算子矩陣及其應用 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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李願 著

圖書標籤:

• 算子矩陣
• 矩陣論
• 綫性代數
• 泛函分析
• 數值分析
• 應用數學
• 數學分析
• 算子理論
• 矩陣計算
• 高等數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030499769

版次：1

商品編碼：12047666

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2016-09-01

用紙：膠版紙

頁數：245

字數：317000

正文語種：中文

內容簡介

　　在算子理論的研究中，很多問題涉及算予矩陣的結構特徵。算子矩陣是以算子為元素的矩陣，對其內在結構、性質和進一步的應用是作者多年來的研究課題，《算子矩陣及其應用》主要圍繞算子矩陣的譜結構與廣義逆，算子的序結構以及算子矩陣在量子信息論等問題中的應用，介紹作者在算子矩陣的譜及其應用方麵所取得的主要成果。全書共6章，第1章是預備知識；第2章介紹算子矩陣的譜擾動；第3章介紹冪等算子與算子矩陣：第4章介紹特殊算子類的廣義逆：第5章介紹算子的序與算子矩陣；第6章主要介紹算子矩陣的應用。
　　《算子矩陣及其應用》可作為泛函分析相關研究人員的參考書，也可作為數學專業研究生和高年級本科生的參考用書。

內頁插圖

目錄

前言
主要符號錶

第1章 預備知識
1．1 算子幾種譜的概念
1．2 算子的譜投影、廣義逆及函數演算
1．3 算子的偏序及拓撲

第2章 算子矩陣的譜擾動
2．1 2×2上三角算子矩陣的譜擾動
2．2 2×2上三角算子矩陣的左譜擾動
2．3 2×2上三角算予矩陣的本性近似點譜的擾動
2．4 2×2上三角算子矩陣的左本性譜的擾動
2．5 2×2算子矩陣的本性譜的擾動
2．6 2×2算子矩陣的左譜的擾動

第3章 冪等算子與算子矩陣
3．1 兩個閉子空間之間的夾角
3．2 冪等算子和、差的Fredholm性

第4章 特殊算子類的廣義逆
4．1 下三角算子矩陣的Moore-Penrose逆
4．2 C*代數中投影生成的反交換子的Moore-Penrose逆
4．3 C*代數上投影的積與差的Drazin逆
4．4 C*代數上投影的積與差的Moore-Penrose逆

第5章 算子的序與算子矩陣
5．1 量子效應算子序的下確界
5．2 自伴算子在邏輯序下的確界
5．3 量子效應的廣義下確界
5．4 量子效應的序貫積

第6章 算子矩陣的應用
6．1 跡類算子三角等式的刻畫
6．2 Hua-型算子矩陣的範數
6．3 算子矩陣在量子運算不動點刻畫中的應用
6．4 算子矩陣在算子插值問題中的應用：有限維情形
6．5 算子矩陣在算子插值問題中的應用：無限維情形
6．6 保單位完全正映射的不動點
6．7 量子效應約當乘積的性質
6．8 壓縮完全正映射的端點
6．9 錐同構與完全正映射
參考文獻

前言/序言

　　算子理論是泛函分析中一個重要的研究領域，自從20世紀初Hilbert，Banach和Riesz等建立算子理論以來，算子理論已得到瞭迅速發展並滲透到數學的各個分支，其研究內容涉及基礎數學與應用數學的多個分支，如代數學、幾何理論、矩陣理論、逼近論、優化理論與量子信息論等。算子矩陣是以算子為元素的矩陣，缺項算子矩陣就是一些元素是已知的，其餘元素都是未知的算子矩陣。2×2上三角算子矩陣作為最簡單也最基本的缺項算子矩陣，對它的研究有著重要的意義。
　　全書共6章。第1章是預備知識，介紹Banach空間和Hilbert空間算子理論的基本概念和基礎理論，如算子幾種譜的概念、算子的譜分解定理和算子的序等。第2章介紹算子矩陣的譜擾動，主要研究2x2上三角算子矩陣的譜、左譜和本性近似點譜的擾動問題。同時，對其他形式的2x2算子矩陣的本性譜和左譜的擾動問題也進行瞭研究。投影算子是結構最簡單和最重要的算子之一。由投影算子的和、差與乘積及其綫性組閤所生成算子的結構特徵是重要的算子理論問題。第3章介紹冪等算子與算子矩陣，主要應用投影的算子矩陣形式，給齣瞭兩個子空間之間的極大和極小交角的錶達式，並給齣瞭投影的和、差和乘積的Fredholm性的等價刻畫，算子的廣義逆，特彆是Moore-Penrose逆和Drazin逆，是近年來算子與矩陣理論研究非常活躍的領域之一。隨著廣義逆理論研究的深入，國內外多名研究者在Banach代數與C*代數上研究Moore-Penrose逆和Drazin逆的錶示和特徵，第4章介紹特殊算子類的廣義逆，主要給齣下三角算子矩陣的Moore-Penrose逆的錶示及其應用，並進一步在C*代數上研究投影的和與積的Moore-Penrose逆及Drazin逆的錶示。算子序結構的研究，不僅在算子理論的研究中是值得研究的問題，而且在量子信息理論等方麵有著重要的應用，例如，Hilbert空間Н上量子效應是指Н上的全體正壓縮算子，量子態是指Hilbert空間上的正的跡為1的跡類算子。在算子之間可以定義多種序關係，形成多種序結構，而刻畫兩個算子在這些序下的上、下確界是比較睏難的問題。

算子矩陣及其應用 導言 數學的演進往往伴隨著對抽象結構深刻理解的突破。在綫性代數和泛函分析的交匯處，算子理論以其強大的描述能力，深刻地揭示瞭無窮維空間中綫性變換的本質。本書《算子矩陣及其應用》聚焦於將抽象的算子概念，通過引入“算子矩陣”這一核心工具，轉化為可操作、可計算的代數結構，並探討其在多個前沿領域的具體應用。 本書旨在為讀者搭建一座堅實的橋梁，連接經典綫性代數的有限維直覺與現代泛函分析的無限維復雜性。我們不滿足於僅僅羅列定義和定理，而是著重於算子矩陣如何成為解析無限維問題、設計高效算法以及理解復雜係統的有效語言。 --- 第一部分：基礎概念與算子矩陣的構造 第一章：預備知識迴顧與泛函空間基礎 本章首先為讀者打下堅實的分析基礎。我們不贅述初等微積分，而是直接切入現代數學分析的關鍵支柱：賦範綫性空間、內積空間（希爾伯特空間）的嚴格定義與基本性質。重點闡述瞭完備性的重要性及其在收斂性論證中的作用。 隨後，引入拓撲概念，特彆是弱收斂和強收斂的區分，這對於後續處理算子在無窮維空間上的行為至關重要。我們詳細討論瞭緊集、可分空間等概念，為引入積分算子和微分算子的背景做好鋪墊。 第二章：綫性算子的分類與算子理論的引入 本章係統地對綫性算子進行分類，包括有界綫性算子、閉算子、稠密定義域的算子。有界性是連接算子與矩陣錶示的關鍵前提，因此本章花費大量篇幅討論有界算子的範數、伴隨算子及其性質。 在介紹完閉算子後，我們開始探討譜理論的初步概念，強調瞭特徵值和譜半徑在穩定性和係統響應中的物理意義。本章的難點在於處理算子在非有限維空間中的有界性判定問題，引入瞭巴拿赫-斯坦納斯定理的初步思想。 第三章：算子矩陣的構造原理 本章是全書的核心。算子矩陣並非傳統意義上的數字矩陣，而是基於一組基（或更一般地，一組基嚮量或框架）對算子進行分解的結果。 我們首先討論瞭有限維投影法：如何通過選取一組正交基 $left{e_n ight}_{n=1}^N$ 來將一個作用在有限維空間上的算子 $T$ 錶示為 $T_{ij} = langle T e_j, e_i angle$。 接著，我們將這一思想推廣到可分希爾伯特空間。關鍵在於選擇閤適的“算子框架”或“可數基”。我們詳細闡述瞭如何根據算子的特定性質（如局部性、稀疏性）來構造滿足特定條件的基。算子矩陣 $A$ 的元素 $A_{ij}$ 被定義為算子 $T$ 在選定基下的分量。 重點探討瞭基選擇對矩陣結構的影響：正交基、Riesz基與Frame（框架）基對算子矩陣的性質（如對角化能力、稀疏性）産生的決定性差異。我們引入瞭稀疏性測度，用以評估特定基下算子矩陣的非零元素分布。 --- 第二部分：算子矩陣的代數與分析性質 第四章：算子矩陣的運算與範數 本章研究如何將算子代數運算轉化為算子矩陣的代數運算。 算子乘法與矩陣乘法： 討論瞭算子 $T = S_1 S_2$ 對應的算子矩陣 $A = A_1 A_2$ 的關係，尤其關注在近似錶示中，誤差如何在矩陣乘法中纍積。 算子加法與矩陣加法： 較為直接，但強調瞭在不同基下錶示的兩個算子相加前，必須先進行統一基準的轉化。 算子範數與矩陣範數： 核心區彆在於算子範數是作用於整個函數空間上的，而矩陣範數是作用於有限維嚮量上的。我們分析瞭算子範數的下界估計：矩陣範數如何近似或下界估計原始算子的範數，特彆是當使用截斷基（有限維近似）時，如何保證收斂性和誤差界。 第五章：譜理論在算子矩陣上的體現 譜理論是理解算子行為的鑰匙。本章探討瞭算子矩陣如何反映算子的譜結構。 特徵值問題與截斷： 當算子 $T$ 在選定基下具有易於計算的矩陣錶示時，求解特徵值 $lambda$ 相當於求解代數特徵值問題 $A mathbf{x} = lambda mathbf{x}$。我們分析瞭這種截斷近似的譜偏差：當基的維度 $N o infty$ 時，有限維特徵值如何收斂到算子的真正特徵值，以及收斂的速度。 連續函數演算： 對於有界算子 $f(T)$，其對應的算子矩陣應如何構造？本章闡述瞭如何利用矩陣函數理論（如若爾當標準型或譜分解）來近似計算 $f(T)$ 的矩陣錶示。 攝動理論的應用： 算子 $T = T_0 + epsilon V$ 的擾動分析。我們研究瞭在算子矩陣錶示下，微小的算子擾動 $V$ 如何通過矩陣的微小改變來體現，並應用基利斯-卡爾森定理等工具來估計特徵值和特徵嚮量的敏感度。 第六章：算子矩陣的分解與簡化 本章關注如何利用矩陣的分解技術來簡化對復雜算子的分析。 奇異值分解（SVD）的推廣： 雖然嚴格的SVD隻適用於緊算子，但我們將SVD的概念推廣到一般算子，通過其極分解 ($T = UP$，$P$ 是正算子，$U$ 是酉算子)來分析其“拉伸”和“鏇轉”特性。算子矩陣可以被分解為矩陣的SVD，從而揭示瞭算子在不同基方嚮上的主要作用強度（即奇異值）。 對角化與相似變換： 探討瞭何時算子矩陣可以通過相似變換對角化，這對應於算子存在完備的特徵嚮量係統。重點分析瞭非正規算子（其矩陣非正規）的復雜性，以及如何通過舒爾分解或約旦形式來處理非對角化情況。 近似逆算子： 在求解微分方程 $T u = f$ 時，計算逆算子 $T^{-1}$ 是關鍵。我們通過計算算子矩陣 $A$ 的逆 $A^{-1}$ 來近似 $T^{-1}$，並分析瞭該近似逆算子在函數空間上的作用效果，特彆是在迭代求解法中的應用。 --- 第三部分：應用領域：從物理建模到信息處理 第七章：微分算子與邊界值問題的算子矩陣方法 本章展示瞭算子矩陣方法在求解偏微分方程中的強大能力。 有限差分與有限元法的內在聯係： 傳統上，有限差分法和有限元法被視為獨立的數值方法。本章揭示，這兩種方法本質上都是在特定基（例如，分段多項式基或網格點基）上對微分算子進行矩陣化錶示的結果。 處理高階導數算子： 詳細闡述瞭如何通過引入輔助變量來構造“擴充算子矩陣”，從而將高階微分算子（如四階拉普拉斯算子）轉化為一個更大的、但結構上更易處理的二階算子塊矩陣。 非齊次邊界條件的矩陣處理： 如何通過調整基函數的選擇或引入特定的邊界項，將復雜的非齊次邊界條件轉化為算子矩陣的右端嚮量的修改，實現瞭方程組的統一求解框架。 第八章：積分算子與核函數方法 積分方程（如維納-霍夫方程）是算子理論的天然應用場景。 積分算子的離散化： 對於積分算子 $K u(x) = int k(x, y) u(y) dy$，我們使用高斯-勒讓德求積或分片常數近似來離散化積分核 $k(x, y)$，從而得到算子矩陣 $K_{ij}$。 特徵值問題的迭代求解： 當積分算子是緊的時，其特徵值問題可以通過算子矩陣的特徵值問題來近似求解。本章討論瞭如何使用Lanczos或Arnoldi迭代法來高效地提取緊算子最大的幾個非零奇異值和對應的特徵函數。 第九章：信號處理與稀疏錶示中的算子矩陣 在現代信息科學中，信號往往由少數幾個基函數綫性錶示。 小波變換與多分辨率分析： 小波基提供瞭局部化、多尺度的框架。本章展示瞭如何利用小波基來構造對角化（或近乎對角化）的算子矩陣，尤其是在處理局部平滑的函數或信號時，如捲積算子。 壓縮感知中的測量矩陣： 在壓縮感知理論中，測量矩陣 $Phi$ 本質上是一個將高維信號投影到低維觀測空間上的綫性算子。本章從算子矩陣的角度分析瞭如何設計 $Phi$（如隨機高斯矩陣或伯努利矩陣），以確保它對稀疏信號具有等距特性（RIP），從而保證瞭通過求解優化問題能精確重構原始信號。這涉及到對隨機算子矩陣的期望範數和稀疏性保持能力的分析。 --- 結語 《算子矩陣及其應用》力求展示一個統一的視角：許多看似不同的數學和工程問題，都可以被抽象為一個在特定基上進行操作的矩陣問題。掌握算子矩陣的構造、分析其代數性質，並理解其對原始算子行為的近似程度，是深入研究現代數學物理和計算科學的必經之路。本書的最終目標是激發讀者利用這種代數直覺來解決更復雜的、涉及非局部或高維結構的算子問題。

評分☆☆☆☆☆

我一直對抽象代數和泛函分析領域的一些基本工具保持著濃厚的興趣，盡管我的專業並非純粹數學。當我在書店看到《算子矩陣及其應用》這本書時，我的腦海中立刻浮現齣瞭對這個領域的一些模糊印象，以及對於它可能帶來的深刻洞察的期待。我猜想，這本書可能會以一種相當嚴謹的方式，從算子的基本定義齣發，探討算子在嚮量空間、巴拿赫空間、希爾伯特空間等數學結構上的性質。我希望它能清晰地解釋，算子如何被看作是從一個空間映射到另一個空間的“函數”，以及它們有哪些獨特的屬性，比如綫性性、有界性、連續性等等。我特彆期待書中能夠深入剖析算子代數的結構，例如對易子、交換子以及算子方程的解法。而“矩陣”的部分，我設想它會解釋如何將抽象的算子在特定的基下錶示成具體的矩陣，以及矩陣運算如何反映算子的組閤和變換。我同樣期待“應用”部分能夠提供一些具有啓發性的例子，展示這些抽象概念在解決實際數學問題中的威力，或許是求解微分方程，或者分析動力係統。我希望這本書能夠以一種有邏輯、有深度的方式，引領我領略數學工具的精妙之處。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對物理學，特彆是量子力學和量子信息理論感興趣的學生，而《算子矩陣及其應用》這個書名，就像是為我量身定做的。我一直知道，在量子力學中，物理量通常由算符來錶示，而這些算符作用在希爾伯特空間上。而矩陣，則是錶示這些算符在某個基下的具體形式。這本書的名字，恰恰點齣瞭這個核心概念。我非常期待它能夠深入講解算子代數，例如交換關係、對易子等，以及矩陣錶示在不同基下的變換。我希望它能夠解釋，為什麼特定的算符組閤會對應著特定的物理過程，以及如何通過矩陣運算來預測係統的演化。我更期待的是，“應用”的部分能夠詳細闡述算子矩陣在量子計算中的作用，比如量子門的錶示、量子算法的設計，以及量子糾錯碼的構建。我還希望書中能觸及到一些更前沿的課題，例如拓撲量子計算，或者利用算子代數來分析凝聚態物理中的復雜現象。我設想，這本書會帶領我從數學的根基，深入理解量子世界的運行規律，並為我未來的學術研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計，那種深邃的藍色背景，搭配上燙金的“算子矩陣及其應用”幾個字，瞬間就抓住瞭我的眼球。我一直對數學領域中那些抽象而強大的工具充滿好奇，而“算子”和“矩陣”無疑是其中的佼佼者。這本書的名字本身就散發著一種嚴謹而深刻的氣息，仿佛預示著一場智力上的探險。我期待它能像一把鑰匙，打開我通往理解更復雜數學模型的大門。我特彆希望它能在不失理論深度的情況下，給齣足夠的例子和解釋，讓我這個非數學專業背景的讀者也能循序漸進地掌握這些概念。我知道，有些數學著作讀起來會像天書一樣晦澀難懂，我希望這本《算子矩陣及其應用》能夠避免這種情況，它或許會通過圖示、生動的類比，或者從實際問題的角度齣發，來引導讀者進入這個迷人的領域。我設想，它會從算子和矩陣的基礎概念講起，然後逐步深入到它們如何相互作用，形成更強大的分析工具。我甚至能想象到，書中會用大量的篇幅去闡述算子矩陣在物理學、工程學，乃至經濟學等領域的實際應用，這纔是最讓我興奮的部分。我希望它能夠讓我明白，那些看似抽象的數學符號，是如何被用來解決現實世界中的難題的。

評分☆☆☆☆☆

我最近一直在尋找一本能夠係統性地梳理金融工程中常用數學工具的書籍，而《算子矩陣及其應用》這個書名，雖然不直接點明金融，但“算子”和“矩陣”這兩個詞，立刻讓我聯想到瞭在衍生品定價、風險管理、投資組閤優化等方麵所使用的復雜模型。我之前接觸過一些相關的文獻，但總覺得缺乏一個清晰的理論框架來支撐。我猜測，這本書可能會從泛函分析的角度切入，講解算子在函數空間上的作用，然後過渡到如何用矩陣來錶示這些算子，或者錶示數據之間的綫性關係。我特彆期待書中能夠有關於“算子方程”的討論，以及如何利用矩陣方法求解這些方程，這對於理解一些動態資産定價模型至關重要。而且，“及其應用”這四個字，讓我對這本書的實用性寄予厚望。我希望能看到書中詳細介紹如何將這些數學工具應用於具體的金融問題，比如濛特卡洛模擬的加速，或者高維數據的降維與分析。如果書中還能涉及一些現代金融領域的熱點，例如量化交易策略的構建，或者機器學習在金融領域的應用，那將是錦上添花。我希望這本書能夠提供一種不同於現有金融數學教材的視角，用更抽象但也更普適的數學語言來解釋金融現象。

評分☆☆☆☆☆

作為一名計算機視覺領域的從業者，我一直在努力尋找能夠深化我對圖像處理和模式識彆底層數學原理理解的書籍。《算子矩陣及其應用》這個名字，雖然聽起來有些數學化，但“矩陣”和“應用”這兩個詞，讓我聯想到瞭我在工作中經常遇到的各種算法。我猜想，這本書可能會從綫性代數的基礎齣發，講解矩陣的各種性質，例如特徵值、奇異值分解等，以及它們在圖像壓縮、降噪、特徵提取等方麵的應用。而“算子”部分，我則希望它能解釋在圖像處理中，很多操作都可以看作是某種算子作用在圖像數據上。例如，捲積操作，高斯模糊，邊緣檢測等，它們是否可以用算子矩陣的框架來統一描述？我特彆希望書中能有關於“算子方程”的討論，以及如何利用矩陣方法來求解這些方程，這對於理解一些更復雜的圖像重建或圖像修復算法會有很大幫助。我還期望書中能提及一些與現代計算機視覺技術相關的應用，比如深度學習中的捲積神經網絡，它的本質不也是一種復雜的算子疊加嗎？如果書中能對這些聯係進行深入的解析，那將極大地拓寬我的視野。