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沈文选张垚冷岗松 编

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店铺： 新知图书专营店

出版社： 湖南师范大学出版社

ISBN：9787564819965

商品编码：26208695762

丛书名： 奥林匹克数学中的代数问题

开本：16开

出版时间：2015-01-01

现代数学思想与方法导引：面向未来科学探索的基石 图书名称：现代数学思想与方法导引：面向未来科学探索的基石 目标读者： 高年级中学生、对数学有浓厚兴趣的爱好者、大学低年级学生、以及希望系统梳理现代数学基础的教育工作者。 内容简介： 本书旨在超越传统中学数学的知识框架，为读者打开一扇通往现代数学核心思想与关键方法的窗口。我们相信，真正的数学素养不仅仅在于熟练掌握解题技巧，更在于理解数学家们是如何思考、如何构建理论以及如何运用抽象工具来解决复杂问题的。本书不是一本专注于某一特定竞赛题型的辅导书，而是一本侧重于数学思维、逻辑推理和理论构建的入门与提升读物。 第一部分：严谨的逻辑基石与集合论初探 本部分从数学的哲学基础和形式逻辑出发，为后续的抽象构建打下坚实基础。 第一章：数学的本质与公理化思想 探讨数学知识的可靠性来源：从欧几里得几何到现代公理化体系的演变。 重点介绍皮亚诺公理（Peano Axioms）及其在自然数构造中的重要性。 分析“定义、公理与定理”三者之间的内在联系和逻辑推导过程。 第二章：集合论的语言与构造 介绍朴素集合论的基本概念：元素、子集、幂集、笛卡尔积。 深入探讨集合运算的内在结构，以及集合作为一切数学对象的“原子”地位。 初步引入集合论中的反直觉悖论（如罗素悖论的简要阐述），激发读者对数学基础的深思。 第三章：逻辑推理的艺术 区分演绎推理、归纳推理和反证法。 详细讲解命题逻辑中的连接词（与、或、非、蕴含、等价）及其真值表。 教授如何构建严密的数学证明结构，强调清晰的逻辑链条比华丽的技巧更为重要。 第二部分：抽象代数的思想萌芽 本部分将带领读者从熟悉的数域过渡到更具一般性的结构，理解代数对象是如何通过运算和性质来定义的。 第四章：从数域到抽象结构 回顾有理数、实数和复数域的封闭性、结合律、分配律等代数性质。 引入“代数结构”的概念，讨论封闭性、运算的结合律和单位元、逆元等核心要素。 第五章：群论的初次接触 这是理解现代代数最关键的一步。我们将从对称性（如正方形的旋转与反射）引入群（Group）的概念。 详细定义群的四个公理，并通过具体实例（如整数加法群、非零复数的乘法群）进行解析。 介绍子群、陪集和同构（Isomorphism）的直观意义——结构上的等价性。 第六章：环与域的概念框架 在群的基础上，引入第二个二元运算，定义环（Ring）的概念。 探讨特殊的环结构：交换环、整环。 最终引入域（Field），理解它如何将加法和乘法的良好性质统一起来，为线性代数的向量空间理论做好铺垫。 第三部分：分析的极限与无穷的精确描述 本部分关注微积分背后的严格基础——极限理论，并探索其在处理无穷序列和函数时的威力。 第七章：极限的ε-δ语言 突破传统“无限接近”的模糊描述，精确掌握极限的 $varepsilon - delta$ 定义。 通过大量的几何直观和代数练习，巩固对这一核心概念的理解。 学习如何运用该定义来证明基本的极限存在性定理。 第八章：序列、级数与收敛性 详细分析数列的收敛、发散的判定标准（单调有界定理）。 深入研究无穷级数，区分算术级数、几何级数与更一般的级数。 介绍比值判别法、根值判别法以及比分测试背后的深刻思想，理解绝对收敛与条件收敛的区别。 第九章：连续性与拓扑的初步感知 从函数连续性的 $varepsilon - delta$ 定义出发，将其推广到拓扑空间的基本思想。 介绍开集、闭集的直观概念，理解连续性在抽象空间中的意义。 探讨魏尔斯特拉斯定理（Weierstrass Extreme Value Theorem）的意义，理解紧致性（Compactness）在分析学中的核心作用。 第四部分：结构化的几何与组合的精确计数 本部分将目光投向几何的结构化表达和组合问题的系统化解决。 第十章：向量空间与线性变换 将向量的概念从二维、三维空间提升到任意维度的抽象空间（向量空间）。 学习线性组合、线性无关、基和维数等核心概念，理解它们如何描述空间结构。 介绍矩阵作为线性变换的表示工具，理解矩阵乘法背后的几何意义。 第十一章：坐标变换与特征值 探讨改变基对矩阵表示的影响，理解相似变换。 深入解析特征值和特征向量的物理和几何意义——系统在特定方向上的行为模式。 简要介绍特征值在微分方程和动力系统中的应用。 第十二章：组合学的生成函数与容斥原理 介绍组合数学中的强大工具——生成函数（Generating Functions），用于解决复杂的计数问题，特别是递推关系。 系统阐述容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle），并展示其在计算“至少一个/恰好k个”这类问题时的威力。 探讨鸽巢原理的推广形式及其在构造性证明中的应用。 结语：面向未来的数学思维 本书的最终目标是培养读者将不同数学分支联系起来的能力，看到代数、分析和几何之间的内在统一性。通过系统学习这些现代数学思想，读者将能以更成熟、更抽象的视角去审视和解决未来的科学与工程挑战。本书提供的不是解题的捷径，而是通往深刻理解的坚实阶梯。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格极其严谨，对于每一个定理的引入和证明，都力求做到逻辑链条的完整无暇。我特别欣赏它在处理一些经典难题时，不满足于仅仅给出标准解法，而是会穿插介绍几种不同的解题思路，甚至会探讨某些方法的局限性。比如在讲解高次方程的求解时，作者没有回避历史上三次、四次方程的公式解法是如何被发现的，而是将其置于一个更宏大的数学发展史背景下进行阐述，这使得学习过程不再枯燥，而变成了一场思维的探索之旅。对于那些习惯于死记硬背公式的学生来说，这本书无疑是一个挑战，因为它强迫你理解“为什么”是这样，而不是仅仅记住“是什么”。对于我这种追求数学本质的读者来说，这种深入骨髓的剖析，远比快速出题得分来得更有价值，它真正培养的是一种数学直觉和深刻的洞察力。

评分☆☆☆☆☆

作为一个已经参加过几次省内数学竞赛的选手，我发现市面上很多所谓的“奥赛教程”在更新速度上跟不上最新的竞赛趋势。然而，这本书在选取例题和专题时，明显体现了对近几年国内外重要数学竞赛试题的紧密跟踪。那些看似平常却暗藏玄机的题目，往往需要运用到一些非常规的构造技巧。这本书的厉害之处就在于，它把这些“非标”的解题技巧系统化了。它不是简单地把历年真题罗列出来，而是把具有共性特征的题目归类，然后提炼出通用的解题框架。例如，在处理数论中的不定方程时，它会系统地介绍模运算的进阶应用，以及如何利用丢番图方程的性质进行有效筛选。这种结构化的知识提炼，极大地提高了复习效率，让我感觉之前零散的知识点终于找到了相互联系的纽带，学习效果立竿见影。

评分☆☆☆☆☆

这本书的配套资源和辅助说明简直是教科书级别的典范。我尤其喜欢它在复杂证明后的“思辨角”或者“拓展阅读”部分。这些小节虽然不是考试的必需内容，但它们极大地拓宽了读者的视野。它们会适当地引入一些更高级的数学概念，比如拓扑学中的一些基本思想，或者将其与物理学中的某些模型进行类比。这种跨学科的视野，让原本冰冷的代数问题增添了许多活力和趣味性。阅读这些内容时，我感觉自己不单单是在解题，更像是在与一位博学的数学家进行深度对话。这种鼓励独立思考和探索的精神，是任何死板的题海战术都无法比拟的，它真正培养的是终身学习者的潜质。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书的难度门槛确实不低，对于基础知识不够扎实的高中生来说，可能会在开始阶段感到有些吃力，很多例题的难度已经触及到大学初级数学分析的边缘。但正是这种挑战性，才使得它在众多辅导材料中脱颖而出。它不是用来应付基础考试的，它是为那些真正渴望攀登数学高峰的学生准备的“精神食粮”。我记得有一道关于函数方程的问题，标准解法需要用到一个非常隐蔽的不等式构造，书上用了整整两页纸来层层剥茧，直到最后水落石出，那种豁然开朗的体验是无与伦比的。这本书要求你投入时间、耐心和思考的深度，但它给予读者的回报，绝不仅仅是做对几道题那么简单，它塑造的是一种面对复杂问题时不退缩、敢于深入挖掘本质的强大心性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计非常吸引人，那种深沉的蓝色配上烫金的字体，一下子就让人觉得这是一本“有料”的专业书籍。我拿到手的时候，首先就被它厚实的纸张和精良的印刷工艺给镇住了。翻开扉页，目录清晰明了，虽然主题是奥赛代数，但从基础概念的回顾到高级技巧的深入剖析，结构安排得井井有条，可以看出编者在内容组织上的用心良苦。特别是它在不同专题之间的过渡处理得非常自然，不像有些参考书那样生硬地堆砌知识点。虽然我还没来得及深入研读每一个例题，但仅仅是浏览那些章节标题，比如“柯西不等式的巧妙构造”或是“域扩张与伽罗瓦理论的初步接触”，就已经能感受到它内容的深度和广度了。这种视觉上的愉悦和对知识体系的初步感知，极大地激发了我学习的兴趣，感觉这不仅仅是一本辅导书，更像是一套精美的数学艺术品，摆在书架上都让人心生敬畏。