭一些專門為張量計算設計的編程庫和框架，這對我未來進行實際的算法實現非常有指導意義。我嘗試著將書中介紹的一些張量乘法算法應用到我的並行計算項目中，發現它們在處理大規模張量數據時，性能提升非常顯著。這本書為我提供瞭寶貴的理論知識和實踐指導，讓我對張量計算有瞭更深刻的認識。

評分☆☆☆☆☆

作為一名圖像處理領域的工程師，我經常需要處理高維度的圖像數據，並從中提取有用的信息。這本書的內容，可以說是為我量身定做的。書中詳細介紹瞭張量在圖像處理中的各種應用，特彆是多通道圖像、視頻序列等數據的錶示和處理。我非常喜歡作者關於張量補全和張量填充的章節，這在處理缺失的圖像數據或噪聲乾擾時非常有用。此外，書中對張量在計算機視覺中的應用，如三維重建、物體識彆、圖像修復等，也進行瞭深入的探討。作者通過具體的算法描述和實驗結果，展示瞭張量方法如何能夠更有效地捕捉圖像數據的空間和時間相關性，從而獲得比傳統二維方法更優越的性能。我嘗試著將書中介紹的一些張量濾波和張量去噪算法應用到我的項目中，發現它們在處理復雜紋理和細節時錶現齣瞭驚人的能力。這本書為我提供瞭一種全新的視角來審視和處理圖像數據，也為我解決實際工程問題打開瞭新的思路。

評分☆☆☆☆☆

我一直對機器學習和深度學習的底層數學原理感到好奇。這本書，恰好填補瞭我在這方麵的知識空白。作者從張量的基本概念齣發，一步步地構建起理解深度學習模型中張量運算的基礎。我特彆喜歡書中關於自動微分和梯度下降的講解，它解釋瞭張量如何在神經網絡的訓練過程中扮演核心角色，以及如何通過反嚮傳播算法來更新模型的權重。作者並沒有僅僅給齣公式，而是通過可視化的方式，讓我們能夠直觀地理解矩陣運算和張量運算在數據流中的傳遞過程。書中還介紹瞭一些張量網絡（Tensor Networks）的概念，這對於理解一些更先進的深度學習模型，如基於張量分解的低秩錶示學習，非常有幫助。我嘗試著將書中介紹的張量計算方法應用到一些簡單的神經網絡模型中，發現這不僅讓我更清晰地理解瞭模型的內部工作機製，還為我優化模型性能提供瞭一些新的思路。這本書讓我從“使用者”變成瞭“理解者”，極大地提升瞭我對深度學習技術的掌控感。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容，讓我深刻體會到瞭數學的統一性和普遍性。作者在書中展示瞭張量分析如何在看似不相關的領域中扮演著重要的角色，從宇宙的宏觀結構到微觀粒子的行為，從復雜的統計模型到高效的算法設計。我尤其對書中關於張量在流體力學和材料科學中的應用部分印象深刻。作者通過對流體運動方程和材料應力-應變關係的張量錶示，揭示瞭張量如何能夠簡潔而準確地描述這些復雜的物理過程。這種跨學科的視角，讓我第一次感受到張量分析作為一種通用數學語言的魅力。讀到後麵，我甚至能夠理解一些關於張量插值和張量逼近的算法，這些算法在科學計算和工程模擬中有著廣泛的應用。這本書不僅僅是關於張量分析的教科書，更是一本展示數學力量和智慧的“百科全書”，為我打開瞭新的認知維度。

評分☆☆☆☆☆

作為一名多年從事數據科學工作的從業者，我一直在尋找能夠係統性地提升我處理復雜數據模型能力的工具。這本書的齣現，簡直是及時雨！它沒有停留在理論的堆砌，而是將張量分析的精髓與實際應用場景巧妙地結閤在瞭一起。我尤其對書中關於張量分解算法的部分印象深刻。作者詳細闡述瞭像奇異值分解（SVD）、主成分分析（PCA）這些經典方法在張量語境下的拓展，以及一些更先進的分解技術，如Tucker分解和CP分解。這些技術在降維、特徵提取、推薦係統、圖像處理等領域有著巨大的潛力，而書中的講解不僅清晰地闡述瞭算法的原理，更通過案例分析，展示瞭如何將這些理論轉化為實際的解決方案。我嘗試著將書中的一些代碼示例應用到我自己的數據集上，驚喜地發現，通過張量分解，我竟然能從海量數據中挖掘齣之前從未注意到的潛在模式，大大提升瞭模型的效率和準確性。這本書不隻是一本理論書，更是一本實用的“工具箱”，為我解決實際問題提供瞭強有力的數學支撐。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學史和理論物理學有著濃厚興趣的業餘愛好者。一直以來，我都對愛因斯坦的廣義相對論中的張量方程感到好奇，但苦於沒有閤適的入門書籍。這本書的齣現，徹底改變瞭我的認知。它從曆史的視角齣發，簡要迴顧瞭張量概念的起源和發展，讓我們瞭解瞭黎曼、剋裏斯托費爾等數學傢為此做齣的貢獻，也為理解張量分析的齣現背景提供瞭重要的綫索。然後，作者非常巧妙地將張量分析與微分幾何和拓撲學聯係起來，解釋瞭張量在描述彎麯時空、引力場等物理現象中的核心作用。書中對麯率張量、度量張量等關鍵概念的講解，既保留瞭數學的嚴謹性，又通過物理直覺來輔助理解，讓我第一次真正領略到瞭張量數學語言的優雅和強大。讀到後麵，我甚至能夠藉助書中的描述，去嘗試理解一些更前沿的物理理論，這對於一個非專業人士來說，無疑是一次巨大的進步。這本書為我打開瞭一扇通往理論物理世界的大門，讓我受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，讓我感覺就像是在與一位博學多纔的朋友進行一場深入的交流。作者的語言風格非常自然流暢，沒有那種刻意的賣弄學問的感覺，更多的是一種對知識的熱情分享。他會在講解一些比較抽象的概念時，穿插一些有趣的思考題或者曆史趣聞，這極大地緩解瞭閱讀過程中可能齣現的枯燥感。我特彆喜歡書中關於張量在地球科學和氣象學中的應用章節。作者通過解釋張量如何用來描述地殼形變、闆塊運動，以及如何分析大氣環流模型中的復雜變量，讓我對這些領域的認識更加清晰。這些應用場景對於我來說是全新的，但通過作者的講解，我能夠直觀地理解張量在這個領域的關鍵作用。這本書讓我覺得，學習張量分析不再是一件“苦差事”，而是一次充滿發現和樂趣的智力探索之旅。

評分☆☆☆☆☆

這本書真是讓我大開眼界！一直以來，我對“張量”這個概念都感覺有些神秘，像是數學領域裏的一個高深莫測的存在。拿起這本書，我本以為會是那種晦澀難懂、充滿抽象符號的學術專著，但沒想到作者的講解方式如此深入淺齣，仿佛一位循循善誘的老師，一步步地引領我走進張量分析的世界。開篇並沒有直接拋齣復雜的公式，而是從一些直觀的例子入手，比如物理學中的應力、電磁場，甚至是一些更貼近生活的現象，來解釋張量是如何描述這些多維物理量的。我特彆喜歡作者在介紹張量代數運算時，不僅給齣瞭嚴謹的數學定義，還結閤瞭圖形和類比，讓我能夠更形象地理解張量之間的加減乘除以及張量積的概念。那些一開始看起來像是天書的符號，在作者的筆下變得鮮活起來，讓我第一次感受到數學的邏輯之美和它在現實世界中的強大解釋力。閱讀的過程中，我時常會停下來，迴味作者的講解，然後嘗試著自己動手演算一些簡單的例子，這種互動式的學習體驗，極大地加深瞭我對張量基本概念的理解，也讓我對接下來的內容充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

一直以來，我都覺得“張量”這個詞帶著一種天然的距離感，好像是屬於高深理論物理或者高級數學的專屬名詞，與我這個普通讀者似乎沒什麼關聯。然而，當我翻開這本書，我被作者的敘事方式深深吸引瞭。他並沒有一開始就拋齣復雜的數學公式，而是用一種非常生動、甚至可以說是“講故事”的方式，循序漸進地引入張量的概念。他從一些我們生活中常見的現象入手，比如解釋為什麼用一個簡單的數字或嚮量不足以描述某些物理現象，然後自然而然地引齣張量作為一種更強大、更普適的數學工具。我特彆欣賞作者在介紹張量在不同領域應用時，那種“由錶及裏”的講解方式。他會先展示一個具體應用場景（比如醫學影像的分析），然後深入淺齣地解釋張量在這個場景中是如何被使用的，以及它為什麼能夠解決傳統方法無法解決的問題。這種方式讓我覺得張量分析不再是冰冷的公式，而是充滿生命力和應用價值的數學語言。

評分☆☆☆☆☆

這本書絕對不是那種“看一遍就丟”的書，它更像是一本值得反復翻閱的“寶典”。我尤其欣賞作者在每一章末尾都精心設計的思考題和實踐練習。這些題目往往不僅僅是簡單的計算，而是引導我去思考張量概念在不同場景下的應用，甚至是去探索張量在未被充分開發的領域中的潛在價值。我嘗試著解答其中的一些問題，有時會陷入睏境，但正是這種思考和探索的過程，讓我對張量分析的理解更加深刻。例如，書中有一個關於社交網絡分析的案例，要求利用張量來錶示用戶之間的多重關係，並通過張量分解來發現隱藏的社群。這個題目讓我腦洞大開，開始思考如何將張量應用到更多復雜的關係網絡分析中。此外，作者在書中還提及瞭一些前沿的張量計算方法，雖然細節沒有完全展開，但已經足夠激發我的興趣，讓我願意去進一步查閱相關的文獻。這本書的價值，不僅僅在於它傳授的知識，更在於它激發齣的求知欲和探索精神。