集值极大极小定理与集值博弈问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张宇 著

图书标签:

• 集值分析
• 极大极小定理
• 集值博弈
• 优化理论
• 非合作博弈
• 数学规划
• 经济模型
• 决策分析
• 不动点定理
• 拓扑学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030554550

版次：31

商品编码：12366794

包装：平装

开本：32开

出版时间：2018-05-01

页数：128

正文语种：中文

内容简介

本书主要分为两部分内容：集值极大极小定理和集值博弈问题。本书分别在向量优化与集优化两种不同准则下，讨论集值极大极小定理，主要内容有集值极大极小定理与锥鞍点、向量集值极大极小问题、向量集值KyFan极大极小定理、非凸的集值极大极小定理与集值均衡问题、几类特殊的集值极大极小定理与集优化的集值极大极小定理。集值博弈问题主要为集值鞍点问题与集值Nash博弈问题。

《极值博弈与决策分析：现代数学方法在新领域的应用》 图书简介 本书深入探讨了极值理论在复杂决策环境，尤其是涉及多个理性参与者的博弈问题中的应用与拓展。内容聚焦于传统极值定理在动态系统、非合作博弈以及多目标优化领域所面临的挑战，并系统性地介绍了为应对这些复杂性而发展起来的先进数学工具与分析框架。 第一部分：极值理论的现代图景与基础拓展 本部分旨在为读者构建一个坚实的理论基础，超越经典极值定理（如魏尔斯特拉斯定理、最大值最小值原理）的适用范围。 1. 函数空间与泛函分析基础： 重新审视勒贝格积分、索伯列夫空间以及巴拿赫空间在处理无限维决策空间时的必要性。重点阐述了紧性概念（如弱紧性、紧嵌入）如何被引入以保证极值点的存在性，尤其是在涉及微分约束的系统设计中。 2. 变分原理的推广： 探讨了非光滑分析在现代控制理论中的核心地位。引入了极小极大不等式、凸分析中的对偶理论，以及弗雷歇导数和次微分（Subdifferential）的概念。这为分析那些目标函数不连续或约束集非光滑的实际问题提供了精确的数学工具。 3. 随机性与不确定性下的极值： 鉴于现实世界中信息的不完全性，本章详细介绍了随机过程理论在极值问题中的嵌入。内容包括鞅论、伊藤积分，以及如何利用期望最大化原则（或风险价值最小化）来定义随机环境下的“最优”值。重点分析了随机控制问题中的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的解的存在性与稳定性。 第二部分：非合作博弈的极值结构与均衡分析 本部分将焦点转向多主体交互环境，探讨如何利用极值方法来刻画和求解博弈均衡。 1. 纳什均衡的拓扑基础： 从拓扑不动点定理（布劳威尔、卡卡尼亚基）出发，严格证明了纯策略和混合策略纳什均衡的存在性。随后，引入更一般化的概念，如变分不等式（Variational Inequalities）作为纳什均衡的函数方程表述，这对于处理大规模、连续策略空间的博弈至关重要。 2. 偏微分博弈（Differential Games）： 深入分析了具有动态演化的博弈系统。本书详细阐述了Isaacs方程（或称Minimax Hamilton-Jacobi方程）的推导及其在追击-逃逸问题中的应用。重点区分了零和博弈与非零和博弈中极值解的性质差异，以及如何利用“最优反馈策略”的概念来描述策略的依赖性。 3. 演化博弈与动态稳定性： 超越静态纳什均衡，本章考察了策略如何随时间演化。引入了再 উৎপাদন动力学（Replicator Dynamics）和更一般的演化方程，分析系统在博弈过程中的收敛性和渐近稳定性。这部分内容将极值分析与动力系统理论紧密结合，用于预测市场或生态系统中的长期均衡状态。 第三部分：多目标优化与帕累托极值 决策者往往面临多个相互冲突的目标，本部分专门处理这种复杂性，寻求一组帕累托最优解集，而非单一的全局最优值。 1. 帕累托集与效率前沿： 明确定义了帕累托最优性、Weak Pareto Optimality以及强帕累托最优性。利用加权和方法和 $epsilon$-约束方法，系统地研究了如何将多目标问题转化为一系列单目标问题，并分析由此产生的解集的几何结构（即效率前沿的曲率与光滑性）。 2. 多目标博弈中的均衡概念： 探讨了当博弈参与者各自拥有多个目标时，均衡点的定义。引入了帕累托纳什均衡（Pareto Nash Equilibrium）和Stackelberg均衡的推广形式。分析了在决策者偏好不完全对称的情况下，均衡集的非凸性问题。 3. 模糊集与区间值分析： 考虑到决策信息的不精确性，本章介绍了将模糊集理论和区间值分析纳入多目标极值框架的方法。这允许在目标函数和约束条件包含不确定性或主观判断时，依然能够确定一个“可接受的”极值区域。 第四部分：应用与计算方法 本部分将理论框架应用于具体的工程与经济模型，并探讨求解这些复杂极值问题的数值方法。 1. 计算复杂性与近似算法： 针对高维博弈和大规模优化问题，本书讨论了算法的收敛性保证。重点介绍了迭代投影算法、对偶上升法在解决鞍点问题中的应用，以及有限元方法在求解偏微分博弈中的离散化技巧。 2. 经济学模型实例： 选取资源分配博弈、污染治理的国际合作博弈等案例，展示如何运用极值理论和博弈论工具来建模非合作行为、预测社会福利的边界，并设计机制以引导个体行为趋向于社会最优解。 3. 控制理论中的逆问题： 讨论了如何从观察到的系统轨迹中推断出潜在参与者的效用函数或目标函数（即逆向博弈理论）。这涉及到使用信息论工具和正则化方法来稳定逆问题的解。 本书面向高等院校研究生、科研人员以及从事决策科学、运筹学、控制工程和经济学建模的专业人士。它要求读者具备扎实的实分析和泛函分析背景，旨在提供一个从基础理论到前沿应用的全景式视角，理解如何在极端约束和多主体交互的复杂场景下，精确地定义、分析并求解“最优”或“均衡”的极值问题。

评分☆☆☆☆☆

初翻此书的目录，我便被其结构安排所吸引，它似乎遵循着从基础理论到高级应用的递进逻辑。对于一个非数学专业背景，但热衷于理解复杂系统决策机制的读者来说，开篇的基础性章节至关重要。我特别关注其中对“集值映射”的性质探讨，比如上半连续性、下半连续性以及它们在满足极大极小条件时的等价关系。这些概念的清晰界定，是后续所有博弈模型建立的基石。如果作者能够辅以直观的几何解释或低维空间的图示来辅助理解这些抽象的拓扑性质，那无疑将大大降低读者的理解门槛。再往后看到关于“多目标优化”与“集值决策”交叉的部分，我感到非常兴奋。在现代工程设计和经济规划中，几乎没有哪个问题是单一目标可以概括的。如何在这种多目标冲突中，利用集值极大极小理论来确定帕累托最优集或者寻找某个特定意义下的“稳定解”，是理论应用价值的集中体现。我希望书中能展示一些富有启发性的案例，哪怕是简化的模型，来佐证理论的有效性。

评分☆☆☆☆☆

这本《集值极大极小定理与集值博弈问题》的标题本身就透露出一种深邃的数学魅力，让我这个对应用数学和决策理论抱有浓厚兴趣的读者不禁心生向往。从书名来看，它似乎紧密围绕着集合值函数在极值问题中的复杂性展开，特别是当涉及到博弈论的框架时，那种多方利益相互制约、寻求最优解的张力感跃然而出。我期待书中能对“集值极大极小定理”的数学根基进行详尽的论述，不仅仅停留在定理的陈述层面，而是深入剖析其证明过程中的关键技巧和拓扑学的精妙运用，例如不动点定理的推广形式在其中的角色。更重要的是，我希望看到理论如何无缝衔接至“集值博弈问题”的应用。在许多现实场景中，决策者面对的往往不是单一确定的选项，而是一个可能随环境变化的效用集合。这本书能否清晰地阐释，在这些集合值环境下，纳什均衡、鞍点解等经典概念如何被重新定义和求解？我猜想，作者一定花费了大量篇幅来构建一个严谨的数学模型，用以刻画这种不确定性下的合作与对抗，这无疑是对经典博弈论的一次重要拓展和深化。

评分☆☆☆☆☆

阅读过程中，我一直在寻找理论推导与实际算法之间的桥梁。毕竟，再优雅的数学定理，如果不能转化为可操作的计算步骤，其应用价值也会大打折扣。我非常期待书中关于“数值逼近”和“计算复杂度”的讨论。例如，当集合是无限维的，或者映射的性质过于复杂，无法直接应用经典不动点定理时，是否存在利用有限元方法或迭代算法来近似求解集值鞍点的方法？如果作者能够提供一些关于算法收敛性的严格证明，并讨论这些算法在处理大规模数据集时的效率瓶颈，那么这本书就不仅仅是一部理论专著，更是一本实用的计算指南。此外，对于那些致力于金融建模或控制理论的读者而言，如果书中能将这些定理延伸至随机微分方程的解集或者控制集上的最优控制问题，那就更具突破性了。理论的深度必须配以计算的广度，才能真正激发读者的实践热情。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的整体印象是学术性极强，但其深层价值在于为处理非标准、高维度的决策问题提供了强有力的数学工具箱。我非常好奇作者是如何处理博弈中“信息结构”对集值解的影响的。在许多博弈论研究中，假设参与者对其他参与者的效用函数或策略空间是完全已知的，但在集值博弈中，这种知识的缺失可能更为普遍——参与者可能只知道对手的潜在结果集，而非确定的结果点。书中是否探讨了贝叶斯框架下的集值博弈解法？或者，更进一步，有没有涉及到动态博弈中，策略集和值集随时间演化的稳定性分析？特别是，如果我们将注意力聚焦于“极大极小”这一概念，它本质上是寻求最坏情况下的最佳结果，这在风险厌恶型决策者中尤为重要。这本书是否系统地论述了如何从数学上证明，在给定的约束和性质下，这种“极小化最坏后果”的策略是存在且可计算的，这一点，对我构建实际的风险管理模型具有决定性的参考意义。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构布局和严谨性，让我感受到作者在这一交叉领域深厚的学术积淀。尤其引人注目的是对“非合作性”与“合作性”集值博弈的区分和对比分析。在合作博弈中，参与者可以就如何选择子集达成一致，从而共同最大化某个集合上的“集合和”或者其他集合函数；而在非合作博弈中，个体理性可能导致次优的全局结果。我猜测，书中对合作解的讨论，可能涉及了核、夏普利值等概念在集值空间中的推广。这种推广的难度是显而易见的，因为集合的加法和平均化本身就需要高度精细的定义。如果作者能清晰阐述这些推广的合理性及其带来的新挑战，比如“不可分割性”问题的处理，那么本书的理论贡献将是显著的。总而言之，这是一部旨在拓宽数学决策边界的严肃著作，它挑战读者去适应一个充满不确定性和集合选择的复杂世界，并提供了解锁这个世界运作规律的钥匙。