常微分方程（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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東北師範大學微分方程教研室 著，東北師範大學微分方程教研室 譯

圖書標籤:

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齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040161359

版次：2

商品編碼：12273926

包裝：平裝

齣版時間：2005-04-01

頁數：300

內容簡介

本書是在東北師範大學數學係常微分方程教研室所編的常微分方程教材的基礎上，按照現行教學大綱的要求編寫而成瞭。這次修訂在基本保持瞭原教材風貌的基礎上，更正瞭原教材的個彆錯誤，補充瞭少數新內容，增加瞭一些聯係實際的應用方麵的內容，充實瞭教材的配套習題，調整瞭某些內容的教學順序。 本書可作為高等師範院校數學係本科生教材，也可以作師範專科學校數學專業（三年製）教材。

引言：數學之舞，方程之韻 在浩瀚的數學宇宙中，常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）猶如一顆璀璨的明星，以其獨特的魅力和強大的力量，吸引著無數探求者。它們是描述自然界和社會現象中動態變化的根本語言，從行星的軌道運行到細胞的生長分裂，從經濟模型的波動到神經網絡的信息傳遞，無處不見其身影。掌握瞭常微分方程，就如同獲得瞭一把開啓理解和預測復雜係統之門的鑰匙。 本書，《常微分方程（第二版）》，旨在為讀者提供一個全麵而深入的學習體驗。它不僅梳理瞭常微分方程的核心理論，更著力於培養讀者運用數學工具解決實際問題的能力。我們相信，通過嚴謹的數學推理和生動的應用案例相結閤，讀者將能夠深刻理解常微分方程的精髓，並自信地將其應用於各自的領域。 第一部分：理論的基石——方程的本質與解的存在 我們的旅程始於對常微分方程最基礎概念的探索。我們將從定義齣發，清晰地界定什麼是常微分方程，以及它與偏微分方程的區彆。隨後，我們將深入探討方程的階、綫性與非綫性、齊次與非齊次等關鍵屬性，這些屬性直接決定瞭方程的求解方法和行為特徵。 理解方程的解至關重要。我們將詳細闡述解的存在性與唯一性定理，這是分析方程性質的基石。我們將從最簡單的初值問題齣發，逐步引入Picard-Lindelöf定理，並輔以直觀的幾何解釋，讓讀者領略到方程解的“生命力”——在何種條件下，解是存在的，並且是獨一無二的。我們還將探討解的連續依賴性，這對於理解模型中的微小擾動如何影響係統行為至關重要，也是數值方法可靠性的理論基礎。 第二部分：綫性方程的利器——求解的係統方法 綫性常微分方程因其結構清晰、求解方法成熟而成為研究的重點。本部分將係統地介紹求解綫性方程的各種強大工具。 首先，我們將聚焦於一階綫性常微分方程。通過引入積分因子法，我們將揭示如何將這類方程轉化為易於求解的形式。我們將通過多個典型例子，展示積分因子的構造和應用，並討論其在實際問題中的意義。 接著，我們將步入高階綫性常微分方程的領域。在這裏，特徵方程將扮演核心角色。我們將詳細推導常係數齊次綫性方程的特徵方程，並深入分析特徵方程的根（實根、重根、復根）如何決定方程的通解形式。我們將提供清晰的推導過程和豐富的例題，幫助讀者熟練掌握各種情況下的通解構造。 對於非齊次綫性方程，我們將介紹待定係數法和常數變易法。待定係數法適用於特定形式的非齊次項，其巧妙之處在於對非齊次項的“猜測”與驗證。而常數變易法則是一種更普適的方法，它將非齊次方程的解錶示為與齊次方程解相關的函數，即使非齊次項形式復雜，也能找到通解。我們將通過對比這兩種方法，讓讀者理解它們的優勢和局限性，並能在實際問題中靈活選擇。 此外，我們還將探討常係數綫性方程組。我們將引入矩陣的方法，利用特徵值和特徵嚮量來求解綫性方程組。這不僅簡化瞭代數運算，更揭示瞭係統解的幾何性質，如穩定性和振蕩行為。 第三部分：非綫性方程的挑戰與洞察——探索復雜世界的奧秘 非綫性常微分方程因其普遍性和復雜性，構成瞭數學建模和分析中更具挑戰性的部分。盡管解析求解通常睏難，但本部分將引導讀者掌握理解和分析非綫性方程的有效方法。 我們將從一階非綫性方程開始，介紹一些可積類型，如變量可分離方程、齊次方程、伯努利方程和恰當方程。我們將展示如何識彆這些方程的類型，並運用相應的積分技巧來求解。 然而，對於大多數非綫性方程，解析解往往難以獲得。因此，我們將重點轉嚮定性分析。我們將引入相平麵分析的強大工具，通過繪製相軌跡，揭示方程解的整體行為，如平衡點（奇點）的穩定性（吸引子、排斥子、鞍點、中心點）以及極限環的存在。我們將深入探討各種類型奇點的判彆方法，並解釋它們在描述係統穩態、周期性振蕩等現象中的重要意義。 此外，我們將介紹綫性化方法。對於非綫性係統，我們可以在平衡點附近進行綫性近似，從而利用綫性方程組的理論來分析非綫性係統的局部穩定性。這將為我們理解非綫性係統的長期行為提供重要的綫索。 我們還將簡要介紹分岔理論，它研究當係統參數發生微小變化時，係統解的定性行為如何發生突變。分岔理論是理解復雜係統，如混沌現象，的關鍵理論工具。 第四部分：求解的藝術——數值方法的實踐與評估 在許多實際應用場景中，解析解可能不存在或過於復雜，此時數值方法就成為瞭不可或缺的工具。本部分將深入探討常微分方程的數值求解技術，並強調其理論基礎和實際應用。 我們將從最基本的方法開始，如歐拉方法。我們將詳細闡述其原理、構造和收斂性。盡管歐拉方法簡單直觀，但其精度有限，易於纍積誤差。 為瞭提高精度，我們將引入更高級的方法，如改進歐拉法（斜率法）和龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法。特彆是四階龍格-庫塔方法，它在精度和計算量之間取得瞭良好的平衡，是工程和科學計算中廣泛使用的經典算法。我們將詳細介紹其構造和原理，並通過算例展示其優勢。 除瞭單步法，我們還將介紹多步法，如Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。這些方法利用先前計算點的信息來預測或校正當前點的值，通常在計算量相同的情況下能達到更高的精度。 在數值求解中，步長選擇和誤差控製是至關重要的。我們將討論自適應步長算法如何根據誤差估計自動調整步長，以在保證精度的同時提高計算效率。 最後，我們將強調數值方法的評估。我們將討論誤差的來源（截斷誤差、捨入誤差），如何判斷數值解的可靠性，以及不同數值方法的適用範圍和優缺點。我們將通過實例，展示如何選擇閤適的數值方法來解決具體的工程和科學問題。 第五部分：方程的應用——描繪真實世界的動態圖景 理論的意義在於其應用。本書的最後一個部分將展示常微分方程在眾多領域的廣泛應用，讓讀者感受到數學的力量如何轉化為對現實世界的深刻洞察。 我們將從物理學齣發，迴顧牛頓第二定律如何轉化為描述物體運動的二階常微分方程。我們將探討在引力、阻尼、簡諧振動等不同物理場景下，方程的解如何精確地描述粒子的軌跡、係統的振動特性。 在工程學中，常微分方程更是無處不在。我們將討論電路的瞬態響應、控製係統的穩定性分析、流體動力學的建模等。例如，RLC電路的電壓和電流變化就可以用二階綫性常微分方程來描述，其解清晰地揭示瞭電路的響應過程。 生物學領域同樣受益於常微分方程的強大工具。我們將介紹種群動力學模型，如邏輯斯蒂模型和捕食者-獵物模型（Lotka-Volterra方程），它們揭示瞭物種數量隨時間的變化規律，以及它們之間的相互作用。我們還將探討酶動力學和藥物動力學模型，它們描述瞭生物體內化學反應的速度和藥物在體內的分布與代謝過程。 經濟學和金融學也離不開常微分方程的分析。我們將討論經濟增長模型，如Solow模型，以及金融衍生品的定價模型，如Black-Scholes模型（雖然其基礎是偏微分方程，但其推導過程涉及常微分方程的思想）。 最後，我們將觸及其他領域，如化學反應動力學、流行病傳播模型等，展示常微分方程作為描述動態係統通用語言的強大普適性。 結語：永恒的探索，無盡的可能 《常微分方程（第二版）》的學習之旅，不僅是對數學概念的掌握，更是對理解和改造世界能力的提升。我們希望通過本書，能夠激發讀者對數學的興趣，培養嚴謹的邏輯思維，以及解決復雜問題的創新能力。 常微分方程的世界廣闊而深邃，理論的基石穩固，求解的利器多樣，非綫性的挑戰引人入勝，數值的方法實用高效，應用的前景更是波瀾壯闊。我們誠摯地邀請您，拿起本書，踏上這段令人興奮的數學探索之旅，去發現方程之美，去擁抱變化之理，去描繪更加精彩的動態世界。

評分☆☆☆☆☆

這本《常微分方程（第二版）》的齣現，簡直是解我燃眉之急的及時雨！之前學這門課時，我總是被各種繁復的公式和抽象的概念弄得焦頭爛額，課本上的講解雖然嚴謹，但總覺得少瞭點“人情味”，很難抓住問題的核心。拿到這本“第二版”後，我驚喜地發現，作者在保持嚴謹性的同時，加入瞭很多更貼近直覺的解釋和類比。例如，在講解一些高階方程的求解方法時，書中並沒有直接丟齣一個通用的公式，而是先從一個具體的物理模型齣發，層層遞進地引導讀者理解公式的由來和適用範圍。這種“授人以魚不如授人以漁”的教學方式，讓我不僅學會瞭如何套用公式，更重要的是理解瞭背後的數學思想。書中的例題設計也非常巧妙，難度梯度閤理，從基礎到進階，讓我感覺每一步都走得踏實而充實。尤其是那些拓展性的思考題，雖然有些挑戰性，但每次解決一個，都非常有成就感，也讓我對常微分方程在實際問題中的應用有瞭更深刻的認識。總的來說，這本書對於想要深入理解常微分方程，而不僅僅是應付考試的同學來說，絕對是一本不可多得的寶藏。它就像一位循循善誘的老師，耐心引導，讓你在不知不覺中掌握這門精妙的學科。

評分☆☆☆☆☆

對於我這種對數學有著“又愛又恨”情感的人來說，能夠遇到一本讓我讀起來不至於“打瞌睡”的數學書，實屬不易。這本《常微分方程（第二版）》，恰好就是這樣一本讓我耳目一新的教材。它的排版設計非常舒服，不是那種密密麻麻讓人望而生畏的風格，留白恰到好處，公式和文字的搭配也顯得格外和諧。更重要的是，作者在撰寫過程中，似乎真的站在瞭初學者的角度去思考問題。很多之前睏擾我的概念，在這本書裏得到瞭豁然開朗的闡釋。比如，關於一些奇異攝動問題，書中給齣的分析方法，不再是枯燥的理論推導，而是通過生動的圖示和一些實際的工程背景，將抽象的數學行為具象化，讓我能直觀地感受到不同參數變化帶來的影響。而且，書中對於數學史的穿插介紹，也很有意思，瞭解瞭這些方程是如何被發現和發展起來的，會讓我覺得學習的過程更加有趣，也更能體會到數學的魅力。讀這本書，我感覺自己不再是被動地接收知識，而是主動地去探索和發現，這種學習的體驗非常棒，也讓我對後續的學習充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

作為一本“第二版”的常微分方程教材，這本書在保持原有嚴謹學術性的基礎上，進行瞭不少令人欣喜的更新和優化。我尤其注意到，作者在新增內容和原有講解的調整上，都非常契閤當前學科發展的趨勢和教學需求。例如，書中對於一些現代控製理論、動力係統分析等領域中常微分方程的應用，都給予瞭足夠的重視，並提供瞭相應的入門介紹和例證。這使得本書不再局限於傳統的理論講解，而是能讓讀者感受到常微分方程在解決實際問題中的“硬實力”。此外，書中在一些關鍵概念的引入和定義上，也進行瞭更加精煉和清晰的錶述，大大降低瞭初學者理解的門檻。我曾經在學習某些內容時，因為概念不清而反復查閱資料，但在閱讀這本書時，很多之前難以理解的地方，在這本書裏都得到瞭迎刃而解的說明。不得不說，這種細節上的打磨，是區分一本優秀教材和一本普通教材的關鍵所在，也體現瞭作者深厚的教學功底和對學科的深刻理解。

評分☆☆☆☆☆

這次能讀到《常微分方程（第二版）》，真是一次非常愉快的學習體驗。這本書最打動我的地方在於，它不僅僅是一本“知識的搬運工”，更像是一位“思想的啓濛者”。作者在講解每一個概念時，都會不厭其煩地追溯其數學根源，解釋其存在的意義，以及它在整個理論體係中的位置。這種“宏大敘事”的風格，讓我能夠跳齣對單一公式的糾結，而是在一個更廣闊的數學視野下理解常微分方程。書中對於一些重要定理的證明，也處理得非常齣色，邏輯嚴密，層層遞進，讓人在理解證明過程的同時，也能收獲到寶貴的數學思維方式。我特彆欣賞書中對於“模型構建”這一環節的強調，作者會引導讀者如何從實際問題齣發，抽象齣數學模型，然後利用常微分方程的理論去求解和分析。這種“從實際到抽象，再從抽象到實際”的完整鏈條，是學習任何應用性學科的關鍵，而這本書恰恰在這方麵做得非常到位。讀完之後，我不僅掌握瞭常微分方程的知識，更重要的是，對如何運用數學工具解決實際問題，有瞭更深刻的認識和信心。

評分☆☆☆☆☆

這本《常微分方程（第二版）》給我的整體感覺是：厚重但又不失靈動。它顯然經過瞭多次打磨和修訂，內容上顯得非常紮實，體係也十分完整。從最基礎的方程分類和求解方法，到一些更高級的理論，如穩定性理論、邊值問題等，都覆蓋得相當周全。但最讓我印象深刻的，是它在處理復雜問題時的那種“化繁為簡”的能力。很多在其他教材中被講解得雲裏霧裏的定理和證明，在這本書裏都經過瞭精心的梳理和提煉，使得邏輯綫索更加清晰，論證過程也更加容易跟隨。作者似乎非常注重培養讀者的數學直覺，不僅僅提供“是什麼”，更深入地挖掘“為什麼”。比如，在介紹某些數值解法時，書中不僅給齣瞭算法步驟，還詳細討論瞭這些方法的收斂性、穩定性和誤差分析，這對於真正理解數值方法的優劣至關重要。我尤其喜歡書中那些“深入探討”的部分，它們往往會聯係到一些前沿的研究方嚮或者具體的應用案例，這讓我看到瞭常微分方程在現代科學技術中的強大生命力，也激發瞭我進一步學習和探索的興趣。