考研数学分析总复习 精选名校真题 第5版 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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陈守信 著

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• 考研数学
• 数学分析
• 真题
• 复习
• 高等教育
• 研究生入学考试
• 历年真题
• 名校真题
• 第五版
• 教材

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111589914

版次：5

商品编码：12349934

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： 考研数学复习指导系列丛书

开本：16开

出版时间：2018-04-01

用纸：胶版纸

页数：363

内容简介

全书共分八讲。讲介绍极限的思想、各种求解方法和证明极限存在的各种技巧；第二讲介绍函数一致连续性的思想和证明方法及技巧；第三讲介绍与微分中值定理（包括泰勒公式）有关的思想和解决问题的方法；第四讲介绍定积分的重要计算技巧和证明函数可积性的方法；第五讲介绍各类级数收敛性的判别方法和技巧，并对函数项级数和函数性质进行了详尽的讨论；第六讲介绍多元函数的各种性质及应用；第七讲介绍各类积分的计算方法和技巧，特别是第二类曲面积分；第八讲介绍证明不等式的常用方法和技巧。

目录

前　言
第一讲　极限 1
　一、用极限的定义验证极限 1
　二、用单调有界定理证明极限的存在性 3
　三、用迫敛性定理求极限 8
　四、用柯西收敛准则证明极限的存在性 10
　五、用施图兹定理求极限 12
　六、用泰勒展开求极限 14
　七、用中值定理求极限 17
　八、两个重要极限·洛必达法则 18
　九、用定积分的定义求极限 23
　十、其他 25
第二讲　一元函数的连续性 36
　一、函数的连续性及其应用 36
　二、一致连续性 47
第三讲　一元函数的微分学 57
　一、导数与微分 57
　二、高阶导数 62
　三、微分中值定理及其应用 67
　四、泰勒公式 82
　五、函数零点个数的讨论 93
第四讲　一元函数的积分学 96
　一、不定积分的计算 96
　二、定积分的计算 106
　三、函数的可积性理论 112
　四、定积分的性质及其应用 118
　五、广义积分 127
第五讲　级数 142
　一、数项级数 142
　二、函数项级数 159
　三、幂级数 179
　四、傅里叶级数 193
第六讲　多元函数的微分学 205
　一、多元函数的极限与连续 205
　二、多元函数的偏导数与全微分 214
　三、隐函数(组)存在定理及隐函数求偏导 227
　四、偏导数的应用 233
第七讲　多元函数的积分学 255
　一、含参变量积分 255
　二、重积分 279
　三、曲线积分 301
　四、曲面积分 314
第八讲　不等式 331
　一、几个著名的不等式 331
　二、利用凸函数的性质证明不等式 337
　三、利用函数的单调性与极值证明不等式 343
　四、积分不等式 351
参考文献 364

前言/序言

“数学分析”是数学系最重要的基础课之一,也是数学系各专业考研的必考科目. 由于它的内容多、技巧强、方法灵活,很多考生在备考过程中遇到诸多疑难和困惑,甚至产生了畏难、厌学情绪. 针对这种情况,我想以一个朋友的身份和大家聊聊,也许对你会有帮助. 二十多年前,我作为一名考生,也遇到了大家今天所遇到的问题(有过之而无不及!),也曾有过放弃的念头,但在老师和同学们的鼓励下,我咬咬牙挺过来了! 因此,我首先想和大家说的是:要相信自己,不要轻言放弃,顶一顶过了这一关,前面也许就一马平川了!我从事数学分析的教学工作已有二十余年,积累了一些教学经验和教学心得,能够体会到同学们在学习数学分析中的酸甜苦辣! 因此,有了想写一本帮助同学们备考用书的冲动.在写书之初,我曾多次和考生座谈并发放问卷,倾听他们的想法,了解他们的困惑. 许多同学真诚地提出了自己的问题,这让我非常感动! 于是,我暗下决心:要尽我最大能力写好这本书,以求能给大家点滴帮助. 同学们的问题归纳起来有如下几个方面:1. 数学分析概念多、定理多,各章节的内容串联不起来. 比如,求极限有许多方法和技巧,拿到题目不知道如何下手. 2.微分中值定理证明题中辅助函数的构造. 3. 定积分的可积性理论、求不出原函数的定积分的计算等问题. 4. 广义积分尤其是含参变量广义积分,证明其收敛性或一致收敛性是难点. 5. 对于函数项级数,当要讨论和函数的分析性质(连续性、可积性和可导性),而又不满足定理的条件时,常常感到束手无策. 6. 第二型曲面积分计算时的补面、以及区域内部有奇性等如何处理. 当然,同学们还提出了许多其他问题,比如:一元函数的一致连续和非一致连续的证明;二重极限的计算;常考的不等式题型及其证明等. 从同学们所提的问题看,的确切中了数学分析的重点和难点,当然也是目前各类院校考研的重点.同学们的问题就是我写这本书的指导思想,因此我在编写本书的过程中始终本着如下原则:不受知识体系的约束,坚持体系由解题方法所决定;不去罗列各种教材中的基本内容,仅对一些重要的、容易混淆的概念和定理进行深入、透彻的讲解. 并恰如其分地阐述它们之间的区别与联系,以及使用时应该注意的事项;不追求大而全、艰而难,注重解题思路的分析和解题技巧的提炼.在整个写作的过程中,同学们的问题始终在我脑海萦绕. 我常常问自己:我回答了学生的问题吗? 能给学生帮助吗? 唯恐自己的闪失或能力所限辜负了同学们的期望! 下面我想通过几个例子来说明,我是如何针对同学们的问题来安排书中内容的..求极限的方法与技巧在讲中我归纳总结了十余种求极限的方法,并通过典型例子阐明了它们的应用. 在此,我通过一个例子来说明如何去思考问题?设数列{xn } 由递推关系xn+1 = f(xn ) 所给出,求lim n→拿到这个题目,大家会首先想单调有界定理. 如果单调有界定理失效,可能有的同学就“望题兴叹”了! 可是大家不要忘记:数列收敛的本质是:充分靠后的任意两项之间的距离可以任意小. 这样我们就可以尝试使用压缩性条件或柯西收敛原理;如果还不行,可以考虑使用上、下极限法.另外,如果数列{xn } 由线性递推关系xn+1 = pxn + qxn-1,n = 2,3,… 所给出,其中p,q 为常数,x1,x2 为已知. 对这种由线性递推关系所定义的数列,我们可以将其视为差分方程,通过求其特征方程的根(即特征根),写出xn 的通项公式,从而可求出xn 的极限..与微分中值定理或泰勒公式有关的证明题中辅助函数的构造在第三讲中,我通过对一些典型例题(这其中也包括与积分有关的题目)的分析、讲评,向大家介绍了:如何从题目的结论出发构造辅助函数. 由于构造辅助函数有一定的灵活性,通过区区几个例题大家可能仍然无法掌握其中的技巧和奥秘! 为了克服这一困难,我又介绍了在多年教学实践中总结出来的“辅助多项式法”. 这种方法把充满技巧的辅助函数构造变成了机械的例行公事了..定积分的计算谈起定积分的计算问题,许多同学可能对此不以为然,会简单地认为:只要求出原函数问题就解决了! 但是对那些原函数求不出来或不易求出来的怎么办? 通常的想法是,作自变量的变换,这种变换充满了智慧和技巧. 在第四讲中,我给出了简单易行的“定积分计算技巧”,解决了一大类定积分计算问题.如此等等,不再一一赘述.关于本书我想再啰嗦几句. 书中的例题和类题大都来源于考研真题和近年来的全国大学生数学竞赛试题. 有些题目从年份上看,是早了一些,但是好的题目就像美妙的音乐,永远是不会过时的! 在题目的取舍上既要照顾到介绍思想、方法和技巧的需要,又要保证有一定的难度;在讲解上由浅入深,娓娓道来,尽量做到“平易近人”. 多数例题的后面都配有类题,并给出了详略不同的提示,这有利于同学们掌握和巩固例题中所学的方法和技巧. 许多理论上的讲解和题后的注记,都体现了笔者二十多年的教学经验和教学心得,凝聚了笔者的心血! 同学们在阅读过程中要认真琢磨,细细品味,切不可蜻蜓点水一带而过.如何进行考研总复习呢? 许多同学向我提出这个问题. 我认为,首先把课本上的基本内容搞熟、搞透、掌握了,然后根据自己的情况选择一本适合复习的参考书,对所学的知识进行全面、系统的串联、归纳、总结、巩固和提高. 最后找你所报考院校近几年的考题试做一下,

《考研数学分析总复习：精选名校真题 第5版》简介 一、 学习目标与核心价值 本书旨在为广大考研学子提供一套系统、全面、高效的数学分析总复习方案，帮助考生在短时间内掌握数学分析的核心知识体系，显著提升解题能力，从而在考研数学的战场上取得理想成绩。我们深知数学分析在考研数学中的基础性与重要性，它不仅是后续高等数学、线性代数等科目的基石，更是考察考生逻辑思维、抽象推理和严谨论证能力的试金石。因此，本书围绕“精选名校真题”这一核心，力求从源头上解决考生复习过程中的痛点与难点。 本书的核心价值在于其“精选”与“真题”的融合。市面上考研数学复习资料众多，但真正能兼顾全面性、代表性与权威性的却屈指可数。我们汇集了近十余年全国各大名校（包括但不限于“985”和“211”院校）考研数学分析真题，并经过严格筛选与分类，确保每一道题目都具有典型性、代表性，能够真实反映考研数学分析的命题趋势和考察重点。通过对这些高质量真题的深入解析，考生能够： 1. 精准把握考点： 了解历年真题中反复出现的知识点、高频考点以及易错点，从而有针对性地进行复习，避免“眉毛胡子一把抓”的低效学习。 2. 提升解题技巧： 学习名校名师推荐的解题思路、方法与技巧，掌握如何从题目条件出发，运用数学思想和数学方法，构建解题框架，最终得出正确答案。 3. 模拟实战演练： 通过解答大量高质量的真题，让考生提前熟悉考试的题型、难度和时间压力，为考场上的临场发挥打下坚实基础。 4. 查漏补缺完善： 通过对错题的分析与反思，及时发现自己在知识理解、概念掌握或解题能力上的不足，并加以改进，实现知识体系的闭环。 二、 内容编排与特色分析 本书在内容编排上，遵循循序渐进、由点及面的原则，力求为考生构建一个完整而扎实的数学分析知识框架。 1. 系统梳理核心知识点： 在真题解析之前，本书会对数学分析的各个核心章节（如数列与级数、极限、连续、导数与微分、不定积分、定积分、多重积分、曲线积分与曲面积分、微分方程等）进行扼要的知识点梳理。梳理过程并非简单的罗列定义和定理，而是侧重于概念的理解、定理的内涵、公式的应用以及它们之间的内在联系。我们将数学分析的知识点进行结构化呈现，帮助考生建立起清晰的知识脉络。例如，在梳理极限部分，不仅会讲解极限的定义（ε-δ语言），还会深入分析其与无穷小、无穷大的关系，以及利用夹逼定理、单调有界定理等求解极限的方法。 2. 精选名校真题与详尽解析： 这是本书最核心的部分。我们收录了来自全国各大名校的历年真题，并根据考察的知识点和题型进行了科学的分类。每一道真题都配有详细而富有启发性的解析。解析的撰写力求做到： 思路清晰： 详细阐述解题思路的来源，解释为什么选择该种方法，每一步的推导都有理有据。 步骤严谨： 严格按照数学规范进行步骤推演，避免出现逻辑跳跃或计算错误。 方法多样： 对于同一道题目，有时会提供多种解法，或指出特定方法的优势与局限性，拓宽考生的解题视野。 重难点剖析： 针对题目中的难点、易错点，以及可能隐藏的陷阱，进行深入剖析，帮助考生“知其然，更知其所以然”。 知识点关联： 将解题过程中涉及到的所有相关知识点进行回顾与强调，帮助考生巩固和迁移所学。 3. 分类专题与题型归纳： 除了按章节划分真题，本书还将针对数学分析中的一些重点、难点专题进行集中讲解和训练。例如，对“连续性与一致连续”、“可微性与方向导数”、“反常积分收敛性判别”、“微分方程通解与特解”、“格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用”等，我们将提炼出其核心考察内容、典型题型以及解题技巧，并选取具有代表性的真题进行强化训练。这种专题式的复习有助于考生系统性地攻克薄弱环节。 4. 答题规范与技巧指导： 考研数学不仅考察知识的掌握程度，也对考生的答题规范和技巧有着一定的要求。本书在解析中会潜移默化地渗透答题技巧，例如： 审题技巧： 如何快速准确地从题干中提取关键信息。 解题步骤： 如何清晰、有条理地书写解题过程。 格式要求： 如何规范地书写数学符号、公式和表达式。 时间管理： 如何在有限的时间内高效完成答题。 分数分布： 对于一道多问的题目，如何合理分配时间和精力，争取每一步都拿到应有的分数。 三、 适用人群与复习建议 本书特别适合以下几类考研学子： 1. 基础扎实，寻求拔高者： 已经掌握了数学分析的基本概念和定理，希望通过真题训练，提升解题的深度和广度，向更高分段迈进。 2. 基础薄弱，面临瓶颈者： 在复习过程中遇到困难，对某些概念和方法理解不清，需要通过大量真题解析来弥补知识漏洞，建立信心。 3. 时间紧张，追求效率者： 考研复习时间宝贵，需要有针对性地利用高质量真题，快速进入考研状态，高效地完成总复习。 4. 渴望了解名校命题思路者： 希望通过研究名校真题，了解不同学校的命题风格和侧重点，更好地备考目标院校。 复习建议： 系统梳理，建立框架： 在开始做真题前，建议先快速回顾一遍数学分析的知识体系，形成一个整体的认知框架。 分阶段练习，循序渐进： 可以按照章节或专题顺序进行练习，或者直接按年份套题演练，但务必根据自身情况调整。 精研真题，深度理解： 不要仅仅满足于找到正确答案，更重要的是理解解析中的思路和方法，体会题目背后的数学思想。 错题分析，及时巩固： 建立错题本，定期回顾分析错题原因，并将相关知识点进行巩固记忆。 模拟演练，实战检验： 在复习后期，安排几次完整的模拟考试，严格按照考试时间和要求进行，检验复习效果。 结合课本，查漏补缺： 遇到解析中反复提及但自己仍不熟悉的知识点，及时翻阅课本或参考资料，加深理解。 四、 结语 《考研数学分析总复习：精选名校真题 第5版》凝聚了我们对考研数学分析命题趋势的深刻洞察和对考生复习需求的精准把握。我们相信，通过本书的系统学习和深入实践，广大考生一定能够战胜数学分析的挑战，为考研成功奠定坚实的基础。愿本书成为您考研路上的得力助手，助您实现心中的名校梦想！

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是考研数学路上的定海神针！我个人感觉，市面上那么多复习资料，很多都是那种“大而全”，恨不得把所有知识点都罗列一遍，结果读起来费时费力，重点不突出。但这本《精选名校真题 第5版》就做得非常到位。它不是那种枯燥的理论堆砌，而是直接聚焦到实战——名校的真题。说实话，一开始我还担心，这都是往年真题，会不会不够新？但翻开目录，我才发现，它选的题目质量非常高，很多都是那些顶尖学府近年来的考题，而且覆盖面广，从基础概念的考察到复杂综合题的解法，都很有代表性。最让我惊喜的是，它不仅仅是把题目列出来，后面配套的解析简直是神来之笔。那种步步为营、层层递进的解题思路，把那些晦涩难懂的数学定理应用到具体题目上的过程，展现得淋漓尽致。我以前做题总是卡在“思路怎么来”的环节，但看了这本书的解析后，那种恍然大悟的感觉，简直太爽了！感觉自己不只是在做题，而是在跟一位顶级名师进行一对一的深度交流，他的思路和方法论都潜移默化地被我吸收了。这本书的排版也很好，卷面干净，阅读体验极佳，让人能长时间保持专注，非常适合考前最后的冲刺和查漏补缺阶段使用。绝对是备考过程中不可或缺的利器。

评分☆☆☆☆☆

如果用一个词来形容我使用这本书的感受，那就是“高效”。考研的竞争压力相信所有人都深有体会，时间就是生命，每一分钟都得花在刀刃上。我之前做过一些网上流传的“小范围押题卷”，结果发现，很多题目要么太偏，要么就是重复刷那些已经烂熟于心的基础题，对提升核心竞争力帮助不大。这本书的价值就在于它的“精准筛选”。它不像一本题海战术的工具书，而是像一位经验极其丰富的教练，帮你过滤掉了绝大部分噪音，只留下最精华、最能体现考察意图的“硬骨头”。我尤其欣赏它对不同难度题目在复习阶段的权重划分。它不是平均用力，而是通过真题的分布，潜移默化地告诉你，哪些部分是拿分的重点，哪些是拉开差距的关键。每做完一个章节的真题回顾，我都会有一种“茅塞顿开”的感觉，之前模糊的概念立刻清晰起来。这种针对性极强的训练，极大地节省了我的复习时间，让我能把精力集中在真正需要突破的薄弱环节上，让整个复习节奏变得更加有条理和主动性。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我是一位比较注重“体系化”学习的考生，我之前买了很多章节性的教材，但总觉得知识点之间像是一盘散沙，很难串联起来形成一个有机的整体。这本书的价值，就在于它提供了一个以“真题为中心”的复习框架。它把那些零散的知识点，通过一道道高质量的题目强行串联起来，让你清晰地看到，比如“微分中值定理”在不同类型的题目中是如何变异和考察的。第五版相比之前的版本，我在对比了一下，明显感觉在对新型考法的覆盖上做了大量的优化，紧跟了近几年数学分析考察趋势的变化。比如，对于一些结合了物理背景或者几何意义的抽象问题，它的解析不仅仅停留在纯粹的数学推导上，还会适当地给出一些直观的理解，这对于我们非数学专业的考生来说，简直是雪中送炭。这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，极大地增强了我对数学的信心。以前看到难题就想绕着走，现在敢于直面挑战，因为我知道，即便卡住了，这本书里也有清晰的灯塔指引方向。对于追求高分的同学来说，这本书的选材和解析深度，绝对能满足你们对“精益求精”的要求。

评分☆☆☆☆☆

这本书对于那些习惯于“题海战术”但收效甚微的考生来说，简直是一剂猛药。我个人最大的体会是，从这本书中我学到的不仅仅是解题技巧，更是一种面对复杂数学问题的“思维定势”的纠正。很多时候，我们的大脑习惯于套用最简单、最直接的公式，而名校的真题往往需要更深层次的思考和更巧妙的转化。这本《精选名校真题 第5版》在这方面做得非常出色。它的解析部分，经常会给出不止一种解法，A解法是标准流程，但B解法可能更简洁或者更具普适性。通过对比这些不同的思路，我开始学会从不同的角度审视同一个问题，这对于提高我的“数学直觉”非常有帮助。它迫使我去思考，为什么这种方法可行，而另一种方法在这种情况下会失败。这种深层次的理解，远比死记硬背公式重要得多。在我看来，这本书不仅仅是一本复习材料，更是一本关于如何构建和优化考研数学分析解题体系的“方法论指南”。对于志在顶尖院校的考生而言，这本书的价值，无法用单纯的“题量”来衡量。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本《精选名校真题 第5版》的时候，说实话，内心是有点忐忑的，毕竟“总复习”这个词听起来就有点让人头大，生怕又是那种厚到能当枕头的砖头书。然而，实际的阅读体验完全颠覆了我的预想。它巧妙地平衡了“广度”与“深度”。它不是那种只挑简单题来巩固信心的书，里面的难题比重相当可观，但难归难，它给出的解题路径却异常清晰。我特别欣赏它对“陷阱”的设置和剖析。很多时候，我们之所以做错题，不是因为不会某个定理，而是因为在某个关键的转折点上判断失误了。这本书里的解析，会非常细致地指出“这里容易出错”以及“正确的逻辑链条应该是怎样的”。这种防患于未然的训练，比盲目刷题有效得多。我用它来模拟了几次限时训练，发现自己的做题速度和准确率都有了显著的提升，尤其是那些需要灵活运用多种知识点进行综合分析的题目，这本书简直是我的“实战演练场”。如果你是那种基础已经打得不错，但总感觉在实战中“临门一脚”总踢不准的考生，这本书会给你带来质的飞跃。它不是让你去学习新的知识点，而是让你学会如何“应用”已有的知识，这才是考研数学的精髓所在。