內容簡介
《拓撲空間》是一部本科生學習拓撲空間的基礎教程。引導讀者很好的學習拓撲中有關幾何的東西什麼是最重要的。《拓撲空間》的內容分為三大部分,綫和麵、矩陣空間和拓撲空間。書中將大量的數學詞匯概念囊括其中,不要求讀者對簡單定理或者集閤知識十分瞭解,從而減少讀者理解上的難度。收斂定理的應用在幫助讀者抓住重點的同時,逐漸接觸並理解拓撲的概念,書中的知識點步步逼近,前九節重在為本科生講述矩陣空間的知識,同時也包括瞭大量的材料,這些將成為研究生學習的教程。
內頁插圖
目錄
Preface
PART Ⅰ THE LINE AND THE PLANE
Chapter 1 What Topology Is About
Topological Equivalence
Continuity and Convergence
A Few Conventions
Extra: Topological Diversions
Exercises
Chapter 2 Axioms for R
Extra: Axiom Systems
Exercises
Chapter 3 Convergent Sequences and Continuity
Subsequences
Uniform Continuity
The Plane
Extra: Bolzano (1781-1848)
Exercises
ChaPter 4 Curves in the Plane
Curves
Homeomorphic Sets
Brouwer's Theorem
Extra: L.E.J. Brouwer (1881-1966)
PART Ⅱ METRI SPACES
Chapter 5 Metrics
Extra: Camille Jordan (1838-1922)
Exercises
Chapter 6 Open and Closed Sets
Subsets of a Metric Space
Collections of Sets
Similar Metrics
Interior and Closure
The Empty Set
Extra: Cantor (1845-1918)
Exercises
Chapter 7 Completeness
Extra: Meager Sets and the Mazur Game
Exercises
Chapter 8 Uniform Convergence
Extra: Spaces of Continuous Functions
Exercises
Chapter 9 Sequential Compactness
Extra: The p-adic Numbers
Exercises
Chapter 10 Convergent Nets
Inadequacy of Sequences
Convergent Nets
-Extra: Knots
Exercises
Chapter 11 Transition to TOpology
Generalized Convergence
Topologies
Extra: The Emergence of the Professional Mathematician
Exercises
PART Ⅲ TOPOLOGICAL SPACES
Chapter 12 Topological Spaces
Extra: Map Coloring
Exercises
Chapter 13 Compactness and the Hausdorff Property
Compact Spaces
Hausdorff Spaces
Extra: Hausdorff and the Measure Problem
Exercises
Chapter 14 Products and Quotients
Product Spaces
Quotient Spaces
Extra: Surfaces
Exercises
Chapter 15 The Hahn-Tietze-Tong-Urysohn Theorems
Urysohn's Lemma
Interpolation and Extension
Extra: Nonstandard Mathematics
Exercises
Chapter 16 Connectedness
Connected Spaces
The Jordan Theorem
Extra: Continuous Deformation of Curves
Exercises
Chapter 17 Tvchonoffs Theorem
Extra: The Axiom of Choice
Exercises
PAler Ⅳ PosTsciuer
Chapter 18 A Smorgasbord for Further Study
Countability Conditions
Separation Conditions
Compactness Conditions
Compactifications
Connectivity Conditions
Extra: Dates from the History of General Topology
Exercises
Chapter 19 Countable Sets
Extra: The Continuum Hypothesis
A Farewell to the Reader
Literature
Index of Symbols
Index of Terms
前言/序言
拓撲空間 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] 下載 mobi epub pdf txt 電子書 格式
拓撲空間 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] 下載 mobi pdf epub txt 電子書 格式 2025
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4 The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Russell A. Gordon (1994, ISBN 978-0-8218-3805-1)
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開筆此書前,我曾列過一個寫作計劃。按人名順序一個接一個去羅列—他們都是些浪蕩江湖,和我的人生軌跡曾交叉重疊的老友們。 當時,我坐在一輛咣當咣當的綠皮火車裏,天色微亮,周遭是不同省份的呼嚕聲。我找瞭個本子,塞著耳機一邊聽歌一邊寫……活著的、死瞭的、不知不覺寫滿瞭七八頁紙。我嚇瞭一跳,怎麼這麼多的素材?不過十年,故事卻多得堆積如山,這哪裏是一本書能夠寫的完的。 頭有點兒大,不知該如何取捨,於是索性隨手圈瞭幾個老友的人名。反正寫誰都是寫,就像一大串美味的葡萄,隨手摘下的,都是一粒粒飽滿的甜。隨手圈下的名單,是為此書篇章構成之由來。圈完後一抬頭,車窗外沒有起伏,亦沒有喬木,已是一馬平川的華北平原。 書的創作過程中,我慢慢梳理齣瞭一些東西,隱約發現自己將推展開的世界,於已經習慣瞭單一幸福感獲取途徑的人們而言,那是另一種幸福感。 那是一些值得我們去認可、尋覓的幸福感。他們或許是陌生的,但發著光。在我的認知中,一個成熟健全的當代文明社會,理應尊重多元的個體價值觀,理應尊重個體幸福感獲得方式。這種尊重,應該建立在瞭解的基礎之上,鑒於國人文化傳統裏對陌生事物的天然抵觸因子,“如何去瞭解”這幾個字愈發重要。 那麼,親愛的們,我該如何去讓你瞭解那些多元而又陌生的幸福感呢? 寫書時,恰逢山東大學抬愛,讓我有緣受聘於山東大學儒學高等研究院,於是趁機做瞭一場名為《亞文化下成長方式的田野調查》的報告講座。 那天會場塞滿瞭人,場麵齣乎意料的火爆,來的大都是85 後和90後。我講的就是這份名單:大軍、路平、月月、白瑪央宗……我和他們的共同生活就是一場田野調查。我沒用太學術的語言詞匯去貫穿講座,但講瞭許多細節的故事, 那天的敘述方式,是為本書行文的基調。 卡爾維諾說:“要把地麵上的人看清楚,就要和地麵保持距離”。這句話給我帶來一個意像:一個穿西服打領帶的人,手足並用爬在樹上,和大部分同類保持著恰當的距離。他晃蕩著腿,騎在自我設定的叛逆裏,心無掛礙,樂在其中。偶爾低頭看看周遭過客,偶爾抬頭,漫天星鬥。 我期待齣到第十本書的時候,也能爬上這樣一棵樹。 當下是我第一本書,芹獻諸君後,若價值觀和您不重疊、行文有不得人心處,請姑念初犯…… 我下次不會改的。 等我爬上樹瞭再說。 我不敢說這本書寫得有多好多好,也懶得妄自菲薄,隻知過程中三易其稿,惹得責編戴剋莎小姐幾度差點兒忿極而泣。如此這般摺騰,僅為本色二字:講故事人的本色,故事中人們的本色。 或許,打磨齣本色的過程,也是爬樹的過程吧。 文至筆端心意淺,話到唇畔易虛言,且灑蓮實二三子,自有方傢識真顔。 這本書完稿後,我背起吉他,從北到南,用一個月的時間挨個去探望瞭書中的老友們,除瞭那個不用手機的女孩,其他的人我幾乎見瞭一個遍。
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分類介紹
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編輯本段
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設X是拓撲空間,如果X可寫為非空開集的分離並,則X稱為連通空間;如果對X中任意兩點 ,存在X中的道路相連接,則稱X為道路連通空間 ;如果X的任意開集作成的覆蓋存在有限子覆蓋 ,則稱X為緊空間;如果X中的任意序列有收斂子列,則稱X是列緊空間 ;如果X中任意兩點都存在不相交的鄰域 ,則稱X是豪斯多夫空間(或T2空間)。上麵所提連通性,道路連通性、緊性、列緊性、T2性均是拓撲不變性。連通空間上的實值連續函數具有介值性,即若f∶X→R1連續,X是連通空間,r∈(f(x1),f(x2),則存在c∈(x1,x2)(或c∈(x2,x1)),使f(c)=r。緊空間上的實值連續函數具有最大值、最小值。緊空間上的連續函數一緻連續。若AÌRn,則A為緊,當且僅當A是有界閉集。
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於是度量空間都是拓撲空間。但不是所有拓撲空間都可定義度量,使得該度量下的開集族與原拓撲空間的開集族一緻;詳見度量化定理。
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分離公理展開
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托姆以微分拓撲學中微分映射的奇點理論為基礎創立瞭突變理論,為從量變到質變的轉化提供各種數學模式。在物理學、化學、生物學、語言學等方麵已有不少應用。除瞭通過各數學分支的間接的影響外,拓撲學的概念和方法對物理學(如液晶結構缺陷的分類)、化學(如分子的拓撲構形)、生物學(如DNA的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用。
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