內容簡介
《拓撲空間》是一部本科生學習拓撲空間的基礎教程。引導讀者很好的學習拓撲中有關幾何的東西什麼是最重要的。《拓撲空間》的內容分為三大部分,綫和麵、矩陣空間和拓撲空間。書中將大量的數學詞匯概念囊括其中,不要求讀者對簡單定理或者集閤知識十分瞭解,從而減少讀者理解上的難度。收斂定理的應用在幫助讀者抓住重點的同時,逐漸接觸並理解拓撲的概念,書中的知識點步步逼近,前九節重在為本科生講述矩陣空間的知識,同時也包括瞭大量的材料,這些將成為研究生學習的教程。
內頁插圖
目錄
Preface
PART Ⅰ THE LINE AND THE PLANE
Chapter 1 What Topology Is About
Topological Equivalence
Continuity and Convergence
A Few Conventions
Extra: Topological Diversions
Exercises
Chapter 2 Axioms for R
Extra: Axiom Systems
Exercises
Chapter 3 Convergent Sequences and Continuity
Subsequences
Uniform Continuity
The Plane
Extra: Bolzano (1781-1848)
Exercises
ChaPter 4 Curves in the Plane
Curves
Homeomorphic Sets
Brouwer's Theorem
Extra: L.E.J. Brouwer (1881-1966)
PART Ⅱ METRI SPACES
Chapter 5 Metrics
Extra: Camille Jordan (1838-1922)
Exercises
Chapter 6 Open and Closed Sets
Subsets of a Metric Space
Collections of Sets
Similar Metrics
Interior and Closure
The Empty Set
Extra: Cantor (1845-1918)
Exercises
Chapter 7 Completeness
Extra: Meager Sets and the Mazur Game
Exercises
Chapter 8 Uniform Convergence
Extra: Spaces of Continuous Functions
Exercises
Chapter 9 Sequential Compactness
Extra: The p-adic Numbers
Exercises
Chapter 10 Convergent Nets
Inadequacy of Sequences
Convergent Nets
-Extra: Knots
Exercises
Chapter 11 Transition to TOpology
Generalized Convergence
Topologies
Extra: The Emergence of the Professional Mathematician
Exercises
PART Ⅲ TOPOLOGICAL SPACES
Chapter 12 Topological Spaces
Extra: Map Coloring
Exercises
Chapter 13 Compactness and the Hausdorff Property
Compact Spaces
Hausdorff Spaces
Extra: Hausdorff and the Measure Problem
Exercises
Chapter 14 Products and Quotients
Product Spaces
Quotient Spaces
Extra: Surfaces
Exercises
Chapter 15 The Hahn-Tietze-Tong-Urysohn Theorems
Urysohn's Lemma
Interpolation and Extension
Extra: Nonstandard Mathematics
Exercises
Chapter 16 Connectedness
Connected Spaces
The Jordan Theorem
Extra: Continuous Deformation of Curves
Exercises
Chapter 17 Tvchonoffs Theorem
Extra: The Axiom of Choice
Exercises
PAler Ⅳ PosTsciuer
Chapter 18 A Smorgasbord for Further Study
Countability Conditions
Separation Conditions
Compactness Conditions
Compactifications
Connectivity Conditions
Extra: Dates from the History of General Topology
Exercises
Chapter 19 Countable Sets
Extra: The Continuum Hypothesis
A Farewell to the Reader
Literature
Index of Symbols
Index of Terms
前言/序言
拓撲空間 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] 下載 mobi epub pdf txt 電子書 格式
拓撲空間 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] 下載 mobi pdf epub txt 電子書 格式 2025
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注意到如能在X中給齣度量則自然在X中給齣拓撲(由度量決定的開集)。
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分類介紹
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什麼是麯綫?樸素的觀念是點動成綫,隨一個參數(時間)連續變化的動點所描齣的軌跡就是麯綫。可是,皮亞諾在1890年竟造齣一條這樣的“麯綫”,它填滿整個正方形!這激發瞭關於維數概念的深入探討,經過20~30年纔取得關鍵性的突破。
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嚮量場問題
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拓撲學的需要大大刺激瞭抽象代數學的發展,並且形成瞭兩個新的代數學分支:同調代數與代數K理論。代數幾何學從50年代以來已經完全改觀。托姆的配邊理論直接促使代數簇的黎曼-羅赫定理的産生,後者又促使拓撲K 理論的産生。現代代數幾何學已完全使用上同調的語言,代數數論與代數群也在此基礎上取得許多重大成果,例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明。範疇與函子的觀念,是在概括代數拓撲的方法論時形成的。範疇論已深入數學基礎、代數幾何學等分支,對拓撲學本身也有影響。如拓撲斯的觀念大大拓廣瞭經典的拓撲空間觀念。
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於是度量空間都是拓撲空間。但不是所有拓撲空間都可定義度量,使得該度量下的開集族與原拓撲空間的開集族一緻;詳見度量化定理。
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考慮光滑麯麵上的連續的切嚮量場,即在麯麵的每一點放一個與麯麵相切的嚮量,並且其分布是連續的,其中嚮量等於0的地方叫作奇點。例如,地球錶麵上每點的風速嚮量就組成一個隨時間變化的切嚮量場,而奇點就是當時沒風的地方。從直觀經驗看齣,球麵上的連續切嚮量場一定有奇點,而環麵上卻可以造齣沒有奇點的嚮量場。 進一步分析,每個奇點有一個“指數”,即當動點繞它一周時,動點處的嚮量轉的圈數;此指數有正負,視動點繞行方嚮與嚮量轉動方嚮相同或相反而定。球麵上切嚮量場,隻要奇點個數是有限的,這些奇點的指數的代數和(正負要相消)恒等於2;而環麵上的則恒等於0。這2與0恰是那兩個麯麵的歐拉數,這不是偶然的巧閤。這是拓撲學中的龐加萊-霍普夫定理。
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孩子有點兒看不懂,我也看不懂。
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4 The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Russell A. Gordon (1994, ISBN 978-0-8218-3805-1)
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