点集拓扑与代数拓扑引论/21世纪数学规划教材·数学基础课系列 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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包志强 著

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• 高等数学
• 21世纪数学规划教材
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• 数学分析
• 拓扑空间
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出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301230602

版次：1

商品编码：11323612

包装：平装

丛书名： 21世纪数学规划教材·数学基础课系列

开本：32开

出版时间：2013-09-01

用纸：胶版纸

页数：284

字数：260000

正文语种：中文

编辑推荐

　　

　　《点集拓扑与代数拓扑引论》是作者结合科研工作和多年教学经验编著的一本拓扑学方面的入门教材，有两大特点：
　　1、综合介绍了点集拓扑的主要内容和代数拓扑的入门知识，使得学生在学完之后能对现代拓扑学的全貌有一个初步的了解。
　　2、采用了类似于课堂讨论的讲述风格，条理清晰而又浅显易懂，并且提供了丰富具体的例子以及难度适中的配套习题，并附有习题答案。
　　本书可作为综合大学和高等师范院校数学系的拓扑课教材，也可供有关的科技人员和拓扑学爱好者作为自学的入门读物。

内容简介

　　

　　《点集拓扑与代数拓扑引论/21世纪数学规划教材·数学基础课系列》是高等院校数学系本科生拓扑学的入门教材。全书共分五章。第一章介绍拓扑空间和连续映射等基本概念。第二章介绍可数性、分离性、连通性、紧致性等常用点集拓扑性质。第三章从几何拓扑直观和代数拓扑不变量两个角度，综合地介绍了闭曲面的分类。第四章介绍了基本群的概念以及应用。第五章介绍复迭空间的技术。本书的特点是叙述浅显易懂，并给出了丰富具体的例子，主干内容（不打星号的节）每节均配有适量习题，书末附有习题的提示或解答。
　　《点集拓扑与代数拓扑引论/21世纪数学规划教材·数学基础课系列》可作为综合大学、高等师范院校数学系的拓扑课教材，也可供有关的科技人员和拓扑学爱好者作为课外学习的入门读物。

内页插图

目录

引言
拓扑学的直观认识
预备知识
集合论的公理系统

第一章 拓扑空间与连续性
1.1 拓扑空间
1.2 拓扑空间中的一些基本概念
1.3 集合的基数和可数集
1.4 连续映射与同胚
1.5 乘积空间
1.6 子空间
1.7 商映射与商空间
1.8 商空间的更多例子

第二章 常用点集拓扑性质
2.1 可数公理
2.2 分离公理
2.3 Urysohn度量化定理
2.4 连通性
2.5 道路连通性
2.6 紧致性
2.7 度量空间中的紧致性
2.8 维数

第三章 闭曲面的拓扑分类
3.1 拓扑流形
3.2 单纯复形
3.3 闭曲面的分类
3.4 Euler示性数
3.5 可定向性
3.6 同调和Betti数

第四章 基本群及其应用
4.1 映射的同伦
4.2 同伦等价
4.3 关于群的常用知识
4.4 基本群的定义
4.5 连续映射诱导的基本群同态
4.6 范畴和函子
4.7 有限表出群
4.8 Van Kampen定理
4.9 基本群的应用举例
4.10 Jordan曲线定理

第五章 复迭空间
5.1 群作用与轨道空间
5.2 纤维化与复迭映射
5.3 复迭空间的基本群
5.4 泛复迭空间的存在性
5.5 映射提升定理
5.6 复迭变换

名词索引
习题提示与解答
参考文献

前言/序言

　　引言

　　什么是拓扑？

　　在数学家的圈子以外，当被问到拓扑一词时，人们最有可能想到的，大概是计算机科学中提到的“拓扑”概念：当我们把许多计算机相互连接在一起构成网络时，会有很多种不同的连接方式，小到可以是一台服务器挂很多客户端的集中式网络，大到可以是很多子网络通过路由器连接在一起的网际网络，这些连接方式都被叫做网络拓扑．虽然计算机的型号性能和网络连接的速度质量可能有千差万别，但是当网络拓扑相同时，网络运行的基本原理和算法是相通的．反过来当网络拓扑不同时，计算机之间搜索位置和传送信息的方法则往往会有本质差别．

　　其实这个概念是从数学中借用过去的，不过在一定程度上，这种借用确实反映了拓扑学中一些最朴素最直观的想法．数学家发明拓扑的初衷，正是要去寻找这样的一些几何形状上的特征，它们虽然也都看得见摸得着，但是却比长度和角度等传统几何性质更加“本质”：这些特征不会因为研究对象的某些细节上的改变而发生改变．一个通俗（但是并不准确）的说法是：拓扑学研究的是一个对象在连续形变下保持不变的性质．

　　这种性质有吗？当然有．早在1736年，Euler（欧拉）解决K?nigsberg（哥尼斯堡）七桥问题的时候，就发现了一些这样的奇妙性质，并认为应该有一种“关于相对位置的几何”来专门研究此类古典几何无法解释的奇妙性质．这就是拓扑学的起源．Euler称“位置几何”这个词源于Leibniz（莱布尼茨）．近年来人们对数学史的研究发现，Leibniz的想法可能来源于比他更早的Descartes（笛卡尔）的一篇未发表的手稿．

　　Gauss（高斯）和Maxwell（麦克斯韦）出于研究电磁学的目的，也都先后思考过关于位置几何的问题．不过“拓扑”这个词却是Gauss的学生Listing从希腊文中表示位置的词τοπο?（topos）和表示原理的词λ?γο?（logos）造出来的．1847年，Listing发表了著名的论文《VorstudienzurTopologie》（关于拓扑学的初步研究），这就是历史上的第一篇关于拓扑学的数学论文．

　　当然，真正实用的拓扑学还要等到1874年Cantor（康托尔）发明集合论之后才算开始，因为集合的语言才是表达拓扑思想最合适的语言．沿着这条线索发展出来的，研究最一般的集合上的拓扑的学科，被称为点集拓扑学（point-settopology）或一般拓扑学（generaltopology）．

　　另一方面，对于一些结构比较好的拓扑空间，来自代数和微分方程的思想和方法则可以发挥巨大作用．在1895年Poincaré（庞加莱）发表了一篇长达一百多页的著名论文《AnalysisSitus》（位置分析），这篇论文包含了很多创造性的新思想，或者说提出了一系列重要的、有待严格证明的研究方法和结论，并在此后三十年间主导了拓扑学界的大部分研究．这些想法被发展起来后，就形成了今天的代数拓扑学（algebraictopology）和微分拓扑学（differentialtopology）．

　　有趣的是，Poincaré的工作导致后来的很多数学家都习惯用“位置分析”或“位置几何”称呼这个学科，拓扑学（topology）这个名称直到二十世纪三十年代才开始被数学界普遍使用．

　　国内的第一本拓扑书是江泽涵教授在抗战时期翻译的一本德文教材．最初他把这门学科称为“形势几何学”，后来他取了一个具有延伸扩展之意的“拓”字，又取了一个具有拍打挤压之意的“扑”字，合起来既接近西文的发音又提示了这门学科的特点，即它关心的是几何形体在连续形变下保持不变的性质，这样才将该学科的中文名称正式确定为“拓扑学”．

　　拓扑学的直观认识

　　为了能够让大家初步理解拓扑学都研究些什么，让我们拿欧氏几何来对比一下．所谓的欧氏空间，无非是一个点集附加上一些额外的信息．每一套完整的附加信息称为一个欧氏结构，人们可以通过读取这些信息来判断点的共线或共面关系，以及计算距离、夹角、面积、体积等欧氏几何能计算的量．依现代几何学的理解来看，这些量中距离是最基础的，欧氏空间到欧氏空间的保持距离的映射称为等距变换，而欧氏几何所关心的，基本都是些不会被等距变换所改变的性质．

　　与之类似，拓扑空间（topologicalspace）也是一个点集附加上一套额外的信息．这套附加信息称为拓扑结构（topologicalstructure），它的主要作用则是帮助我们定义连续性（或者说把“上的连续函数”这一概念推广到一般的集合上去）．拓扑空间到拓扑空间的保持连续性定义方式不变的映射称为同胚（homeomorphism），而拓扑学研究的，正是那些在同胚下保持不变的性质，即拓扑性质（topologicalproperty）．下表列出了两者的类似之处．

　　概念

　　特点

　　概念

　　特点

　　欧氏空间

　　具有欧氏结构

　　拓扑空间

　　具有拓扑结构

　　欧氏结构

　　用于刻画距离

　　拓扑结构

　　用于刻画连续性

　　等距变换

　　保持距离不变

　　同胚

　　保持连续性不变

　　欧氏性质

　　等距变换下不变

　　拓扑性质

　　同胚下不变

　　“保持长度不变地把一个图形变到另一个图形”是一种很容易理解的操作，但是“保持连续性定义方式不变地把一个空间变到另一个空间”是一种什么样的操作呢？考虑闭区间，按照数学分析中学过的标准方式定义连续性．很显然这条线段可以进行收缩或者拉伸，然后在新得到的空间中按相应方式（而不是数学分析中的标准方式）定义连续性．我们还可以在线段不同的部位进行不同程度的局部收缩和拉伸，甚至是弯曲，只要变形不剧烈，都不难在得到的空间上相应地定义连续性．这些变形都是同胚的例子，而且正因为有这些例子，科普文章中经常出现的一种关于拓扑学的通俗（但并不准确）的解释就是：拓扑学专门研究几何形体的那些在连续形变下不会被改变的性质．

　　下面让我们通过几个具体的例子来体会一下，会有些什么样的性质是在连续形变下不发生改变的．当然，这里入选的拓扑性质都是一些早期的初等例子，证明也不求严格，只是为了找找感觉．更深入的例子要等我们正式定义了拓扑结构之后才能讨论．

　　K?nigsberg七桥问题（K?nigsbergbridgeproblem）这个问题被公认为现代图论及拓扑学的开端．K?nigsberg（哥尼斯堡）是条顿骑士团在中世纪建立的一个古老的城市，后来一直是东普鲁士的首府，不过现在归属于俄罗斯，称为Калинингрáд（Kaliningrad）．著名的K?nigsberg七桥问题是：流经该城的Pregel河上有七座桥（参见图1），能否设计一条散步的路线，使得在一次散步中恰好可以经过每座桥各一次？

　　1736年，Euler在他的论文《Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis》（一个关于位置几何的问题的解）中对该问题作出了完美的解答．答案是不能，理由如下．

　　K?nigsberg被河流分割成了城南、城北、城东和中央区域四个地理区域，如图1所示．假如满足要求的散步路线存在，那么对于路线起终点所在区域之外的每个区域，与之相连的桥一定恰好有偶数座，因为每次经过该区域都需要一座进来的桥和一座离开的桥．但实际上四个区域都只和奇数座桥相连，这就导出了矛盾．□

　　在这篇论文中Euler对K?nigsberg的地形图进行了一个重要的变形，把它变成了一个由顶点（vertex）以及连接顶点的边（edge）构成的几何结构，称为图（graph）．被河流分开的每个区域被收缩成了一个点，而每座桥则被拉长拉细成了一条弧线．显然K?nigsberg七桥问题的解法也可以推广到一般的图上，用来回答一个图能不能被“一笔画出”的问题．

　　一个图上如果有一个顶点和边交替出现的序列

　　V1,e1，V2，e2……,Vn

　　（要求第一个和最后一个都是顶点），使得每条边的两个端点恰好是和，并且的每条边在这个序列中恰好出现一次，则称这个序列为图的一条Euler路径（Eulerianpath）．于是“能被一笔画出”就可以数学上很严格地解释成“存在Euler路径”．虽然是否存在Euler路径也是一个关于几何图形的问题，但是却和古典几何所在意的那些事情（比如边的长度以及边是如何弯曲的等等）都完全无关．Euler论文标题中的“位置几何”一词正是想表达此意．对于一个图来说，“是否存在Euler路径”就是一个拓扑性质．

《点集拓扑学与代数拓扑学引论》 这本教材旨在为读者提供一个扎实的点集拓扑学与代数拓扑学基础。它不仅系统地介绍了这两个数学分支的核心概念和理论，更注重培养读者运用这些工具解决问题的能力，为进一步深入学习现代数学的各个领域奠定坚实的基础。 点集拓扑学部分： 本书的点集拓扑学部分从最基础的概念出发，循序渐进地引导读者理解拓扑空间的本质。 集合与函数： 在此基础上，教材首先回顾了集合论的基本概念，包括集合的运算、关系、函数等，这些是构建拓扑空间的基础语言。 拓扑空间的定义与性质： 重点讲解了拓扑空间的定义，即通过开集的集合族来刻画空间的“邻域”和“连通性”等性质。我们将深入探讨各种重要的拓扑性质，例如： 分离公理： T0、T1、T2（Hausdorff）、T3（正则）和T4（正规）公理，它们刻画了点与闭集之间分离的能力，是理解空间“好坏”程度的重要指标。 紧致性： 这一概念是对有限性的推广，在许多分析和几何问题中都扮演着至关重要的角色，我们将通过多种等价刻画来理解它。 连通性： 讨论了连通空间和道路连通空间的定义与性质，它们反映了空间的“整体性”和“可移动性”。 度量空间与赋范线性空间： 作为具有特殊结构的拓扑空间，度量空间和赋范线性空间提供了更丰富的几何直观，我们将探讨它们在分析学中的应用，例如收敛、完备性等概念。 连续映射与同胚： 连续映射是保持拓扑结构的重要工具，而同胚则定义了拓扑空间的等价性。我们将通过分析连续映射的性质，理解同胚的判定方法。 紧致空间的性质： 深入研究紧致空间在连续映射下的像依然是紧致的，以及紧致空间上的连续实值函数在其上的性质。 离散拓扑与非离散拓扑： 通过具体的例子，帮助读者理解不同拓扑构造带来的空间差异。 其他重要概念： 还会涉及如稠密子集、可分性、局部紧致性、完备性等关键概念，并探讨它们之间的相互联系。 代数拓扑学部分： 在建立起坚实的点集拓扑学基础后，本书转向代数拓扑学，它致力于用代数的方法来研究拓扑空间。 同伦论： 同伦等价： 引入路径、同伦的概念，并在此基础上定义了同伦等价，这是代数拓扑中比拓扑等价更精细的等价关系。 基本群（π1）： 这是代数拓扑中最核心的概念之一，它描述了空间中回路的“扭绕”程度。我们将详细讲解基本群的定义、计算方法（如Seifert-van Kampen定理）以及它在识别空间中的应用。 覆叠空间： 覆叠空间是研究基本群的有力工具，我们将探讨覆叠空间的构造与性质，以及它们与基本群的关系。 同调论： 链复形： 介绍链复形和链映射的概念，这是构建同调群的代数框架。 奇异同调群： 以最普适的奇异链复形为基础，定义了奇异同调群（Hn(X)）。我们将深入理解同调群的定义，特别是H0（连通分支）、H1（与基本群的关系）以及更高阶同调群的意义。 同调的性质： 探讨同调群的同伦不变性、映射诱导的同调同态等重要性质。 某些空间的同调计算： 通过计算一些典型空间的同调群（如球面、环面），展示同调群在区分拓扑空间方面的威力。 对偶性： 简要介绍庞加莱对偶等对偶性概念，揭示同调群内部的深刻联系。 本书的特点： 严谨的数学表述： 所有概念的定义和定理的证明都力求严谨，符合数学的学术规范。 丰富的例题与练习： 书中穿插了大量的例题，帮助读者理解抽象的概念；每章末尾都设有精心设计的习题，涵盖了从概念理解到技巧应用的不同难度，有助于巩固所学知识。 清晰的逻辑结构： 点集拓扑学作为基础，为代数拓扑学的学习提供了必要的工具和语言。代数拓扑学的进展则建立在点集拓扑学的框架之上，逻辑清晰，层层递进。 面向未来： 本书不仅介绍了经典的理论，还为读者进一步探索现代拓扑学（如微分拓扑、代数几何中的拓扑等）打下坚实的基础。 适用对象： 本书适合数学专业本科高年级学生、研究生，以及对点集拓扑学和代数拓扑学感兴趣的科研人员和数学爱好者。学习本书需要具备一定的线性代数、分析学基础。 通过阅读本书，读者将能够掌握点集拓扑学和代数拓扑学的基本理论和方法，为理解更深入的数学课题做好准备，并能初步运用这些知识分析和解决一些数学问题。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇心的读者，《点集拓扑与代数拓扑引论》这本书带给我的是一次充满智慧的探索之旅。我一直对数学中那些看似抽象却能解释现实世界现象的概念感到着迷，而拓扑学恰恰是这样的学科。本书在点集拓扑的部分，从最基础的集合论概念出发，逐步构建起度量空间和拓扑空间的理论体系。我特别欣赏书中对于“连通性”的讲解，它不仅仅是定义，还通过各种例子，让我理解了什么叫做“不可分割的整体”，以及连通性在不同类型空间中的表现。在代数拓扑部分，本书则将代数思维引入拓扑研究。我非常喜欢书中关于“同伦”的概念，它让我们能够将“连续形变”这一直观的几何概念进行数学化处理，并在此基础上定义了基本群。本书对于基本群的介绍，从计算到性质，都做了详尽的阐述，让我看到了代数工具在揭示空间结构上的强大力量，也为我后续深入学习代数拓扑打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习数学就像是在攀登一座座高峰，而《点集拓扑与代数拓扑引论》这本书，无疑为我提供了攀登点集拓扑和代数拓扑这两座高峰的详尽地图和可靠的装备。这本书的讲解风格非常适合我这种喜欢深度思考的读者。点集拓扑的部分，它并没有仅仅停留在概念的罗列，而是深入地探讨了各种拓扑空间的性质，比如分离公理、可数公理等等。我特别喜欢书中对于“紧致性”的讲解，它从定义出发，通过多种等价形式（如 Heine-Borel定理、序列紧致性等）来阐释，让我对这一重要性质有了多角度、深层次的理解。在代数拓扑方面，本书同样表现出色。它从直观的同伦概念入手，逐步引出基本群，并用大量实例说明了基本群在识别和区分空间上的作用。我印象深刻的是关于万有覆盖空间及其基本群的讲解，这让我看到了代数拓扑如何能够精确地量化空间的“洞”和“连通性”。整本书的难度循序渐进，语言也相当严谨，但又不会过于晦涩，对于有一定数学基础的读者来说，是一本非常值得细细品味的著作。

评分☆☆☆☆☆

《点集拓扑与代数拓扑引论》这本书，为我打开了一扇通往数学深层结构的大门。我一直对数学的逻辑严谨性和抽象美感深感着迷，而这本书恰恰满足了我对这两者的追求。点集拓扑的部分，从最基础的集合、映射入手，逐步构建起拓扑空间这一更为一般的框架。书中对度量空间、拓扑空间、连续映射等核心概念的阐述，清晰且富有条理，让我能够一步步理解拓扑学的基本思想。我特别欣赏书中关于“分离公理”的介绍，它们是如何在不同程度上限制了拓扑空间的“行为”，以及这些限制对于后续定理的成立起到的关键作用。在代数拓扑方面，本书则巧妙地运用代数工具来研究拓扑空间。基本群的引入，将空间的几何性质转化为群的代数性质，让我看到了数学中不同分支之间深刻的联系。书中关于基本群的计算，以及其在识别球面的应用，让我感受到了代数拓扑的强大威力。这本书的讲解详略得当，既有严谨的数学论证，又不乏直观的解释，非常适合有志于深入学习拓扑学的读者。

评分☆☆☆☆☆

《点集拓扑与代数拓扑引论》这本书，为我提供了一个绝佳的学习平台，让我能够深入地理解点集拓扑和代数拓扑这两个数学领域的核心概念。本书在点集拓扑部分，从最基础的集合论和逻辑出发，逐步引出了度量空间、拓扑空间、连续映射等关键概念。作者的讲解思路清晰，逻辑严谨，尤其是在阐述“拓扑”的本质时，强调了它对空间“形变”不变性的关注，这让我对拓扑学的研究对象有了更深刻的认识。书中对各种拓扑性质，如连通性、紧致性等的详细讨论，并辅以丰富的例子，让我能够更好地理解这些抽象概念的内涵。在代数拓扑部分，本书将代数工具巧妙地融入拓扑学研究。基本群的引入，将空间的几何性质转化为群的代数性质，让我看到了不同数学分支之间的深刻联系。本书对于基本群的计算和性质的讲解，以及其在识别空间方面的应用，都让我受益匪浅，并激发了我进一步探索代数拓扑奥秘的强烈愿望。

评分☆☆☆☆☆

翻开《点集拓扑与代数拓扑引论》的第二部分——代数拓扑，我仿佛进入了一个全新的世界。这里，点集拓扑的严谨分析与代数运算的强大工具相结合，揭示了空间更深层的结构和性质。本书在这一部分的介绍，可以说做到了“引论”二字精髓的完美体现。它并未一开始就堆砌过于复杂的理论，而是从最基本的同伦论概念入手，逐步引入了基本群、覆盖空间、同调论等重要工具。作者在讲解基本群时，通过生动的例子，比如圆周的基本群，让我直观地理解了“道路的缠绕”如何编码了空间的拓扑信息。这种化抽象为具体的方法，大大降低了理解门槛。而对于更高级的概念，如同调论，本书也做到了循序渐进的讲解，从链复形到奇异同调群，每一步都辅以清晰的定义和定理证明。我尤其欣赏书中对基本群和同调群之间关系的阐述，它们是如何互补地揭示空间的拓扑特征，以及它们在分类特定类型空间（如球面）时的强大力量。这本书让我看到了数学研究的深度和广度，也激发了我进一步探索代数拓扑精彩世界的强烈愿望。

评分☆☆☆☆☆

这本《点集拓扑与代数拓扑引论》的出现，无疑为我这个数学爱好者提供了一个深入理解这两个重要分支的绝佳窗口。我一直对数学的抽象美和严谨性着迷，而拓扑学正是将这种美推向了极致。拿到这本书，首先映入眼帘的是其扎实的数学基础要求，让我明白这是一条通往真理的康庄大道，而非浅尝辄止的浮光掠影。点集拓扑的部分，从最基础的集合论和逻辑概念出发，层层递进，详细讲解了度量空间、拓扑空间、连续映射、连通性、紧致性等核心概念。作者的讲解清晰易懂，即使是初学者也能循序渐进地领会其精髓。书中大量的例子和习题，更是巩固了我的理解，让我能够在实践中不断检验和深化所学。特别是对于一些看似抽象的概念，书中往往会给出直观的解释和几何化的图形，帮助我建立起清晰的数学直觉。例如，在讲解紧致性时，作者并没有止步于定义，而是通过多种等价刻画，让我从不同角度去审视这一重要性质，从而更好地理解其在分析和几何中的应用。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习一门学科，最重要的是建立起坚实的理解基础，并且能够感受到其内在的逻辑之美。《点集拓扑与代数拓扑引论》这本书，无疑在这两个方面都做得非常出色。在点集拓扑部分，作者并没有急于引入复杂的概念，而是从最基本的集合论和逻辑出发，逐步构建起度量空间、拓扑空间的概念。我尤其喜欢书中对于“拓扑”本身的定义和解释，它让我们理解到，拓扑关注的是空间的“形变”不变性，而非具体的距离或角度。在讲解连续映射时，书中不仅给出了定义，还通过大量的例子，帮助我们理解不同类型空间之间的连续映射的性质。而在代数拓扑部分，本书则通过基本群、同伦等概念，将代数工具与拓扑学相结合。我印象深刻的是书中关于“洞”的概念是如何被基本群所捕捉到的，例如一个圆环和一个球在基本群上的差异。这种将抽象的代数结构与直观的几何性质联系起来的方式，让我对代数拓扑产生了浓厚的兴趣，并深感其在揭示空间深层结构上的强大能力。

评分☆☆☆☆☆

一本优秀的教材，不仅要传授知识，更要激发读者的学习兴趣和探索精神。《点集拓扑与代数拓扑引论》这本书，无疑做到了这一点。在点集拓扑的章节，作者以一种非常“讲故事”的方式，引出了各种基本概念。比如，在讲解“紧致性”时，书中并非直接给出定义，而是先讲述了它在实数分析中的重要性，然后才引出其在更一般的拓扑空间中的推广。这种方式让我更容易理解抽象概念的由来和意义。在代数拓扑部分，本书的讲解更是精彩纷呈。它从直观的“形状”不变性出发，引入了同伦等概念，并最终导向了基本群。我特别喜欢书中对于基本群计算的实例，比如，如何计算一个圆盘、一个圆环以及它们组合的基本群。这些例子不仅加深了我对理论的理解，更让我感受到了代数拓扑的趣味性和应用潜力。这本书让我看到，数学并非枯燥的符号堆砌，而是充满智慧和创造力的学科。

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作为一名数学系的学生，我深知一本好的教材对于学习的重要性。《点集拓扑与代数拓扑引论》这本书，完全符合了我对一本优秀数学教材的所有期待。从装帧设计上，它就透着一股严谨与专业，封面设计简洁大气，书纸质量也很好，手感舒适。在内容方面，本书的结构安排逻辑严谨，点集拓扑部分循序渐进，由易到难，逐步深入。作者在讲解基本概念时，总是会给出清晰的定义，并配以丰富的例子，帮助读者理解。例如，在讲解开集、闭集、邻域等基本概念时，书中提供了不同度量空间下的具体例子，让我能够直观地感受到这些概念的几何意义。更难得的是，本书在定理的证明上也力求详尽，不跳步，不模糊，让读者能够完整地理解每一个结论的由来。而代数拓扑部分，则巧妙地将代数工具引入到拓扑学研究中，例如基本群、同伦等概念的引入，让原本抽象的拓扑空间具有了更丰富的代数内涵。这种理论的结合，不仅深化了对空间的理解，也为解决一些复杂问题提供了新的思路和方法。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，理解一个数学概念，最好的方式是多角度地去看待它，并且能够将抽象的理论与具体的例子相结合。《点集拓扑与代数拓扑引论》这本书，正是这样一本能够满足我这种学习需求的教材。在点集拓扑的开篇，作者就用清晰的语言阐释了度量空间和拓扑空间的区别与联系，并用丰富的实例，如欧氏空间、离散拓扑、萨氏拓扑等，帮助读者建立起对这些概念的直观认识。我尤其喜欢书中关于“分离公理”的讲解，它们是如何在不同程度上刻画了空间的“光滑度”和“结构性”，以及这些公理对于后续定理成立的重要性。在代数拓扑部分，本书则巧妙地引入了基本群这一强大的工具。它不仅仅是给出定义，更是通过大量的例子，展示了如何利用基本群来区分不同的空间，比如，为何一个圆环和一个二维球面有着截然不同的基本群。这种从理论到应用的深入讲解，让我对代数拓扑的理解上升到了一个新的高度。

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书要慢慢看，仔细的阅读才行

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北大数学，中国一绝。

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能够在京东买到这么专业的书籍确实非常意外的惊喜。

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可以

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包老师就是强,不愧是姜老师的学生

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还不错还不错还不错还不错

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北大的系列书都很好，学习拓扑很实用。

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很好的拓扑书，送货快。

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一本很不错的拓扑学的教材，讲解的比较清晰，容易懂