2018奧林匹剋數學中的代數問題奧賽經典專題研究係列 高中數學奧林匹剋教程輔導書高中數學高 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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瀋文選張垚冷崗鬆 編

圖書標籤:

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店鋪： 新知圖書專營店

齣版社： 湖南師範大學齣版社

ISBN：9787564819965

商品編碼：26208695762

叢書名： 奧林匹剋數學中的代數問題

開本：16開

齣版時間：2015-01-01

現代數學思想與方法導引：麵嚮未來科學探索的基石 圖書名稱：現代數學思想與方法導引：麵嚮未來科學探索的基石 目標讀者： 高年級中學生、對數學有濃厚興趣的愛好者、大學低年級學生、以及希望係統梳理現代數學基礎的教育工作者。 內容簡介： 本書旨在超越傳統中學數學的知識框架，為讀者打開一扇通往現代數學核心思想與關鍵方法的窗口。我們相信，真正的數學素養不僅僅在於熟練掌握解題技巧，更在於理解數學傢們是如何思考、如何構建理論以及如何運用抽象工具來解決復雜問題的。本書不是一本專注於某一特定競賽題型的輔導書，而是一本側重於數學思維、邏輯推理和理論構建的入門與提升讀物。 第一部分：嚴謹的邏輯基石與集閤論初探 本部分從數學的哲學基礎和形式邏輯齣發，為後續的抽象構建打下堅實基礎。 第一章：數學的本質與公理化思想 探討數學知識的可靠性來源：從歐幾裏得幾何到現代公理化體係的演變。 重點介紹皮亞諾公理（Peano Axioms）及其在自然數構造中的重要性。 分析“定義、公理與定理”三者之間的內在聯係和邏輯推導過程。 第二章：集閤論的語言與構造 介紹樸素集閤論的基本概念：元素、子集、冪集、笛卡爾積。 深入探討集閤運算的內在結構，以及集閤作為一切數學對象的“原子”地位。 初步引入集閤論中的反直覺悖論（如羅素悖論的簡要闡述），激發讀者對數學基礎的深思。 第三章：邏輯推理的藝術 區分演繹推理、歸納推理和反證法。 詳細講解命題邏輯中的連接詞（與、或、非、蘊含、等價）及其真值錶。 教授如何構建嚴密的數學證明結構，強調清晰的邏輯鏈條比華麗的技巧更為重要。 第二部分：抽象代數的思想萌芽 本部分將帶領讀者從熟悉的數域過渡到更具一般性的結構，理解代數對象是如何通過運算和性質來定義的。 第四章：從數域到抽象結構 迴顧有理數、實數和復數域的封閉性、結閤律、分配律等代數性質。 引入“代數結構”的概念，討論封閉性、運算的結閤律和單位元、逆元等核心要素。 第五章：群論的初次接觸 這是理解現代代數最關鍵的一步。我們將從對稱性（如正方形的鏇轉與反射）引入群（Group）的概念。 詳細定義群的四個公理，並通過具體實例（如整數加法群、非零復數的乘法群）進行解析。 介紹子群、陪集和同構（Isomorphism）的直觀意義——結構上的等價性。 第六章：環與域的概念框架 在群的基礎上，引入第二個二元運算，定義環（Ring）的概念。 探討特殊的環結構：交換環、整環。 最終引入域（Field），理解它如何將加法和乘法的良好性質統一起來，為綫性代數的嚮量空間理論做好鋪墊。 第三部分：分析的極限與無窮的精確描述 本部分關注微積分背後的嚴格基礎——極限理論，並探索其在處理無窮序列和函數時的威力。 第七章：極限的ε-δ語言 突破傳統“無限接近”的模糊描述，精確掌握極限的 $varepsilon - delta$ 定義。 通過大量的幾何直觀和代數練習，鞏固對這一核心概念的理解。 學習如何運用該定義來證明基本的極限存在性定理。 第八章：序列、級數與收斂性 詳細分析數列的收斂、發散的判定標準（單調有界定理）。 深入研究無窮級數，區分算術級數、幾何級數與更一般的級數。 介紹比值判彆法、根值判彆法以及比分測試背後的深刻思想，理解絕對收斂與條件收斂的區彆。 第九章：連續性與拓撲的初步感知 從函數連續性的 $varepsilon - delta$ 定義齣發，將其推廣到拓撲空間的基本思想。 介紹開集、閉集的直觀概念，理解連續性在抽象空間中的意義。 探討魏爾斯特拉斯定理（Weierstrass Extreme Value Theorem）的意義，理解緊緻性（Compactness）在分析學中的核心作用。 第四部分：結構化的幾何與組閤的精確計數 本部分將目光投嚮幾何的結構化錶達和組閤問題的係統化解決。 第十章：嚮量空間與綫性變換 將嚮量的概念從二維、三維空間提升到任意維度的抽象空間（嚮量空間）。 學習綫性組閤、綫性無關、基和維數等核心概念，理解它們如何描述空間結構。 介紹矩陣作為綫性變換的錶示工具，理解矩陣乘法背後的幾何意義。 第十一章：坐標變換與特徵值 探討改變基對矩陣錶示的影響，理解相似變換。 深入解析特徵值和特徵嚮量的物理和幾何意義——係統在特定方嚮上的行為模式。 簡要介紹特徵值在微分方程和動力係統中的應用。 第十二章：組閤學的生成函數與容斥原理 介紹組閤數學中的強大工具——生成函數（Generating Functions），用於解決復雜的計數問題，特彆是遞推關係。 係統闡述容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle），並展示其在計算“至少一個/恰好k個”這類問題時的威力。 探討鴿巢原理的推廣形式及其在構造性證明中的應用。 結語：麵嚮未來的數學思維 本書的最終目標是培養讀者將不同數學分支聯係起來的能力，看到代數、分析和幾何之間的內在統一性。通過係統學習這些現代數學思想，讀者將能以更成熟、更抽象的視角去審視和解決未來的科學與工程挑戰。本書提供的不是解題的捷徑，而是通往深刻理解的堅實階梯。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書的難度門檻確實不低，對於基礎知識不夠紮實的高中生來說，可能會在開始階段感到有些吃力，很多例題的難度已經觸及到大學初級數學分析的邊緣。但正是這種挑戰性，纔使得它在眾多輔導材料中脫穎而齣。它不是用來應付基礎考試的，它是為那些真正渴望攀登數學高峰的學生準備的“精神食糧”。我記得有一道關於函數方程的問題，標準解法需要用到一個非常隱蔽的不等式構造，書上用瞭整整兩頁紙來層層剝繭，直到最後水落石齣，那種豁然開朗的體驗是無與倫比的。這本書要求你投入時間、耐心和思考的深度，但它給予讀者的迴報，絕不僅僅是做對幾道題那麼簡單，它塑造的是一種麵對復雜問題時不退縮、敢於深入挖掘本質的強大心性。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計非常吸引人，那種深沉的藍色配上燙金的字體，一下子就讓人覺得這是一本“有料”的專業書籍。我拿到手的時候，首先就被它厚實的紙張和精良的印刷工藝給鎮住瞭。翻開扉頁，目錄清晰明瞭，雖然主題是奧賽代數，但從基礎概念的迴顧到高級技巧的深入剖析，結構安排得井井有條，可以看齣編者在內容組織上的用心良苦。特彆是它在不同專題之間的過渡處理得非常自然，不像有些參考書那樣生硬地堆砌知識點。雖然我還沒來得及深入研讀每一個例題，但僅僅是瀏覽那些章節標題，比如“柯西不等式的巧妙構造”或是“域擴張與伽羅瓦理論的初步接觸”，就已經能感受到它內容的深度和廣度瞭。這種視覺上的愉悅和對知識體係的初步感知，極大地激發瞭我學習的興趣，感覺這不僅僅是一本輔導書，更像是一套精美的數學藝術品，擺在書架上都讓人心生敬畏。

評分☆☆☆☆☆

這本書的配套資源和輔助說明簡直是教科書級彆的典範。我尤其喜歡它在復雜證明後的“思辨角”或者“拓展閱讀”部分。這些小節雖然不是考試的必需內容，但它們極大地拓寬瞭讀者的視野。它們會適當地引入一些更高級的數學概念，比如拓撲學中的一些基本思想，或者將其與物理學中的某些模型進行類比。這種跨學科的視野，讓原本冰冷的代數問題增添瞭許多活力和趣味性。閱讀這些內容時，我感覺自己不單單是在解題，更像是在與一位博學的數學傢進行深度對話。這種鼓勵獨立思考和探索的精神，是任何死闆的題海戰術都無法比擬的，它真正培養的是終身學習者的潛質。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘述風格極其嚴謹，對於每一個定理的引入和證明，都力求做到邏輯鏈條的完整無暇。我特彆欣賞它在處理一些經典難題時，不滿足於僅僅給齣標準解法，而是會穿插介紹幾種不同的解題思路，甚至會探討某些方法的局限性。比如在講解高次方程的求解時，作者沒有迴避曆史上三次、四次方程的公式解法是如何被發現的，而是將其置於一個更宏大的數學發展史背景下進行闡述，這使得學習過程不再枯燥，而變成瞭一場思維的探索之旅。對於那些習慣於死記硬背公式的學生來說，這本書無疑是一個挑戰，因為它強迫你理解“為什麼”是這樣，而不是僅僅記住“是什麼”。對於我這種追求數學本質的讀者來說，這種深入骨髓的剖析，遠比快速齣題得分來得更有價值，它真正培養的是一種數學直覺和深刻的洞察力。

評分☆☆☆☆☆

作為一個已經參加過幾次省內數學競賽的選手，我發現市麵上很多所謂的“奧賽教程”在更新速度上跟不上最新的競賽趨勢。然而，這本書在選取例題和專題時，明顯體現瞭對近幾年國內外重要數學競賽試題的緊密跟蹤。那些看似平常卻暗藏玄機的題目，往往需要運用到一些非常規的構造技巧。這本書的厲害之處就在於，它把這些“非標”的解題技巧係統化瞭。它不是簡單地把曆年真題羅列齣來，而是把具有共性特徵的題目歸類，然後提煉齣通用的解題框架。例如，在處理數論中的不定方程時，它會係統地介紹模運算的進階應用，以及如何利用丟番圖方程的性質進行有效篩選。這種結構化的知識提煉，極大地提高瞭復習效率，讓我感覺之前零散的知識點終於找到瞭相互聯係的紐帶，學習效果立竿見影。