数学小丸子的解题笔记（导数压轴题与放缩应用） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王海刚 著

图书标签:

• 数学
• 导数
• 压轴题
• 放缩
• 解题技巧
• 高中数学
• 函数
• 不等式
• 学习笔记
• 技巧总结

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308171557

版次：1

商品编码：12289776

包装：平装

开本：大16开

出版时间：2017-01-01

用纸：胶版纸

编辑推荐

1. 网络解题高手、人称“放缩大师”的“数学小丸子”开山之作。
2. 本书是关于导数压轴题与放缩应用，将不等式证明过程清晰完整地体现出来。
3. 全书主要是呈现解题过程，更主要的是解题过程的思考过程，即解题前过程，在文中都以“注”的形式给出。

内容简介

1 题目来源
高考真题，高考模拟题，国内外考研题，国内高中数学预赛题，国外大学生数学竞赛题 本书中的试题以高考真题以及高考模拟题为主，但并不排斥其余各类考试题
2 解题方式
在解题过程中，不仅注重了解题的流畅性，还重点说明这样解题的原因，因为作者在多年的教学中，观察到学生们对于导数压轴题的态度就是“答案为什么这样做，我想不懂” 实际上，每个参考答案背后都蕴含了解题的逻辑，但有些解答过程呈现的方式给人的感觉比较难想，本书重点处理一些教师或者学生对于某些高考答案疑问的地方。比如零点问题中的如何取点问题，较多答案都只给了点，而没有给出点自何处，本书就说明了一些取点的手段
3 本书亮点
①“放缩百变，其义自见”；
本书重点讲解了如何运用放缩解决一些导数压轴题，放缩是一个比较有用的手段，如果运用的较好，在考试中可以节约思考的思维成本，本书给读者大量的练习放缩的难度适中的试题
②“两手都抓，双管齐下”；
目前在证明不等式的题型中，放缩所运用的不等式集中在以泰勒展开为背景的，对于连分式为背景的不等式的应用不是很多，本书提供了一些连分式为背景的不等式，如果运用的较好，那么就可以轻松解决一些简单估值题以及一些较紧的不等式的证明问题
③“举一反三，发散思维”；
作者在对一道题的解答总结中会将其相关的试题同时解答，有些看似表面不同的不等式证明问题，经过题与题的勾连，就会体现出其比较大的相似性，那么读者就可以连贯的解决一类问题

目录

第一章：恒成立问题
1.必要探路法
2.分离参数分
3.构造函数法
4.直接讨论法
5.隔离局部式
6.巧用放缩法
第二章：不等式证明
1.二项式定理
2.常用不等式
3.普通求导法
4.隐零点过渡
5.一分为二法
6.构造函数法
7.代数变形法
8.加强不等式
9.主元转换法
10.抽象函数题
11.数列不等式
12函数拟合法
13.数学归纳法
14.换元与减元
15.裂项相消法
16.偏对称问题
17.以直代曲法
18.递推不等式
第三章：著名不等式
1.均值不等式
2.贝努力不等式
3.约当不等式
4.杨格不等式
5.Huygens不等式与Wilker不等式
6.对数平均不等式
7.琴声不等式
8.三角不等式
9.柯西不等式
10.Swell不等式
11.祖冲之不等式
12.组合不等式
13. Carleman不等式
第四章：简单估值题
第五章：存在性问题
第六章：函数极最值
第七章：韦达定理篇
第八章：公切线问题
第九章：零点问题篇
第十章：综合应用篇

前言/序言

序言
之前我参与编写了一本浙江大学出版社出版的图书《高中数学解题研究(第2辑：大题细做)》，在其中,我写了一篇《变形有法放缩有度，因式分解显奇效》的文章，对2016年山东理科导数题进行了详细的分析，解读以及证明，得到了一些老师的关注和好评，还得到了“放缩大师”的美称（虽不能至，心向往之），有些老师说我将一些不等式证明过程体现出来了，而非是一个冷冰冰的大式子，让人感觉很神秘，望而生畏.
在导数不等式证明的题，经常会让人感觉“这个解法太突如其来了，不晓得是从哪里蹦出来的，简直就像从帽子里掏出来一只兔子一样” .实际上，导数不等式证明有许多手段，只不过每个人处理的方式不是唯一，就造成了“很难理解别人为什么如此证之，我怎么就想不到”的情况.既然我的文章得到了老师的认可，一些学生也向我反应说解决了一些不等式证明中的疑问，让别人理解了我证明不等式时利用的一些手段，手段易于操作，那么我就应该继续坚持写一些小文章，因此后来我写了一篇题目为《导数不等式证明手段——同性态函数性态拟合》的文章，同样受到了一些老师的关注，此方法将待证明的不等式分拆为局部可以求最值的组合函数，解决了一类较紧的不等式问题，后来坚持写了放缩法求恒成立参数问题，利用连分式不等式估值问题等等文章.
直到有一天，有同事建议我出一本关于导数的书，将之前的一些文章或者对题目的解读汇聚成一本可以传阅的，可以分享的书，我萌生了写书的想法.万事开头难，以什么专题开篇是一个较难的选择，思考了许久，最后决定以恒成立问题开篇，恒成立求参数问题比较流行，其中可以提炼出基本的，常用的不等式，因为有些恒成立求参数问题以高等数学中泰勒展开式为背景命题，以及一些著名的不等式为背景命题，那么作为开篇可以对不等式有一个初步的认识恒成立问题，恒成立问题较为流行的是分离参数以及讨论法，在处理一类可以分参但是需要应用高等数学洛必达法则的问题时，我全部回避了，采取的是讨论的办法，在讨论法中，利用不等式放缩过渡是一个比较重要的方法，其好处是化繁为简.第二、三章重点处理不等式证明问题，介绍了一些不等式证明的手段，以及分享了一些常见的重要不等式，重要的不等式对简单估值问题的解决发挥了比较大的作用，这为第四章的估计问题做了一个很好的铺垫，高中阶段的估值问题，主要手段就是利用不等式进行双侧夹逼，获得待估计值的大致范围.第六章是利用导数，放缩思想求解函数最值问题，其中对利用泰勒展开式，渐进式等手段的求最值问题进行了解读，让一些看似古怪的放缩变得容易理解.第五、七、八章为一些常见的考试问题，进行了简单的梳理，对题目的解答给出了我自己的解法.第九章当前热点问题，也是难点问题，尤其是零点问题中的避免极限，如何取点问题同样是一个令人为难的专题，在处理此部分时候，我给出了一些手段，利用重要不等式放缩，局部放缩，待定系数取点法三个重要手段，可以很好的解决一些零点问题.第十章就是利用导数解决一些问题，其中包含了一些以高等数学为背景以及著名历史问题为背景的题目，比如有函数拐点问题，丢番图问题，拉格朗日为背景问题等.
全书主要是呈现解题过程，更主要的是解题过程的思考过程，即解题前过程。解题前过程，我都以“注”的形式给出，也请读者认真研读“注”中的内容，相信您一定会有所启发以及收获！
由于水平有限，难免会出现一些纰漏甚至错误，请读者批评指正.欢迎加入“浙大数学优辅学习交流”QQ群205743216，就书中题目的选取、解答等方面，与我交流看法！
最后感谢我的老婆，是她在我写书的这段时间，默默地照顾我！

王海刚（数学小丸子）

《数学小丸子的解题笔记——导数压轴题与放缩应用》 概述 本书，顾名思义，旨在为广大高中数学爱好者，尤其是正在备战高考的学子们，提供一份详实、深入的导数压轴题解题思路与技巧集锦。我们将聚焦导数在解决复杂数学问题中的核心作用，并着重剖析“放缩法”这一在压轴题中屡试不爽的强大工具。本书力求从理论到实践，由浅入深，引导读者建立起严谨的数学思维，掌握解决高难度导数问题的必备技能。 本书特色与价值 精准定位，直击痛点： 高考数学中的导数压轴题，往往是拉开分数差距的关键。它们综合性强，思维深度要求高，对学生的知识体系和解题能力提出了严峻挑战。《数学小丸子的解题笔记》正是瞄准这一痛点，系统梳理导数压轴题的常见题型、核心考点以及解题难点，力求为读者提供“一站式”的解决方案。 理论升华，方法精炼： 我们并非简单堆砌例题，而是注重对导数基本概念、定理以及重要结论的深入理解。在讲解过程中，我们将引导读者思考：为什么这个方法有效？它背后蕴含了怎样的数学思想？通过对方法论的提炼，帮助读者构建起灵活多样的解题策略。 放缩之妙，化繁为简： “放缩法”是解决许多不等式证明以及判断函数单调性、极值等问题的“杀手锏”。本书将投入大量笔墨，系统讲解放缩法的原理、常用技巧（如泰勒展开、积分放缩、代数放缩等）以及在不同类型导数压轴题中的具体应用。通过精选典型例题，展示放缩法如何将看似棘手的复杂问题，巧妙地化繁为简，轻松破解。 压轴题精选，深度解析： 本书精选了近年来高考真题及模拟考试中的高难度导数压轴题，覆盖了函数性质探究、不等式证明、参数方程求解、数列与导数结合等多种题型。每一道例题都经过由表及里、由浅入深的详细解析，不仅提供最终答案，更重要的是剖析解题的全过程，包括： 审题技巧： 如何快速抓住题目的核心信息，理解题意。 思路构建： 如何从题目特点出发，联想到相关的导数知识和解题策略。 关键步骤： 每一个重要推导的依据和逻辑。 易错点提醒： 指出常见的解题误区，帮助读者规避错误。 反思总结： 引导读者从例题中提炼出通用的解题方法和思想。 循序渐进，能力提升： 本书的编排遵循由易到难、由浅入深的原则。前期的内容会夯实基础，讲解基本概念和方法，而后期的例题和练习则难度逐渐提升，直指压轴题的深度和综合性。通过循序渐进的学习，读者能够逐步建立自信，稳步提升解决高难度数学问题的能力。 互动启发，思维激活： 除了详实的例题解析，本书还设置了一些启发性问题和思考题，鼓励读者主动思考，积极参与到解题过程中。我们相信，数学的学习不仅仅是记忆公式和技巧，更重要的是思维的训练和能力的培养。 目录预览（主要内容方向） 第一章：导数基础回顾与高阶应用 导数基本概念与几何意义的再认识 洛必达法则与无穷小、无穷大的处理 导数在研究函数单调性、极值、最值中的作用 复合函数求导与隐函数求导的应用 导数在不等式证明中的初步应用 第二章：导数压轴题的类型与特点 函数性质综合探究（单调性、极值、最值、对称性等） 不等式证明（恒成立问题、构造函数证明不等式） 参数方程与导数 方程根的个数与导数 数列与导数交织的综合题 第三章：放缩法的理论基石与常用技巧 理解放缩法的核心思想：化未知为已知，化复杂为简单 代数放缩： 利用基本不等式（均值不等式、柯西不等式等） 利用变量替换和构造辅助函数 利用函数图像的单调性进行放缩 泰勒展开放缩： 基本函数的泰勒展开式（e^x, ln(1+x), sin x, cos x 等） 利用泰勒展开式近似函数，实现放缩 积分放缩： 利用积分的几何意义（面积）进行放缩 利用积分不等式（如 Jensen 不等式、积分中值定理） 数列放缩： 利用比较法、归纳法进行数列的放缩 第四章：导数压轴题中的放缩法实战演练 例题精讲： 例 4.1： 利用泰勒展开证明含 e^x 的复杂不等式。 例 4.2： 运用积分放缩证明关于对数函数的不等式。 例 4.3： 结合函数单调性，巧妙代数放缩解决参数不等式恒成立问题。 例 4.4： 构造辅助函数，利用导数与放缩法求解函数零点个数。 例 4.5： 将数列问题转化为与导数相关的函数问题，并应用放缩法。 （本书将包含更多此类深度解析的例题，覆盖不同知识点和难度层次） 题型分析： 针对不同类型的压轴题，总结放缩法的具体应用策略。 解题误区与技巧提升： 深入剖析使用放缩法时容易出现的错误，并提供优化建议。 第五章：疑难杂症攻克与思维拓展 导数压轴题中的“陷阱”与应对策略 如何培养数学直觉，快速找到解题切入点 多角度看问题：同构、转化、构造思想的应用 如何将抽象的数学问题与具体的实际情境联系起来 构建个人解题知识体系与方法库 第六章：模拟演练与提升 精选模拟压轴题，提供独立思考与解答空间 针对性练习，强化导数与放缩法的掌握程度 阶段性测试，检验学习成果，发现薄弱环节 本书适用人群 高中生：尤其是高三学生，在高考冲刺阶段，需要系统性地提升导数压轴题的解题能力。 对导数及放缩法有深入学习需求的数学爱好者。 希望在数学竞赛中取得好成绩的学生。 从事高中数学教学的教师，可作为教学参考和备课资料。 学习建议 概念先行： 在学习具体例题之前，务必牢固掌握导数的基本概念、定理和公式。 主动思考： 阅读例题时，先尝试自己思考解题思路，然后再对照解析，对比自己的想法与作者的思路。 勤于练习： 数学能力的提升离不开大量的练习。在理解例题的基础上，积极完成书后的练习题，并尝试举一反三。 反复回味： 对于经典例题和解题方法，要反复琢磨，理解其精髓，将其内化为自己的解题工具。 总结归纳： 在学习过程中，不断总结自己遇到的问题、掌握的技巧，形成属于自己的解题方法库。 《数学小丸子的解题笔记——导数压轴题与放缩应用》不仅仅是一本练习册，它更是一份系统性的学习指南，一份思维的启迪，一份攀登数学高峰的有力助手。相信通过本书的学习，读者定能有效提升解决导数压轴题的能力，在高考数学中取得优异的成绩！

评分☆☆☆☆☆

最近我在琢磨一道高数题，涉及到参数的取值范围，怎么都找不到一个清晰的思路，感觉像是被卡住了。在网上搜索解法的时候，偶然看到了这本书的介绍，特别是“导数压轴题”和“放缩应用”这几个关键词，简直像抓住了救命稻草。压轴题嘛，大家都懂的，往往是考试的重点和难点，但凡能在这方面有所突破，对整体成绩的提升作用是巨大的。而“放缩应用”这个概念，在我看来，是一种非常高级的解题技巧，能够化繁为简，将复杂的问题转化为容易处理的形式。我一直觉得，很多数学题的精髓就在于发现巧妙的转化方法，而不是死记硬背公式。这本书如果真的能深入浅出地讲解如何在压轴题中运用放缩技巧，那将是无价之宝。我尤其希望它能提供一些不同类型的例题，从基础的到复杂的，逐步引导读者掌握放缩的思想和方法，而不是简单地罗列一些技巧。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学学习的乐趣很大程度上来自于解题过程中的“豁然开朗”。而很多时候，这种“豁然开朗”都需要一些巧妙的数学思想和方法来引导。这本书的标题《数学小丸子的解题笔记（导数压轴题与放缩应用）》恰恰点燃了我对这种“豁然开朗”的期待。“导数压轴题”代表着挑战，“放缩应用”则预示着策略。我希望这本书能像一位经验丰富的引路人，带领我穿越导数压轴题的迷雾，教会我如何运用放缩这个“万能钥匙”打开难题的大门。我特别看重“笔记”这两个字，它暗示着这本书的内容是作者长期思考和实践的结晶，而不是简单地拼凑知识点。我希望书中能够包含一些独特的、能够引发思考的解题技巧，让我不仅能解决眼前的题目，更能举一反三，触类旁通。

评分☆☆☆☆☆

我对这类针对性很强的数学书籍一直很感兴趣，特别是那些能够深入讲解某个特定难点（比如导数压轴题）的书。很多时候，我们学习数学，往往是“知道”一些概念和公式，但到了实际解题，尤其是面对综合性、探究性的压轴题时，就显得力不从心。这本书的“解题笔记”形式，让我觉得它会包含很多作者在解题过程中的思考痕迹和经验总结，这对于我这种需要“悟性”才能进步的学生来说，非常有吸引力。而“放缩应用”更是锦上添花，这是一种非常重要的数学思维方式，能让问题变得更简单、更直观。我非常期待这本书能够通过大量的例题，循序渐进地展示导数与放缩相结合的解题策略，让读者在实战中掌握这种强大的工具，而不是停留在理论层面。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我之前对导数和放缩的结合并没有太深的认识，总觉得是两个相对独立的知识点。但看到这本书的名字《数学小丸子的解题笔记（导数压轴题与放缩应用）》时，我突然意识到，原来导数和放缩之间可以产生如此有趣的化学反应。压轴题往往需要一些“四两拨千斤”的技巧，而放缩正是这样一种化繁为简的神器。我特别好奇，在处理那些需要证明不等式或者求函数最值等高难度导数问题时，如何利用导数的单调性等性质，结合恰当的放缩，来构建出清晰的解题路径。这本书如果能提供一些原创性的解题思路，或者对经典压轴题给出不同于常规的、更具启发性的解答，那将极大地拓展我的解题视野。我希望这本书不仅仅是给出“怎么做”，更能深入讲解“为什么这么做”，让读者真正理解其中的数学思想。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就很有意思，一眼就能看出是跟数学相关的，那个“小丸子”的形象很可爱，瞬间拉近了和读者的距离。虽然我不是特别资深的数学爱好者，但平日里对数学学习也挺上心的，尤其是那种看着就让人头疼的压轴题，总觉得是学习过程中的一个瓶颈。这本书的标题直接点出了“导数压轴题”，让我觉得它非常聚焦，不是那种泛泛而谈的数学书，而是直击要害。而且“解题笔记”这个词，更像是一个过来人的经验分享，不像枯燥的教科书，而是充满了实操性和指导性。我尤其关注“放缩应用”这个部分，感觉这个技巧在很多数学问题中都至关重要，如果能在这本书里学到一些巧妙的放缩方法，相信对提升解题能力会有很大帮助。总的来说，这本书给我的第一印象是非常亲切、实用，而且目标明确，就像一个经验丰富的朋友在手把手教你攻克难题，让人充满了学习的期待。

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活动买的还没看，用券很划算，平时都用不到，活动冲动就买了

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物流很好，书还没空看，有机会再慢慢钻研

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满满的都是经典好题，很棒的参考资料。

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有点难，我很喜欢

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孩子喜欢

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孩子喜欢

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不错，挺好的，京东物流也非常快，满意。

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很不错的书，推荐购买，纸质印刷清楚，送货也快！从京东买了很多书，打折不打折的时候都买。

评分☆☆☆☆☆

内容不错，讲的挺好，值得一看。