椭圆曲线 [Elliptic Curves] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 奈普（Anthony W.Knapp） 著

图书标签:

• 密码学
• 数论
• 代数几何
• 椭圆曲线
• 密码学应用
• 数学
• 高等数学
• 编码学
• 信息安全
• 算术几何

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510050664

版次：1

商品编码：11144605

包装：平装

外文名称：Elliptic Curves

开本：24开

出版时间：2013-01-01

用纸：胶版纸

页数：427

正文语种：中文

内容简介

　　《椭圆曲线》阐述了椭圆曲线是映射解形成群的两变量三次方程。模型形式是具有特定变换规律和增长性质的上半平面上的解析函数。椭圆曲线和模型形式两大论题共同形成Eichler-Shimura理论，构成了椭圆曲线特殊种类的模型性质。该命题的逆命题——Taniyama-Weil猜想及其暗含的费马大定理，所有的有理椭圆曲线都来源于此。

内页插图

目录

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前言/序言

《椭圆曲线》：解锁数学的诗意与宇宙的奥秘 在浩瀚的数学星空中，椭圆曲线无疑是一颗璀璨夺目的明星。它不仅在纯粹的理论研究中展现出令人惊叹的美学和深刻的结构，更在现代密码学、数论以及物理学等前沿领域扮演着至关重要的角色。本书《椭圆曲线》旨在为您揭开这层神秘的面纱，带领您踏上一段探索椭圆曲线数学魅力的旅程。我们力求以清晰、严谨又不失生动的笔触，勾勒出椭圆曲线从基本概念到高级应用的完整图景，让即使是初次接触的读者也能循序渐进地领略其独特之处。 本书的开篇，我们将从几何的直观出发，为您介绍椭圆曲线的定义。不同于我们熟悉的直线或抛物线，椭圆曲线呈现出一种奇妙的“S”形或者“0”形（在复数域中）。我们不会止步于其表面的形态，而是深入探讨其背后蕴含的代数方程。我们将详细介绍形如 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的韦尔斯特拉斯方程，以及它在定义椭圆曲线时的关键作用。同时，我们也awat将会讨论方程中参数 $a$ 和 $b$ 的变化如何影响曲线的形状和性质。在这个阶段，我们还会引入“奇异点”的概念，并解释如何通过判别式来判断一条曲线是否为非奇异椭圆曲线，这对后续的学习至关重要。 紧接着，我们将进入本书的核心内容之一：椭圆曲线上的群律。这或许是椭圆曲线最令人着迷的特性之一。我们将会证明，在椭圆曲线上可以定义一种加法运算，使得曲线上的点（包括一个特殊的“无穷远点”）构成一个阿贝尔群。我们将详细阐述这一加法运算的几何构造——如何通过连接曲线上两点并与曲线的第三个交点来定义它们的和。在这个过程中，我们将引导读者理解为什么这种几何构造能够满足群的封闭性、结合律、交换律、单位元（无穷远点）和逆元等群公理。我们还会探讨一个点自身的加倍运算，即 $2P = P + P$，以及它在几何上对应的割线或切线。理解并掌握椭圆曲线上的群律，是进一步深入学习其应用的基础。 在掌握了基本的群律之后，我们将进一步拓展椭圆曲线的代数性质。我们将引入数域的概念，并探讨在不同的数域（如实数域、复数域、有理数域、有限域）上椭圆曲线的性质变化。特别是，有限域上的椭圆曲线（即定义在 $GF(p)$ 或 $GF(p^n)$ 上的椭圆曲线）将成为本书后续章节的重要研究对象，因为它们在现代密码学中有着不可替代的地位。我们将详细介绍有限域的性质，以及如何在有限域上进行椭圆曲线的运算。 本书的另一个重要组成部分将是深入探讨椭圆曲线的数论性质。我们将介绍著名的“点数”概念，即在一个有限域上，有多少个满足椭圆曲线方程的点。我们将探讨如何计算这些点的数量，并介绍Hasse定理，该定理给出了点数的一个重要界限。我们还会介绍“复乘法”的概念，这是一种特殊的数乘运算，即计算 $nP$，其中 $n$ 是一个整数。复乘法运算在密码学中具有非常重要的意义，我们将对其进行详细的解析，并介绍其计算方法，例如双倍与累加算法（Double-and-Add Algorithm）。 随后，本书将把视角转向椭圆曲线在现代应用中的强大力量，特别是其在密码学领域的革命性贡献。我们将详细介绍椭圆曲线密码学（ECC）的原理。我们将解释，为什么相比于传统的RSA算法，ECC在提供同等安全强度的情况下，可以拥有更短的密钥长度，从而显著提高加密和解密的速度，并减小存储和带宽的开销。我们将逐步剖析ECC的两种主要应用：公钥加密（如ECDH密钥交换协议）和数字签名（如ECDSA签名算法）。我们将详细解释这些协议的工作流程，包括密钥生成、加密、解密、签名和验签的数学过程，并强调椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的困难性是ECC安全性的基石。 除了密码学，本书还将简要探讨椭圆曲线在其他领域的应用，例如在数论中的应用，如证明费马大定理（尽管过程非常复杂，我们仅作概念性介绍）。我们还会提及椭圆曲线在编码理论中的一些潜在用途，以及在物理学中，例如在研究量子计算和弦论等领域，椭圆曲线也扮演着一定的角色。 为了帮助读者更好地理解和掌握相关概念，本书的每个章节都将配有精心设计的例题和习题。例题将通过具体的数值计算，直观地展示抽象的数学概念。习题则旨在巩固读者对知识的理解，并鼓励读者进行独立思考和探索。书的最后，我们还将提供一份详尽的参考文献列表，供有兴趣的读者进一步深入研究。 本书的语言风格力求严谨而不失优雅，专业又不失可读性。我们避免使用过于晦涩的术语，并在必要时提供详细的解释。我们希望通过本书，能够激发读者对数学的兴趣，尤其是对椭圆曲线这一迷人领域的探索热情。我们相信，理解了椭圆曲线的数学之美，就如同开启了一扇通往更深层数学世界的大门，也为理解现代科技的基石提供了新的视角。无论您是数学爱好者、计算机科学专业的学生、还是对前沿技术充满好奇的探索者，《椭圆曲线》都将是您旅途中一份不可或缺的指南。

评分☆☆☆☆☆

《椭圆曲线》这本书，我完全是出于一种强烈的好奇心而翻开的。我是一名历史爱好者，对那些隐藏在科学发展背后的故事和人物格外感兴趣。我对于数学的了解，基本上停留在高中时期，所以当看到“椭圆曲线”这个词汇时，我并没有立刻联想到实际的应用，而是更多地想到那些数学家的名字和他们提出的定理。然而，这本书带给我的体验，却是一种将数学理论与历史和应用相结合的独特视角。作者在讲解椭圆曲线的概念时，并没有回避其数学的严谨性，但他同时也穿插了大量的历史背景信息，比如这些概念是如何被发现、被发展起来的，以及哪些伟大的数学家对这一领域做出了贡献。我尤其喜欢书中关于椭圆曲线在数论中的地位的介绍，作者以一种非常生动的方式，解释了为什么这些曲线能够与整数的性质产生如此深刻的联系，甚至牵涉到一些著名的数学猜想。让我感到非常惊喜的是，作者并没有止步于理论层面，而是深入探讨了椭圆曲线在现代密码学中的巨大应用。我一直对信息安全领域很感兴趣，而作者以一种易于理解的方式，揭示了椭圆曲线如何在公钥加密和数字签名等技术中发挥核心作用，让我对“数字世界”的安全有了更直观的认识。这本书让我觉得，数学不仅仅是冰冷的公式和抽象的逻辑，它更承载着人类智慧的结晶，并且在不断地改变着我们的世界。

评分☆☆☆☆☆

我是一位对数字世界充满好奇的爱好者，平日里喜欢阅读一些科普读物，了解科学技术的最新进展。对于《椭圆曲线》这本书，我其实是抱着一种“打酱油”的心态去翻阅的，我预设了它会是一本非常专业的数学书籍，充满了我望而却步的公式和定理。然而，这本书带给我的体验，完全超出了我的预期。作者的写作风格非常独特，他并没有一味地追求学术的严谨性，而是巧妙地将枯燥的数学概念，融入到引人入胜的故事和生动的比喻之中。我尤其喜欢作者在开头部分，用非常形象化的语言，描绘出椭圆曲线的“身姿”，让我这个对几何图形并不敏感的人，也能大致勾勒出它的轮廓。更让我惊喜的是，作者并没有止步于对椭圆曲线形态的描绘，而是进一步探讨了它在数论、代数几何以及密码学等领域的深远影响。我曾听说过椭圆曲线在现代密码学中的重要作用，但一直不明白其中的原理。在这本书中，作者以一种非常浅显易懂的方式，逐步揭示了其中的奥秘，让我对“公钥加密”这类概念有了更清晰的认识。我甚至发现，书中还提及了一些关于椭圆曲线的未解之谜，这让我感到非常兴奋，仿佛置身于一个充满挑战的数学探索现场。作者的叙述方式，更像是一位充满激情的数学传道者，他用充满感染力的语言，向读者传递着数学的魅力和智慧。我感觉自己不仅仅是在阅读一本关于数学的书，更像是在参与一场思想的盛宴。这本书让我对数学产生了前所未有的兴趣，也让我开始重新审视这个世界运行的底层逻辑。

评分☆☆☆☆☆

这本《椭圆曲线》的书，我是带着一种既好奇又略带不安的心情翻开的。数学领域中，总有一些分支，它们像璀璨却遥不可及的星辰，在我的知识版图上留下模糊的轮廓，而椭圆曲线无疑就是其中之一。一开始，我以为这会是一本充斥着枯燥公式和抽象定义的“天书”，毕竟“曲线”这两个字，在我的印象里，总是和微积分、解析几何打交道，而“椭圆”更是让我联想到那些在高中数学里就让我头疼不已的几何图形。然而，当我真正沉浸其中，才发现自己大错特错了。作者以一种令人惊喜的清晰度和流畅度，将这个原本看似高深莫测的主题，一点点地在我眼前展开。我并非数学专业出身，平时更多的是在文学、历史或者一些通识读物中遨游，所以对于这类偏向理论的学科，我总是抱着一种敬而远之的态度。但是，《椭圆曲线》这本书却以一种近乎“亲切”的方式，引导我逐步走进这个数学世界。我特别欣赏作者在引入概念时所采用的类比和例子，它们往往来源于生活，或者是一些我能理解的直观场景，这极大地消弭了我对抽象概念的恐惧感。比如，在讲解椭圆曲线的基本构成时，作者并没有一开始就甩出繁复的方程，而是先从几何图形的视觉特征入手，描绘出它与普通曲线的不同之处。这种“由表及里”的教学方法，让我这个门外汉也能大致理解其形态和性质，不至于在开篇就迷失方向。而且，作者在描述抽象概念的同时，也适时地穿插了一些历史渊源和应用场景的介绍，这让我了解到，椭圆曲线并非只是数学家手中的玩物，而是有着实际的价值和深远的意义。这种将理论与实践相结合的叙述方式，极大地激发了我进一步探索的兴趣。我甚至开始尝试着去理解那些公式背后所蕴含的逻辑，虽然过程不免磕磕绊绊，但那种“豁然开朗”的瞬间，带来的满足感是无与伦比的。这本书不仅仅是关于椭圆曲线的知识，更是一次关于如何学习和理解复杂概念的绝佳范例。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对数学理论在实际应用中扮演的角色始终充满兴趣的人，《椭圆曲线》这本书无疑是一次引人入胜的旅程。我并非科班出身的数学家，我的工作更多地涉及数据分析和建模，因此，我对那些能够连接抽象数学与现实世界概念的著作总是情有独钟。这本书恰恰满足了我的这一需求。作者在开篇就用一种非常精妙的方式，将抽象的“椭圆曲线”这一概念，与一些我们生活中能够观察到的现象联系起来，这种“润物细无声”的引入方式，极大地降低了我对潜在的数学门槛的担忧。随后，作者并没有急于展示复杂的代数方程，而是通过对这些曲线几何特性的细致描绘，逐步引导读者理解其独特性。我印象深刻的是，当作者开始讲解椭圆曲线的“加法”运算时，他并没有直接抛出定义，而是从几何的几何意义出发，一步步推导出其代数形式。这种循序渐进的教学方法，对于我这样习惯于从直观理解到抽象推理的读者来说，是极其友好的。更让我兴奋的是，书中对于椭圆曲线在数论，特别是椭圆曲线密码学（ECC）的应用的阐述。我一直对信息安全领域非常关注，而ECC是其中一个极其重要的基石。作者没有回避其数学基础，但同时又以一种能够让非专业人士理解的方式，揭示了其背后的原理，比如离散对数问题的困难性如何保证了其安全性。这种将前沿应用与基础数学理论紧密结合的叙述，让我对这个领域的理解上升到了一个新的高度。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我对《椭圆曲线》这本书的期望值并没有那么高，我以为它会是一本相对硬核的学术著作，更适合那些在数学领域深耕多年的专家或者研究生阅读。我本身的研究方向并非纯粹的数学，更多地是在工程应用领域，对于那些过于理论化、缺乏实际指导意义的知识，我向来是抱持着一种审慎的态度。然而，这本书出乎意料地给了我惊喜。作者在内容的组织上，非常注重循序渐进，从最基础的概念讲起，逐步深入到更复杂的主题。我尤其欣赏的是，作者并没有回避那些看似晦涩难懂的数学证明和定理，而是以一种清晰、逻辑严谨的方式将其呈现出来，并且在必要的时候，还会提供一些直观的解释，帮助读者理解其背后的原理。我曾经在其他书籍中遇到过类似的概念，但往往因为解释过于简略或者跳跃，而导致我难以深入理解。但在《椭圆曲线》这本书中，作者仿佛是一位经验丰富的向导，带领我一步步穿越数学的迷宫，而且始终保持耐心，确保我不会在关键的岔路口迷失。我发现，很多我之前认为“不可能理解”的数学证明，在作者的引导下，变得清晰可见。他所使用的语言，虽然专业，但并不显得生硬，反而充满了数学的魅力。我注意到，作者在讲解每一个重要的概念时，都会引用一些经典的例子，这些例子不仅有助于加深理解，更重要的是，它们展示了椭圆曲线在不同数学分支中的普遍性和重要性。我尤其对其中关于数论和代数几何应用的章节印象深刻，这让我看到了这个抽象的数学工具，在解决实际问题时所展现出的强大力量。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的启迪，让我开始重新审视数学在科学研究中的地位和作用。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对科学技术充满好奇心的普通读者，平日里喜欢阅读一些与科技相关的通识类书籍。我对数学的了解，仅限于高中阶段的基础知识，对于那些更为深奥的数学分支，我一直都心存畏惧。《椭圆曲线》这本书，是我在书店偶然发现的，书名本身就带有一种神秘而吸引人的气息。我原本以为，这会是一本让我感到“烧脑”的书，但我错了。作者的写作风格非常独特，他并没有一开始就抛出大量的公式和定理，而是从非常直观的几何角度，来介绍椭圆曲线。他用生动的语言和精美的插图，将这些抽象的数学对象变得鲜活起来，让我能够轻松地理解它们的形态和基本性质。我尤其欣赏的是，作者在讲解过程中，穿插了许多历史故事和名人轶事，这让我在学习数学知识的同时，也了解了数学发展的脉络和背后的人物故事。更让我惊喜的是，作者并没有将椭圆曲线局限于纯粹的数学领域，而是深入探讨了它在现代密码学中的重要应用，比如公钥加密和数字签名。这让我对“看不见”的科技安全有了更直观的认识。书中还提及了一些与椭圆曲线相关的数论问题，虽然我无法完全理解其中的数学细节，但作者的讲解，让我感受到了数学的逻辑之美和探索的乐趣。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的启迪，让我对数学产生了前所未有的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

《椭圆曲线》这本书，我收到的时候，内心其实是带着一丝小小的忐忑的。我一直对那些听起来很“高级”的数学概念有着一种复杂的情感——既好奇它们能解决什么样的问题，又担心自己是否能够理解。我是一名产品经理，日常工作更多地是与用户需求、市场分析打交道，数学对我而言，更多的是一种工具，而非研究对象。然而，这本书的阅读体验，却远远超出了我的预期。作者的写作风格非常注重“故事性”和“情境化”。在讲解椭圆曲线的概念时，他并没有一开始就堆砌公式，而是用一些生动的比喻，比如“形似椭圆但又不同”的描述，来勾勒出曲线的轮廓。这种方式让我这个对几何图形不敏感的人，也能大致感受到其独特的形态。让我特别惊喜的是，书中对于椭圆曲线在密码学中的应用的介绍。我曾听说过“公钥加密”之类的概念，但总是觉得抽象而遥远。作者以一种非常易于理解的方式，解释了椭圆曲线如何在数字签名和安全通信中发挥关键作用，让我对“看不见”的数字安全有了更清晰的认识。他甚至提到了与椭圆曲线相关的费马大定理的证明过程，虽然我无法完全理解其中的数学细节，但作者的讲解，让我感受到了数学家们严谨的逻辑和不懈的探索精神。这本书让我觉得，数学并非是高高在上的象牙塔，而是渗透在我们生活和科技的方方面面，并且充满着智慧和魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本《椭圆曲线》这本书，我可以说是一气呵成地读完的，而且过程中充满了意外的惊喜。我是一名在金融行业工作的从业者，日常工作中接触到大量的统计学和概率论知识，但对于更偏向理论的纯数学分支，我一直保持着一种敬畏但又有些距离的态度。我原本以为，《椭圆曲线》会是一本非常枯燥的学术著作，充斥着我难以理解的证明和符号。然而，作者的写作风格却异常地吸引人。他并没有采用那种陈旧、刻板的学术写作模式，而是以一种更加现代、更加贴近读者的视角，来解读椭圆曲线这个主题。我特别喜欢他开头部分对椭圆曲线几何形态的描述，他用一种非常形象和生动的语言，将这些数学对象“活化”了，让我能够直观地感受到它们的美感和独特性。让我惊喜的是，作者并没有止步于对椭圆曲线基本概念的介绍，而是深入探讨了它在多个领域的应用，尤其是密码学部分，让我耳目一新。我一直对现代密码学充满好奇，但总觉得隔着一层神秘的面纱。这本书以一种非常清晰、逻辑严谨的方式，揭示了椭圆曲线在公钥加密中的核心作用，让我对“安全”有了更深层次的理解。作者还提及了一些与椭圆曲线相关的数论问题，比如费马大定理的证明，虽然我无法完全理解其中的数学细节，但作者的讲述，让我感受到了数学家们攻坚克难的智慧和毅力。总的来说，这本书不仅拓展了我的数学视野，更让我看到了数学在现代科技和社会发展中的重要价值。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学充满热情但并非专业出身的爱好者，在我的知识体系中，几何学、代数以及一些基础的微积分知识是我比较熟悉的领域。《椭圆曲线》这本书，我最初拿到手的时候，心里其实是有些打鼓的。毕竟“椭圆曲线”这个词汇，本身就带着一种高深莫测的科技感，很容易让人联想到复杂的公式和抽象的证明。我曾尝试过阅读一些关于高等数学的入门书籍，但往往因为过于抽象或者缺乏趣味性，最终都难以坚持下去。然而，《椭圆曲线》这本书，却以一种非常独特的方式，吸引了我。作者在内容编排上，并没有上来就抛出令人眼花缭乱的公式，而是从椭圆曲线的几何直观性入手，用生动的语言和清晰的图示，为我描绘出了这些曲线的独特形态。我尤其欣赏的是，作者在讲解一些基础概念时，会引入一些历史故事或者与其他数学分支的联系，这让我觉得，数学并非是孤立存在的，而是相互关联、不断发展的。我发现，通过作者的讲解，我能够逐步理解椭圆曲线的加法性质，以及它在数论中的应用，甚至对一些看似高冷的数学概念，也产生了一些直观的认识。书中对于群论和模形式的介绍，虽然我无法完全深入理解，但作者的引导，让我对这些概念有了初步的感知，并激发了我进一步探索的兴趣。我感觉，这本书不仅仅是在介绍椭圆曲线本身，更是在传授一种理解和学习抽象数学概念的方法。它让我明白，即使是看似复杂的数学理论，只要以正确的方式呈现，也能够被普通人所理解和欣赏。

评分☆☆☆☆☆

对于《椭圆曲线》这本书，我怀着一种既期待又有些忐忑的心情去阅读的。我是一名在生物科技领域工作的研究人员，我的日常工作主要集中在实验设计、数据分析以及生物信息学方面，虽然经常接触数学工具，但对于纯粹的数学理论，我的了解相对有限。我通常会选择那些能够帮助我解决实际问题的书籍，而对于那些过于抽象的理论，我往往会望而却步。然而，这本书却以一种出乎意料的方式，吸引了我。作者在开篇就非常巧妙地引入了椭圆曲线的概念，他并没有直接给出复杂的数学定义，而是从几何学的角度，描绘出这些曲线的独特形态。我特别欣赏作者在讲解过程中，对数学概念的“可视化”处理，他使用了大量的图示和形象的比喻，这对于我这种更习惯于图像化思维的人来说，非常有帮助。我注意到，书中还深入探讨了椭圆曲线在数论和代数几何中的应用，这些内容虽然超出了我的直接研究范围，但作者的讲解，让我对数学不同分支之间的联系有了更深的理解。更让我惊喜的是，书中还提及了椭圆曲线在密码学中的应用，比如椭圆曲线密码学（ECC）。虽然我对其技术细节无法完全掌握，但作者的介绍，让我意识到这个看似抽象的数学概念，在保障我们日常数字通信安全方面起着至关重要的作用。这本书不仅拓展了我的数学视野，更让我看到了数学作为一种基础科学，在推动不同领域发展中的强大潜力。

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读书的时候看过，一直想买一本，很不错

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专业书籍，适合信息安全专业学生学习。

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还可以还可以。。。。

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一本相当不错的数学书，推荐！

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京东上的东西我觉得非常好，我的所有东西都在京东上面买的，送货速度非常快，买了东西就知道什么时候来，我在京东买东西好多年了，京东的东西都是正品，售后服务特别好，我太喜欢了！这次买的东西还是一如继往的好，买了我就迫不及待的打开，确实很不错，我真是太喜欢了。在京东消费很多，都成钻石会员了，哈哈，以后还会买，所有的东西都在京东买，京东商城是生活首选！

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帮美国朋友订的，应该是正版

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《椭圆函数与模函数：从一道美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）博士资格考题谈起》可供从事这一数学分支或相关学科的数学工作者、大学生以及数学爱好者研读。 Divides naturally into several parts according to the level of the material,the background required of the reader, and the style of presentation with respect to details of proofs. For example, the first part, to Chapter 6, is undergraduate in level,the second part requires a background in Galois theory and the third some complex analysis, while the last parts, from Chapter 12 on, are mostly at graduate level.

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专业书籍，适合信息安全专业学生学习。

评分☆☆☆☆☆

专业书籍，适合信息安全专业学生学习。