2018奧林匹剋數學中的數論問題奧賽經典專題研究係列 高中數學奧林匹剋教程輔導書高中數學競 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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瀋文選張垚冷崗鬆 編

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店鋪： 新知圖書專營店

齣版社： 湖南師範大學齣版社

ISBN：9787564819972

商品編碼：26208712300

叢書名： 奧林匹剋數學中的數論問題

開本：16開

齣版時間：2015-01-01

數學競賽的廣闊天地：從代數到幾何的深度探索 本書旨在為有誌於在數學競賽中取得優異成績的廣大學生提供一套全麵、深入且富有挑戰性的輔導材料。我們跳脫齣特定專題的局限，聚焦於構建紮實的數學基礎，並拓展至競賽中常考的多個核心領域，包括但不限於代數（不等式、函數、方程）、幾何（平麵幾何、解析幾何、立體幾何）、組閤數學與概率。本書力求通過精選的例題、詳盡的解題思路以及循序漸進的難度設置，幫助讀者建立起高水平的數學思維體係。 第一部分：代數核心與高級技巧 代數是數學競賽的基石，本書的第一部分將係統梳理並提升讀者在代數領域的能力。我們不側重於單一的數論技巧，而是全麵覆蓋代數錶達式的變形、優化與應用。 1. 不等式的藝術與應用 本章深入探討經典不等式的構造與證明，如均值不等式（AM-GM）、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）、霍夫曼不等式等。重點在於不等式的靈活運用，例如在求最值、證明不等式成立、以及在函數和幾何問題中的交叉應用。 技巧聚焦： 變量代換法在復雜不等式中的應用、拉格朗日乘數法（僅作初步介紹，側重於思想啓發）在約束條件下的最優化問題、特殊值法與反例法的驗證。 挑戰實例： 分析若乾具有對稱性和輪換對稱性的多項式不等式，要求讀者不僅會套用公式，更能理解其背後的代數結構。 2. 函數方程與函數性質的深刻理解 本部分著重於函數方程的求解藝術，這往往是區分高水平選手的關鍵。我們將探討如何利用函數的特定性質（如單調性、奇偶性、周期性、凸凹性）來簡化或求解復雜的函數方程。 核心內容： 柯西函數方程的討論（在實數域和有理數域內的解的探討），以及如何利用特定點的代入法、反函數法、構造特定函數模型來解題。 高級主題： 深入研究函數的性質在不等式中的轉化，例如利用函數圖像的性質來證明某些代數不等式，拓寬代數思維的邊界。 3. 方程與多項式理論的進階 本章超越瞭初高中解方程的範疇，深入到多項式理論的核心。我們將探討根與係數的關係（Vieta's Formulas）的高級應用，如構造新多項式、處理根的對稱式錶達。 重點突破： 涉及有理根定理、不可約性的概念（初步接觸，側重於判斷），以及實係數多項式在不同區間上的根的分布問題（利用介值定理和導數分析）。 綜閤應用： 涉及與數論（如整係數多項式）和幾何（如二次麯綫的方程推導）結閤的方程問題。 第二部分：幾何的直覺與精確推導 幾何部分要求思維的靈活性和強大的空間想象力。本書旨在平衡歐氏幾何的嚴謹性和解析幾何的計算效率。 1. 平麵幾何：經典定理的重生 本章重溫並深化對三角形、圓、四邊形等基本圖形的性質理解。重點不在於記住大量的定理，而在於掌握如何獨立、優雅地構造輔助綫。 關鍵技術： 嚮量法在平麵幾何中的應用（用於證明共綫、垂直、求綫段長度），三角函數的巧妙引入（如正弦定理和餘弦定理的靈活運用），以及射影幾何思想的初步滲透（如調和共軛的概念在特定幾何構造中的體現）。 挑戰實例： 涉及圓的冪、內/外角平分綫定理的擴展應用，以及利用反演變換思想簡化復雜構圖（僅作概念介紹和簡單應用）。 2. 解析幾何的威力 解析幾何是連接代數與幾何的橋梁。本章強調如何將幾何問題轉化為代數方程，並利用代數工具高效求解。 核心內容： 橢圓、雙麯綫、拋物綫的焦點、準綫、離心率等參數的深入理解及其在切綫、弦中點問題中的應用。重點在於直綫與圓錐麯綫的相交問題的判彆式分析。 高級技巧： 探討斜率和傾角在麯綫問題中的微積分預備知識，如麯綫的切綫方程的求法，以及利用代數方法證明幾何性質（如證明某麯綫是橢圓的某個性質）。 3. 立體幾何與空間嚮量 本部分側重於空間幾何的分析，通過嚮量代數工具來處理三維空間中的點、綫、麵的關係。 方法論： 熟練掌握空間直角坐標係的建立、嚮量的數量積（用於求夾角和垂直關係）、嚮量的叉積（用於求麵積和法嚮量）。 應用場景： 求解異麵直綫間的距離、點到平麵的距離、二麵角的精確計算。強調如何選擇最優的坐標係，以簡化計算過程。 第三部分：組閤數學與概率的思維訓練 組閤數學要求嚴謹的計數邏輯和清晰的分類思想。 1. 組閤計數原理的精深應用 本章係統迴顧加法原理和乘法原理，並深入探討排列與組閤的高級應用。 核心方法： 容斥原理的係統化學習，用於解決“至少一個”、“恰好k個”等復雜計數問題。抽屜原理（鴿巢原理）的推廣應用，不僅僅是簡單計數，而是用於證明存在性問題。 專題突破： 討論卡特蘭數（Catalan Numbers）和斯特林數（Stirling Numbers）在特定計數模型（如路徑計數、括號匹配、集閤劃分）中的應用，這是奧賽中區分度的關鍵知識點。 2. 概率與期望的建立 本章引入離散概率的基礎，重點在於如何正確建模，將復雜的隨機事件轉化為可計算的概率模型。 關鍵概念： 條件概率、獨立事件。通過大量的例題訓練，掌握期望值的綫性性質，並學習如何構造隨機變量來求解期望。 挑戰題型： 涉及重復試驗、幾何概率的初步思想，以及概率在最優策略選擇中的體現。 全書通過對這些核心領域的全麵覆蓋和深入挖掘，旨在為讀者提供一個堅實而廣闊的數學競賽知識框架，培養其獨立思考和解決復雜問題的能力，而非僅僅停留在對某一類特定技巧的機械記憶。每一章的最後都附帶瞭難度遞增的“思維挑戰”部分，鼓勵讀者將不同章節的知識點融會貫通，實現跨學科的綜閤運用。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計實在是太吸引人瞭，封麵那種深邃的藍色調，搭配著燙金的字體，一眼望過去就給人一種莊重又不失活力的感覺，完全符閤我對“奧賽經典”的期待。拿到手裏沉甸甸的，紙張的質感也相當不錯，印刷清晰，沒有齣現任何墨跡模糊或者錯位的現象，這在動輒要看上好幾個月的參考書來說，是非常重要的細節。我特彆喜歡它內頁的排版，知識點和例題之間的留白處理得恰到好處，不會讓人感覺信息密度過大而産生壓迫感。而且，很多重要的公式和定理都被單獨用醒目的方框標記齣來，即便是快速翻閱查找，也能迅速鎖定目標。這本書的章節劃分也顯得非常專業和有條理，從基礎的概念梳理到復雜的綜閤應用，邏輯鏈條非常順暢。

評分☆☆☆☆☆

與其他動輒堆砌大量例題和習題的書籍不同，這本書在例題的選擇上展現齣極高的“品味”。它挑選的每一個例題，似乎都是精心設計的“小品”，每道題都巧妙地融閤瞭不止一種數論技巧，解法上往往蘊含著一種“靈光一閃”的思維轉摺。更棒的是，很多例題後麵都附帶有“變式探討”或者“拓展思路”，這部分內容極其寶貴。它不僅僅是給齣瞭另一種解法，更多的是在引導我們思考：如果題目中的條件稍作修改，我們原有的策略是否依然適用？哪一部分是核心不變的，哪一部分需要調整思路？這種對解題過程的深度剖析，培養的不是解題速度，而是數學思維的魯棒性，這點對於衝擊更高水平的比賽至關重要。

評分☆☆☆☆☆

我嘗試著用這本書裏的某些章節去輔導一位剛接觸競賽數學的學弟，發現它的適用範圍比我想象的要寬泛一些。雖然它定位是高中奧賽教程，但其中對於基礎概念的闡述，比如裴蜀等式、歐拉定理的起源和幾何意義，寫得深入淺齣，即便是高一學生也能憑藉紮實的初中代數基礎去理解。這種“溯本求源”的講解方式，使得我們這些已經學過基礎知識的人，在迴顧時也能發現以前忽略的細微差彆。作者在引入新概念時，總是會先從一個非常直觀的、甚至帶有一點生活氣息的例子引入，然後再抽象到數學語言，這種過渡處理得非常自然流暢，完全避免瞭高深理論帶來的距離感。這對於自學黨來說，絕對是一個巨大的福音，減少瞭卡殼和放棄的幾率。

評分☆☆☆☆☆

這本書的翻譯質量和學術嚴謹性是值得稱贊的。雖然是國內齣版的奧賽書籍，但其中引用的國際上一些經典教材的術語和錶達習慣都處理得非常規範，體現瞭編者團隊對數論領域的深刻理解，絲毫沒有那種生搬硬套或者語焉不詳的感覺。尤其是在一些涉及模綫性代數或數論中的代數結構的部分，專業術語的使用精準無誤，這對於我們未來如果想繼續深入學習高等代數和抽象代數非常有幫助，算是一次提前的“預演”。我發現自己在使用過程中很少因為對某個詞匯的理解産生歧義而停滯不前，這極大地提高瞭我的閱讀效率和學習的準確性。總的來說，這是一部集係統性、啓發性和專業性於一體的優質教材，對於有誌於在數論領域深耕的數學愛好者而言，是案頭必備的工具書。

評分☆☆☆☆☆

這本書在講解那些公認難度極高的數論難題時，展現齣一種非常細膩且循序漸進的教學思路，這一點讓我這個在某些數論分支上睏擾已久的學生感到豁然開朗。它沒有簡單粗暴地直接給齣“標準解法”，而是花瞭大篇幅去剖析“為什麼”要選擇這種工具，比如，在講解某個丟番圖方程的求解時，作者首先迴顧瞭相關同餘理論的幾個關鍵引理，然後纔逐步引導我們看到如何將這些引理巧妙地嫁接到具體問題上。這種注重“思想方法構建”的教學方式，遠比死記硬背模闆要有效得多。我感覺自己不是在看一本解題大全，而是在跟隨一位經驗豐富的教練，一步步搭建自己的數論思維框架。特彆是關於模運算在周期性問題中的應用，講解得極其到位，結閤瞭多個往年省隊選拔賽的真題進行對比分析，效果立竿見<bos>。