現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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苗長興，吳傢宏，章誌飛 著

圖書標籤:

• 數學
• 調和分析
• Littlewood-Paley理論
• 流體動力學
• 偏微分方程
• 函數空間
• Fourier分析
• 泛函分析
• 非綫性分析
• 常微分方程

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030334121

版次：1

商品編碼：12114960

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書142

開本：16開

齣版時間：2012-03-01

用紙：膠版紙

頁數：450

字數：567000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用》內容涉及Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用兩大部分。其一包含瞭頻率空間的局部化、Besov空間的Littlewood-Paley刻畫、Bony的仿積分解及仿綫性化技術、新型的Bemstein不等式等，其二在Littlewood-Paley理論的框架下，建立輸運擴散方程解的時空正則性估計、頻譜層次的正則性估計及零階Besov空間的log-型估計，給齣瞭既包含對流，也包含擴散現象的流體動力學問題的統一處理方法，在這個新的框架下，重點討論瞭不可壓的Euler方程與Navier-Stol（es方程、Boussinesq方程、臨界Quasi-Geostrophic方程及可壓的Navier-Stokes方程等。
　　《現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用》的特點是將現代調和分析理論，諸如：頻率空間的分析、Fourier局部化技術、Bony的仿積分解及仿綫性化技術等和傳統的連續模方法、DeGiorgi-Nash-Moser迭代技術相結閤，充分利用與開發流體動力學方程內在的幾何與代數結構、正交結構、消失條件來研究相應的非綫性相互作用，達到在自然臨界空間研究流體動力學方程的目的，《現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用》可供理工科大學數學係、應用數學係的高年級本科生、研究生、教師以及相關的科學工作者閱讀參考。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　Littlewood-Paley理論最重要的作用之一就是頻率空間的局部化。眾所周知，Fourier變換將物理空間中的微分運算轉化成頻率空間中的代數運算，Littlewood-Paley分解將緩增分布形式地寫成在頻率空間意義下幾乎正交的光滑函數的和，從而實現在不同頻段上求導與微分運算的代數化。Littlewood-Paley理論在偏微分方程研究中的輝煌成就當屬Bony的仿積分解理論，它是Bony在研究雙麯型方程解的奇性傳播時引入的，經過Meyer等數學傢發展後廣泛地應用到偏微分方程的研究。隨著其他重要的分析工具，諸如：振蕩積分理論、Fourier限製性估計與Strichartz估計、Profiles分解與集中緊原理等方法的發展與使用，進一步突顯瞭Littlewood-Paley理論的框架性、普適性、靈活性等特徵，從而使這一理論逐步成為研究非綫性發展方程的基本工具。
　　本書的主旨就是Littlewood-Paley理論及其在各種流體動力學方程中的應用。Littlewood-Paley理論的基本思想就是頻率空間分析與局部化理論，其優勢包括幾個主要方麵：其一是微分算子或一般的Fourier乘子算子作用到Fourier變換具有環形支集（或球形支集）的分布上等價數乘運算（或被數乘估計控製）。其二是將函數或緩增分布分解成一係列在頻率空間上幾乎正交的光滑函數的和式，展示瞭內在的幾何與代數結構，以便給齣非綫性相互作用的精確分析。特彆地，Bony的仿積分解與仿綫性化技術為非綫性估計提供瞭強有力的武器。其三是Littlewood-Paley理論不僅給齣瞭一般可微函數空間（研究偏微分方程的載體）的完美刻畫，同時也提供瞭研究偏微分方程的基本工具。已有的關於輸運方程與擴散方程的研究框架基本上處於相互獨立的狀況，因此，它們各自的經典研究方式並不適用於對方。許多物理模型特彆是流體動力學問題中均涉及對流和擴散兩種現象，發展一種同時適應對流和擴散兩種現象的研究框架是很有意義的。它豐富瞭輸運擴散方程的研究，給齣瞭一個統一的框架與研究方法。與此同時，Fourier局部化方法不僅適用於不可壓模型，也可以應用到可壓的流體動力學問題。
　　第1章從頻率空間上的局部化齣發，通過經典Bernstein不等式與頻率空間上的單位分解定理，給齣齊次與非齊次型的Littlewood-Paley分解理論，在Littlewood-Paley理論的框架下，討論Besov空間理論，特彆是Besov空間的各種不同刻畫之間的等價關係等，作為Littlewood-Paley理論的重要組成部分，著重介紹Bony的仿積分解及仿綫性化技術。作為應用，著重討論瞭新型的Bernstein不等式，它是建立分數階耗散算子在局部化空間（如：Besov空間、分數階Sobolev空間等）正性估計的基礎，在研究分數階發展型方程中起著重要的作用。
　　第2章主要通過Fourier局部化方法建立輸運擴散方程的解在Besov空間框架下的一緻性估計。需要指齣的是，輸運項中的嚮量場可以不滿足不可壓條件，因此它不僅適閤於不可壓的流體動力學方程，同時可以應用到可壓的流體動力學問題。鑒於Besov空間、Triebel-Lizorkin空間的局部化特徵，我們討論瞭各種形式的局部化估計與交換子估計，另一方麵，充分利用輸運擴散方程的Lagrange形式，將對流項的估計轉化為平坦空間中的Laplace算子與非平坦空間中的Laplace算子所派生的交換子估計，因此可以通過二次微局部化的過程來處理含交換子型擾動項的熱傳導方程。
　　第3章首先在Besov空間的框架下，給齣d維空間不可壓Euler方程的Cauchy問題的局部適定性與Blow-up準則。作為Beale-Kato-Majda準則特例，就直接推齣二維不可壓Euler方程Cauchy問題光滑解的整體適定性，其次，通過建立Vishik的“衰減型正交性”及log-型估計，證明二維不可壓Euler方程的Cauchy問題在臨界空間中的整體適定性。3.3節詳細討論具有軸對稱無鏇的三維不可壓Euler方程，利用其特殊的幾何結構、渦度場不同分解的“衰減正交性”等證明瞭具有軸對稱無鏇的三維不可壓Euler方程的Cauchy問題在臨界與次臨界空間中的整體適定性。最後，還詳細研究二維不可壓Navier-Stokes方程在Besov空間Bp1中的無黏性極限問題，其中p≥2的情形源於Hmidi-Keraani〔HK3〕，p〈2的情形是本書中首次給齣。
　　第4章集中討論具部分黏性的二維Boussinesq方程的Cauchy問題的整體適定性。4.1節主要基於用能量估計與log-型不等式，建立具部分黏性的二維Boussinesq方程的Cauchy問題光滑解的整體適定性。4.2節利用Fourier局部化方法及相應的輸運擴散方程在Besov型空間中的正則性估計、頻譜層次上的正則性估計等，在臨界空間中建立具部分黏性的二維Boussinesq方程的Cauchy問題的整體適定性。4.3節利用Boussinesq方程組自身的耦閤結構與對稱化的理念，在適當的條件下，證明瞭具有軸對稱初值的三維Boussinesq方程的Cauchy問題的整體適定性。
　　第5章著力於臨界Quasi-Geostrophic方程。5.1節給齣瞭在臨界空間的局部適定性與Blow-up機製，同時還介紹瞭這一方程的研究曆史。5.2節主要介紹Kiselev-Nazarov-Volberg的連續模方法，它主要基於如下重要觀察：奇異積分算子雖然不能保持連續模，但它對連續模的破壞也不大。5.3節主要討論Caffarelli-Vasseur方法，這是一個普適性的方法，基本思想是采用調和擴張及DeGiorgi-Nash-Moser迭代技術建立Leray-Hopf弱解的正則性。
　　第6章主要介紹作者采用Littlewood-Paley理論研究可壓縮Navier-Stokes方程的一個結果，這是一個新的嘗試。首先給齣瞭一個綫性化的雙麯拋物耦閤係統的基本解，通過Fourier局部化方法，分析此係統在不同的頻率空間中錶現的不同效應，從而引入瞭適閤高低頻演化的Hybrid-Besov空間這一新的框架。為瞭剋服高頻時對流項作為擾動項帶來的關於密度的導數損失，引入瞭頻譜層次上的Lagrange坐標，從而得到瞭具有高振蕩初值（即某種意義上的大初值）的整體適定性。
　　最後，在附錄中給齣瞭經典的不可壓Navier-Stokes方程的研究進展，以方便讀者參考使用。內容涉及Leray-Hopf弱解、光滑解的局部適定性、Kato的雙模方法、時空正則性與單模方法、Lp-方法及無條件唯一性等，主要取材於文獻〔Chem3〕，〔Cal〕，〔Lem1〕及〔MiZ〕。
　　本書的初稿始於在北京大學國際數學中心、香港中文大學數學研究所、北京應用物理與計算數學研究所等講座與課程的講稿，後經認真修改、增刪而成，在本書形成過程中，得到瞭田剛院士、辛周平教授的大力支持，作者深錶感謝，本書的部分內容與張恭慶院士、洪傢興院士、陸善鎮教授進行瞭交流，得到瞭鼓勵與支持，在此錶示由衷的感謝。作者感謝周毓麟院士、郭柏靈院士等長期的指導與幫助，以及對本書提齣的許許多多的建設性意見。
　　最後，作者還要感謝年輕同事與學生：陳瓊蕾副研究員、徐桂香副研究員、原保全教授、苑佳博士、吳剛博士、張軍勇博士及博士生薛留堂、鄭孝信、程星、鄭繼強、夏素霞、張謙、徐夫義、楊建偉、王大衛、路靜等，他們為本書的校對做瞭許多有益的工作。
　　本書得到國傢科學技術學術著作齣版基金、國傢傑齣青年基金、國傢自然科學基金、北京應用物理與計算數學研究所“學習、創造、提高”活動的資助。

《現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用》 --- 圖書簡介 本書聚焦於數學分析、偏微分方程與理論物理的交叉前沿領域，旨在係統、深入地探討Littlewood-Paley理論的精髓及其在流體動力學方程求解與分析中的核心應用。本書不僅為專業研究人員提供前沿視角，也為高年級本科生及研究生構建堅實的理論基礎與實踐工具。 本書的結構設計兼顧理論的嚴謹性與應用的直觀性。全書分為三個主要部分：基礎理論的重建、Littlewood-Paley理論的深度剖析，以及在流體動力學中的具體應用與前沿拓展。 第一部分：數學分析與偏微分方程基礎的再構建 在深入Littlewood-Paley理論之前，本書首先為讀者奠定必要的分析學基礎，確保讀者能夠理解後續理論的深刻性。 傅裏葉分析與測度論迴顧： 本部分涵蓋瞭經典的傅裏葉變換、傅裏葉級數理論，並適當地引入瞭抽象測度論（Lebesgue積分）的框架，特彆是函數空間 $L^p$ 理論的必要部分。重點在於理解變換如何從空間域映射到頻率域，以及這種映射如何揭示函數的平滑性與振蕩特性。 經典偏微分方程（PDEs）背景： 我們迴顧瞭三大類經典PDE的初邊值問題，包括橢圓型（如拉普拉斯方程）、拋物綫型（如熱傳導方程）和雙麯型（如波動方程）。著重分析瞭這些方程解的適定性（存在性、唯一性、連續依賴性）的傳統方法，如能量法、最大值原理和經典的傅裏葉/拉普拉斯變換解法。這種迴顧為後續引入Littlewood-Paley分解的優越性提供瞭對比基礎。 Sobolev空間與弱解： 為瞭處理流體力學中常見的非光滑解（如激波或湍流的內稟結構），本書詳細闡述瞭Sobolev空間的概念，包括嵌入定理、緊性結果和弱導數的定義。這為在抽象函數空間中討論解的性質和利用頻域工具鋪平瞭道路。 第二部分：Littlewood-Paley理論的構建與分析工具 本部分是全書的核心，全麵闡述瞭Littlewood-Paley分解的構造、性質及其在函數空間分類中的關鍵作用。 Littlewood-Paley分解的起源與構造： 本書從經典的Littlewood-Paley不等式（關於和的三角不等式）齣發，係統地介紹瞭如何將一個函數 $f$ 分解為一係列具有特定頻率支持的“尺度塊”（dyadic blocks）。詳細討論瞭平移算子（Paraproducts）的構造，這是分解理論中處理乘法和非綫性項的關鍵技術。我們關注如何利用這些塊來估計函數的積分性質。 頻域局部化與函數空間刻畫： Littlewood-Paley理論最強大的威力在於其提供瞭刻畫各種函數空間的新方法。本書深入探討瞭如何利用頻率塊來定義和刻畫： 1. Besov 空間 ($B_{p,q}^s$)： 重點分析 $q=1$ 和 $q=infty$ 的情況，以及Besov空間如何精確地量化函數在特定尺度上的“粗糙度”或平滑性。 2. Triebel-Lizorkin 空間 ($F_{p,q}^s$)： 相比於Besov空間，Triebel-Lizorkin空間在 $p<1$ 時提供瞭更精細的分析工具，特彆是在處理非綫性方程的解時，其對積分的適應性尤為重要。 本書將詳述這些空間間的相互包含關係，以及它們在橢圓算子正則性理論中的地位。 關鍵不等式與應用： 詳細推導並應用瞭關鍵的Littlewood-Paley型不等式，如Calderón-Zygmund算子與乘子定理。這些工具是後續分析高維和非綫性問題的數學“瑞士軍刀”。 第三部分：在流體動力學方程中的前沿應用 本部分將理論分析工具無縫地嫁接到實際的物理模型中，重點關注粘性流體和不可壓縮流體的數學挑戰。 Navier-Stokes 方程的正則性問題： 本書將Navier-Stokes (NS) 方程作為主要案例，探討Littlewood-Paley理論如何幫助分析其解的全局存在性與光滑性。 1. 高頻分析與能量估計： 利用頻率塊分解，分析湍流或高雷諾數（High Reynolds Number）情況下，NS方程中對流項 $mathbf{u} cdot abla mathbf{u}$ 的乘積估計。傳統方法在處理 $mathbf{u} cdot abla mathbf{u}$ 時，常因$ abla (mathbf{u} cdot abla mathbf{u})$的非綫性結構而失效。Littlewood-Paley理論通過Paraproduct構造，將非綫性項分解為低頻與高頻的相互作用（Paracontrolled Calculus的前身思想），從而實現對高頻部分的精確控製。 2. 局部正則性理論： 探討如何利用Besov或Triebel-Lizorkin空間的框架，證明在特定平滑度假設下，解的局部光滑性。 Euler方程的奇性形成問題： 對於無粘性的Euler方程，研究其解可能在有限時間內形成奇性的現象（如尖點或捲麯）。本書利用Littlewood-Paley分解，分析瞭這些奇性與解在特定頻率分量上的能量匯聚之間的關係。這有助於理解激波和渦量傳播的機製。 其他相關方程的應用： 簡要介紹理論在其他重要流體模型中的滲透，例如： 非綫性對流-擴散方程： 如對數對數型（log-log type）的平滑效應分析。 帶錶麵張力的自由邊界問題： 分析界麵運動中的高頻不穩定性。 總結與展望： 本書的結論部分將總結Littlewood-Paley理論在處理非綫性PDE中“小尺度波動”與“大尺度平均行為”相互作用方麵的不可替代性，並展望其與現代“參數化控製微積分”（Paracontrolled Calculus）等新興理論的聯係，為讀者指明未來的研究方嚮。 --- 目標讀者： 偏微分方程研究人員、數學物理學傢、計算流體力學（CFD）理論工作者、以及具備紮實的實分析和泛函分析基礎的研究生。

評分☆☆☆☆☆

我最近讀完瞭一本關於空間探索技術演進的曆史書籍，說實話，它的信息密度高得驚人，幾乎可以當作一本小型百科全書來使用瞭。作者似乎將所有能找到的、與火箭推進技術、軌道力學突破相關的原始文獻都搜集整理瞭一遍，然後用一種近乎編年史的方式娓娓道來。最精彩的部分在於對早期登月計劃中那些“非主流”設計方案的詳細描述，那些被曆史塵埃掩埋的、極具創意的失敗嘗試，被作者用生動的筆觸重新喚醒，讓人不禁為那些先驅者的智慧和勇氣而動容。雖然閱讀過程需要極高的專注力，因為涉及大量的技術細節和專業術語，初次接觸相關領域的讀者可能會感到吃力，但如果你對航天史懷有近乎癡迷的熱情，這本書絕對能滿足你對“硬核”知識的渴求。它不是那種輕鬆的科普讀物，而是一份厚重的、需要沉下心來研讀的學術遺産，展示瞭人類工程學思維如何一步步戰勝看似不可能的物理定律。

評分☆☆☆☆☆

好的，這是一些以讀者口吻撰寫的，針對一本假設的、不提及“現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用”的圖書的評價，風格和內容各異，且篇幅符閤要求： 這部新齣版的關於經典文學鑒賞的著作，著實令人耳目一新。作者顯然對維多利亞時代的小說有著深厚的感情和獨到的見解。書中對於狄更斯筆下社會階層固化現象的剖析，不僅僅停留在錶麵的情節敘述，而是深入挖掘瞭字裏行間隱含的經濟結構和道德睏境。特彆是對喬治·艾略特作品中女性自我意識覺醒的分析，其細膩程度簡直令人嘆為觀止。我特彆欣賞作者在比較不同時期作傢創作手法的章節中，所展現齣的那種遊刃有餘的跨學科視野，他巧妙地將當時的哲學思潮與文學錶達方式聯係起來，使得那些看似陳舊的文本煥發齣新的生命力。唯一的遺憾是，在探討文學對當時政治運動的微弱影響時，論證略顯單薄，仿佛是為瞭湊足篇幅而硬加上去的一塊拼圖，但瑕不掩瑜，對於任何希望深入理解十九世紀英國文學脈絡的讀者來說，這都是一本值得反復咀嚼的佳作，其對文本細微之處的捕捉能力，遠非一般導讀類書籍可比。

評分☆☆☆☆☆

這是一本關於古希臘哲學中倫理學思想流變的手冊，它的齣版填補瞭一個長期存在的學術空白。作者摒棄瞭傳統上按照流派簡單劃分的敘事模式，而是選擇瞭一種基於核心概念的、螺鏇式上升的探討路徑。例如，關於“美德”的定義，書中追溯瞭從蘇格拉底的睏惑到亞裏士多德的集大成，再到斯多葛學派的堅忍，每一步的邏輯推演都清晰可見，讓人完全理解瞭思想是如何在不同哲學傢的辯論中被塑造和強化的。我尤其欣賞作者在處理柏拉圖的“理念論”與現實世界道德實踐之間的張力時所展現齣的審慎態度，他沒有簡單地斷言哪一方更優越，而是展示瞭這種內在衝突是如何驅動瞭整個倫理學體係的發展。全書的語言風格典雅而精準，盡管討論的是抽象概念，卻絲毫不覺枯燥，反而有一種抽絲剝繭般的閱讀快感，讓人感覺自己仿佛也在雅典的學園中與先哲們一同思辨。

評分☆☆☆☆☆

關於微觀經濟學中博弈論應用的這本教材，老實說，它對我的衝擊非常大。我原本以為這隻是又一本充斥著納什均衡和囚徒睏境的教科書，但作者的切入點卻完全不同。他將重心放在瞭信息不對稱和信號傳遞模型上，並且非常大膽地引入瞭行為經濟學的最新發現來修正傳統的理性人假設。書中大量使用瞭金融市場的真實案例來驅動理論的構建，而不是像很多教材那樣，先建立一個完美的理論模型再強行套用現實，這種“從實踐中提煉理論”的敘事方式，讓枯燥的數學推導變得鮮活起來。我個人認為，關於“聲譽機製”在重復博弈中如何打破零和博弈僵局的章節，是全書的亮點，它不僅展示瞭數學建模的威力，更揭示瞭社會規範在經濟決策中的隱性作用。雖然有些高級模型需要讀者具備紮實的微積分基礎，但作者在每章末尾設置的“概念延伸與批判性思考”環節，極大地降低瞭自學的難度，鼓勵讀者主動去質疑和拓展模型的邊界。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，在翻開這本關於十九世紀歐洲音樂史的專著之前，我對浪漫主義音樂後期的發展瞭解相當有限。這本書的獨特之處在於，它完全避開瞭對那些耳熟能詳的大師的重復歌頌，而是將聚光燈投嚮瞭那些被嚴重低估的作麯傢，比如一些中歐地區和北歐國傢的音樂傢。作者通過詳盡的樂譜分析和當時的社會文化背景考察，揭示瞭這些“二綫”人物是如何在主流審美之外，發展齣極其復雜且富有地方特色的音樂語言的。他對於和聲結構演變的研究達到瞭令人發指的細緻程度，即便是對音樂理論有一定瞭解的人，也會被其中發現的精妙之處所震撼。這本書的結構安排也極具巧思，從民間音樂的吸收如何影響瞭宏大敘事，到技術革新（如管弦樂器改進）如何反過來塑造瞭音樂的錶達力，層次分明，邏輯嚴密。對於想要跳齣“德奧中心論”的音樂愛好者來說，這是一本不可多得的開闊眼界的指南。