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沈文选张垚冷岗松 编

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店铺： 新知图书专营店

出版社： 湖南师范大学出版社

ISBN：9787564819972

商品编码：26208712300

丛书名： 奥林匹克数学中的数论问题

开本：16开

出版时间：2015-01-01

数学竞赛的广阔天地：从代数到几何的深度探索 本书旨在为有志于在数学竞赛中取得优异成绩的广大学生提供一套全面、深入且富有挑战性的辅导材料。我们跳脱出特定专题的局限，聚焦于构建扎实的数学基础，并拓展至竞赛中常考的多个核心领域，包括但不限于代数（不等式、函数、方程）、几何（平面几何、解析几何、立体几何）、组合数学与概率。本书力求通过精选的例题、详尽的解题思路以及循序渐进的难度设置，帮助读者建立起高水平的数学思维体系。 第一部分：代数核心与高级技巧 代数是数学竞赛的基石，本书的第一部分将系统梳理并提升读者在代数领域的能力。我们不侧重于单一的数论技巧，而是全面覆盖代数表达式的变形、优化与应用。 1. 不等式的艺术与应用 本章深入探讨经典不等式的构造与证明，如均值不等式（AM-GM）、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）、霍夫曼不等式等。重点在于不等式的灵活运用，例如在求最值、证明不等式成立、以及在函数和几何问题中的交叉应用。 技巧聚焦： 变量代换法在复杂不等式中的应用、拉格朗日乘数法（仅作初步介绍，侧重于思想启发）在约束条件下的最优化问题、特殊值法与反例法的验证。 挑战实例： 分析若干具有对称性和轮换对称性的多项式不等式，要求读者不仅会套用公式，更能理解其背后的代数结构。 2. 函数方程与函数性质的深刻理解 本部分着重于函数方程的求解艺术，这往往是区分高水平选手的关键。我们将探讨如何利用函数的特定性质（如单调性、奇偶性、周期性、凸凹性）来简化或求解复杂的函数方程。 核心内容： 柯西函数方程的讨论（在实数域和有理数域内的解的探讨），以及如何利用特定点的代入法、反函数法、构造特定函数模型来解题。 高级主题： 深入研究函数的性质在不等式中的转化，例如利用函数图像的性质来证明某些代数不等式，拓宽代数思维的边界。 3. 方程与多项式理论的进阶 本章超越了初高中解方程的范畴，深入到多项式理论的核心。我们将探讨根与系数的关系（Vieta's Formulas）的高级应用，如构造新多项式、处理根的对称式表达。 重点突破： 涉及有理根定理、不可约性的概念（初步接触，侧重于判断），以及实系数多项式在不同区间上的根的分布问题（利用介值定理和导数分析）。 综合应用： 涉及与数论（如整系数多项式）和几何（如二次曲线的方程推导）结合的方程问题。 第二部分：几何的直觉与精确推导 几何部分要求思维的灵活性和强大的空间想象力。本书旨在平衡欧氏几何的严谨性和解析几何的计算效率。 1. 平面几何：经典定理的重生 本章重温并深化对三角形、圆、四边形等基本图形的性质理解。重点不在于记住大量的定理，而在于掌握如何独立、优雅地构造辅助线。 关键技术： 向量法在平面几何中的应用（用于证明共线、垂直、求线段长度），三角函数的巧妙引入（如正弦定理和余弦定理的灵活运用），以及射影几何思想的初步渗透（如调和共轭的概念在特定几何构造中的体现）。 挑战实例： 涉及圆的幂、内/外角平分线定理的扩展应用，以及利用反演变换思想简化复杂构图（仅作概念介绍和简单应用）。 2. 解析几何的威力 解析几何是连接代数与几何的桥梁。本章强调如何将几何问题转化为代数方程，并利用代数工具高效求解。 核心内容： 椭圆、双曲线、抛物线的焦点、准线、离心率等参数的深入理解及其在切线、弦中点问题中的应用。重点在于直线与圆锥曲线的相交问题的判别式分析。 高级技巧： 探讨斜率和倾角在曲线问题中的微积分预备知识，如曲线的切线方程的求法，以及利用代数方法证明几何性质（如证明某曲线是椭圆的某个性质）。 3. 立体几何与空间向量 本部分侧重于空间几何的分析，通过向量代数工具来处理三维空间中的点、线、面的关系。 方法论： 熟练掌握空间直角坐标系的建立、向量的数量积（用于求夹角和垂直关系）、向量的叉积（用于求面积和法向量）。 应用场景： 求解异面直线间的距离、点到平面的距离、二面角的精确计算。强调如何选择最优的坐标系，以简化计算过程。 第三部分：组合数学与概率的思维训练 组合数学要求严谨的计数逻辑和清晰的分类思想。 1. 组合计数原理的精深应用 本章系统回顾加法原理和乘法原理，并深入探讨排列与组合的高级应用。 核心方法： 容斥原理的系统化学习，用于解决“至少一个”、“恰好k个”等复杂计数问题。抽屉原理（鸽巢原理）的推广应用，不仅仅是简单计数，而是用于证明存在性问题。 专题突破： 讨论卡特兰数（Catalan Numbers）和斯特林数（Stirling Numbers）在特定计数模型（如路径计数、括号匹配、集合划分）中的应用，这是奥赛中区分度的关键知识点。 2. 概率与期望的建立 本章引入离散概率的基础，重点在于如何正确建模，将复杂的随机事件转化为可计算的概率模型。 关键概念： 条件概率、独立事件。通过大量的例题训练，掌握期望值的线性性质，并学习如何构造随机变量来求解期望。 挑战题型： 涉及重复试验、几何概率的初步思想，以及概率在最优策略选择中的体现。 全书通过对这些核心领域的全面覆盖和深入挖掘，旨在为读者提供一个坚实而广阔的数学竞赛知识框架，培养其独立思考和解决复杂问题的能力，而非仅仅停留在对某一类特定技巧的机械记忆。每一章的最后都附带了难度递增的“思维挑战”部分，鼓励读者将不同章节的知识点融会贯通，实现跨学科的综合运用。

评分☆☆☆☆☆

这本书在讲解那些公认难度极高的数论难题时，展现出一种非常细腻且循序渐进的教学思路，这一点让我这个在某些数论分支上困扰已久的学生感到豁然开朗。它没有简单粗暴地直接给出“标准解法”，而是花了大篇幅去剖析“为什么”要选择这种工具，比如，在讲解某个丢番图方程的求解时，作者首先回顾了相关同余理论的几个关键引理，然后才逐步引导我们看到如何将这些引理巧妙地嫁接到具体问题上。这种注重“思想方法构建”的教学方式，远比死记硬背模板要有效得多。我感觉自己不是在看一本解题大全，而是在跟随一位经验丰富的教练，一步步搭建自己的数论思维框架。特别是关于模运算在周期性问题中的应用，讲解得极其到位，结合了多个往年省队选拔赛的真题进行对比分析，效果立竿见<bos>。

评分☆☆☆☆☆

与其他动辄堆砌大量例题和习题的书籍不同，这本书在例题的选择上展现出极高的“品味”。它挑选的每一个例题，似乎都是精心设计的“小品”，每道题都巧妙地融合了不止一种数论技巧，解法上往往蕴含着一种“灵光一闪”的思维转折。更棒的是，很多例题后面都附带有“变式探讨”或者“拓展思路”，这部分内容极其宝贵。它不仅仅是给出了另一种解法，更多的是在引导我们思考：如果题目中的条件稍作修改，我们原有的策略是否依然适用？哪一部分是核心不变的，哪一部分需要调整思路？这种对解题过程的深度剖析，培养的不是解题速度，而是数学思维的鲁棒性，这点对于冲击更高水平的比赛至关重要。

评分☆☆☆☆☆

我尝试着用这本书里的某些章节去辅导一位刚接触竞赛数学的学弟，发现它的适用范围比我想象的要宽泛一些。虽然它定位是高中奥赛教程，但其中对于基础概念的阐述，比如裴蜀等式、欧拉定理的起源和几何意义，写得深入浅出，即便是高一学生也能凭借扎实的初中代数基础去理解。这种“溯本求源”的讲解方式，使得我们这些已经学过基础知识的人，在回顾时也能发现以前忽略的细微差别。作者在引入新概念时，总是会先从一个非常直观的、甚至带有一点生活气息的例子引入，然后再抽象到数学语言，这种过渡处理得非常自然流畅，完全避免了高深理论带来的距离感。这对于自学党来说，绝对是一个巨大的福音，减少了卡壳和放弃的几率。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计实在是太吸引人了，封面那种深邃的蓝色调，搭配着烫金的字体，一眼望过去就给人一种庄重又不失活力的感觉，完全符合我对“奥赛经典”的期待。拿到手里沉甸甸的，纸张的质感也相当不错，印刷清晰，没有出现任何墨迹模糊或者错位的现象，这在动辄要看上好几个月的参考书来说，是非常重要的细节。我特别喜欢它内页的排版，知识点和例题之间的留白处理得恰到好处，不会让人感觉信息密度过大而产生压迫感。而且，很多重要的公式和定理都被单独用醒目的方框标记出来，即便是快速翻阅查找，也能迅速锁定目标。这本书的章节划分也显得非常专业和有条理，从基础的概念梳理到复杂的综合应用，逻辑链条非常顺畅。

评分☆☆☆☆☆

这本书的翻译质量和学术严谨性是值得称赞的。虽然是国内出版的奥赛书籍，但其中引用的国际上一些经典教材的术语和表达习惯都处理得非常规范，体现了编者团队对数论领域的深刻理解，丝毫没有那种生搬硬套或者语焉不详的感觉。尤其是在一些涉及模线性代数或数论中的代数结构的部分，专业术语的使用精准无误，这对于我们未来如果想继续深入学习高等代数和抽象代数非常有帮助，算是一次提前的“预演”。我发现自己在使用过程中很少因为对某个词汇的理解产生歧义而停滞不前，这极大地提高了我的阅读效率和学习的准确性。总的来说，这是一部集系统性、启发性和专业性于一体的优质教材，对于有志于在数论领域深耕的数学爱好者而言，是案头必备的工具书。