整体微分几何初步（第3版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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沈一兵 著

图书标签:

• 微分几何
• 整体几何
• 流形
• 拓扑
• 数学
• 高等教育
• 第3版
• 几何学
• 数学分析
• 曲线曲面

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040272611

版次：1

商品编码：10126392

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2009-07-01

用纸：胶版纸

页数：311

字数：390000

正文语种：中文

内容简介

　　《整体微分几何初步(第3版)》是作者长期从事微分几何基础教学的产物，主要采用外微分形式和活动标架法，介绍欧氏空间曲线和曲面的某些整体性质。内容包括：E3中曲线和曲面的局部概论；活动标架法；曲线的整体微分几何；E3中曲面的整体微分几何；曲面的内蕴几何；高维欧氏空间的超曲面：Finsler几何中的某些变分计算。另有两个附录：欧氏空间点集拓扑概要；曲面的拓扑分类。书中介绍了整体微分几何的许多基本概念和方法技巧，既论述经典理论，也兼顾近代进展，并包含了丰富的微分几何参考文献，使读者在学完《整体微分几何初步(第3版)》后，能独立进行整体微分几何的某些研究。
　　《整体微分几何初步(第3版)》可作为高等院校数学系学生及研究生的教材，也可供数学和物理工作者参考。

内页插图

目录

第0章 E3中曲线和曲面的局部概论
§1 E3中的曲线
1.1 曲线的表示
1.2 曲线的Frenet标架曲率和挠率
1.3 曲线论的基本公式和基本定理
§2 E3中的曲面
2.1 曲面的表示
2.2 曲面上的活动标架第一基本形式
2.3 长度、角度和面积元
2.4 常见曲面
§3 曲面上的曲率
3.1 曲面的第二基本形式
3.2 wreingarten变换主曲率
3.3 Gauss曲率平均曲率曲率线
3.4 Gauss映射第三基本形式
§4 曲面的局部理论
4.1 自然标架的基本公式
4.2 测地曲率测地线
4.3 法坐标与测地极坐标
第一章 活动标架法
§1 幺正标架
1.1 幺正标架
1.2 双参数下的外乘法与外微分
1.3 幺正标架的运动方程
§2 外微分形式
2.1 外代数
2.2 外微分形式
2.3 外微分
2.4 微分形式的积分
§3 可积系统
3.1 E3的结构方程
3.2 Frobenius定理
§4 曲线和曲面的基本定理
4.1 曲线论基本定理
4.2 用活动幺正标架研究曲面
4.2.1 联络与第二基本形式
4.2.2 测地曲率的Liouville公式
4.2.3 Gauss美妙定理
4.3曲面论基本定理
第二章 曲线的整体微分几何
§1 平面曲线的某些整体性质
1.1 等周不等式
1.2 曲线的旋转指标
1.2.1 映射的度数
1.2.2 旋转指标定理
1.3 凸闭曲线
§2 空间曲线的某些整体性质
2.1 球面上的Crofton公式
2.2 空间曲线的全曲率
2.3 空间曲线的全挠率
第三章 E3中曲面的整体微分几何
§1 曲面的Gauss—Bonnet公式
1.1 曲面的整体描述
1.2 Gauss-Bonnet公式
§2 Liebmann定理
2.1 球面的刚性
2.2 两个引理
2.3 Liebmann定理的证明
§3 凸曲面和积分公式
3.1 凸曲面的Hadamard定理
3.2 Cohn-Vossen定理
3.3 Minkowski积分公式
§4 Mink：OWSki问题和Christoffel问题的唯一性
4.1 概述
4.2 基本公式
4.3 Minkowski问题的唯一性
4.4 Christoffel问题的唯一性
§5 全平均曲率与willmore猜想
5.1 全平均曲率
5.2 球面的一个特征
5.3 环面的全平均曲率
5.4 Fenchel定理
§6 常负曲率曲面和Backlund变换
6.1 常负曲率曲面和SG方程
6.2 伪球线汇和焦曲面
6.3 Backlund变换
§7 Hilbert定理
7.1 负曲率曲面上的渐近线网
7.2 常负曲率完备曲面上的整体渐近线网
7.3 定理的证明
§8 Hartman—Nirenberg定理
8.1 预备引理
8.2 定理的证明
§9 极小曲面的Bernstein定理
9.1 共变微分和Laplacian△
9.2 关于Gauss曲率的计算
9.3 极小图的Gauss曲率计算
9.4 Bernstein定理的证明
§10 常平均曲率曲面
10.1 面积的变分
10.2 保体积的变分
10.3 Hopf定理
第四章 曲面的内蕴几何学
§1 曲面上的向量场
1.1 曲面上的向量场
1.2 曲面上向量场的平行移动
1.3 向量场的奇点
1.4 抽象曲面上的向量场
§2 测地线与完备曲面
2.1 测地线
2.2 指数映射exp
2.3 测地线的最短性
2.4 完备性
§3 弧长的第一变分
3.1 曲线的变分
3.2 第一变分公式
3.3 第一变分公式的应用
§4 弧长的第二变分及Jacobi场
4.1 弧长的第二变分公式
4.2 Jacobi场
4.3 共轭点
§5 曲率与拓扑
5.1 曲率与Jacobi场
5.2 Gauss曲率非正的曲面
§6 闭测地线与基本群
6.1 闭测地线与基本群
6.2 覆盖空间与闭测地线
6.3 紧致闭曲面上的闭测地线
第五章 高维欧氏空间的超曲面
§1 基本公式
1.1 超曲面的结构方程和曲率张量
1.2 主曲率与平均曲率
1.3空间形式
§2 积分公式
2.1 Minkowski积分公式
2.2 紧致凸超曲面
§3 球面的刚性定理
3.1 非负Ricci曲率的紧致超曲面
3.2 常数数量曲率的紧致超曲面
§4 极小超曲面的.Bernstein型定理
4.1关于第二基本形式的一个估计
4.2 稳定性不等式
4.3 Bet-nstein定理的推广
4.4 定理4.4的另一证明
§5 常平均曲率的完备超曲面
5.1 常平均曲率图
5.2 常平均曲率超曲面的曲率估计
5.3 具有有限全曲率的常平均曲率超曲面
§6 平均曲率流
6.1 平均曲率流方程
6.2 解的短时间存在性
6.3 度量和曲率的发展
6.4 紧致凸超曲面的收缩
§7 平均曲率流的奇性和凸性
7.1 平均曲率流的奇性
7.2 平均曲率流的凸性
7.3 关于σ2的估计
7.4 关于初等对称函数
7.5 定理7.4的证明
§8 关于Lawson—simons猜想
8.1 Lawson—Simons猜想
8.2 作为欧氏超曲面的紧致流形
8.3 定理8.1的证明
8.4 一般的黎曼流形
本章参考文献
第六章 Fiasler几何中的某些变分计算
§1 FiIlsler流形
1.1 Finsler流形
1.2 陈联络(Chern connection)
1.3 黎曼曲率
1.4 体积元
1.5 畸变与S曲率
1.6 复Finsler流形
§2 某些几何变分计算
2.1 散度公式
2.2 Einsteil卜Hilbert泛函
2.3 调和映射
2.3.1 第一变分
2.3.2 第二变分与Liouville型定理
2.4 极小浸入
2.5 复Finsler流形间的调和映射
2.5.1 第一变分
2.5.2 存在性
2.5.3 同伦不变性
本章参考文献
附录A 欧氏空间点集拓扑概要
附录B 曲面的拓扑分类
本书参考文献
索引

前言/序言

　　微分几何是一门古老的学科，历史悠久，它是以数学分析为工具来研究空间形式的数学分支。经典微分几何主要讨论曲线与曲面的局部性质。20世纪以来随着分析方法的发展，微分几何内容也越来越充实和深刻，除局部性质外，还研究关于图形的整体性质。南于整体微分几何的发展，这门学科虽然古老，但生命力至今还很旺盛，是当前基础研究的热门领域。它和其他许多数学学科以及理论物理等互相渗透。例如，它与微分方程、李群、变分学、泛函、拓扑、复变函数论、规范场论等的关系越来越密切，并互相影响、互相促进。因此，它的内容和方法也在不断更新。
　　多年来，一般高校微分几何教材是以经典的初等微分几何为其主要内容的。所谓“经典”，即如上所述，它所讨论的主要是图形的局部性质；所谓“初等”是指，为了初学者容易理解和入门，所研究的对象只限于三维欧几里得空间内的曲线和曲面。南于微分几何这个学科的不断发展，也由于现代科学技术发展的需要，微分几何教材的内容所包含的范围必须扩大，即必须加人整体微分几何的部分内容。因此，编写一本整体微分几何教材已成为当前的需要，但这种教材目前国内尚不多见。沈一兵教授这本教材开始编写于20世纪80年代初期，经过十多年的教学实践，不断修改充实，并采用幺正活动标架法，使得几何问题化为外形式计算，突破了用坐标系来计算的传统框架，这是几何学研究的一种现代方法。沈一兵教授在整体微分几何领域的研究造诣很深，以他一丝不苟的治学精神写成的这本书，我相信一定是一本好书，对于它的出版我寄予厚望。

抱歉，我无法为您提供一本名为《整体微分几何初步（第3版）》的图书的“不包含此书内容”的图书简介。 作为人工智能助手，我被设计用来提供有益和准确的信息。我的知识库是基于大量的文本数据训练而成的，这些数据包含了各种主题的图书信息、摘要和描述。 核心问题在于： 1. “不包含此书内容”的定义： 如果我为您生成一个关于“其他”主题的图书简介，您希望这个简介是关于哪一类主题的？如果没有明确的替代主题，我无法创造出一个“反向”的、不描述您指定书籍的有效摘要。 2. 避免AI痕迹和重复： 我理解您希望简介具有专业性、自然流畅，并且不包含任何自我指涉或元数据的描述。 3. 生成描述性内容的要求： 为了达到1500字的篇幅要求，我需要一个明确的、可以详细展开的主题。 鉴于您的要求是“不包含《整体微分几何初步（第3版）》的内容”，我将为您提供一个关于 应用统计学与数据挖掘 领域的深度专业图书简介，以满足您对字数和详细程度的要求，同时确保内容与您提及的微分几何完全无关。 --- 图书简介：高维数据分析：基于机器学习的因果推断与预测建模（第1版） 导论：数据驱动决策的新范式 本书旨在为统计学家、数据科学家以及应用数学领域的学者提供一套全面而深入的框架，用于处理当代大数据集中固有的复杂性、非线性和高维度问题。随着计算能力的飞跃，我们已跨越了传统线性模型在捕捉真实世界现象方面的局限性。本指南聚焦于如何有效地整合先进的机器学习技术（如深度学习、集成方法）与严格的统计推断原则，以实现可靠的预测和可解释的因果发现。 当前的数据科学领域面临的核心挑战在于如何从海量、异构的数据集中提取出具有实际业务价值的因果关系，而非仅仅识别出表面的相关性。本书摒弃了对单一模型最优性的盲目追求，转而强调模型稳健性、交叉验证的策略，以及对模型假设的批判性评估。我们假定读者已经具备概率论、线性代数和基础回归分析的知识背景，并将重点放在将这些理论基础提升至可应用于工业级数据集的实战层面。 第一部分：现代预测建模的基石与挑战 本书的第一部分奠定了高维数据分析的技术基础，并剖析了当数据维度（$p$）远大于样本量（$n$）时所产生的统计学偏差和方差权衡问题。 1.1 降维的艺术与科学： 我们详细考察了超越主成分分析（PCA）的非线性降维技术，包括流形学习（如Isomap和t-SNE）在特征可视化与噪声抑制中的应用。重点讨论了稀疏表示学习（Sparse Representation Learning）如何通过正则化项（如$L_1$范数，即Lasso）来筛选出真正具有预测能力的特征子集，从而提高模型的泛化能力和可解释性。 1.2 集成学习的深度解析： 集成方法是现代预测竞赛中的中坚力量。本书不仅回顾了Bagging（如随机森林）和Boosting（如AdaBoost, XGBoost, LightGBM）的基础算法，更深入探讨了它们在处理大规模异构数据时的优化策略。特别关注了梯度提升机器（GBM）中损失函数的选择对模型收敛速度和最终性能的影响，以及如何利用Bayesian优化策略对超参数进行高效调优。 1.3 深度学习在结构化数据中的定位： 虽然深度学习在图像和文本领域表现卓越，但其在表格数据中的应用仍需审慎。我们探讨了如何利用多层感知机（MLP）处理特征交叉，以及如何使用注意力机制（Attention Mechanisms）来动态地衡量不同特征输入对最终预测结果的相对重要性，这为传统树模型的“黑箱”提供了新的解释角度。 第二部分：超越相关性：因果推断的统计严谨性 本书的精髓在于从纯粹的预测转向对潜在因果效应的估计。在许多关键领域（如政策评估、药物疗效验证），仅仅知道“什么会发生”是不够的，我们必须知道“为什么会发生”以及“如果干预会发生什么”。 2.1 潜在结果框架与混杂因素控制： 我们从Rubin的潜在结果框架出发，详细阐述了识别因果效应所需满足的核心假设：可比性（Conditional Exchangeability）和一致性（SUTVA）。辨析了传统回归方法（如Ols）在处理未观测混杂因素时的内在缺陷。 2.2 倾向性得分匹配（PSM）的现代应用： PSM是平衡观测混杂因素的经典工具。本书超越了简单的二元匹配，探讨了基于核函数的匹配方法（如Optimal Matching）和使用机器学习模型（如梯度提升机）来估计倾向性得分（Propensity Score）的先进技术，从而提高平衡质量。 2.3 双重稳健估计与工具变量： 为应对模型设定误差（Model Misspecification），我们详细介绍了双重稳健（Doubly Robust, DR）估计器，如Neyman-Ornstein 估计和针对加性模型（Additive Models）的DR方法。此外，在无法通过观测数据完全控制混杂因素时，本书引入了工具变量（Instrumental Variables, IV）方法论，特别是针对异质性处理效应（Heterogeneous Treatment Effects, HTE）的推断，利用结构方程模型（SEM）进行验证。 第三部分：异质性效应与个体化决策 现代商业和医疗决策越来越需要针对个体或特定群体定制化干预措施。第三部分聚焦于如何利用数据模型来识别和量化处理效应在不同子群体间的差异。 3.1 条件平均处理效应（CATE）的估计： 我们引入了专门用于估计CATE的先进方法，如Causal Forests（基于随机森林的因果推断变体）和Meta-Learners（如S-Learner, T-Learner, X-Learner）。这些方法通过构建专门的损失函数来最大化处理组和对照组结果的差异，而非仅仅最小化整体预测误差。 3.2 效应修饰因子（Effect Modifiers）的发现： 通过整合特征重要性分析和模型解释性工具（如SHAP值），本书指导读者识别出哪些协变量（修饰因子）对处理效应的大小起决定性影响。这对于资源优化分配和精准营销至关重要。 结论与展望：可解释性与计算效率的平衡 本书的最后一部分强调了从“预测准确”到“决策可靠”的转化过程，这严重依赖于模型的可解释性（Explainability）和计算效率。我们探讨了代理模型（Surrogate Models）在复杂模型（如大型神经网络）解释中的作用，并讨论了用于评估因果推断结果的稳健性检验，例如安慰剂检验（Placebo Tests）和敏感性分析。 《高维数据分析》不仅是一本技术手册，更是一份关于如何以科学的、批判性的思维处理现代复杂数据的路线图。它为从业者提供了将机器学习的预测能力与统计推断的严谨性相结合所需的全部工具集，确保数据驱动的洞察力能够转化为安全、有效和可信赖的决策。本书旨在培养读者在面对真实世界数据挑战时，能够设计出既有预测力又具备因果洞察力的分析方案。

评分☆☆☆☆☆

我是一名在读的数学系本科生，正在学习微分几何这门课程。我的教授推荐了这本《整体微分几何初步（第3版）》作为参考书，虽然课程主要使用的是另一本教材，但我发现这本参考书在很多方面都给我带来了极大的启发。书中对一些基础概念的解释比我课堂上听到的更加细致和深入，而且提供了很多我之前没有接触过的视角。例如，关于黎曼流形的一些性质，这本书的介绍让我对“度量”这个概念有了更深刻的理解，不再仅仅停留在教科书上冰冷的定义。我尤其喜欢书中一些章节末尾的习题，它们难度适中，既能帮助我巩固所学知识，又能让我体会到微分几何的趣味性。虽然有些习题对我来说还有些挑战，但我相信通过思考和解决这些问题，我的数学能力一定会有所提升。这本书的出版时间是最新的一版，这确保了内容的时效性，让我能够接触到最新的学术进展，这一点对于我的学习非常有帮助。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计我简直太喜欢了！硬壳封面，纸张也很有质感，拿在手里沉甸甸的，一看就是那种可以陪伴我很久的学术经典。虽然我还没完全读进去，只是翻看了目录和一些章节的开头，但那种严谨的学术氛围扑面而来，让我充满了学习的动力。我特别喜欢封面上的图案，虽然我还不懂它具体代表了什么数学概念，但它本身就带着一种神秘的美感，仿佛预示着我即将踏入一个深邃而迷人的数学世界。包装也很仔细，书的边角都没有一点磕碰，这一点我非常满意，毕竟我是一个对书籍外观有一定洁癖的人。这完全符合我对于一本高品质数学教材的期待，我相信它一定能成为我深入理解微分几何的得力助手。即使是一些基础概念的引入，也处理得非常清晰，没有那种让人望而却步的晦涩感，这让我这个初学者感到非常安心，觉得终于找到了正确的入门途径。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学充满热情，但非专业背景的自学者。我一直对微分几何这个领域感到好奇，尤其是在阅读了一些关于广义相对论的科普读物后，更是被它那种描述时空弯曲的强大能力所吸引。我尝试过阅读一些更高级的教材，但往往因为基础知识不足而屡屡受挫。在机缘巧合下，我发现了这本《整体微分几何初步（第3版）》。这本书的开头部分，对集合论、拓扑学、微积分等基础概念的铺垫做得非常到位，并且没有占用太多篇幅，恰到好处地为后续内容的展开打下了基础。即使我之前对某些概念只是模糊的了解，通过阅读这本书，也能逐渐清晰起来。我最欣赏的是书中对“流形”这一核心概念的引入，它将代数和几何巧妙地结合起来，让我看到了一个全新的数学世界。这本书的语言风格非常友好，没有过多的学术术语堆砌，即使是初学者也能感到亲切，让我有信心坚持下去，一步步探索微分几何的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

我是一名即将开始研究微分几何的博士生，之前接触过一些初步的拓扑学和流形理论，但对微分几何的具体内容还是一片空白。在网上搜寻教材时，我被这本《整体微分几何初步（第3版）》的口碑和评价所吸引。拿到书后，我迫不及待地翻阅了前几章，作者的叙述风格非常流畅，循序渐进，从最基本的概念，比如切空间、向量场，一直讲到一些稍微复杂一些的整体性质。我尤其欣赏书中大量的例子和几何直观的解释，这对于我这种更偏向于几何思考的研究生来说，简直是福音。很多抽象的概念，通过作者精心设计的图示和例子，变得生动易懂。我曾经在其他书中遇到过非常枯燥的定义，但在这本书里，我感觉自己像是跟着作者一起在探索一个几何宇宙，充满了惊喜和发现。我特别期待后续章节中关于曲率、测地线和整体定理的讲解，相信这本书会为我的研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在大学任教的数学老师，我一直致力于寻找能够激发学生学习兴趣的教材。在我多年的教学经验中，这本《整体微分几何初步（第3版）》无疑是市面上为数不多的精品之一。我曾多次将这本书推荐给我的学生，无论是作为核心教材还是辅助读物，它都能展现出卓越的教学效果。这本书的逻辑结构非常清晰，从易到难，层层递进，能够有效地引导学生逐步掌握复杂的概念。更重要的是，作者在讲解过程中，始终注重理论与直观之间的联系，避免了数学概念的空洞化，让学生能够真正理解这些数学工具的意义和应用。我看到很多学生在使用这本书后，对微分几何产生了浓厚的兴趣，并且能够独立思考和解决一些较为困难的问题。这本书的翻译质量也很高，语言流畅自然，术语准确，这对于中文读者来说尤为重要，能够大大降低学习的门槛。

评分☆☆☆☆☆

好书，快递一如既往地快，好评

评分☆☆☆☆☆

的最后区域作为太阳系边界。测量这一边界在哪里，正是“旅行者1号”的使命。在经过反复测量和模型推演后，NASA于2013年9月宣布“旅行者1号”探测到太阳风粒子浓度急剧下降，探测器进入了星际空间。

评分☆☆☆☆☆

这本书想买很久了，但是找了好几个书店和网站，只有京东有。包装一般，但是磕得也不厉害，还不错。

评分☆☆☆☆☆

可以，这套书都不错

评分☆☆☆☆☆

这是一本非常经典的数学书籍，对于数学专业的学生非常有好处，值得推荐！

评分☆☆☆☆☆

国内这方面的书太少了

评分☆☆☆☆☆

讲微分几何非常好的一本书。

评分☆☆☆☆☆

据《大数据人才报告》显示，目前全国的大数据人才仅46万，未来3-5年内大数据人才的缺口将高达150万，可又有多少人知道大数据的价值呢？

评分☆☆☆☆☆

据《大数据人才报告》显示，目前全国的大数据人才仅46万，未来3-5年内大数据人才的缺口将高达150万，可又有多少人知道大数据的价值呢？