张量分析及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

宋来忠 著

图书标签:

• 张量分析
• 微分几何
• 广义相对论
• 物理数学
• 连续介质力学
• 流体力学
• 弹性力学
• 数学物理
• 工程数学
• 高等数学

出版社： 武汉大学出版社

ISBN：9787307176232

版次：1

商品编码：11894403

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-02-01

用纸：胶版纸

页数：121

字数：132000

内容简介

　　本书简明扼要讲述张量分析及其应用，全书共分6章。第1章是张量代数，主要介绍张量的定义及其基本代数运算，包括张量的加法、减法和乘法，以及张量的缩并和内积等；第2章是张量分析，主要介绍三维真欧氏空间中张量分析，包括张量的协变导数、微分，以及不变微分算子：梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子，等等；第3章是张量在应变分析中的应用，简单介绍张量在应变分析中的应用，主要包括位移、变形与长度、角度的变化，应变张量应变协调方程等；第4章是张量在应力分析中的应用，简单介绍张量在应力分析中的应用，主要包括外力、内力、主应力以及应力张量、平衡方程、应力函数等；第5章张量在微分几何中的应用，介绍Christoffel符号、曲率张量、Gauss方程、Weingarten方程以及曲面的基本定理等基础数学知识；第6章是MATLAB在张量运算中的应用，主要对MATLAB的张量运算进行归纳和分析，介绍常用的函数和命令，并给出了大量的实例。后4章的内容是相互独立的。

作者简介

　　宋来忠，男，教授，湖北南漳人。现主要从事微分几何、计算机辅助几何设计、科学工程计算研究等工作。参与了国家、省级、市级和学校等纵向科研项目以及横向项目的研究多项。

前言/序言

《张量分析及其应用》 前言 自20世纪初以来，张量分析作为一种强有力的数学工具，在物理学、工程学、计算机科学以及其他众多领域扮演着越来越重要的角色。其核心在于一种超越传统向量概念的几何和代数框架，能够以不变的方式描述和处理多维度的物理量和几何关系。本书旨在为读者提供一个全面而深入的张量分析学习体验，从基础概念的构建，到核心理论的阐述，再到其在各学科领域的广泛应用。我们力求以严谨的数学表述为根基，辅以清晰的物理和几何直观，帮助读者深刻理解张量分析的精髓，并能灵活运用其解决实际问题。 第一章：张量的基本概念 本章将带领读者走进张量分析的殿堂，从最基本、最直观的概念入手，逐步建立对张量的认识。 坐标变换与不变量： 我们将从物理量在不同坐标系下的变换规律出发，引入“不变量”这一核心思想。理解物理定律不应依赖于观察者的坐标选择，这一原则是张量概念的出发点。通过讨论向量在笛卡尔坐标系下的分量如何随坐标轴旋转而变化，但其长度和方向（即向量本身）保持不变，为张量的“坐标无关性”埋下伏笔。 张量的定义： 本章将给出张量的严格数学定义。我们将区分标量（0阶张量）、向量（1阶张量）以及更一般的高阶张量。张量将被定义为一种满足特定坐标变换规律的数学对象，这种变换规律保证了其几何或物理意义的不变性。我们将引入协变张量、逆变张量以及混合张量的概念，并解释它们在描述物理量时的不同作用。 张量的阶数： 详细解释张量的“阶数”或“秩”，即张量具有多少个指标。例如，一个标量是0阶张量，一个向量是1阶张量，一个描述应力或应变的二阶张量。理解阶数的重要性在于它决定了张量分量的数量以及其在坐标变换下的行为。 张量的加法、数乘与张量积： 介绍张量之间基本的代数运算。张量的加法要求具有相同的阶数和指标类型，其结果是同阶同类型的张量。数乘则将一个标量乘以张量的每一个分量。张量积是张量分析中一个至关重要的运算，它能将两个低阶张量组合成一个高阶张量，为构建更复杂的物理模型提供了可能性。我们将通过实例演示这些运算。 指标表示法（爱因斯坦求和约定）： 引入爱因斯坦求和约定，这是一种简洁而强大的记法，能够极大地简化涉及张量分量求和的表达式。理解和熟练运用求和约定是进行张量运算的关键。 度量张量（公制张量）： 引入度量张量，它定义了空间中的距离和角度。在欧几里得空间中，度量张量是一个单位矩阵，但在弯曲空间（如黎曼流形）中，度量张量则是一个非恒定的二阶张量，它刻画了空间的几何结构。我们将讨论度量张量的逆张量以及它们在升降指标中的作用。 第二章：张量的代数运算与性质 在本章中，我们将深入探讨张量的各种代数运算，并分析其重要的数学性质。 张量的求迹（Trace）： 定义二阶张量的迹，即其主对角线分量之和。迹是一个标量，它具有坐标无关性，并能在某些物理量的计算中简化问题。 张量的对称性与反对称性： 引入对称张量和反对称张量的概念。对称张量满足指标交换时不改变，例如应力张量。反对称张量则满足指标交换时改变符号，例如流体涡量。我们将分析对称张量和反对称张量在张量分解中的应用。 张量的张量乘法（外积）： 详细阐述张量积（外积）的性质，包括其结合律和分配律。理解张量积如何构建高阶张量，并为后续的张量微分运算奠定基础。 张量的收缩（Contraction）： 介绍张量收缩的概念，即通过使一个上指标和一个下指标相等并进行求和，从而降低张量的阶数。收缩运算在将高阶张量转化为低阶张量，以及从复杂的张量表达式中提取有意义的物理量时至关重要。 张量的陪集分解（Complementary Decomposition）： 对于给定的张量，可以将其分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。本章将对这一分解方法进行详细介绍。 张量的张量微分： 讨论张量在曲面上的应用，特别是对张量的求导。 第三章：微分几何中的张量 张量分析在描述和研究几何形状，特别是曲线、曲面和更一般的流形方面扮演着核心角色。 曲线论中的张量： 在三维欧几里得空间中，我们将使用张量来描述曲线的曲率和挠率。例如，曲率向量和挠率向量可以通过对曲线的参数方程进行微分并利用张量运算得到。 曲面论中的张量： 本章将重点介绍在曲面上张量的应用。我们将引入曲面的一二次基本形式，并解释它们如何用张量来表示。 第一基本形式： 描述曲面上的距离和角度，它由度量张量 $g_{ij}$ 构成，其分量决定了曲面上的内积。 第二基本形式： 描述曲面的曲率，它与曲面的法向量以及曲面本身的几何性质相关。通过第二基本形式，我们可以计算曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率。 联络（Connection）： 引入联络的概念，它是描述向量在流形上平行移动的一种数学工具。我们将介绍黎曼联络，并解释 Levi-Civita 联络的唯一性。联络是进行张量微分运算的基础。 协变导数（Covariant Derivative）： 基于联络，我们将定义张量的协变导数。协变导数能够以一种协调的方式对张量进行微分，并保持其张量性质。它允许我们在弯曲空间中进行类似于欧几里得空间中的方向导数运算。 曲率张量（Riemann Curvature Tensor）： 引入黎曼曲率张量，它是描述流形弯曲程度的关键。我们将分析曲率张量的性质，以及它如何从联络的导数中得到。 Ricci 张量和标量曲率是曲率张量的缩减形式，它们提供了关于流形平均弯曲的信息。 测地线（Geodesics）： 介绍测地线，即流形上两点之间最短（或最长）的路径。在张量表示下，测地线的方程可以表示为关于张量度量和联络的二阶常微分方程。 第四章：张量分析在物理学中的应用 张量分析是理解和描述许多物理现象的通用语言。本章将展示张量在不同物理分支中的广泛应用。 经典力学： 刚体动力学： 惯性张量用于描述刚体绕轴旋转时的动力学行为，它将角动量、角速度和转动惯量联系起来。 连续介质力学： 应力张量描述了物体内部的内力分布，而应变张量描述了物体的变形。两者之间的关系通常由材料的本构方程（如胡克定律的张量形式）来连接。 电动力学（电磁学）： 电磁场张量： 将电场和磁场统一在一个二阶张量中，称为电磁场张量。这个张量形式能够简洁地表示 Maxwell 方程组，并揭示了电场和磁场之间的相对论不变性。 四维向量： 在狭义相对论中，电荷密度和电流密度可以合并为一个四维矢量，称为四流。 广义相对论： 时空几何： 广义相对论的核心是用张量来描述引力。时空被视为一个弯曲的四维黎曼流形，其几何性质由度量张量 $g_{mu u}$ 决定。 爱因斯坦场方程： 爱因斯坦场方程是一个张量方程，它将时空的曲率（由爱因斯坦张量 $G_{mu u}$ 表示）与其物质能量密度（由能量-动量张量 $T_{mu u}$ 表示）联系起来。 弹性力学： 应力-应变关系： 弹性力学利用应力张量和应变张量来描述材料的力学响应。在各向同性材料中，应力张量和应变张量之间的关系可以通过一个常数张量（弹性张量）来描述。 流体力学： 粘性流体： 粘性流体的应力张量不仅包含压强项，还包含与速度梯度相关的粘性应力项。Navier-Stokes 方程组的张量形式能够更全面地描述流体的运动。 第五章：张量分析在工程与计算机科学中的应用 张量分析的影响力已经超越了基础科学，在工程和计算机科学领域也展现出巨大的价值。 计算机图形学： 坐标变换： 旋转、缩放、平移等三维几何变换都可以用矩阵（一种特殊的二阶张量）表示，并通过矩阵乘法进行组合。 光照模型： 某些复杂的光照模型可以利用张量来描述表面法线、光源方向以及反射特性之间的关系。 机器学习与人工智能： 神经网络： 神经网络中的权重、激活值等都可以看作是多维张量。神经网络的计算过程本质上是对这些张量进行复杂的乘法、加法和非线性变换。 张量计算库： TensorFlow, PyTorch 等流行的深度学习框架，其核心就是对张量的高效计算和管理。 张量分解： 在数据科学中，张量分解技术（如Tucker分解、CP分解）被用于降维、特征提取、数据压缩以及推荐系统等领域。 数据分析与处理： 高维数据表示： 对于具有多个属性和交互关系的数据集，张量提供了一种自然而强大的表示方法，优于传统的二维表格。 多维时间序列分析： 捕捉多个变量之间随时间变化的复杂关系。 有限元分析（FEA）： 材料本构方程： 在有限元分析中，材料的应力-应变关系通常用张量形式表示，以确保在复杂应力状态下模型的准确性。 数值计算： 有限元方法通过将连续域离散化为小的单元，并对每个单元上的物理量（如位移、温度）进行插值，其本质上也涉及到张量运算。 结语 本书从基础概念出发，逐步深入到张量分析的各个方面，并重点展示了其在物理学、工程学以及新兴的计算机科学领域的广泛应用。我们希望通过本书的讲解，读者不仅能够掌握张量分析的数学工具，更能体会到其在理解和描述复杂现象时的强大能力。张量分析是一门富有深度和广度的学科，其学习过程需要耐心和实践，但其回报是能够以一种更深刻、更本质的视角去认识世界。鼓励读者在掌握书本知识的基础上，积极探索张量分析在更广泛领域的应用，不断拓展自己的认知边界。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是让我大开眼界！一直以来，我对“张量”这个概念都感觉有些神秘，像是数学领域里的一个高深莫测的存在。拿起这本书，我本以为会是那种晦涩难懂、充满抽象符号的学术专著，但没想到作者的讲解方式如此深入浅出，仿佛一位循循善诱的老师，一步步地引领我走进张量分析的世界。开篇并没有直接抛出复杂的公式，而是从一些直观的例子入手，比如物理学中的应力、电磁场，甚至是一些更贴近生活的现象，来解释张量是如何描述这些多维物理量的。我特别喜欢作者在介绍张量代数运算时，不仅给出了严谨的数学定义，还结合了图形和类比，让我能够更形象地理解张量之间的加减乘除以及张量积的概念。那些一开始看起来像是天书的符号，在作者的笔下变得鲜活起来，让我第一次感受到数学的逻辑之美和它在现实世界中的强大解释力。阅读的过程中，我时常会停下来，回味作者的讲解，然后尝试着自己动手演算一些简单的例子，这种互动式的学习体验，极大地加深了我对张量基本概念的理解，也让我对接下来的内容充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容，让我深刻体会到了数学的统一性和普遍性。作者在书中展示了张量分析如何在看似不相关的领域中扮演着重要的角色，从宇宙的宏观结构到微观粒子的行为，从复杂的统计模型到高效的算法设计。我尤其对书中关于张量在流体力学和材料科学中的应用部分印象深刻。作者通过对流体运动方程和材料应力-应变关系的张量表示，揭示了张量如何能够简洁而准确地描述这些复杂的物理过程。这种跨学科的视角，让我第一次感受到张量分析作为一种通用数学语言的魅力。读到后面，我甚至能够理解一些关于张量插值和张量逼近的算法，这些算法在科学计算和工程模拟中有着广泛的应用。这本书不仅仅是关于张量分析的教科书，更是一本展示数学力量和智慧的“百科全书”，为我打开了新的认知维度。

评分☆☆☆☆☆

作为一名多年从事数据科学工作的从业者，我一直在寻找能够系统性地提升我处理复杂数据模型能力的工具。这本书的出现，简直是及时雨！它没有停留在理论的堆砌，而是将张量分析的精髓与实际应用场景巧妙地结合在了一起。我尤其对书中关于张量分解算法的部分印象深刻。作者详细阐述了像奇异值分解（SVD）、主成分分析（PCA）这些经典方法在张量语境下的拓展，以及一些更先进的分解技术，如Tucker分解和CP分解。这些技术在降维、特征提取、推荐系统、图像处理等领域有着巨大的潜力，而书中的讲解不仅清晰地阐述了算法的原理，更通过案例分析，展示了如何将这些理论转化为实际的解决方案。我尝试着将书中的一些代码示例应用到我自己的数据集上，惊喜地发现，通过张量分解，我竟然能从海量数据中挖掘出之前从未注意到的潜在模式，大大提升了模型的效率和准确性。这本书不只是一本理论书，更是一本实用的“工具箱”，为我解决实际问题提供了强有力的数学支撑。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，让我感觉就像是在与一位博学多才的朋友进行一场深入的交流。作者的语言风格非常自然流畅，没有那种刻意的卖弄学问的感觉，更多的是一种对知识的热情分享。他会在讲解一些比较抽象的概念时，穿插一些有趣的思考题或者历史趣闻，这极大地缓解了阅读过程中可能出现的枯燥感。我特别喜欢书中关于张量在地球科学和气象学中的应用章节。作者通过解释张量如何用来描述地壳形变、板块运动，以及如何分析大气环流模型中的复杂变量，让我对这些领域的认识更加清晰。这些应用场景对于我来说是全新的，但通过作者的讲解，我能够直观地理解张量在这个领域的关键作用。这本书让我觉得，学习张量分析不再是一件“苦差事”，而是一次充满发现和乐趣的智力探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学史和理论物理学有着浓厚兴趣的业余爱好者。一直以来，我都对爱因斯坦的广义相对论中的张量方程感到好奇，但苦于没有合适的入门书籍。这本书的出现，彻底改变了我的认知。它从历史的视角出发，简要回顾了张量概念的起源和发展，让我们了解了黎曼、克里斯托费尔等数学家为此做出的贡献，也为理解张量分析的出现背景提供了重要的线索。然后，作者非常巧妙地将张量分析与微分几何和拓扑学联系起来，解释了张量在描述弯曲时空、引力场等物理现象中的核心作用。书中对曲率张量、度量张量等关键概念的讲解，既保留了数学的严谨性，又通过物理直觉来辅助理解，让我第一次真正领略到了张量数学语言的优雅和强大。读到后面，我甚至能够借助书中的描述，去尝试理解一些更前沿的物理理论，这对于一个非专业人士来说，无疑是一次巨大的进步。这本书为我打开了一扇通往理论物理世界的大门，让我受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对不是那种“看一遍就丢”的书，它更像是一本值得反复翻阅的“宝典”。我尤其欣赏作者在每一章末尾都精心设计的思考题和实践练习。这些题目往往不仅仅是简单的计算，而是引导我去思考张量概念在不同场景下的应用，甚至是去探索张量在未被充分开发的领域中的潜在价值。我尝试着解答其中的一些问题，有时会陷入困境，但正是这种思考和探索的过程，让我对张量分析的理解更加深刻。例如，书中有一个关于社交网络分析的案例，要求利用张量来表示用户之间的多重关系，并通过张量分解来发现隐藏的社群。这个题目让我脑洞大开，开始思考如何将张量应用到更多复杂的关系网络分析中。此外，作者在书中还提及了一些前沿的张量计算方法，虽然细节没有完全展开，但已经足够激发我的兴趣，让我愿意去进一步查阅相关的文献。这本书的价值，不仅仅在于它传授的知识，更在于它激发出的求知欲和探索精神。

评分☆☆☆☆☆

作为一名图像处理领域的工程师，我经常需要处理高维度的图像数据，并从中提取有用的信息。这本书的内容，可以说是为我量身定做的。书中详细介绍了张量在图像处理中的各种应用，特别是多通道图像、视频序列等数据的表示和处理。我非常喜欢作者关于张量补全和张量填充的章节，这在处理缺失的图像数据或噪声干扰时非常有用。此外，书中对张量在计算机视觉中的应用，如三维重建、物体识别、图像修复等，也进行了深入的探讨。作者通过具体的算法描述和实验结果，展示了张量方法如何能够更有效地捕捉图像数据的空间和时间相关性，从而获得比传统二维方法更优越的性能。我尝试着将书中介绍的一些张量滤波和张量去噪算法应用到我的项目中，发现它们在处理复杂纹理和细节时表现出了惊人的能力。这本书为我提供了一种全新的视角来审视和处理图像数据，也为我解决实际工程问题打开了新的思路。

评分☆☆☆☆☆

我一直对机器学习和深度学习的底层数学原理感到好奇。这本书，恰好填补了我在这方面的知识空白。作者从张量的基本概念出发，一步步地构建起理解深度学习模型中张量运算的基础。我特别喜欢书中关于自动微分和梯度下降的讲解，它解释了张量如何在神经网络的训练过程中扮演核心角色，以及如何通过反向传播算法来更新模型的权重。作者并没有仅仅给出公式，而是通过可视化的方式，让我们能够直观地理解矩阵运算和张量运算在数据流中的传递过程。书中还介绍了一些张量网络（Tensor Networks）的概念，这对于理解一些更先进的深度学习模型，如基于张量分解的低秩表示学习，非常有帮助。我尝试着将书中介绍的张量计算方法应用到一些简单的神经网络模型中，发现这不仅让我更清晰地理解了模型的内部工作机制，还为我优化模型性能提供了一些新的思路。这本书让我从“使用者”变成了“理解者”，极大地提升了我对深度学习技术的掌控感。

评分☆☆☆☆☆

一直以来，我都觉得“张量”这个词带着一种天然的距离感，好像是属于高深理论物理或者高级数学的专属名词，与我这个普通读者似乎没什么关联。然而，当我翻开这本书，我被作者的叙事方式深深吸引了。他并没有一开始就抛出复杂的数学公式，而是用一种非常生动、甚至可以说是“讲故事”的方式，循序渐进地引入张量的概念。他从一些我们生活中常见的现象入手，比如解释为什么用一个简单的数字或向量不足以描述某些物理现象，然后自然而然地引出张量作为一种更强大、更普适的数学工具。我特别欣赏作者在介绍张量在不同领域应用时，那种“由表及里”的讲解方式。他会先展示一个具体应用场景（比如医学影像的分析），然后深入浅出地解释张量在这个场景中是如何被使用的，以及它为什么能够解决传统方法无法解决的问题。这种方式让我觉得张量分析不再是冰冷的公式，而是充满生命力和应用价值的数学语言。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对计算科学和高性能计算领域感兴趣的学生，我一直希望能够深入了解张量计算的底层原理和高效实现方法。这本书的内容，恰好满足了我的这一需求。作者在书中详细阐述了张量运算在现代计算架构上的优化策略，包括并行计算、GPU加速等。我尤其喜欢书中关于张量分解在数据压缩和模型加速方面的应用。通过对Tucker分解和CP分解的深入讲解，我了解了如何利用张量结构来降低模型复杂度，从而实现更快的推理速度和更低的内存消耗。书中还介绍了一些专门为张量计算设计的编程库和框架，这对我未来进行实际的算法实现非常有指导意义。我尝试着将书中介绍的一些张量乘法算法应用到我的并行计算项目中，发现它们在处理大规模张量数据时，性能提升非常显著。这本书为我提供了宝贵的理论知识和实践指导，让我对张量计算有了更深刻的认识。