常微分方程（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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东北师范大学微分方程教研室 著，东北师范大学微分方程教研室 译

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• 常微分方程
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• 数学
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• 第二版
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• 数学分析

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040161359

版次：2

商品编码：12273926

包装：平装

出版时间：2005-04-01

页数：300

内容简介

本书是在东北师范大学数学系常微分方程教研室所编的常微分方程教材的基础上，按照现行教学大纲的要求编写而成了。这次修订在基本保持了原教材风貌的基础上，更正了原教材的个别错误，补充了少数新内容，增加了一些联系实际的应用方面的内容，充实了教材的配套习题，调整了某些内容的教学顺序。 本书可作为高等师范院校数学系本科生教材，也可以作师范专科学校数学专业（三年制）教材。

引言：数学之舞，方程之韵 在浩瀚的数学宇宙中，常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）犹如一颗璀璨的明星，以其独特的魅力和强大的力量，吸引着无数探求者。它们是描述自然界和社会现象中动态变化的根本语言，从行星的轨道运行到细胞的生长分裂，从经济模型的波动到神经网络的信息传递，无处不见其身影。掌握了常微分方程，就如同获得了一把开启理解和预测复杂系统之门的钥匙。 本书，《常微分方程（第二版）》，旨在为读者提供一个全面而深入的学习体验。它不仅梳理了常微分方程的核心理论，更着力于培养读者运用数学工具解决实际问题的能力。我们相信，通过严谨的数学推理和生动的应用案例相结合，读者将能够深刻理解常微分方程的精髓，并自信地将其应用于各自的领域。 第一部分：理论的基石——方程的本质与解的存在 我们的旅程始于对常微分方程最基础概念的探索。我们将从定义出发，清晰地界定什么是常微分方程，以及它与偏微分方程的区别。随后，我们将深入探讨方程的阶、线性与非线性、齐次与非齐次等关键属性，这些属性直接决定了方程的求解方法和行为特征。 理解方程的解至关重要。我们将详细阐述解的存在性与唯一性定理，这是分析方程性质的基石。我们将从最简单的初值问题出发，逐步引入Picard-Lindelöf定理，并辅以直观的几何解释，让读者领略到方程解的“生命力”——在何种条件下，解是存在的，并且是独一无二的。我们还将探讨解的连续依赖性，这对于理解模型中的微小扰动如何影响系统行为至关重要，也是数值方法可靠性的理论基础。 第二部分：线性方程的利器——求解的系统方法 线性常微分方程因其结构清晰、求解方法成熟而成为研究的重点。本部分将系统地介绍求解线性方程的各种强大工具。 首先，我们将聚焦于一阶线性常微分方程。通过引入积分因子法，我们将揭示如何将这类方程转化为易于求解的形式。我们将通过多个典型例子，展示积分因子的构造和应用，并讨论其在实际问题中的意义。 接着，我们将步入高阶线性常微分方程的领域。在这里，特征方程将扮演核心角色。我们将详细推导常系数齐次线性方程的特征方程，并深入分析特征方程的根（实根、重根、复根）如何决定方程的通解形式。我们将提供清晰的推导过程和丰富的例题，帮助读者熟练掌握各种情况下的通解构造。 对于非齐次线性方程，我们将介绍待定系数法和常数变易法。待定系数法适用于特定形式的非齐次项，其巧妙之处在于对非齐次项的“猜测”与验证。而常数变易法则是一种更普适的方法，它将非齐次方程的解表示为与齐次方程解相关的函数，即使非齐次项形式复杂，也能找到通解。我们将通过对比这两种方法，让读者理解它们的优势和局限性，并能在实际问题中灵活选择。 此外，我们还将探讨常系数线性方程组。我们将引入矩阵的方法，利用特征值和特征向量来求解线性方程组。这不仅简化了代数运算，更揭示了系统解的几何性质，如稳定性和振荡行为。 第三部分：非线性方程的挑战与洞察——探索复杂世界的奥秘 非线性常微分方程因其普遍性和复杂性，构成了数学建模和分析中更具挑战性的部分。尽管解析求解通常困难，但本部分将引导读者掌握理解和分析非线性方程的有效方法。 我们将从一阶非线性方程开始，介绍一些可积类型，如变量可分离方程、齐次方程、伯努利方程和恰当方程。我们将展示如何识别这些方程的类型，并运用相应的积分技巧来求解。 然而，对于大多数非线性方程，解析解往往难以获得。因此，我们将重点转向定性分析。我们将引入相平面分析的强大工具，通过绘制相轨迹，揭示方程解的整体行为，如平衡点（奇点）的稳定性（吸引子、排斥子、鞍点、中心点）以及极限环的存在。我们将深入探讨各种类型奇点的判别方法，并解释它们在描述系统稳态、周期性振荡等现象中的重要意义。 此外，我们将介绍线性化方法。对于非线性系统，我们可以在平衡点附近进行线性近似，从而利用线性方程组的理论来分析非线性系统的局部稳定性。这将为我们理解非线性系统的长期行为提供重要的线索。 我们还将简要介绍分岔理论，它研究当系统参数发生微小变化时，系统解的定性行为如何发生突变。分岔理论是理解复杂系统，如混沌现象，的关键理论工具。 第四部分：求解的艺术——数值方法的实践与评估 在许多实际应用场景中，解析解可能不存在或过于复杂，此时数值方法就成为了不可或缺的工具。本部分将深入探讨常微分方程的数值求解技术，并强调其理论基础和实际应用。 我们将从最基本的方法开始，如欧拉方法。我们将详细阐述其原理、构造和收敛性。尽管欧拉方法简单直观，但其精度有限，易于累积误差。 为了提高精度，我们将引入更高级的方法，如改进欧拉法（斜率法）和龙格-库塔（Runge-Kutta）方法。特别是四阶龙格-库塔方法，它在精度和计算量之间取得了良好的平衡，是工程和科学计算中广泛使用的经典算法。我们将详细介绍其构造和原理，并通过算例展示其优势。 除了单步法，我们还将介绍多步法，如Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。这些方法利用先前计算点的信息来预测或校正当前点的值，通常在计算量相同的情况下能达到更高的精度。 在数值求解中，步长选择和误差控制是至关重要的。我们将讨论自适应步长算法如何根据误差估计自动调整步长，以在保证精度的同时提高计算效率。 最后，我们将强调数值方法的评估。我们将讨论误差的来源（截断误差、舍入误差），如何判断数值解的可靠性，以及不同数值方法的适用范围和优缺点。我们将通过实例，展示如何选择合适的数值方法来解决具体的工程和科学问题。 第五部分：方程的应用——描绘真实世界的动态图景 理论的意义在于其应用。本书的最后一个部分将展示常微分方程在众多领域的广泛应用，让读者感受到数学的力量如何转化为对现实世界的深刻洞察。 我们将从物理学出发，回顾牛顿第二定律如何转化为描述物体运动的二阶常微分方程。我们将探讨在引力、阻尼、简谐振动等不同物理场景下，方程的解如何精确地描述粒子的轨迹、系统的振动特性。 在工程学中，常微分方程更是无处不在。我们将讨论电路的瞬态响应、控制系统的稳定性分析、流体动力学的建模等。例如，RLC电路的电压和电流变化就可以用二阶线性常微分方程来描述，其解清晰地揭示了电路的响应过程。 生物学领域同样受益于常微分方程的强大工具。我们将介绍种群动力学模型，如逻辑斯蒂模型和捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra方程），它们揭示了物种数量随时间的变化规律，以及它们之间的相互作用。我们还将探讨酶动力学和药物动力学模型，它们描述了生物体内化学反应的速度和药物在体内的分布与代谢过程。 经济学和金融学也离不开常微分方程的分析。我们将讨论经济增长模型，如Solow模型，以及金融衍生品的定价模型，如Black-Scholes模型（虽然其基础是偏微分方程，但其推导过程涉及常微分方程的思想）。 最后，我们将触及其他领域，如化学反应动力学、流行病传播模型等，展示常微分方程作为描述动态系统通用语言的强大普适性。 结语：永恒的探索，无尽的可能 《常微分方程（第二版）》的学习之旅，不仅是对数学概念的掌握，更是对理解和改造世界能力的提升。我们希望通过本书，能够激发读者对数学的兴趣，培养严谨的逻辑思维，以及解决复杂问题的创新能力。 常微分方程的世界广阔而深邃，理论的基石稳固，求解的利器多样，非线性的挑战引人入胜，数值的方法实用高效，应用的前景更是波澜壮阔。我们诚挚地邀请您，拿起本书，踏上这段令人兴奋的数学探索之旅，去发现方程之美，去拥抱变化之理，去描绘更加精彩的动态世界。

评分☆☆☆☆☆

作为一本“第二版”的常微分方程教材，这本书在保持原有严谨学术性的基础上，进行了不少令人欣喜的更新和优化。我尤其注意到，作者在新增内容和原有讲解的调整上，都非常契合当前学科发展的趋势和教学需求。例如，书中对于一些现代控制理论、动力系统分析等领域中常微分方程的应用，都给予了足够的重视，并提供了相应的入门介绍和例证。这使得本书不再局限于传统的理论讲解，而是能让读者感受到常微分方程在解决实际问题中的“硬实力”。此外，书中在一些关键概念的引入和定义上，也进行了更加精炼和清晰的表述，大大降低了初学者理解的门槛。我曾经在学习某些内容时，因为概念不清而反复查阅资料，但在阅读这本书时，很多之前难以理解的地方，在这本书里都得到了迎刃而解的说明。不得不说，这种细节上的打磨，是区分一本优秀教材和一本普通教材的关键所在，也体现了作者深厚的教学功底和对学科的深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

这本《常微分方程（第二版）》给我的整体感觉是：厚重但又不失灵动。它显然经过了多次打磨和修订，内容上显得非常扎实，体系也十分完整。从最基础的方程分类和求解方法，到一些更高级的理论，如稳定性理论、边值问题等，都覆盖得相当周全。但最让我印象深刻的，是它在处理复杂问题时的那种“化繁为简”的能力。很多在其他教材中被讲解得云里雾里的定理和证明，在这本书里都经过了精心的梳理和提炼，使得逻辑线索更加清晰，论证过程也更加容易跟随。作者似乎非常注重培养读者的数学直觉，不仅仅提供“是什么”，更深入地挖掘“为什么”。比如，在介绍某些数值解法时，书中不仅给出了算法步骤，还详细讨论了这些方法的收敛性、稳定性和误差分析，这对于真正理解数值方法的优劣至关重要。我尤其喜欢书中那些“深入探讨”的部分，它们往往会联系到一些前沿的研究方向或者具体的应用案例，这让我看到了常微分方程在现代科学技术中的强大生命力，也激发了我进一步学习和探索的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

对于我这种对数学有着“又爱又恨”情感的人来说，能够遇到一本让我读起来不至于“打瞌睡”的数学书，实属不易。这本《常微分方程（第二版）》，恰好就是这样一本让我耳目一新的教材。它的排版设计非常舒服，不是那种密密麻麻让人望而生畏的风格，留白恰到好处，公式和文字的搭配也显得格外和谐。更重要的是，作者在撰写过程中，似乎真的站在了初学者的角度去思考问题。很多之前困扰我的概念，在这本书里得到了豁然开朗的阐释。比如，关于一些奇异摄动问题，书中给出的分析方法，不再是枯燥的理论推导，而是通过生动的图示和一些实际的工程背景，将抽象的数学行为具象化，让我能直观地感受到不同参数变化带来的影响。而且，书中对于数学史的穿插介绍，也很有意思，了解了这些方程是如何被发现和发展起来的，会让我觉得学习的过程更加有趣，也更能体会到数学的魅力。读这本书，我感觉自己不再是被动地接收知识，而是主动地去探索和发现，这种学习的体验非常棒，也让我对后续的学习充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

这本《常微分方程（第二版）》的出现，简直是解我燃眉之急的及时雨！之前学这门课时，我总是被各种繁复的公式和抽象的概念弄得焦头烂额，课本上的讲解虽然严谨，但总觉得少了点“人情味”，很难抓住问题的核心。拿到这本“第二版”后，我惊喜地发现，作者在保持严谨性的同时，加入了很多更贴近直觉的解释和类比。例如，在讲解一些高阶方程的求解方法时，书中并没有直接丢出一个通用的公式，而是先从一个具体的物理模型出发，层层递进地引导读者理解公式的由来和适用范围。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学方式，让我不仅学会了如何套用公式，更重要的是理解了背后的数学思想。书中的例题设计也非常巧妙，难度梯度合理，从基础到进阶，让我感觉每一步都走得踏实而充实。尤其是那些拓展性的思考题，虽然有些挑战性，但每次解决一个，都非常有成就感，也让我对常微分方程在实际问题中的应用有了更深刻的认识。总的来说，这本书对于想要深入理解常微分方程，而不仅仅是应付考试的同学来说，绝对是一本不可多得的宝藏。它就像一位循循善诱的老师，耐心引导，让你在不知不觉中掌握这门精妙的学科。

评分☆☆☆☆☆

这次能读到《常微分方程（第二版）》，真是一次非常愉快的学习体验。这本书最打动我的地方在于，它不仅仅是一本“知识的搬运工”，更像是一位“思想的启蒙者”。作者在讲解每一个概念时，都会不厌其烦地追溯其数学根源，解释其存在的意义，以及它在整个理论体系中的位置。这种“宏大叙事”的风格，让我能够跳出对单一公式的纠结，而是在一个更广阔的数学视野下理解常微分方程。书中对于一些重要定理的证明，也处理得非常出色，逻辑严密，层层递进，让人在理解证明过程的同时，也能收获到宝贵的数学思维方式。我特别欣赏书中对于“模型构建”这一环节的强调，作者会引导读者如何从实际问题出发，抽象出数学模型，然后利用常微分方程的理论去求解和分析。这种“从实际到抽象，再从抽象到实际”的完整链条，是学习任何应用性学科的关键，而这本书恰恰在这方面做得非常到位。读完之后，我不仅掌握了常微分方程的知识，更重要的是，对如何运用数学工具解决实际问题，有了更深刻的认识和信心。