局部域上的調和分析與分形分析及其應用（英文版） [Harmonic Analysis and Fractal Analysis Over Local Fields and Applications] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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蘇維宜 著

圖書標籤:

• Harmonic Analysis
• Fractal Analysis
• Local Fields
• Number Theory
• Mathematical Physics
• Functional Analysis
• Representation Theory
• p-adic Analysis
• Wavelets
• Applications

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030519283

版次：1

商品編碼：12156584

包裝：精裝

叢書名： MathematicsMonographSeries

外文名稱：Harmonic Analysis and Fractal Analysis Over Local Fields and Applications

開本：16開

齣版時

內容簡介

　　《局部域上的調和分析與分形分析及其應用（英文版）》分三個大部分，共7章。一是局部域的基本知識（第1，2章）；二是局部域上的調和分析的基礎理論（第3，4章）；三是局部域上的分形分析、理論與應用（第5—7章）。第1章介紹Galois域GF（p）的基本知識與局部域的結構；第2章對局部域的特徵群作詳細分析；第3，4章是局部域上調和分析的基礎理論，包括局部域上的Fourier分析、局部域上的函數空間、以局部域為底空間的微積分，以及局部域分析與經典分析的深入比較；第5章轉入局部域上的分形分析，包括分形的基本知識、局部域上的分形集閤與分形函數、局部域分形分析與歐氏空間分形分析各自的特點以及它們之間的關係；第6章是局部域上的分形偏微分方程（PDE），給齣分形PDE的基礎性研究成果與挑戰性研究課題；最後，第7章給齣分形在臨床醫學中的應用。

內頁插圖

目錄

調和分析與分形分析：經典理論、現代前沿與跨學科應用 內容提要 本書全麵、深入地探討瞭調和分析與分形分析兩大數學分支的經典理論基礎、現代研究前沿及其在多個交叉學科領域的廣泛應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在為數學、物理學、工程學及計算機科學等領域的專業人士和高級學生提供一本既具理論深度又富於實踐指導意義的參考著作。 本書首先係統迴顧瞭經典調和分析的核心概念，包括傅裏葉變換、局部域上的經典分析結構（如p-adic分析的初步介紹），以及這些工具在信號處理和偏微分方程理論中的應用。隨後，內容轉嚮分形幾何與測度論，詳細闡述瞭豪斯多夫測度、分形集的構造及其維數理論，特彆是自相似集和迭代函數係統的幾何特性。 在將兩者融閤的前沿部分，本書重點剖析瞭非歐幾裏得空間（如p-adic空間）上的調和分析，探討瞭如何利用這些非阿基米德結構的獨特代數性質來構建新的泛函分析工具。同時，本書深入討論瞭分形調和分析，包括在分形測度上定義的積分、用分形維數來刻畫函數空間和算子的性質，以及在粗糙空間上的捲積理論。 最後，本書提供瞭大量跨學科應用案例。這些應用涵蓋瞭從高維數據分析中的稀疏錶示、圖像與視頻壓縮中的分形編碼技術，到復雜係統（如金融時間序列、湍流模型）的統計建模與預測。理論與實踐緊密結閤，展現瞭調和分析與分形分析在揭示自然界和復雜工程係統內在規律方麵的強大潛力。 --- 第一部分：調和分析的基石與拓展 第一章：經典傅裏葉分析的迴顧與推廣 本章從經典歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 上的傅裏葉變換齣發，鞏固對酉變換、Plancherel 定理以及 Schwartz 空間中函數的性質的理解。隨後，我們引入瞭對緊群和局部緊群上的調和分析的初步概念，例如對離散群和圓群 $T$ 上的傅裏葉級數展開的討論，為後續在更抽象空間中的推廣奠定基礎。重點關注 $L^p$ 空間上的有界性問題，如 Riesz-Thorin 定理和 Marcinkiewicz 插值定理在經典調和分析中的地位。 第二章：泛函分析在調和分析中的作用 深入探討瞭半群理論在演化方程中的應用，特彆是與傅裏葉乘子算子相關的分析工具。本章詳細討論瞭 Hardy 空間 $H^p$ 的構造及其在單側算子理論中的重要性，包括 Carleson 測度與內函數理論的聯係。此外，對 Bounded Mean Oscillation (BMO) 空間的引入及其與經典捲積積分算子的關係進行瞭詳細闡述，這是理解粗糙核算子的關鍵橋梁。 第三章：局部域基礎與非阿基米德分析的引入 本章開啓瞭對“局部域”這一概念的嚴格定義與探討。我們集中討論瞭 $mathbb{Q}_p$（p-adic 數域）和有限域上的結構。詳細介紹瞭 p-adic 範數、度量空間結構以及由 p-adic 整數環 $mathbb{Z}_p$ 構成的拓撲群。在此基礎上，我們構建瞭 p-adic 調和分析的基本工具——Haar 測度和 p-adic 傅裏葉變換，並分析瞭 p-adic 上的捲積運算，這與歐幾裏得空間中的捲積具有顯著的不同之處。 --- 第二部分：分形幾何與測度論的深度探索 第四章：分形集的構造與拓撲特性 本章聚焦於非整數維度的幾何對象——分形。我們從經典的 Cantor 集、Koch 麯綫和 Sierpinski 墊片開始，介紹迭代函數係統（IFS）和自相似集的嚴格構造。拓撲方麵，探討瞭分形集的連通性、緊緻性以及度量空間的性質。特彆關注瞭分形集的局部性質，如自相似性在不同尺度下的保持關係。 第五章：分形維數理論的量化 本章是分形分析的核心定量工具。詳細介紹瞭豪斯多夫測度與豪斯多夫維數的定義、計算方法及其與拓撲維數的區彆。隨後，引入瞭閔可夫斯基測度和盒計數維數，並論證瞭它們在特定條件下的一緻性。對具有規範結構的集閤，如解析函數的零點集，如何應用分形維數進行有效刻畫，進行瞭深入分析。 第六章：分形測度與概率論聯係 探討瞭分形幾何與概率論的交匯點，特彆是隨機分形（如布朗運動軌跡）的構建。介紹瞭收縮閤同映射定理在隨機分形生成中的應用。本章還討論瞭具有自仿射性質的測度（如 Falconer-Grimmett 測度），這些測度為後續在非光滑空間上定義積分奠定瞭測度論基礎。 --- 第三部分：調和分析與分形分析的交融與前沿課題 第七章：局部域上的調和分析與p-adic函數的分析 本章將第二部分的分形概念與第一部分的局部域結構相結閤。我們研究瞭在 $mathbb{Q}_p$ 上定義的函數，如 Mahler 級數展開，並分析瞭其在 $L^2(mathbb{Q}_p)$ 上的性質。重點探討瞭在 p-adic 空間中，如何利用 p-adic 沃爾泰拉算子和p-adic 擴張來研究具有分形特徵的解。分析瞭 p-adic 空間上與經典解析函數理論有顯著差異的奇異積分算子。 第八章：分形尺度空間與粗糙算子理論 本章關注的是在具有粗糙結構的度量空間上定義的泛函分析工具。引入瞭分形尺度空間（Fractal Scaling Spaces）的概念，這些空間通常具有由分形測度定義的度量。討論瞭如何將 Calderón-Zygmund 算子推廣到這些非光滑的背景中，即粗糙核捲積。分析瞭這些算子在分形測度上的有界性，以及與分形維數之間的內在關聯。 第九章：非綫性演化方程中的分形行為 本章探討瞭在復雜介質（如多孔介質或湍流模型）中，非綫性偏微分方程（如 Burgers 方程、非綫性 Schrödinger 方程）的解所展現齣的分形特徵。通過分析解的梯度或耗散項，我們使用分形維度來量化解的奇異性集。討論瞭多重分形分析（Multifractal Analysis）如何應用於描述解在不同尺度上速度或能量分布的異質性。 --- 第四部分：跨學科應用實例 第十章：高維數據分析與稀疏錶示 在機器學習和信號處理領域，本書闡述瞭調和分析如何用於特徵提取和降維。重點放在超限傅裏葉分析在處理高維稀疏信號上的優勢。隨後，展示瞭分形思想如何優化字典學習和壓縮感知算法，特彆是通過利用數據的分形幾何結構來構建更有效的基函數，以實現更低的采樣率和更高的重構精度。 第十一章：金融時間序列與隨機過程建模 本章將 p-adic 分析和分形分析應用於金融數學。討論瞭如何利用 p-adic 結構來建模具有非阿基米德（跳躍式）特徵的資産價格序列。隨後，通過分形布朗運動（Fractional Brownian Motion）及其推廣，展示瞭如何通過 Hurst 指數來量化金融市場的長期記憶和波動性聚類現象，並將這些量化指標融入到期權定價模型中。 第十二章：圖像處理與分形壓縮 深入研究瞭分形編碼技術（Fractal Image Compression, FIC）的數學基礎。本章解釋瞭如何通過迭代函數係統（IFS）的逆問題來逼近自然圖像中的自相似性，從而實現高度的圖像壓縮比。同時，討論瞭如何利用調和分析工具（如小波變換）來分析和改進傳統分形編碼器在處理非完全自相似圖像時的性能瓶頸。 總結 本書的組織結構旨在提供一個從基礎到前沿的、結構化的學習路徑。它不僅僅是對已知理論的匯編，更著重於展示如何將兩種看似獨立的分析工具——依賴於全局對稱性的調和分析和依賴於局部結構不規則性的分形分析——有機結閤，以解決現代科學和工程中遇到的復雜非光滑問題。本書的深度和廣度，使其成為該交叉研究領域不可或缺的參考資料。

評分☆☆☆☆☆

當我看到這本書的名字 [Harmonic Analysis and Fractal Analysis Over Local Fields and Applications] 時，我立刻想到瞭一些關於“局部域”的可能含義。這是否意味著作者在研究一些在特定區域或特定範圍內有效的數學分析方法？例如，在數值分析中，我們經常會遇到局部化的網格劃分或權函數，不知道這裏的“Local Fields”是否與此有關。而“Harmonic Analysis”與“Fractal Analysis”的結閤，則讓我聯想到信號處理中的一些高級技術。我之前接觸過一些利用分形理論來分析非平穩信號的方法，而調和分析在譜分析和濾波方麵有著舉足輕重的地位。將這兩者置於“局部域”這一背景下進行研究，我猜想這本書可能是在探討如何在非均勻或非全局一緻的數學環境中，有效地分析和處理具有分形特性的數據。書名中的“Applications”部分，更讓我期待它能在諸如地震波數據分析、材料科學中的多孔介質建模，甚至是一些復雜的網絡流量分析等領域提供創新的解決方案。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的興趣，很大程度上源於書名中“Local Fields”這個術語所帶來的暗示。這讓我聯想到一些在非歐幾裏得幾何、微分幾何，甚至是在量子場論等領域中齣現的數學結構。在這些領域，我們常常需要超越傳統意義上的全局性質，而去關注對象在局部區域的行為。而“Harmonic Analysis”和“Fractal Analysis”的結閤，則勾勒齣瞭一種研究方法。我猜想，作者可能在探討如何將調和分析的強大工具（如傅裏葉級數、傅裏葉變換）推廣到這些非傳統的“局部域”上，並以此來研究那些具有分形特徵的數學對象。分形結構本身就充滿瞭尺度不變性和自相似性，而調和分析擅長捕捉信號的周期性和頻率成分。將兩者結閤，尤其是在局部的數學語境下，或許能夠揭示齣許多之前未被發現的數學規律，並可能在一些物理、工程問題上産生深遠的影響，這讓我非常期待。

評分☆☆☆☆☆

在書架上偶然瞥見這本書，它的英文原名 [Harmonic Analysis and Fractal Analysis Over Local Fields and Applications] 瞬間抓住瞭我的眼球。我立刻被“Local Fields”這個說法所吸引，這似乎暗示瞭一種超越瞭我們熟知的歐幾裏得空間的數學框架。我的直覺告訴我，這本書可能在探討一些非常前沿的數學理論，或許是數論、代數幾何，甚至是理論物理學領域中的一些深刻問題。而“Harmonic Analysis”和“Fractal Analysis”的結閤，則勾勒齣一幅宏偉的圖景：如何用調和分析的工具來理解分形結構的內在規律，又如何在局部化的數學環境中運用分形幾何來刻畫復雜的數學對象。我對於其“Applications”部分尤為期待，因為這意味著書中不僅僅是純粹的理論探討，更有可能包含著將這些抽象數學概念轉化為實際應用的方法和案例，或許是關於信號壓縮、圖像壓縮，甚至是某些新型算法的設計。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名，[Harmonic Analysis and Fractal Analysis Over Local Fields and Applications]，給我的感覺是一種既有深度又有廣度的研究。我推測，“Local Fields”可能指的是在有限域、p-adic域，或者其他非經典度量空間上的數學分析。這方麵的研究往往充滿瞭挑戰，需要紮實的數論基礎和對抽象代數深刻的理解。而“Harmonic Analysis”在這裏的應用，很可能與傅裏葉分析的推廣有關，比如在局部域上的拉東變換、捲積以及各種積分變換。與此同時，“Fractal Analysis”的加入，預示著這本書可能在研究一些具有自相似性、標度不變性的數學對象，並且這些對象存在於上述的局部域環境中。這讓我聯想到一些在數論、代數幾何中齣現的具有復雜幾何結構的物體，它們可能具備分形特性，並且其性質可以通過調和分析的方法來揭示。我對書中可能涉及的代數幾何與調和分析的交織，以及它們在解決具體數學問題上的應用非常感興趣。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計給我留下瞭深刻的第一印象，那種深邃的藍色背景，搭配上抽象但充滿數學韻味的綫條，立刻吸引瞭我。我猜想這本書的內容會像它的封麵一樣，充滿瞭嚴謹的數學理論，同時又帶有探索未知的神秘感。我對於“局部域”這個概念非常好奇，它是不是指代一種非常規的數學空間，或者是在傳統數學領域的一種新穎的視角？而“調和分析”和“分形分析”這兩個詞匯的組閤，更是讓我聯想到那些極其復雜的數學模型，它們可能被用來描述自然界中那些看似雜亂無章，實則隱藏著深刻規律的現象。我一直對分形幾何在圖像處理、信號分析，甚至是金融市場預測中的應用感到著迷，不知道這本書會在這方麵提供哪些突破性的見解。雖然我還未閱讀內容，但僅僅是書名就足以激發我深入探索的欲望，我期待它能為我打開一扇理解數學與現實世界聯係的新大門。